conversão de taxas de juros regime de capitalização compostos

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Conversão de Taxas de Juros no Regime de 
Capitalização Composto 
 
Frequentemente escuta-se pessoas reclamando que a taxa estipulada em um determinado 
acordo não condiz com a taxa efetivamente aplicada e a grande maioria se sente 
prejudicada e injustiçada. 
 
Algumas vezes, acordos são levados à justiça e tempo e dinheiro são gastos. Estas 
diferenças são devidas ao fato de o regime praticado no mercado ser o composto, mas a 
forma de conversão das taxas utilizada pelas pessoas ser o simples, o que ocasiona 
distorções. 
 
Para converter corretamente as taxas de juros no regime de capitalização composto é 
necessário conhecer alguns conceitos importantes: taxas nominais, efetivas, 
proporcionais e a equivalência entre as taxas de juros. 
 
Seguem as definições: 
 
Taxas equivalentes são aquelas que, no regime de juros compostos, ao serem aplicadas 
a um mesmo principal, durante um mesmo prazo, produzem um mesmo montante. 
O regime de juros compostos é a capitalização do dinheiro ao longo do tempo, uma 
característica de um sistema exponencial 
 
VF = VP(1 + i)n 
 
Por isso, a conversão de taxas de juros para diferentes períodos de tempo deve ser feita 
através de uma equação exponencial. 
 
Exemplo: ( 1 + ia ) = ( 1 + is )
2 = ( 1 + it )
4 = ( 1 + im)
12 = ( 1 + id)
360. 
 
Portanto, para encontrar-se uma fórmula geral que transforme uma taxa de juros 
compostos referente à um determinado período em outra taxa referente a outro período é 
necessário que ambas produzem o mesmo montante a partir do mesmo principal. 
 
Segue as fórmulas gerais: 
 
𝑖 = (1 + 𝑖𝑒)
1
𝑛⁄ − 1 
 
e 
Utilizado em redução 
do tempo 
 
𝑖𝑒 = (1 + 𝑖)
𝑛 − 1 
 
 
 
Taxa efetiva é quando a unidade de tempo da taxa coincide com a unidade de tempo dos 
períodos de capitalização. É a taxa que pode ser utilizada sem restrição na resolução de 
um problema financeiro. 
 
 
 
Taxa Nominal é quando a unidade de referência de seu tempo não coincide com a 
unidade de tempo dos períodos de capitalização. Esta taxa não pode ser aplicada 
diretamente à resolução de um problema de juros compostos, pois, é uma taxa referencial 
que não incorpora capitalizações. 
A taxa nominal tem uma taxa efetiva implícita, que é obtida através de taxas 
proporcionais, a juros simples, conforme indicado abaixo. 
 
Taxas proporcionais são taxas obtidas de forma linear através de uma multiplicação ou 
divisão. São as taxas típicas do regime de juros simples. 
 
 
Exemplo: 
 
Taxas Equivalentes e Taxas Efetivas 
 
João necessita de um empréstimo de $ 10.000 durante 1 ano. Tem as seguintes opções: o 
Banco A cobra uma taxa de 10% ao mês e o Banco B cobra uma taxa de 150% ao ano. 
 
Banco A 
 
Se (usando o raciocínio de juros simples) João fizer 10% * 12 = 120% e aplicar irá obter: 
 
1
VF = 10.000 ( 2,2 )
VF = 10.000 * 2,2
VF = $ 22.000,00
niVPVF )1(* +=
 
 
Utilizado em aumento 
do tempo 
 
O Banco cobrou 10% ao mês. 
 
12
VF = 10.000 ( 1,1 )
VF = 10.000 * 3,1
VF = $ 31.384,28
niVPVF )1(* +=
 
Portanto 10% ao mês não é igual a 120% ao ano. Ou seja, as taxas não são equivalentes. 
 
 
 Banco B 
 
O Banco B cobra uma taxa de 150% ao ano. 
 
1
VF = 10.000 ( 2,5 )
VF = 10.000 * 2,5
VF = $ 25.000,00
niVPVF )1(* +=
 
Como o Banco B cobra um montante menor, João deve escolhe-lo para solicitar o 
empréstimo. 
Comparando as taxas para a tomada de decisão acima. A correta conversão das taxas deve 
ser efetuada pela equivalência. Isto é: 
Banco A ➔ taxa ao mês para taxa ao ano. 
12 
i = ( 1,10 ) — 1
i = 213,8428% a.a.
 
 
10% ao mês é 
equivalente à 
213,8428% ao ano. 
 
10% a.m. e 
213,8428% a.a. são 
taxas efetivas. 
 
 
1
VF = 10.000 ( 3,138428 )
VF = 10.000 * 3,138428
VF = $ 31.384,28
niVPVF )1(* +=
 
Banco B ➔ taxa ao ano para taxa ao mês. 
1/ 12
i = ( 2,50 ) — 1
i = 7,9348% a.m.
 
 
 
 
12
VF = 10.000 ( 1,0793484 )
VF = 10.000 * 2,50000
VF = $ 25.000
niVPVF )1(* +=
 
Ao compararmos as taxas de juros no mesmo período de tempo, a conclusão é que o 
Banco B oferece a menor taxa, sendo, portanto, a melhor opção. 
 
Taxa Nominal e Proporcional 
Uma taxa dita nominal, por exemplo, 120% a.a.cm (120% ao ano com capitalização 
mensal) é uma taxa que não pode ser aplicada na resolução de um problema financeiro. 
10% ao mês é 
equivalente à 
213,8428% ao ano. 
 
Ambas as taxas 
fornecem o mesmo 
VF. 
7,9348% ao mês é 
equivalente à 150% ao 
ano. 
 
7,9348% a.m. e 150% 
a.a. são taxas efetivas. 
7,9348% ao mês é 
equivalente à 150% ao 
ano. 
 
Ambas as taxas 
fornecem o mesmo 
VF. 
Para podermos usar é necessário transformá-la de uma taxa nominal em uma taxa efetiva, 
através da proporção de taxas. 
i = 120% a.a.c.m.
Emprest 0 i = 120% = 10% a.m.
12 
 
 
A taxa de 10% ao mês pode ser utilizada e transformada para qualquer outro tempo 
(utilizando a equivalência). A taxa de 120% a.a.c.m. não pode ser usada em hipótese 
nenhuma. 
 
Exercícios 
1. Encontre as taxas mensal, diária e anual equivalentes a taxa de juros compostos 
de 2% a.b. 
Resposta: 0,995049% a.m., 0,03301% a.d., 12,616242% a.a. 
2. Encontre as taxas efetivas mensal e semestral equivalentes a taxa de juros 
compostos de 10% a.s.c.t. 
Resposta: 1,639636% a.m., 10,25% a.s. 
3. Um investidor procurou uma corretora de valores para fazer uma aplicação. A 
corretora ofereceu um investimento à taxa de juros compostos de 8% ao 
quadrimestre e o outro à taxa de juros compostos de 8.1% ao semestre com 
capitalização bimestral. Qual investimento deve ser escolhido? Resposta em mês. 
Resposta: 1,943% a.m., 1,341% a.m. 
4. Um banco oferece dois tipos de empréstimos à taxa de juros compostos: um de 
15% ao trimestre e outro de 22% ao quadrimestre com capitalização bimestral. 
Qual deve ser a alternativa escolhida? Resposta em ano. 
Resposta: 74,90% a.a., 87,04% a.a. 
 
 
 
 
 
10% a.a. é uma taxa efetiva 
e 
10% a.a. é uma taxa proporcional à 
 120% a.a.c.m. 
120% a.a.c.m. 
é uma taxa nominal 
5. Um determinado investidor procurou 3 corretoras de valor para investir seus 
recursos, a juros compostos: 
a. A Corretora A ofereceu a taxa de 9% ao semestre; 
b. A Corretora B ofereceu a taxa de 3% ao bimestre; 
c. A Corretora D ofereceu a taxa de 9,5% ao semestre com capitalização 
trimestral. 
Em qual corretora, ele deve fazer o investimento? (A taxa deve ser levada para 
mês) 
Resposta: 1,45% a.m., 1,49% a.m., 1,56% a.m. 
6. Qual a melhor alternativa de investimento, a juros compostos? (A taxa deve ser 
levada para mês) 
a. Aplicar no Banco A à taxa de 9,7% ao ano com capitalização trimestral; 
b. Aplicar no Banco B à taxa de 4% ao quadrimestre; 
c. Aplicar no Banco C à taxa de 5% ao semestre com capitalização 
bimestral; 
d. Aplicar no Banco D à taxa de 6% ao semestre. 
Resposta: 0,802% a.m., 0,985% a.m., 0,8299% a.m., 0,976% a.m. 
7. João tem 4 oportunidades de empréstimos, a juros compostos. Pode solicitar o 
empréstimo no : (A taxa deve ser levada para ano) 
a. Banco A à taxa de 16% ao trimestre; 
b. Banco B à taxa de 51% ao ano com capitalização quadrimestral; 
c. Banco C à taxa de 11% ao bimestre; 
d. Banco D à taxa de 61% ao ano com capitalização semestral. 
Resposta: 81,0639% a.a., 60,1613% a.a., 87,0415% a.a., 70,3025% a.a.,