Avaliação I - Individual de Cálculo Diferencial e Integral III

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1. O momento de inércia de um corpo é o grau de dificuldade que o corpo tem de 
alterar o seu estado de movimento. Podemos calcular o momento de inércia em torno 
do eixo x e do eixo y. Determine o momento de inércia de um disco homogêneo com 
centro (0, 0) e raio igual a 2 e com densidade f (x, y) = 2 em torno do eixo y: 
 a) 12 pi. 
 b) 8 pi. 
 c) 4 pi. 
 d) 18 pi. 
 
 
2. O centro de massa de um objeto é o ponto onde este objeto fica em equilíbrio, caso 
esse objeto seja homogêneo. Para determinar o centro de massa, precisamos também 
saber a massa do objeto. Determine a massa de uma lâmina triangular com vértices 
(0, 0), (1, 0) e (0, 2), sabendo que a função densidade é f (x, y) = 3 - x + 2y: 
 a) 4 
 b) 5 
 c) 0 
 d) 10 
 
 
 
3. Um sistema de coordenadas esféricas relaciona um ponto do espaço com dois 
ângulos e uma distância, esse sistema de coordenadas é muito utilizado para calcular 
integrais triplas na qual a região é uma esfera ou parte de uma. Utilizando a mudança 
de variável esférica, podemos afirmar que a integral 
 
 a) Somente a opção IV está correta. 
 b) Somente a opção III está correta. 
 c) Somente a opção II está correta. 
 d) Somente a opção I está correta. 
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4. O momento de inércia de um corpo é o grau de dificuldade que o corpo tem de 
alterar o seu estado de movimento. Podemos calcular o momento de inércia em torno 
do eixo x e do eixo y. Determine o momento de inércia de um disco homogêneo com 
centro (0, 0) e raio igual a 2 e com densidade f (x, y) = 3 em torno do eixo x: 
 a) 6 pi. 
 b) 4 pi. 
 c) 12 pi. 
 d) 8 pi. 
 
 
 
5. A principal aplicação do conceito de integral é o cálculo de área. Para tanto é 
necessário que calculemos as integrais de forma correta utilizando as regras de 
integrações. Utilizando tais regras, calcule a integral dupla da função e, em seguida, 
assinale a alternativa CORRETA: 
 
 a) e - 2 
 b) 2e 
 c) e + 2 
 d) 2 - e 
 
 
 
6. Umas das primeiras aplicações de integrais duplas e tripas que é estudada é o cálculo 
de volume de um sólido. Utilizando as propriedades de integral dupla temos que o 
volume de um sólido é dado pela integral dupla: 
 
 a) 45 unidades de volume. 
 b) 103,5 unidades de volume. 
 c) 94,5 unidades de volume. 
 d) 40,5 unidades de volume. 
 
7. Um dos Teoremas mais utilizados para calcular integrais duplas e triplas é o 
Teorema de Fubini, ele nos permite inverter a ordem de integração. Essa mudança na 
ordem de integração pode em certas integrais diminuir a quantidade de cálculos 
necessários para a resolução. Utilizando o Teorema de Fubini, concluímos que o 
valor da integral: 
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 a) É igual a 96. 
 b) É igual a 64. 
 c) É igual a e. 
 d) É igual a 0. 
 
 
8. A coordenada cilíndrica é muito utilizada para calcular integrais triplas. Esse sistema 
de coordenadas é baseado no sistema de coordenadas polares, pois caso fizéssemos 
uma projeção do ponto para o plano xy poderíamos utilizar o sistema de coordenadas 
polares. Calcule a integral tripla da função 
 
 a) 54 
 b) 27 
 c) 12 
 d) 81 
 
9. Assim como acontece com as integrais duplas, quando calculamos uma integral 
tripla, precisamos utilizar certas regras. Com base no exposto, o valor da integral 
tripla da função 
 
 a) - 27 
 b) - 54 
 c) 54 
 d) 189 
 
10. A principal aplicação do conceito de integral é cálculo de área. Para tanto, é 
necessário que calculemos as integrais de forma correta utilizando as regras de 
integrações. Utilizando tais regras, qual será o resultado do cálculo da integral a 
seguir? 
 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) e 
 
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