Lista cálculo Taxas Relacionadas

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Problemas de Taxas Relacionadas 
Roney Rachide Nunes 
DISCIPLINAS A DISTÂNCIA DA GRADUAÇÃO 
Cálculo II 
 
 PUC Minas Virtual • 2 
 
Problemas de Taxas relacionadas são problemas nos quais aplicamos os conceitos aprendidos sobre 
derivadas para determinar a taxa de variação de certas grandezas a partir de outras taxas de variação já 
conhecidas. O nome taxas relacionadas se justifica pelo processo de resolução dos problemas, onde 
buscamos uma relação entre a(s) taxa(s) de variação conhecida(s) e aquela que desejamos determinar. 
 
Geralmente dados textualmente por meio de um problema prático, o primeiro passo para resolver um 
problema de taxas relacionadas é determinar uma equação que relacione as grandezas apresentadas no 
problema. Na maioria das vezes é conveniente seguir as seguintes etapas 
 
I. Sempre que necessário, faça um esboço ilustrando a situação apresentada no problema. O esboço 
pode auxiliá-lo na compreensão do problema e identificar a relação entre as grandezas envolvidas. 
II. Identifique qual a relação existe entre as grandezas envolvidas no problema e obtenha uma equação 
que as relacione. 
III. Identifique as taxas de variação conhecidas e aquela(s) que deseja determinar. Interprete tais taxas 
como derivadas. 
IV. Derive (implicitamente) a equação obtida. 
V. Substitua na equação obtida as grandezas conhecidas e encontre a taxa de variação desejada. Se 
necessário, volte à equação obtida na etapa (II) para obter o valor de alguma grandeza necessária. 
 
Fique atento! 
 Em um problema de taxas relacionadas, todas as grandezas dependem de uma mesma variável – 
em geral, o tempo. 
 Lembre-se de responder ao questionamento inicial do problema. 
Vamos, agora, resolver alguns problemas de taxas relacionadas. 
 
 
 PUC Minas Virtual • 3 
 
Exercício Resolvido 1. 
 
Os lados 𝑥 e 𝑦 de um retângulo estão variando a taxas constantes 0,2 𝑐𝑚/𝑠 e 0,1 𝑐𝑚/𝑠, respectivamente. 
A que taxa está variando a área do retângulo no instante em que 𝑥 = 10𝑐𝑚 e 𝑦 = 2𝑐𝑚? 
 
Solução: 
 
x
y
 
 
No problema são consideradas as seguintes grandezas: 
 
 lados 𝑥 e 𝑦 de um retângulo 
 área 𝐴 de um retângulo 
 
Sabemos que 
 
𝐴 = 𝑥𝑦 
 
Derivando a equação acima (em relação à variável 𝑡), temos 
 
𝑑𝐴
𝑑𝑡
= 𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑡
 
 
Como 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 0,2 𝑐𝑚/𝑠, 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 0,1 𝑐𝑚/𝑠, 𝑥 = 10𝑐𝑚 e 𝑦 = 2𝑐𝑚 segue que 
 
𝑑𝐴
𝑑𝑡
= 2 ⋅ 0,2 + 10 ⋅ 0,1 = 1,4 𝑐𝑚2/𝑠 
 
Assim, a área do retângulo cresce à taxa de 1,4 𝑐𝑚2/𝑠. 
 
 
 
 
 PUC Minas Virtual • 4 
Exercício Resolvido 2. 
 
Se a área de um quadrado cresce à taxa de 3𝑐𝑚2/ℎ, determine a que taxa estão variando o lado, a 
diagonal e o perímetro do quadrado quando sua aresta mede 5𝑐𝑚. 
 
Solução: 
 
D
l
 
 
No problema são consideradas as seguintes grandezas: 
 
 área 𝐴 de um quadrado 
 a diagonal 𝐷 de um quadrado 
 lado 𝑙 de um quadrado 
 perímetro 𝑃 de um quadrado 
 
Sabemos que 
𝐴 = 𝑙2 
𝐷 = 𝑙 √2 
𝑃 = 4𝑙 
 
Derivando a equação acima (em relação à variável 𝑡), temos 
 
𝑑𝐴
𝑑𝑡
= 2𝑙
𝑑𝑙
𝑑𝑡
 
𝑑𝐷
𝑑𝑡
= √2
𝑑𝑙
𝑑𝑡
 
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= 4
𝑑𝑙
𝑑𝑡
 
Como 
𝑑𝐴
𝑑𝑡
= 3 𝑐𝑚2/ℎ 
𝑙 = 5 𝑐𝑚 
Segue que 
𝑑𝑙
𝑑𝑡
=
3
10
 𝑐𝑚/ℎ 
𝑑𝐷
𝑑𝑡
=
3√2
10
 𝑐𝑚/ℎ 
𝑑𝑃
𝑑𝑡
=
6
5
 𝑐𝑚/ℎ 
Assim, o lado do quadrado cresce à taxa de 
3
10
 𝑐𝑚/ℎ, sua diagonal cresce à taxa 
3√2
10
 𝑐𝑚/ℎ e seu 
perímetro cresce à taxa 
6
5
 𝑐𝑚/ℎ. 
 
 PUC Minas Virtual • 5 
Exercício Resolvido 3. 
 
Um balão está subindo verticalmente acima de uma estrada sem curvas a uma velocidade constante de 
𝟏𝒎/𝒔. Quando ele está a 𝟐𝟎 𝒎 acima do solo, um carro que se desloca a uma velocidade constante de 
𝟒𝒎/𝒔 passa por baixo dele. A que taxa a distância entre o carro e o balão aumentará após 𝟏𝟎𝒔? 
 
Solução: 
 
CARRO
BALÃO
h
x
y
 
 
No problema são consideradas as seguintes grandezas: 
 
 altura ℎ do balão 
 distância 𝑦 entre o balão e o carro 
 distância horizontal 𝑥 entre o balão e o carro 
 
Pelo Teorema de Pitágoras, sabemos que 
𝑦2 = 𝑥2 + ℎ2 
Derivando a equação acima (em relação à variável 𝑡), temos 
2𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 2𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ 2ℎ
𝑑ℎ
𝑑𝑡
 
onde 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 4 𝑚/𝑠 (𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑜 𝑐𝑎𝑟𝑟𝑜) 
𝑑ℎ
𝑑𝑡
= 1 𝑚/𝑠 (𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚 𝑞𝑢𝑒 𝑜 𝑏𝑎𝑙ã𝑜 𝑠𝑜𝑏𝑒) 
 
Após 10 𝑠, ℎ = 30 𝑚 e 𝑥 = 40 𝑚 e 
𝑦2 = 302 + 402 
𝑦 = 50 𝑚 
Daí, 
2 ⋅ 50
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 2 ⋅ 40 ⋅ 4 + 2 ⋅ 30 ⋅ 1 
𝑑ℎ
𝑑𝑡
=
19
5
 𝑚/𝑠 
Assim, o carro se afasta do balão à taxa de 
19
5
 𝑚/𝑠. 
 
 PUC Minas Virtual • 6 
Exercício Resolvido 4. 
 
Um balão esférico é inflado de tal forma que o volume cresce a taxa de 3 𝑚3/𝑚𝑖𝑛 . Com que rapidez o 
diâmetro do balão estará crescendo quando o raio for de 1𝑚? 
 
Solução: 
 
No problema são consideradas as seguintes grandezas: 
 
 volume 𝑉 de uma esfera 
 diâmetro 𝐷 de uma esfera 
 raio 𝑟 de uma esfera 
 
Sabemos que 
𝑉 =
4
3
𝜋𝑟3 
𝐷 = 2𝑟 
 
Derivando a equação acima (em relação à variável 𝑡), temos 
 
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= 4𝜋𝑟2
𝑑𝑟
𝑑𝑡
 
𝑑𝐷
𝑑𝑡
= 2
𝑑𝑟
𝑑𝑡
 
 
Como 
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= 3𝑚3/𝑚𝑖𝑛, no instante em que 𝑟 = 1𝑚 temos 
3 = 4 𝜋 ⋅ 12 ⋅
𝑑𝑟
𝑑𝑡
 
𝑑𝑟
𝑑𝑡
=
3
4𝜋
 𝑚/𝑚𝑖𝑛 
𝑑𝐷
𝑑𝑡
= 2 ⋅
3
4𝜋
=
3
2𝜋
 𝑚/𝑚𝑖𝑛 
 
Assim, o diâmetro do balão esférico cresce à taxa de 
3
2𝜋
 𝑚/𝑚𝑖𝑛. 
 
 PUC Minas Virtual • 7 
Exercício Resolvido 5. 
 
Considere dois sólidos: uma esfera 𝑺 de raio 𝒓 e um cubo 𝑪 de aresta 𝒍. Os valores de 𝒓 e 𝒍 variam com o 
tempo, de forma que a soma dos volumes dos dois sólidos é mantida constante. Em determinado instante 
o raio da esfera é igual a 𝟑𝒄𝒎, enquanto a aresta do cubo mede √𝟒𝝅
𝟑
𝒄𝒎. Se a diagonal do cubo cresce a 
uma taxa de √𝟏𝟐𝒄𝒎/𝒉, determine qual a taxa de variação do raio da esfera, quando o cubo tem aresta 
√𝟐𝝅
𝟑
𝒄𝒎. 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
No problema são consideradas as seguintes grandezas: 
 
 raio 𝑟 de uma esfera 
 aresta 𝑙 de um cubo 
 volume 𝑉𝐸 da esfera 
 volume 𝑉𝐶 do cubo 
 diagonal 𝐷 do cubo 
 
Sabemos que 
𝑉𝐶 = 𝑙
3 
𝑉𝐸 =
4
3
𝜋𝑟3 
𝐷 = 𝑙√3 
 
No problemas, temos que a soma dos volumes é constante, isto é, existe uma constante 𝐾 tal que 
 
𝑉𝐶 + 𝑉𝐸 = 𝐾 
𝑙3 +
4
3
𝜋𝑟3 = 𝐾 
Do instante em que 𝑟 = 3𝑐𝑚 e 𝑙 = √4𝜋
3
 𝑐𝑚, temos 
 
 
 PUC Minas Virtual • 8 
 
 
 
𝐾 = (√4𝜋
3
)
3
+
4
3
𝜋(3)3 = 40𝜋 
Segue que 
 
𝑙3 +
4
3
𝜋𝑟3 = 40𝜋 
 
Derivando a equação acima (em relação à variável 𝑡), temos 
3𝑙2
𝑑𝑙
𝑑𝑡
+ 4𝜋𝑟2
𝑑𝑟
𝑑𝑡
= 0 
𝑑𝑟
𝑑𝑡
= −
3𝑙2
4𝜋𝑟2
𝑑𝑙
𝑑𝑡
 
 
 
Como 
𝐷 = 𝑙√3 
segue que 
𝑑𝐷
𝑑𝑡
= √3
𝑑𝑙
𝑑𝑡
 
𝑑𝐷
𝑑𝑡
= √12𝑐𝑚/ℎ →
𝑑𝑙
𝑑𝑡
= 2𝑐𝑚/ℎ 
 
No instante em que a aresta do cubo mede √2𝜋
3
𝑐𝑚 
( √2𝜋
3
 )
3 
+
4
3
𝜋𝑟3 = 40𝜋 
𝑟 = √
57
2
3
 𝑐𝑚 
 
Reunindo as informações acima, 
𝑑𝑟
𝑑𝑡
= −
3𝑙2
4𝜋𝑟2
𝑑𝑙
𝑑𝑡
 
𝑑𝑟
𝑑𝑡
= −
3
4𝜋
⋅
(√2𝜋
3
)
2
( √
57
2
3
)
2 ⋅ 2 = −𝜋 √
6𝜋2
192
3
 𝑐𝑚/ℎ 
 
Assim, o raio da esfera decresce à taxa 𝜋 √
6𝜋2
192
3
 𝑐𝑚/ℎ.PUC Minas Virtual • 9 
 
Exercício Resolvido 6. 
 
O raio 𝒓 e a altura 𝒉 de um cilindro circular reto estão variando de modo que seu volume se mantém 
constante. Num determinado instante a altura do cilindro é 𝟑 𝒄𝒎, enquanto seu raio é 𝟏 𝒄𝒎. Se a altura do 
cilindro está aumentando à taxa 𝒅𝒆 𝟎, 𝟐 𝒄𝒎/𝒔, determine à que taxa está variando seu raio, seu volume e 
sua área da superfície neste instante. 
 
Solução: 
 
O exemplo acima encontra-se resolvido no vídeo Problemas de Taxas Relacionadas – Exemplo 1. 
 
 
 
 
Exercício Resolvido 7. 
 
Quando o ar expande adiabaticamente (sem troca de energia térmica), sua pressão 𝑃 e o volume 𝑉 estão 
relacionados pela equação 𝑃𝑉1,4 = 𝐶, em que C e uma constante. Suponha que em um certo instante o 
volume e 400 𝑐𝑚3, a pressão e 80 kPa e a pressão cresce a uma taxa de 10 𝑘𝑃𝑎/𝑚𝑖𝑛. Determine à que 
taxa está decrescendo o volume nesse instante? 
 
Solução: 
 
O exemplo acima encontra-se resolvido no vídeo Problemas de Taxas Relacionadas – Exemplo 2. 
 
 
Exercício Resolvido 8. 
 
Um homem começa a andar para o norte a 𝟑 𝒎/𝒎𝒊𝒏 a partir de um ponto 𝑷. 5 minutos depois uma mulher 
inicia sua caminhada para o sul a uma velocidade de 𝟒 𝒎/𝒎𝒊𝒏 partindo de um ponto localizado 𝟓𝟎𝟎 𝒎 a 
leste de 𝑷. Qual a taxa de afastamento entre o homem e a mulher 15 minutos após a mulher ter iniciado a 
caminhada? 
 
Solução: 
 
O exemplo acima encontra-se resolvido no vídeo Problemas de Taxas Relacionadas – Exemplo 3. 
 
 
 
 
 
 
 PUC Minas Virtual • 10 
Exercícios Propostos 
 
 
Para fixar o conteúdo estudado resolva os exercícios da seção 3.9 (Taxas Relacionadas) do livro texto - 
STEWART, James. Cálculo. 7. ed., Volume 1. São Paulo: Cengage Learning, c2014. 
As dúvidas devem ser postadas no Fórum de Discussões.