cálculo de funções de varias variáveis

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· Pergunta 1
0 em 1 pontos
	
	
	
	O vetor gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais de uma função, isto é, dada a função   o vetor gradiente é o vetor  . Dado um ponto  , o vetor gradiente da função   no ponto P é obtido por meio da seguinte expressão  .
 
Assinale a alternativa que corresponde ao vetor gradiente da função   no ponto  .
 
 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
	Resposta Correta:
	 
	Feedback da resposta:
	Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. De modo simplificado, temos que o vetor gradiente da função  é dado por , sendo suas derivadas parciais dadas por  e . Assim, .
	
	
	
· Pergunta 2
1 em 1 pontos
	
	
	
	Esboçar o gráfico de uma função de duas variáveis sem o auxílio de um software pode ser trabalhoso às vezes. Para contornar esse problema, outro recurso que podemos utilizar para visualizar geometricamente o comportamento da função é o conceito de curva de nível.
 
A respeito das curvas de nível, assinale a alternativa correta.
 
 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
Uma curva de nível é um subconjunto do espaço .
	Resposta Correta:
	 
Uma curva de nível é um subconjunto do espaço .
	Feedback da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta. O gráfico de uma função de duas variáveis é um conjunto de pontos do espaço , para poder visualizar uma representação geométrica da função no plano  recorremos ao uso das curvas de nível, que são curvas planas do plano . Portanto, uma curva de nível é um subconjunto do plano .
	
	
	
· Pergunta 3
1 em 1 pontos
	
	
	
	Derivar funções compostas é um processo que requer muito cuidado em cada etapa. Esse tipo de função é derivada fazendo o uso da chamada regra da cadeia. No caso de funções de duas variáveis, temos que observar quais são as variáveis independentes, as variáveis intermediárias e a variável dependente. Sabemos que podemos escrever  . Se   e   e  .
 
Com base no exposto, assinale a alternativa correta.
 
 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
As variáveis  e  são as variáveis independentes.
	Resposta Correta:
	 
As variáveis  e  são as variáveis independentes.
	Feedback da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta. Temos que a variável  depende das variáveis  e , pois . No entanto, as variáveis  e  dependem das variáveis  e  e essas últimas não possuem dependência de nenhuma outra variável. Dessa forma, concluímos que as variáveis  e  são as variáveis independentes.
	
	
	
· Pergunta 4
1 em 1 pontos
	
	
	
	A lei dos gases ideais é uma função que relaciona as grandezas de temperatura (T), pressão (P) e volume (V) de um gás ideal. Expressando essa lei como a função  , onde   é uma constante dada, considere um gás com o volume de   sob uma pressão de  . O volume está aumentando a uma taxa de   e a pressão está decrescendo a uma taxa de   por segundo.
 
Assinale a alternativa que representa a taxa de variação da temperatura considerando as informações anteriores. (Use  ).
 
 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
A temperatura está diminuindo a uma taxa de  por segundo no instante dado.
	Resposta Correta:
	 
A temperatura está diminuindo a uma taxa de  por segundo no instante dado.
	Feedback da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta. Pela lei dos gases ideais , onde , temos . Pelas informações do enunciado, temos , ,  e . Derivando a função  com relação ao tempo , pela regra da cadeia, temos: , onde  e . Assim, . Portanto, a temperatura está diminuindo a uma taxa de  por segundo no instante dado.
	
	
	
· Pergunta 5
1 em 1 pontos
	
	
	
	O conceito de derivada direcional pode ser estendido para funções de três variáveis. Nesse caso, a mudança no cálculo se dá pela quantidade de componentes que o vetor gradiente e o vetor que dá a direção apresentam, nesse caso, esses vetores possuem três componentes. Considere a seguinte situação: O potencial elétrico num ponto   do espaço tridimensional é expresso pela função  .
Assinale a alternativa que corresponde à direção e ao sentido em que se dá a maior taxa de variação do potencial elétrico   no ponto  .
 
 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
	Resposta Correta:
	 
	Feedback da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta. A maior taxa de variação do potencial elétrico ocorre na direção e no sentido do vetor gradiente calculado no ponto P, isto é, Dado que o vetor gradiente no ponto P(2,2,-1) é  e sua norma é , temos que a direção procurada é .
	
	
	
· Pergunta 6
0 em 1 pontos
	
	
	
	Toda função possui uma característica particular. No caso das funções de duas variáveis   temos que o domínio desse tipo de função pode ser dado como o conjunto de pares ordenados   pertencentes ao plano   que satisfazem a lei de formação da função  . Assim, para determinar o domínio da função   precisamos verificar se não há restrições para os valores que   e   podem assumir.
 
Com relação ao domínio de funções, assinale a alternativa correta.
 
 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
O domínio da função  é o conjunto .
	Resposta Correta:
	 
O domínio da função  é o conjunto .
	Feedback da resposta:
	Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. Avaliando as restrições de cada função, obtemos seus respectivos domínios:
- Função: . Restrição: . Domínio: .
- Função: . Restrição: . Domínio: .
- Função: . Restrição: nenhuma. Domínio: .
- Função: . Restrição: . Domínio: .
	
	
	
· Pergunta 7
1 em 1 pontos
	
	
	
	Considere a função de duas variáveis  , tal que as variáveis   e   são funções da variável  , isto é,   e  . A derivada da função   com relação à variável   é obtida por meio da regra da cadeia expressa por  . Pela regra da cadeia, podemos notar que precisamos das derivadas parciais da função   com relação às variáveis   e   e precisamos das derivadas das funções   e   com relação à variável  .
 
A partir dessa informação, assinale a alternativa que representa a derivada da função   com relação à variável  , sabendo que   e  .
 
 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
	Resposta Correta:
	 
	Feedback da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta. Temos as seguintes derivadas: , ,  e . Aplicando a regra da cadeia, obtemos a expressão da derivada desejada: . Trocando as expressões de  e  temos .
	
	
	
· Pergunta 8
1 em 1 pontos
	
	
	
	A direção e o sentido de maior decrescimento de uma função em um dado ponto é dada pelo vetor oposto ao vetor gradiente, visto que esse representa a direção e o sentido de maior crescimento. Sabendo disso, suponha que a função  represente uma distribuição de temperatura no plano  (suponha  medida em graus Celsius,  e  medidos em ).
 
Dado o ponto , assinale a alternativa que corresponde à direção de maior decrescimento da temperatura e sua taxa de variação mínima.
 
 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
Direção  e taxa mínima de .
	Resposta Correta:
	 
Direção  e taxa mínima de .
	Feedback da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta. A direção de maior decrescimento é oposta ao vetor gradiente no ponto considerado, isto é . Já a variação de temperatura é mínima em . (O sinal negativo apenas indica que a temperatura é mínima).
	
	
	
· Pergunta 9
1 em 1 pontos
	
	
	
	Para determinar a equação de um plano, precisamos conhecer um vetor normal a ele e um ponto pertencente a ele. Dado que o vetor gradiente é perpendicular à curva de nível   que passa por um P, para determinar a equação de um plano tangente à função   no ponto P, precisamos conhecer o vetor gradiente da função nesse ponto. Dessa forma, a equação do plano tangente pode ser escrita como  .
A partir dessas considerações, assinale a alternativa que representa a equação do plano tangente à função   no ponto P(1,-1).
 
 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
	Resposta Correta:
	 
	Feedback da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função  são:  e .  Calculando o valor da função e suas derivadas parciais no ponto P(1,-1) temos: ,  e . Assim, trocando essas informações na equação do planoobtemos
.
	
	
	
· Pergunta 10
1 em 1 pontos
	
	
	
	O gráfico de uma função de duas variáveis é um conjunto do espaço  , enquanto que o seu domínio é uma região do plano  . Para determinar o domínio da função de duas variáveis  , precisamos verificar se não há restrições para os valores que   e   podem assumir.
Com relação ao domínio de uma função de duas variáveis, analise as afirmativas a seguir.
 
I. O domínio da função   corresponde à região a seguir.
 
II. O domínio da função   corresponde à região a seguir.
 
III. O domínio da função   corresponde à região a seguir.
 
IV. O domínio da função   corresponde à região a seguir.
 
Assinale a alternativa que apresenta a(s) afirmativa(s) correta(s).
 
 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
I, apenas.
	Resposta Correta:
	 
I, apenas.
	Feedback da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta. Verificando as restrições para a função, temos que apenas a afirmativa I é verdadeira, pois:
Afirmativa I: Correta. A função  tem as seguintes restrições  e , portanto, o domínio da função é o conjunto , que corresponde à região dada na afirmativa.