QUESTAO_lista_funcao_ita

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27/06/2017 10:14 pag.1 
 
Lista Função - Ita 
Carlos Peixoto 
 
1. (Ita 2017) Sejam X e Y dois conjuntos finitos com X Y e X Y. Considere as seguintes 
afirmações: 
 
I. Existe uma bijeção f : X Y. 
II. Existe uma função injetora g: Y X. 
III. O número de funções injetoras f : X Y é igual ao número de funções sobrejetoras 
g: Y X. 
 
É (são) verdadeira(s) 
a) nenhuma delas. 
b) apenas I. 
c) apenas III. 
d) apenas I e II. 
e) todas. 
 
2. (Ita 2013) Considere funções f, g, f g : .  Das afirmações: 
 
I. Se f e g são injetoras, f g é injetora; 
II. Se f e g são sobrejetoras, f g é sobrejetora; 
III. Se f e g não são injetoras, f g não é injetora; 
IV. Se f e g não são sobrejetoras, f g não é sobrejetora, 
 
é (são) verdadeira(s) 
a) nenhuma. 
b) apenas I e II. 
c) apenas I e III. 
d) apenas III e IV. 
e) todas. 
 
3. (Ita 2010) Analise se a função 
x x3 3
f : , f(x)
2

  é bijetora e, em caso afirmativo, 
determine a função inversa 1f . 
 
4. (Ita 2010) Sejam f, g: RR  tais que f é par e g é impar. Das seguintes afirmações: 
 
I. f . g e impar, 
II. f o g e par, 
III. g o f e impar, 
 
é (são) verdadeira(s) 
a) apenas I. 
b) apenas II. 
c) apenas III. 
d) apenas I e II. 
e) todas. 
 
 
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5. (Ita 2008) Um subconjunto D de IR tal que a função f: D  IR, definida por f(x) = │ℓn (x
2
 - x 
+ 1)│ é injetora, é dado por 
a) IR 
b) (-∞, 1] 
c) [0, 1/2] 
d) (0, 1) 
e) [1/2, ∞) 
 
6. (Ita 2008) Seja f(x) = ℓn (x
2
 + x + 1), x ∈ IR. Determine as funções h, g : IR  IR tais que 
f(x) = g(x) + h(x), ∀x ∈ IR, sendo h uma função par e g uma função ímpar. 
 
7. (Ita 2006) Seja  f : 0,1  definida por 
 
1
2x, 0 x
2
f(x) ,
1
2x 1, x 1
2

 
 
   

 
 
Seja 
1 1
g : ,
2 2
 
  
 
 dada por 
 
1 1
f x , x 0
2 2
g(x) ,
1 1
1 f x , 0 x
2 2
  
    
  
 
        
 
 
com f definida acima. Justificando a resposta, determine se g é par, ímpar ou nem par nem 
ímpar. 
 
8. (Ita 2005) Considere os conjuntos S = {0, 2, 4, 6}, T = {1, 3, 5} e U = {0,1} e as afirmações: 
 
I - {0} ∈ S e S ⋂ U ≠ ∅. 
II - {2} ⊂ (S - U) e S ⋂ T ⋂ U = {0, 1}. 
III - Existe uma função f: S  T injetiva. 
IV - Nenhuma função g: T  S é sobrejetiva. 
 
Então, é(são) verdadeira(s) 
a) apenas I. 
b) apenas IV. 
c) apenas I e IV. 
d) apenas II e III. 
e) apenas III e IV. 
 
9. (Ita 2005) Seja D = R - {1} e f : D  D uma função dada por f(x) = (x + 1)/(x - 1). 
Considere as afirmações: 
 
I - f é injetiva e sobrejetiva. 
II - f é injetiva, mas não sobrejetiva. 
III - f(x) + f(1/x) = 0, para todo x ∈ D, x ≠ 0. 
IV - f(x) . f(-x) = 1, para todo x ∈ D. 
 
Então, são verdadeiras 
a) apenas I e III. 
b) apenas I e IV. 
c) apenas II e III. 
 
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d) apenas I, III e IV. 
e) apenas II, III e IV. 
 
10. (Ita 2004) Sejam as funções f e g definidas em IR por f(x) = x
2
 + áx e g(x)= - (x
2
 + âx), em 
que á e â são números reais. Considere que estas funções são tais que 
 
Então, a soma de todos os valores de x para os quais (f o g) (x) = 0 é igual a 
a) 0 
b) 2 
c) 4 
d) 6 
e) 8 
 
11. (Ita 2003) Mostre que toda função f: IR / {0} IR, satisfazendo f(xy) = f(x) + f(y) em todo 
seu domínio, é par. 
 
12. (Ita 2002) Sejam a, b, c reais não-nulos e distintos, c > 0. Sendo par a função dada por 
 
f(x) = (ax + b)/(x + c), -c < x < c, 
 
então f(x), para -c < x < c, é constante e igual a 
a) a + b. 
b) a + c. 
c) c. 
d) b. 
e) a. 
 
13. (Ita 2000) Sejam f, g: IR IR definidas por f(x)=x
3
 e g(x)=10
a
 sendo a=3cos5x. Podemos 
afirmar que 
a) f é injetora e par e g é ímpar. 
b) g é sobrejetora e (g o f) é par. 
c) f é bijetora e (g o f) é ímpar. 
d) g é par e (g o f) é ímpar. 
e) f é ímpar e (g o f) é par. 
 
14. (Ita 2000) Considere f:IR IR definida por f(x)=2sen3x-cos[(x-ð)/2]. 
Sobre f podemos afirmar que: 
. 
a) é uma função par. 
b) é uma função ímpar e periódica de período fundamental 4ð. 
c) é uma função ímpar e periódica de período fundamental 4ð/3. 
d) é uma função periódica de período fundamental 2ð. 
e) não é par, não é ímpar e não é periódica. 
 
 
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15. (Ita 1999) Sejam f, g, h: IR IR funções tais que a função composta h o g o f:IR IR é a 
função identidade. Considere as afirmações: 
 
I - A função h é sobrejetora. 
II - Se x0 ∈ IR é tal que f(x0) = 0, então f(x) ≠ 0, para todo x ∈ IR com x ≠ x0. 
III - A equação h(x) = 0 tem solução em IR. 
 
Então: 
a) Apenas a afirmação (I) é verdadeira. 
b) Apenas a afirmação (II) é verdadeira. 
c) Apenas a afirmação (III) é verdadeira. 
d) Todas as afirmações são verdadeiras. 
e) Todas as afirmações são falsas. 
 
16. (Ita 1999) Considere as funções f e g definidas por f(x)=x-(2/x), para x≠0 e g(x)=x/(x+1), 
para x≠-1. O conjunto de todas as soluções da inequação 
 
 (g o f) (x) < g(x) 
 
é: 
a) [1, +∞[ 
b) ]-∞, -2[ 
c) [-2, -1[ 
d) ]-1, 1[ 
e) ]-2, -1[ ⋃ ] 1, +∞[ 
 
17. (Ita 1998) Seja f: IR IR a função definida por f(x) = -3a
x
, onde a é um número real, 0 < a 
< 1. 
 
Sobre as afirmações: 
 
(I) f(x+y) = f(x) f(y), para todo x, y, ∈ IR. 
(II) f é bijetora. 
(III) f é crescente e f ( ] 0, + ∞ [ ) = ] -3,0 [. 
 
Podemos concluir que: 
a) Todas as afirmações são falsas. 
b) Todas as afirmações são verdadeiras. 
c) Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras. 
d) Apenas a afirmação (II) é verdadeira. 
e) Apenas a afirmação (III) é verdadeira. 
 
18. (Ita 1998) Sejam as funções f: IR  IR e g: A ⊂ IR  IR, tais que f(x) = x
2
 - 9 e (fog) (x) = 
x - 6, em seus respectivos domínios. Então, o domínio A da função g é: 
a) [ - 3, + ∞[ 
b) IR 
c) [ - 5, + ∞[ 
d) ] - ∞, - 1 [ ⋃ [ 3, + ∞[ 
e) ] - ∞, 6 [ 
 
19. (Ita 1998) Seja f: IR IR a função definida por f(x) = 2sen 2x - cos 2x. 
Então: 
a) f é ímpar e periódica de período ð. 
b) f é par e periódica de período ð/2. 
c) f não é par nem ímpar e é periódica de período ð. 
d) f não é par e é periódica de período ð/4. 
e) f não é ímpar e não é periódica. 
 
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20. (Ita 1997) Se Q e I representam, respectivamente, o conjunto dos números racionais e o 
conjunto dos números irracionais, considere as funções f, g: IR IR definidas por 
 
f(x) =
0, se x Q
1, se x I



 
 
 
g(x) =
1, se x Q
0, se x I



 
 
 
Seja J a imagem da função composta f o g: IR IR. 
Podemos afirmar que 
 
a) J = IR 
b) J = Q 
c) J = {0} 
d) J = {1} 
e) J = {0, 1} 
 
21. (Ita 1997) Sejam f, g : IR IR funções tais que 
 
g(x) = 1 - x e f(x) + 2f(2 - x) = (x - 1)
3
, para todo x ∈ IR. Então f[g(x)] é igual a 
a) (x - 1)
3
 
b) (1 - x)
3
 
c) x
3
 
d) x 
e) 2 - x 
 
22. (Ita 1996) Seja f: IR  IR definida por 
 
f(x) = 
2
3x 3, x 0 
x 4x 3, x 0
  



  
 
 
Então: 
 
a) f é bijetora e (f o f)(
2
3

) = f
-1
(21). 
b) f é bijetora e (f o f)(
2
3

) = f
-1
(99). 
c) f é sobrejetora, mas não é injetora. 
d) f é injetora, mas não é sobrejetora. 
e) f é bijetora e (f o f)(
2
3

) = f
-1
(3). 
 
23. (Ita 1996) Considere as funções reais f e g definidas por f(x) = (1+2x)/(1 - x
2
), x ∈ IR - {-1,1} 
e g(x) = x/(1 + 2x), x ∈ IR - {-1/2}. 
 
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O maior subconjunto de IR onde pode ser definida a composta fog, tal que (fog)(x) < 0, é: 
a) ] -1, -1/2[ ⋃ ]-1/3, -1/4[ 
b) ] -∞, -1[ ⋃ ]-1/3, -1/4[ 
c) ] -∞, -1[ ⋃ ]-1/2, 1[ 
d) ]1, ∞[ 
e) ]-1/2, -1/3[ 
 
24. (Ita 1995) Seja a função f: R  R definida por: 
 
onde a > 0 é uma constante. ConsidereK = {y ∈ R; f(y) = 0}. Qual o valor de a, sabendo-se que 
f(ð/2) ∈ K? 
a) ð/4 
b) ð/2 
c) ð 
d) ð
2
/2 
e) ð
2
 
 
 
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Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: 
 [A] 
 
Considerando os conjuntos  X 1 e  Y 1, 2 que satisfazem as condições do enunciado 
(conjuntos finitos com X Y e X Y), pode-se analisar as afirmações: 
 
[I] FALSO. Não existe bijeção f : X Y. 
[II] FALSO. Não existe função injetora g: Y X. 
[III] FALSO. O número de funções injetoras f : X Y não é igual ao número de funções 
sobrejetoras g: Y X. 
 
Resposta da questão 2: 
 [A] 
 
Considerando f(x) = x e g(x) = –x, temos: 
 
(f+g)(x) = 0 que não é injetora e nem sobrejetora, portanto I e II são falsas. 
 
Considerando, agora, f(x) = x
2
 e g(x) = –x
2
 + 2x (não injetoras e não sobrejetoras), temos: 
 
(f+g)(x) = 2x, que é bijetora, logo as afirmações II e IV são falsas. 
 
Portanto, as afirmações acima são todas falsas. 
 
Resposta da questão 3: 
 Vamos considerar f(x) f(y) 
 
x x y y
x x x y y y x y x y x y3 3 3 3 (3 3 ) 3 (3 3 ) 3 (3 3 ) (1 3 ) 0
2 2
 
                 
 
Então x y x y3 3 0 3 3 x y,      logo f(x) é injetora. 
x x
x 2 x3 3f(x) k k (3 ) 1 2 k 3
2

       
2
x 2 x x 22 k 2 k 2(3 ) 2 k 3 1 0 3 k k 1
2
 
         
 
Como x 23 k k 1   sempre existirá um x para qualquer k. Logo f(x) é sobrejetora. Como 
f(x) é injetora e sobrejetora, concluímos que f(x) é bijetora. 
 
Calculando a inversa x 2 2 1 23 33 x x 1 x log (x x 1) f (x) log (x x 1).
           
 
Resposta da questão 4: 
 [D] 
 
I. f(-x).g(-x) = - f(x).g(x) (função ímpar) 
II.f(g(-x)) = f(-g(x)) = f(g(x)) ( função par) 
III.g(f(-x)) = g(f(x)) ( função par) 
 
Apenas I e II estão corretas. 
 
Resposta da questão 5: 
 [C] 
 
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Resposta da questão 6: 
 h(x) = (1/2) ℓn (x
4
 + x
2
 + 1) e g(x) = (1/2) ℓn [(x
2
 + x + 1)/(x
2
 - x + 1)] 
 
Resposta da questão 7: 
 
1
2x, 0 x
2
f(x)
1
2x 1, x 1
2

 
 
   

 
 
1
2x 1, x 0
1 2
f x
12
2x, 0 x
2

    
   
    

 
 
Temos que: 
 
1 1
f x , se x 0
2 2
g(x)
1 1
1 f x , se 0 x
2 2
  
    
  
 
        
 
 
1
2x 1, se x 0
2
g(x)
1
2x 1, se 0 x
2

   
 
   

 
 
Como g(x) g( x),  
1 1
x , ,
2 2
 
   
 
 então g é par. 
 
Resposta da questão 8: 
 [B] 
 
Resposta da questão 9: 
 [A] 
 
Resposta da questão 10: 
 [D] 
 
Resposta da questão 11: 
 1) x = z e y = z  f(z
2
) = f(z) + f(z)  f(z
2
) = 2f(z) 
 
2) x = - z e y = - z  f(z
2
) = f(- z) + f(- z)  f(z
2
) = 2f(-z) 
Logo, f(z
2
) = 2 f(z) = 2 f(-z), ∀z ∈ IR / {0}  f(-z) = f(z), ∀z ∈ IR / {0}  
f é par, ∀z ∈ IR / {0} 
 
Resposta da questão 12: 
 [E] 
 
Resposta da questão 13: 
 [E] 
 
Resposta da questão 14: 
 [B] 
 
Resposta da questão 15: 
 [D] 
 
27/06/2017 10:14 pag.9 
 
Resposta da questão 16: 
 [E] 
 
Resposta da questão 17: 
 [E] 
 
Resposta da questão 18: 
 [A] 
 
Resposta da questão 19: 
 [C] 
 
Resposta da questão 20: 
 [C] 
 
Resposta da questão 21: 
 [C] 
 
Resposta da questão 22: 
 [B] 
 
Resposta da questão 23: 
 [A] 
 
Resposta da questão 24: 
 [D] 
 
 
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Resumo das questões selecionadas nesta atividade 
 
Data de elaboração: 26/06/2017 às 16:48 
Nome do arquivo: lista função ita 
 
 
Legenda: 
Q/Prova = número da questão na prova 
Q/DB = número da questão no banco de dados do SuperPro® 
 
 
Q/prova Q/DB Grau/Dif. Matéria Fonte Tipo 
 
 
1 ............. 166661 ..... Elevada ......... Matemática ... Ita/2017 ................................ Múltipla escolha 
 
2 ............. 123567 ..... Elevada ......... Matemática ... Ita/2013 ................................ Múltipla escolha 
 
3 ............. 91450 ....... Elevada ......... Matemática ... Ita/2010 ................................ Analítica 
 
4 ............. 91433 ....... Média ............ Matemática ... Ita/2010 ................................ Múltipla escolha 
 
5 ............. 79928 ....... Não definida .. Matemática ... Ita/2008 ................................ Múltipla escolha 
 
6 ............. 79936 ....... Não definida .. Matemática ... Ita/2008 ................................ Analítica 
 
7 ............. 62861 ....... Não definida .. Matemática ... Ita/2006 ................................ Analítica 
 
8 ............. 56782 ....... Não definida .. Matemática ... Ita/2005 ................................ Múltipla escolha 
 
9 ............. 56835 ....... Não definida .. Matemática ... Ita/2005 ................................ Múltipla escolha 
 
10 ........... 56836 ....... Não definida .. Matemática ... Ita/2004 ................................ Múltipla escolha 
 
11 ........... 47765 ....... Não definida .. Matemática ... Ita/2003 ................................ Analítica 
 
12 ........... 40077 ....... Não definida .. Matemática ... Ita/2002 ................................ Múltipla escolha 
 
13 ........... 33562 ....... Não definida .. Matemática ... Ita/2000 ................................ Múltipla escolha 
 
14 ........... 33570 ....... Não definida .. Matemática ... Ita/2000 ................................ Múltipla escolha 
 
15 ........... 30093 ....... Não definida .. Matemática ... Ita/1999 ................................ Múltipla escolha 
 
16 ........... 30109 ....... Não definida .. Matemática ... Ita/1999 ................................ Múltipla escolha 
 
17 ........... 23703 ....... Não definida .. Matemática ... Ita/1998 ................................ Múltipla escolha 
 
18 ........... 23704 ....... Não definida .. Matemática ... Ita/1998 ................................ Múltipla escolha 
 
19 ........... 23693 ....... Não definida .. Matemática ... Ita/1998 ................................ Múltipla escolha 
 
20 ........... 23470 ....... Não definida .. Matemática ... Ita/1997 ................................ Múltipla escolha 
 
21 ........... 23478 ....... Não definida .. Matemática ... Ita/1997 ................................ Múltipla escolha 
 
22 ........... 7131 ......... Não definida .. Matemática ... Ita/1996 ................................ Múltipla escolha 
 
23 ........... 7130 ......... Média ............ Matemática ... Ita/1996 ................................ Múltipla escolha 
 
24 ........... 836 ........... Não definida .. Matemática ... Ita/1995 ................................ Múltipla escolha 
 
27/06/2017 10:14 pag.11