CIV_Lista_03_Transformada_de_Laplace

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Lista 03 Transformada de Laplace
Cálculo IV UNIFACS
1. Encontre a transformada de Laplace das seguintes funções.
a) f(t) = t2 + 6t− 3
b) f(t) = (t+ 1)3
c) f(t) = (t+ e2t)2
d) f(t) = t5 + sen(3t)− cos(πt)
e) f(t) = 3 sen(2t)− cos(
√
2t)
f) f(t) = e−2t sen(πt)
2. Encontre a transformada Inversa de Laplace f(t) das seguintes funções.
a) F (s) =
1
s3
b) F (s) =
1
s2
− 1
s
+
1
s− 2
c) F (s) =
1
4s+ 1
d) F (s) =
5
s2 + 49
e) F (s) =
4s
4s2 + 1
f) F (s) =
2s− 6
s2 + 9
g) F (s) =
s
s2 + 2s− 3
h) F (s) =
s
(s− 2)(s− 3)(s− 6)
i) F (s) =
2
s(s2 + 2)
j) F (s) =
s− 2
s2(s2 + 2)
k) F (s) =
1
(s− 1)(s2 + 4)
l) F (s) =
s+ 3
(s+ 1)2 + 1
m) F (s) =
2s+ 1
s2 + 4s+ 13
n) F (s) =
1
s(s2 − 2s+ 5)
o) F (s) =
3s+ 3
s2 + 2s+ 2
p) F (s) =
2s
s2 + 2s+ 2
q) F (s) =
2
s2 + 4s+ 4
Unifacs 1
Lista 3 Cálculo IV Transformada de Laplace
3. Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor
inicial.
a) x′′ + 9x = 0 x(0) = 0 x′(0) = 2
b) x′′ + 2x′ − 8x = 0 x(0) = 1 x′(0) = 8
c) x′′ − 3x′ + 2x = e2t x(0) = 0 x′(0) = 1
d) x′′ − x′ = et cos(t) x(0) = 0 x′(0) = 0
e) x′′ − x = sen(t) x(0) = 1 x′(0) = 1
f) x′′ − x′ = t x(0) = 0 x′(0) = 0
4. Para cada uma das funções a seguir, faça o que se pede.
f(t) =
0, 0 ≤ t < 1t, t ≥ 1 g(t) =
t2, 0 ≤ t < 1t, t ≥ 1
h(t) =

0, 0 ≤ t < 1
(t− 1)2, 1 ≤ t < 2
3− t, 2 ≤ t < 3
0, t ≥ 3
a) Esboce o gráfico.
b) Escreva a função usando as funções degraus unitários.
c) Encontre a transformada de Laplace
5. Utilize a transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de
valor inicial com x(0) = 0 e x′(0) = 0. No item (b), considere a função g do
exercício anterior.
a) x′′ + x = u1(t) b) x′′ + x = g(t)
Unifacs 2
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6. Através da Transformada de Laplace determine a carga q(t) no capacitor
em um circuito LRC em série, quando L = 1H, R = 20Ω, C = 0, 005F ,
E(t) = 150V , q(0) = 0 e i(0) = 0. Use a equação
L
d2q
dt2
+R
dq
dt
+
1
C
q = E(t).
7. Uma massa de 1 Kg atada a uma mola de constante elástica K = 100
N/m está, inicialmente com velocidade nula e passando pela posição x = 10
m. Despreze os atritos. Se o sistema é submetido no tempo t = 0 a uma
força externa f(t) = 120 N, use as transformadas de Laplace para determinar
a equação que define a posição da partícula x(t) para um instante qualquer
t ≥ 0. Lembre-se que o modelo linear para este sistema físico (MHS forçado
sem amortecimento) é
mx′′ +Kx = f(t).
8. Uma massa de 1 Kg atada a uma mola de constante elástica K = 6 N/m
está inicialmente com velocidade de 1 m/s e passando pela posição de equilíbrio
x = 0. O movimento tem uma constante de amortecimento C = 5 N/(m/s)
e está sob a ação de uma força externa f(t) = 1 N para t ≥ 0. Use as
transformadas de Laplace para determinar a função que define a posição da
partícula x(t) para um instante qualquer t ≥ 0. Lembre-se que o modelo linear
para este sistema físico (MHS forçado) é
mx′′ +Kx+ Cx′ = f(t).
Unifacs 3
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Gabarito
1. a) F (s) =
2
s3
+
6
s2
− 3
s
b) F (s) =
6
s4
+
6
s3
+
3
s2
+
1
s
c) F (s) =
2
s3
+
2
(s− 2)2
+
1
s− 4
d) F (s) =
120
s6
+
3
s2 + 9
− s
s2 + π2
e) F (s) =
6
s2 + 4
− s
s2 + 2
f) F (s) =
π
(s− 2)2 + π2
2. a)
t2
2
b) t+ e2t − 1
c)
1
4
e−t/4
d)
5
7
sen(7t)
e) cos(t/2)
f) 2(cos(3t)− sen(3t))
g)
1
4
e−3t(e4t + 3)
h)
1
2
e2t(−2et + e4t + 1)
i) 1− cos(
√
2t)
j)
1
2
(−2t +
√
2 sin(
√
2t) −
cos(
√
2t) + 1)
k)
1
10
(2et − sin(2t)− cos(2t))
l) e−t(2 sen(t) + cos(t))
m) e−2t(2 cos(3t)− sen(3t))
n)
et
10
(sen(2t)− 2 cos(2t)) + 1
5
o) 3e−t cos(t)
p) 2e−t(cos(t)− sen(t))
q) 2te( − 2t)
3. a) x(t) =
2
3
sen(3t)
b) x(t) = 2e2t − e−4t
c) x(t) = te2t
d) x(t) =
1
2
(et(sen(t)−cos(t))+1)
e) x(t) =
1
4
(5et − e−t − 2 sen(t))
f) x(t) = et − t2/2− t− 1
Unifacs 4
Lista 3 Cálculo IV Transformada de Laplace
4. a)
b) f(t) = tu1(t)
g(t) = t2 − t2u1(t) + tu1(t)
h(t) = (t− 1)2[u1(t)− u2(t)] + (3− t)[u3(t)− u4(t)]
c) F (s) =
e−s(s+ 1)
s2
G(s) =
2− e−s(s+ 2)
s3
H(s) =
2e−s
s3
(1− e−s) + e
−2s
s2
(e−2s − e−s − 2) + e
−2s
s
(e−2s − 1)
5. a) x(t) = (t− 2 + e1−t)u1(t)
b) x(t) = (t− sen(t− 1)− cos(t− 1)
6. q(t) =
3
4
(1− sen(10t)− cos(10t))
7. x(t) =
2
5
(3 + cos(22t))
8. x(t) = 2e−3t + e−2t − e−t − 1
Unifacs 5