respostas_ ATIVIDADE 2 (A2) AIM1832 _

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13/04/2020 Revisar envio do teste: ATIVIDADE 2 (A2) – AIM1832 ...
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Revisar envio do teste: ATIVIDADE 2 (A2)
AIM1832 CALCULO APLICADO VARIAS VARIAVEIS EAD - 202010.112856.05 Unidade 2
Revisar envio do teste: ATIVIDADE 2 (A2) 
Usuário LUCIANO none ALVES DA SILVA
Curso AIM1832 CALCULO APLICADO VARIAS VARIAVEIS EAD -
202010.112856.05
Teste ATIVIDADE 2 (A2)
Iniciado 18/03/20 17:53
Enviado 13/04/20 12:20
Status Completada
Resultado da
tentativa
9 em 10 pontos 
Tempo decorrido 618 horas, 26 minutos
Resultados exibidos Respostas enviadas, Respostas corretas, Comentários
Pergunta 1
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da
resposta:
O vetor gradiente nos informa a direção na qual a função cresce mais rapidamente
em um dado ponto, sendo que a taxa máxima de aumento é definida como a norma
do vetor gradiente nesse ponto. Considerando a densidade , medida em
 , em todos os pontos de uma placa retangular no plano dada por
 , assinale a alternativa que corresponde à taxa máxima de
aumento da densidade no ponto .
 
 
A taxa máxima de aumento da densidade é .
A taxa máxima de aumento da densidade é .
Resposta correta. A alternativa está correta. A taxa máxima de aumento
da densidade, conforme o enunciado nos traz, é a norma do vetor
gradiente no ponto considerado. Dado que o vetor gradiente no ponto
P(1,2) é e sua norma é
, concluímos que a taxa máxima de
aumento da densidade é .
Pergunta 2
Para determinar a equação de um plano, precisamos conhecer um vetor normal a ele
e um ponto pertencente a ele. Dado que o vetor gradiente é perpendicular à curva de
Minha Área
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LUCIANO ALVES DA SILVA
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resposta:
nível que passa por um P, para determinar a equação de um plano
tangente à função no ponto P, precisamos conhecer o vetor gradiente da
função nesse ponto. Dessa forma, a equação do plano tangente pode ser escrita
como . 
A partir dessas considerações, assinale a alternativa que representa a equação do
plano tangente à função no ponto P(1,-1).
 
 
Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da
função são: e . Calculando o valor da
função e suas derivadas parciais no ponto P(1,-1) temos: ,
 e . Assim, trocando essas informações
na equação do plano
 obtemos 
.
Pergunta 3
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da
resposta:
Considere a função de duas variáveis , tal que as variáveis e são
funções das variáveis e , isto é, e . A derivada da
função com relação à variável é obtida por meio da regra da
cadeia expressa por . Já a derivada de com relação à variável 
 é obtida por meio da expressão . 
 
A partir dessa informação, assinale a alternativa que representa a derivada da função
 com relação às variáveis e , sabendo que e
 . 
 
 
 e 
 e 
Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. Temos as
seguintes derivadas: e
. Trocando essas expressões na regra da cadeia, temos:
 e
.
Pergunta 4
O domínio de uma função corresponde a todos os valores que, ao serem trocados no
lugar da variável (ou variáveis), produzem um resultado válido. Alguns exemplos: em
funções raízes, o domínio corresponde a todos os valores que não geram um valor
negativo dentro da raiz, já no caso de funções quocientes, o domínio corresponde a
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resposta:
todos os valores que não zeraram o denominador. 
 
Com base nessas informações, analise as afirmativas a seguir.
 
I - O domínio da função é o conjunto
 .
II - O domínio da função é o conjunto
 .
III - O domínio da função é o conjunto
 .
IV - O domínio da função é o conjunto
 .
 
 
 
I, IV
I, IV
Resposta correta. A alternativa está correta. Avaliando as restrições
de cada função, concluímos que: 
Afirmativa I: Correta. O domínio da função 
 é o conjunto . 
Afirmativa IV: Correta. O domínio da função é o
conjunto .
Pergunta 5
Resposta
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Resposta
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resposta:
Toda função possui uma característica particular. No caso das funções de duas
variáveis temos que o domínio desse tipo de função pode ser dado como o
conjunto de pares ordenados pertencentes ao plano que satisfazem a lei
de formação da função . Assim, para determinar o domínio da função 
 precisamos verificar se não há restrições para os valores que e podem assumir.
 
Com relação ao domínio de funções, assinale a alternativa correta.
 
 
O domínio da função é o conjunto
.
O domínio da função é o conjunto 
.
Resposta correta. A alternativa está correta. Temos as seguintes
restrições para os valores de e : 
(I) A expressão dentro da raiz deve ser não negativa, isto é,
 
(II) A expressão do denominador deve ser não nula, isto é,
 
Portanto, a interseção dos conjuntos (I) e (II) resulta em .
Logo, .
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Pergunta 6
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resposta:
A derivada direcional é uma taxa de variação que nos diz qual é o valor de aumento
ou decrescimento da função em uma dada direção a partir de um ponto. Considere,
então, a seguinte situação: A temperatura em cada ponto de uma placa retangular é
determinada por meio da função . 
 
Assinale a alternativa que representa a taxa de variação da temperatura no ponto
 na direção do vetor .
 
 
A temperatura está aumentando à taxa de aproximadamente
9,93 unidades.
A temperatura está aumentando à taxa de aproximadamente
9,93 unidades.
Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da
função e seu vetor gradiente são: , e
. Assim, dado o ponto (3,4), temos
. O vetor é unitário, então a derivada
direcional irá nos fornecer a taxa de variação desejada:
.
Pergunta 7
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da
resposta:
Derivar funções compostas é um processo que requer muito cuidado em cada etapa.
Esse tipo de função é derivada fazendo o uso da chamada regra da cadeia. No caso
de funções de duas variáveis, temos que observar quais são as variáveis
independentes, as variáveis intermediárias e a variável dependente. Sabemos que
podemos escrever . Se e e
 .
 
Com base no exposto, assinale a alternativa correta. 
 
 
As variáveis e são as variáveis independentes.
As variáveis e são as variáveis independentes.
Resposta correta. A alternativa está correta. Temos que a variável 
 depende das variáveis e , pois . No entanto, as variáveis
 e dependem das variáveis e e essas últimas não possuem
dependência de nenhuma outra variável. Dessa forma, concluímos que
as variáveis e são as variáveis independentes.
Pergunta 8
As derivadas parciais com relação a e a fornecem em cada uma delas a
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resposta:
inclinação da reta tangente a uma função de duas variáveis quando fixadas
as direções que correspondem a cada um desses eixos. No entanto, é possível,
também, determinar a derivada da função com relação a qualquer direção
diferente das direções paralelas aos eixos coordenados, desde que essa direção seja
fornecida por um vetor unitário. 
 
Com base nisso, conceituamos a ideia de derivada direcional que pode ser expressa
por . Assinale a alternativa que corresponde à derivada
direcional da função no ponto na direção do vetor .
 
 
Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da
função são: e , que implicam que o vetor
gradiente seja . Calculando o vetor gradiente no ponto
P, temos que . Para calcular a derivada direcional,
necessitamos de um vetor unitário, assim, tome
. Logo, a derivada direcional
procurada é .
Pergunta 9
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da
resposta:
Considere a função de duas variáveis , tal que as variáveis e são
funções da variável , isto é, e . A derivada da função com
relação à variável é obtida por meio da regra da cadeia expressa por
 . Pela regra da cadeia, podemos notar que precisamos das
derivadas parciais da função com relação às variáveis e e precisamos das
derivadas das funções e com relação à variável . 
 
A partir dessa informação, assinale a alternativa que representa a derivada da função
 com relação à variável , sabendo que e
 . 
 
 
Resposta correta. A alternativa está correta. Temos as seguintes
derivadas: , , e .
Aplicando a regra da cadeia, obtemos a expressão da derivada
desejada: .
Trocando as expressões de e temos
.
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Segunda-feira, 13 de Abril de 2020 12h20min31s BRT
Pergunta 10
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resposta:
O conceito de derivada direcional pode ser estendido para funções de três variáveis.
Nesse caso, a mudança no cálculo se dá pela quantidade de componentes que o
vetor gradiente e o vetor que dá a direção apresentam, nesse caso, esses vetores
possuem três componentes. Considere a seguinte situação: O potencial elétrico num
ponto do espaço tridimensional é expresso pela função
 . 
Assinale a alternativa que corresponde à direção e ao sentido em que se dá a maior
taxa de variação do potencial elétrico no ponto .
 
 
Resposta correta. A alternativa está correta. A maior taxa de variação do
potencial elétrico ocorre na direção e no sentido do vetor gradiente
calculado no ponto P, isto é, Dado que o vetor gradiente
no ponto P(2,2,-1) é e sua norma é
, temos que a direção
procurada é .
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