Aulas Cap 9 - U Coimbra

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1
Escoamento Potencial Incompressível a Duas Dimensões
Departamento de Engenharia Mecânica
Faculdade de Ciências e TecnologiaFaculdade de Ciências e Tecnologia
Universidade de Coimbra
Luis Adriano Oliveira
Escoam. Pot. Incomp. a Duas Dim. - Introdução 2
V∞
8
1
2
4
2
5
6
5
3 7
8
5
8
2
4
2
5
6 u
y
∂
τ = μ
∂
Ideia-base da Teoria Potencial : ausência de efeitos viscosos, ρ= c.te
Domínio de validade :
- regime de camada limite
- ausência de gradientes de pressão desfavoráveis
- 2-D predominante
Escoam. Pot. Incomp. 2-D - Função de Corrente 3
2-D, ρ= c.te :
u v 0
x y
∂ ∂
+ =
∂ ∂
(condição necessária e suficiente para que udy-vdx seja uma diferencial exacta)
existe uma função ψ (x,y), “ função de corrente ”, tal que :
u v∂ψ ∂ψu v
y x
= = −
∂ ∂
Significado matemático de ψ :g ψ
- Representação alternativa do campo de velocidade:
duas variáveis (u, v) uma única ( ψ ), embora de ordem superior
- Equação da continuidade identicamente satisfeita
Escoam. Pot. Incomp. 2-D - Função de Corrente (cont.) 4
Linha de corrente // velocidade :
Significado físico de ψ :
tedx dy dx dy d 0 c.∂ψ ∂ψ= ⇒ + = ψ = ⇒ ψ =Linha de corrente // velocidade : d dy d c.
u v x y
⇒ ψ ⇒ ψ
∂ ∂
1 2 : superf . de controlo (profund. unit.)− p (p )
( )1ˆ ˆ ˆ ˆˆds dx i dy j n dy i dx j
ds
= + = −
Caudal volúmico elementar que atravessa : ds
( )
ˆ ˆdy i dx jˆ ˆˆdQ V n ds u i v j ds udy vdx dy dx d− ∂ψ ∂ψ= = + = = + = ψ( )dQ V.n ds u i v j ds udy vdx dy dx dds y x= = + = − = + = ψ∂ ∂
Caudal volúmico que atravessa a superfície de controlo entre os pontos 1 e 2 :
2 2
1 2 2 11 1
Q dQ d− = = ψ = ψ − ψ∫ ∫
Escoam. Pot. Incomp. 2-D - Função de Corrente (concl.) 5
Significado físico de ψ (concl.):
O caudal volúmico de fluido que se escoa entre dois pontos é dado 
pela diferença entre os respectivos valores da função de corrente ψ
Dimensões de ψ : L2 T-1 (caudal volúmico por unidade de profundidade do escoam.)
Notas :
- a função de corrente é definida a menos de uma constante arbitrária
- o valor numérico depende, portanto, do ponto O tomado para referência
- o sinal de ψ convenciona-se, aqui, ser positivo quando o escoamento se orienta,
em relação a O, no sentido horário
- duas linhas de corrente não podem intersectar-se, salvo num ponto de estagnação
Escoam. Pot. Incomp. 2-D - Função Potencial de Velocidade 6
Se, além de incompressível, o escoamento 2-D for irrotacional :
v u 0∂ ∂ 0
x y
− =
∂ ∂
(condição necessária e suficiente para que udx+vdy seja uma diferencial exacta)(condição necessária e suficiente para que udx+vdy seja uma diferencial exacta)
existe uma função φ (x,y), “ potencial de velocidade ”, tal que :
u v
x y
∂φ ∂φ
= =
∂ ∂
ou seja :
ˆ ˆV u i v j grad= + = φ
De novo, a representação de um campo vectorial cede lugar à de um escalar,
sem qualquer perda de informação
Escoam. Pot. Incomp. 2-D - relação entre ψ e φ
7
Enquanto representações alternativas de um mesmo campo de velocidade,
função de corrente ψ e potencial de velocidade φ são, necessariamente, interligadas
u v∂φ ∂φ= =
Via respectivas definições :
u v∂ψ ∂ψ= = −
( condições de Riemann-Cauchy )
u v
x y∂ ∂
∂ψ ∂φ ∂ψ ∂φ
= = −
u v
y x∂ ∂
( condições de Riemann Cauchy )
y x x y∂ ∂ ∂ ∂
ψ e φ são ambas harmónicas :
2 2
2
2 2
2 2
v urot V 0 0 0 0
x y x y
∂ ∂ ∂ ψ ∂ ψ
= ⇒ − = ⇒ − − = ⇒ ∇ ψ =
∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ φ ∂ φ2 2te 2
2 2
u vc. 0 0 0
x y x y
∂ ∂ ∂ φ ∂ φ
ρ = ⇒ + = ⇒ + = ⇒ ∇ φ =
∂ ∂ ∂ ∂
Escoam. Pot. Incomp. 2-D - relação entre ψ e φ (concl.)
8
Isolinhas de φ e ψ são ortogonais :
ˆ ˆ ˆ ˆgrad v i u j u i v j gradψ = − + ⊥ + = φ
Excepções : pontos de estagnação e pontos singularesExcepções : pontos de estagnação e pontos singulares
Escoamento potencial pode ser graficamente representado (rede ou malha)
- setas podem ser invertidas
ψ2
ψ3 φ1
φ
φ2
φ3 ψ1
ψ- contorno sólido linha de corrente≡
ψ1
φ2
φ3
φ1
ψ2
ψ3
- para iguais incrementos de φ ou ψ :
- φ e ψ podem ser permutados (cond. de Riemann - Cauchy permanecem satisfeitas)
maior densidade maior velocidade⇒
Escoam. Pot. Incomp. 2-D - sobreposição de escoamentos 9
A equação de Laplace é linear
versatilidade da Teor. Pot. para gerar funções potenciais de escoamentos relevantes:
- sobreposição de funções elementares
- transformação conforme
- análise numérica
Uma vez conhecido o potencial de velocidade :
- analogias mecânica e electromagnética
- campo de velocidade determinado por diferenciação
Uma vez conhecido o potencial de velocidade :
d ã d t i d i ã d B lli- campo de pressão determinado via equação de Bernoulli
- resulta, assim, definida a condição de fronteira para a análise de camada limite
Escoam. Pot. Incomp. 2-D - escoamentos elementares planos 10
I - Escoamento uniforme
a) - horizontal ψ = 3V∞ h
ψ = 2V∞ h
yV∞
h
h
φ 
= 
3V
∞
 h
φ 
= 
2V
∞
 h
φ 
= 
V
∞
 h
y
ψ4
ψ3
ψ2
ψ1φ1
φ2
φ3
( )
y
0
te te
u V udy f (x) V y f (x)
y
f ( ) f ( ) f ( )
∞ ∞
∂ψ
= = ⇒ ψ = + = +
∂
∂ψ ∂ ′
∫
ψ = V∞ h
x
h
h
0 h h h x0
α
b)a)
Velocidade decorre de ψ por derivação: c.te irrelevante (=0).
( ) te tev 0 V y f (x) f (x) 0 f (x) c. V y c.
x x ∞ ∞
∂ψ ∂ ′= = − ⇒ − + = − = ⇒ = ⇒ ψ = +
∂ ∂
ψ p ç ( )
Procedendo de modo análogo para φ, resulta, finalmente :
V y V x∞ ∞ψ = φ =
b) - vertical
φ e ψ permutados V x V y∞ ∞ψ = φ =
Escoam. Pot. Incomp. 2-D - escoamentos elementares planos (cont.) 11
I - Escoamento uniforme (concl.)
ψ = 3V∞ h
yV∞
h
φ 
= 
3V
∞
 h
φ 
= 
2V
∞
 h
φ 
= 
V
∞
 h
y
ψ3
ψ2
ψ1φ1
φ2
φ3
) i li ã ( i ) ψ = 2V∞ h
ψ = V∞ h
x
h
h
h
0 h h h x0
α
ψ4
b)a)
c) - inclinação α (u V cos v V sin )∞ ∞= α = α
y
0
udy f (x) V ycos f (x)∞ψ = + = α +∫0 y ( ) y ( )ψ ∫
tev V sin f (x) f (x) V x sin c.
x ∞ ∞
∂ψ ′= − = − α = ⇒ = − α +
∂
( ) ( )V y cos x sin ana log amente : V x cos ysin∞ ∞ψ = α − α φ = α + α
I I- Fonte e sorvedouro (poço) bidimensionais
Fonte pontual : singularidade a partir da qual é alimentado uniformementep g p q
um escoamento em todas as direcções
Fonte 2 - D : singularidade linear ( intensidade uniforme e comprimento infinito )
Escoam. Pot. Incomp. 2-D - escoamentos elementares planos (cont.) 12
II - Fonte e sorvedouro (poço) bidimensionais
ψ = λ π
2
φ = K π
2
φ = λ ln r
φ = λ ln r1
ψ = 0ψ = λ π
ψ = 3λ π
4
ψ =
2
ψ = λ π
4
ψ = -K ln r
ψ = -K ln r1
φ = 0
φ =
2
φ = K π
4
Escoamento axissimétrico :
coordenadas polares ( r , θ )
φ = λ ln r2
a)
ψ = -K ln r2
b)
r
1 1v v
r r r rθ
∂ψ ∂φ ∂ψ ∂φ
= = = − =
∂θ ∂ ∂ ∂θ
Q : caudal volúmico (por unidade de profundidade) : r r
Q 1Q 2 r v v
2 r r
λ
= π ⇒ = =
π
λ =Q/2π : intensidade da fonte (do sorvedouro se λ < 0)λ Q/2π : intensidade da fonte (do sorvedouro, se λ < 0) 
r r
r rv v dr f ( ) dr f ( ) ln r f ( )r r
∂φ λ
= ⇒ φ = + θ = + θ = λ + θ
∂ ∫ ∫
te1 1v 0 f ( ) f ( ) c. ln r
r rθ
∂φ ′= = = θ ⇒ θ = φ = λ
∂θ
analogamente: ψ = λθ
Escoam. Pot. Incomp. 2-D - escoamentos elementares planos (concl.) 13
III - Vórtice irrotacional ou livre
Permuta entre φ e ψ :Permuta entre φ e ψ :
ψ = λθφ = λ ln r1
ψ = 0ψ = λ π
ψ = 3λ π
4
ψ = λ π
2
ψ = λ π
4
ψ = -K ln r1
φ = 0
φ = K π
2
φ = K π
4
kφ = θ
Riemann - Cauchy : 1
r r
∂φ ∂ψ
= −
∂θ ∂
φ = λ ln r2
a)
ψ = -K ln r2
b)
rk 1k dr f ( ) k ln r
r r r
∂ψ
= − ⇒ ψ = − + θ ⇒ ψ = −
∂ ∫
r
1v 0
r
1 kvθ
∂ψ
= =
∂θ
∂φ
= =
k : intensidade do vórtice 
v
r rθ
= =
∂θtev r k c.θ = =
Convenciona-se vórtice positivo se k > 0 ( sentido anti-horário) p ( )
r=0 singularidade (evitada na natureza por vórtice rotacional ou forçado) 
Escoamento Potencial Incompressível 2-D - Circulação 14
2 D Ci it ( t ) f h d d l t á d l tdl dA
A
rot V.dA V.dl= = Γ∫ ∫Teorema de Stokes : y
→
2-D : Circuito (contorno) fechado, de elemento , encerra área de elemento dl dA
Γ : circulação da velocidade ao longo do circuito
ω (x, y)
dl
→
V
→
Γ >0, se circuito percorrido no sentido anti-horário
Seja o contorno formado por elementos de fluido :
x
Γ 0, se circuito percorrido no sentido anti horário
Seja o contorno formado por elementos de fluido :
Teoremade Kelvin : 
A circulação da velocidade ao longo de um circuito fechado, que acompanha o
( )D / Dt D / Dt V.dl ... 0Γ = = =∫
ç g , q p
escoam. de um fluido incompressível invíscido, mantém-se invariável com o tempo 
Vórtice livre :
qq. circ. fechado que envolva a origem: 
qualquer circuito fechado que não envolva a origem : Γ = 0 
V.dl grad .dl d kd 2 .kΓ = = φ = φ = θ = π∫ ∫ ∫ ∫
Escoam. Pot. Incomp. 2-D - sobreposição de escoamentos
15
A equação de Laplace é linear : 
se δ1 e δ 2 (δ=φ,ψ) forem soluções da equação, δ1 + δ 2 também a satisfaz
Determinação das linhas de corrente da sobreposição de i escoamentos :
I : via analítica: II : via gráfica:I : via analítica:
(x y) (x y)ψ = = ψ∑
II : via gráfica:
Escoamento a
ψ = ψ2
ψ = ψ1
 = 2i
i
te
(x, y) (x, y)
c. eq. param. y y(x)
ψ = = ψ
ψ = ⇒ =
∑
Escoamento
resultante
ψ = ψ1
ψ = ψ2
ψ = 2ψ1
ψ = 2ψ2
ψ = ψ1 + ψ2
Escoamento b
ψ = ψ1
ψ = ψ2
Escoam. Pot. Incomp. 2-D - Fonte e poço de iguais intensidades
16
y
(x, y)
Intensidades : λ , -λ (λ>0)
( )1 2 1 2ln r ln rφ = φ + φ = λ −
θθ1 θ2
r r2
r1 β
(x, y)
( )1 2 1 2ψ = ψ + ψ = λ θ − θ = −λβx0Fonte Poçoa a
1 2
Sobreposição gráfica :2 21r r a 2ar cos= + + θ
-1 -1
4α -4α-5α 3α
5α
-6α
-3α
2α
Sobreposição gráfica :1
2 2
2r r a 2ar cos= + − θ
-1 -1
-4-4
-4
-2
-2
-2
-2
-2
-1 -1
6α
-7α
7α
-2α
1α
-1α
( ) ( )2 2
3
1 1ln r a 2ar cos ln ...
2 2
4 2 2
⎡ ⎤φ = λ + + θ − =⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤λ θ θ⎛ ⎞
Fonte
θ1 ≡ ψ1
Poço
θ2 ≡ ψ2
α α Linha de simetria
-4-4 -2-2
2 2 2 2
4ar cos 2 2ar cos... ...
2 3r a r a
⎡ ⎤λ θ θ⎛ ⎞⎢ ⎥= ⇒ φ = + +⎜ ⎟
+ +⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
Escoamento Potencial Incompressível 2-D - Dipolo
17
Dipolo ( ou doblete )limite 2a 0 :→
3
2 2 2 2
4ar cos 2 2ar cos ...
2 3r a r a
⎡ ⎤λ θ θ⎛ ⎞⎢ ⎥φ = + +⎜ ⎟+ +⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
Nível de velocidade razoável se: do te, q. 2a 0 2a c.λ → ∞ → χ = λ =
⎣ ⎦
cos sin
r r
χ θ χ θ
φ = ψ = −χ : intensidade
2a 0
2a cos coslim
r r
→
λ
λ φ χ φ
φ = =
2 2
2C
⎛ ⎞ ⎛ ⎞χ χ
⇒ + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
λ→∞
Linhas de corrente
ψ = C1 Linhas equipotenciais
y
ψ = C2
ψ = C3
ψ < 0
2 2 2
y r sin
r x y
= θ
= +
2C x y
2C 2Cψ ψ ψ
χ χ
ψ = ⇒ + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
x
ψ = C4
2C x y
2C 2Cφ φ φ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞χ χ
φ = ⇒ − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ψ = C4
ψ = C5
ψ = C6
ψ > 0
Escoam. Pot. Incomp. 2-D - Cilindro de secção circular 18
Escoamento uniforme + dipolo oposto 
cos cosV V Vχ θ χ θ χ⎛ ⎞φ θ θ⎜ ⎟
ψ = 0
V∞
V x V r cos cos V r
r r r
sin sinV y V r sin sin V r
∞ ∞ ∞
χ χ χ⎛ ⎞φ = + = θ + = θ +⎜ ⎟
⎝ ⎠
χ θ χ θ χ⎛ ⎞ψ = − = θ − = θ −⎜ ⎟
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
V y V r sin sin V r
r r r∞ ∞ ∞
ψ = − = θ − = θ −⎜ ⎟
⎝ ⎠
Pontos de estagnação : em geral, associados a contornos físicos relevantes(V 0)≡
r 2 2
1v cos V v sin V
r rr r
∞ θ ∞
∂φ χ ∂φ χ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= = θ − = = − θ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂θ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
( ) 2v 0 se cos 0 / 2 k k 0 1 2 ou se V / r= θ = θ = π + π = = χ y( )
( )
rv 0, se cos 0 / 2 k , k 0,1,2,... ou se V / r
v 0, se sin 0 k , k 0,1,2,...
∞
θ
= θ = θ = π + π = = χ
= θ = θ = π =
rv 0 e v 0 :θ= = A , B ,0
⎛ ⎞ ⎛ ⎞χ χ
≡ π ≡⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
ψ = 0
A B
ψ = 0θ
x
r = χ
V∞
r θ , ,
V V∞ ∞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ A B
ψ = 0
x
A B0 0ψ = ψ = 0 contorno relevanteψ =
Escoam. Pot. Incomp. 2-D - Cilindro de secção circular (cont.) 19
i V 0χ⎛ ⎞θ⎜ ⎟
y
r = χ
V∞ ( )sin 0 0, : eixo Ox
ou
θ = θ = π
sin V r 0, se
r∞
χ⎛ ⎞ψ = θ − =⎜ ⎟
⎝ ⎠
ψ = 0
A B
ψ = 0θ
ψ = 0
x
ou
r / V (contorno do cil.)∞= χ
( )2 2 2 21 1 1
Distribuição de pc forças de Arrastamento D e de Sustentação L(// V )∞ ( V )∞⊥
( )2 2 2 2c c c c1 1 1p V p V p p V V2 2 2∞ ∞ ∞ ∞+ ρ = + ρ ⇒ = + ρ −Bernoulli :
( ) ( ) ⎡ ⎤χ⎛ ⎞( ) ( )r cc c 2
r / V
V 0 V V sin V 2V sin
r
∞
θ ∞ ∞
= χ
⎡ ⎤χ⎛ ⎞
= ⇒ = = − θ + = − θ⎢ ⎥⎜ ⎟
⎝ ⎠⎣ ⎦
2 dD
( )
2
2
c
Vp p 1 4sin
2
∞
∞
ρ
= + − θ c c cdF p dA p .r.d .1 p / V d∞= = θ = χ θ dL
dD
Escoam. Pot. Incomp. 2-D - Cilindro de secção circular (cont.) 20
y
r = χ
V∞
2
cD p cos d
π χ
= − θ θ =∫
Paradoxo de d’Alembert ( viscosidade ignorada ) :
ψ = 0
A B
ψ = 0θ
ψ = 0
x
( )
c0
22 2
0
D p cos d
V
Vp 1 4sin cos d 0 !!!
2 V
∞
π ∞
∞
θ θ
⎡ ⎤ρ χ
= − + − θ θ θ =⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
∫
∫ ( )0 2 V∞⎢ ⎥⎣ ⎦∫
Opção realista : Escoam. potencial é condição de fronteira para a camada limite
Região de Escoamento Irrotacional
Região de
Escoamento Viscoso
Analogamente:
Escoamento Viscoso
Esteira turbulenta
2
c0
L p sin d 0
V
π
∞
χ
= − θ θ =∫
Camada
Limite
Separação de camada limite
Em sintonia com a observação experimental
Escoam. Pot. Incomp. 2-D - Cilindro de secção circular (cont.) 21
Efeito de Magnus
Quantificação:
Esc. uniforme + dipolo + vórtice livre
θ
Dipolo
V∞
EscoamentocosV r cos k ( k 0 )
r∞
χ θ
φ = θ + + θ < Vórtice livre
Escoamento
uniforme
sinV rsin k ln r
r∞
χ θ
ψ = θ − −
r
1V V
r rθ
∂φ ∂φ
= =
∂ ∂θ
Escoam. Pot. Incomp. 2-D - Cilindro de secção circular (cont.) 22
r 2 2
kV cos V V sin V
rr r
∞ θ ∞
χ χ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= θ − = − θ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Pontos de estagnação : 2
rV 0, se cos 0 ( / 2, 3 / 2 ) ou se V / r
k / rV 0 se arc sin
∞
θ
= θ = θ = π π = χ
⎛ ⎞
= θ = ⎜ ⎟⎜ ⎟2V 0, se arc sin V / r
θ
∞
= θ = ⎜ ⎟⎜ ⎟+ χ⎝ ⎠Três situações possíveis :
k k k) 1 b) 1 ) 1a) 1 b) 1 c) 1
2 V 2 V 2 V∞ ∞ ∞
→ < → = → >
χ χ χ
D 0=
a cb
L 0≠
Escoam. Pot. Incomp. 2-D - Cilindro de secção circular (concl.) 23
Bernoulli :
( )c r / V
VV V 2V sin k
∞
∞
θ ∞= χ= = − θ + χ
Bernoulli :
2
2
c
V1p p V k 2V sin
2
∞
∞ ∞ ∞
⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥= + ρ − − θ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥χ⎝ ⎠⎣ ⎦⎣ ⎦
2
c0
L p sin d ... 2 V k L V
V
π
∞ ∞
∞
χ
= − θ θ = = − πρ ⇒ = −ρ Γ∫
( válido para
secção qualquer )
Teorema de Kutta-Joukowski (base da teoria dos perfis alares) :
1) - força perpendicular ao escoamento (2-D) incidente ( arrasto nulo)
2) - força depende directamente da circulação gerada em torno da secção recta) ç p ç g ç
3) - direcção e sentido de L : rotação, de π/2, da velocidade incidente, anti-circulação
Escoam. Pot. Incomp. 2-D - Teoria dos Perfis Alares 24
Objectivo : determinar a circulação gerada pelo escoamento em torno de um perfil
aerodinâmico, enquanto função da sua forma,
das condições de aproximação e do ângulo de ataquedas condições de aproximação e do ângulo de ataque
ηΓTransformação conforme :
α
V∞
ξ
dζ1
dζ2
ζT
αζ=π
ζSMudança de variáveis, sendo preservados os
ângulos e o valor da circulação
y
a) Plano ζ
ζ i t f ã ( ) tê
Condição de Joukowski :
x
Γ
dz1
dz2
zT
τ
ζT e a sua imagem na transformação (zT) têm que ser 
pontos de estagnação. Isto define o valor de Γ.
α
V∞ b) Plano z
Como é gerada, fisicamente, a circulação?
Escoam. Pot. Incomp. 2-D - Teoria dos Perfis Alares 25
s1 s2
V∞ (a)
A circulação, em torno do perfil alar,
é fisicamente gerada em três fases : s1 s2
(b)(a) - Γ=0: viscosidade torna a posição de S2,
enquanto ponto de estagnação, instável
s1
s2
Γ < 0
⎥Γ⎥
(b) - Condição de Joukowski respeitada
(c) - Teorema de Kelvin verificado : 0Γ + Γ =
(c)
⎥Γ⎥( )
vórtice de cauda desprende-se e dissipa-se. Fica:
L V∞= −ρ Γ
Escoam. Potencial Incomp. 2-D - outros exemplos de perfis alares 26
Corte AA'
LL2
Corte AA'
A'A
L1V
Turbina axial
L1 : componente activa
L1Vrel.
Vabs.
ωr
Hélice de barco ou ventilador : princípio análogo
vento
L1
Vela de barco
L1 : componente activa (de avanço )
L
L1
L2L2 : neutralizada pela quilha