Integração por substituições trigonométricas

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Integração por substituição trigonométrica. 
Existem situações nas quais integrais da forma duua .22  , 
duua .22  ou duau .
22
  , em que a>0, aparecem. O cálculo dessas 
integrais é geralmente realizado por meio de substituições trigonométricas 
adequadas, que levarão a uma integral que envolve funções trigonométricas. 
A observação das figuras a seguir, nos leva ao entendimento dessas substituições. 
a) 
 
222 yua  
22 uay  
h
oc.
sin  
a
u
sin 
Logo: sinau  
 
 
 
 
 
 
b) 
 
22 auy  
ac
oc
.
.
tan  
a
u
tan 
Logo: tanau  
 
c) 
 
22 auy  
h
ac.
cos  
cos
a
u  
Logo: secau  
 
 
 
 
 
 
 
Em síntese: 
Integral Substituição Restrição 
duua .22 
duua .22  
duau .22  
sinau  
 
 
tanau  
 
 
secau  
22



 
 
 
22



 
 
2
0

  ou 
2
3
  
 
 
 
 
Exemplo 1. 
Calcular dx
x
x
.
4
2
2


 
sin2x , 

cos2
d
dx
,  ddx .cos2 
= 


d.cos2.
)sin2(
)sin2(4
2
2


 
= 


d.cos2.
sin4
cos
2
2
 
= 


d 2
2
sin
cos
 
=  d.cot 2 
=    d).1(csc
2 
)cot( 2 C  , Voltando a variável original. 
2
sin
x
 ,
2
24
.
.
cot
x
x
oc
ac 
 . 
= C
x
x
x
dx
x
x









 
 2
sin
4
.
4 1
2
2
2
2
 
 
Exemplo 02. Calcular dxx .32  
tan3x , 

2sec3
d
dx
,  ddx .sec3 2 
=    d.sec3.3tan3 22  
=  d22 sec3.3tan3  
=  d22 sec3.)1(tan3  
= Cd   tansecln2
3
tan.sec
2
3
sec.3 3 
Voltando à variável original: 
3
tan
x
 , 
3
3
sec
2 

x
 
= C
xxxx




33
3
ln
2
3
3
.
3
3
2
3 22
 
= C
xxxx




33
3
ln
2
3
2
3 22
 
= Cxx
xx


3ln
2
3
2
3 2
2
 
Exemplo 03 Calcular .
162

x
dx
 sec4x
 
 

tan.sec4
d
dx
 
 ddx .tan.sec4
 
= .
16)sec4(
.tan.sec4
2 
 d
= .
16sec16
.tan.sec4
2 
 d
 
= .
)1(sec16
.tan.sec4
2 
 d
 = .
tan4
.tan.sec4
2 
 d
 
= .
tan4
.tan.sec4
 
 d
= Cd   tansecln.sec
 
Voltando à variável original x 
4
sec
x

,
4
16
tan
2 

x

 
= C
xx
x
dx




 4
16
4
ln.
16
2
2
 
= Cxx
x
dx


 16ln.
16
2
2
 
 
 
Exemplo 04 .
923

xx
dx
 sec3x 
 

sec3
d
dx
,
 ddx .tan.sec3
 
= .
9)sec3()sec3(
.tan.sec3
23 
 d
= .
9sec9sec9
.tan.sec3
23 
 d
 
= .
)1(sec9sec9
.tan.sec3
23 
 d
= .
tan3.sec9
.tan.sec3
23 
 d
 
= .
sec27
1
2 
d
=   d.cos27
1 2
 
= 



d.
2
2cos1
27
1
 = C





  2sin
2
1
54
1
 
Voltando para variável original 
=   C  cos.sin
54
1
 
= C
xx
xx








 

3
.
9
3
sin
54
1 21
 
= C
x
xx








 

2
2
1 93
3
sin
54
1
 
 
Exemplo 05 
Calcular .
)6(
2
1
2
3
2

 x
dx
 
= .
)6(
2
1
32  x
dx
 sin.6x
 
 

cos.6
d
dx
 
  ddx .cos.6
 
= .
)sin66(
.cos.6
2
1
32  
 d
 
=
 
.
)sin1(6
.cos.6
2
1
32

 
 d
 
=
 
.
)sin1(66
.cos.6
2
1
32

 
 d
 
= .
cos6
.cos
2
1
6 
 d
 
= .
cos6
.cos
2
1
3 
 d
 
= .
cos6
1
2
1
2 
d
 
= ..sec
6
1
2
1
2
  d
 
=
2
1
tan
6
1







 
=
30
525
30
5
6
2
16
1
6
1
26
2
6
1
66
1
22
2
1
2





















 x
x