lista prova 2

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Lista Prova 2 - Equaç~oes Diferenciais
1. Calcule a transformada de Laplace de
a) f(t) =
 1, se 0 ≤ t < 12, se 1 ≤ t < 2−2, se t ≥ 2 b) f(t) =
 2, se 0 ≤ t < 1t2/2, se 1 ≤ t < 2
cos t, se t ≥ 2
c) f(t) = cost uπ(t)
d) g(t) = sen(3t− 1/2) e) g(t) = (t2 − 3)2 f) k(t) = 1
((s− 3)2 − 4)2
g) g(t) =
 0, se 0 ≤ t < 10,et, se 10 ≤ t < 20,
t2, se t ≥ 20,
2. Calcule a transformada de Laplace inversa de
a)F (s) =
5
s− 6
− 6s
s2 + 9
+
3
2s2 + 8s+ 10
b)X(s) =
3s2 + 8s+ 2
(s+ 2)(s2 + 2s+ 1)
c)Y (s) =
2s+ 3
s3 + 4s+ 5
d)H(s) =
e−3s − e−10s
s(s2 + s+ 1)
e) H(s) =
10
s3 − πs2
f) H(s) =
5
(s2 + 1)(s2 + 25)
(use convolução)
3. Determine a transformada de Laplace inversa da função
F (s) =
5
s2 + 4s+ 3
a) Utilizando frações parciais.
b) Utilizando convolução.
4. A função de transferência H(s) de um sistema linear é definida como o quociente da transformada
de Laplace da função de sáıda y(t) pela transformada de Laplace da função de entrada g(t), ou seja
se o sistema for regido pela equação diferencial ay′′ + by′ + cy = g(t); y(0) = y0; y
′(0) = y′0 a
função de transferência será
H(s) =
Y (s)
G(s)
=
1
as2 + bs+ c
A transformada inversa da função H(s) é a função h(t), chamada de função de resposta ao impulso.
Considere o sistema massa mola regido pela equação diferencial
y′′ + 2y′ + 5y = g(t); y(0) = 0; y′(0) = 0
a) Ache a função de transferência para o sistema linear.
b) Ache a função de resposta ao impulso.
5. Determine a corrente I(t) em um circuito RLC em série que é regida pelo problema de valor inicial
I ′′(t) + 2I ′(t) + 2I(t) = g(t) ; I(0) = 10; I ′(0) = 0
onde
g(t) =
 20, se 0 ≤ t < 3π,0, se 3π ≤ t < 4π,
20, se t ≥ 4π,
6. Uma massa presa a uma mola é liberada do repouso 1m abaixo da posição de equiĺıbrio para o
sistema massa-mola e começa a vibrar. Depois de π segundos, a massa é atingida por um martelo
exercendo um impulso sobre ela. O sistema é controlado pelo PVI
y′′(t) + 9y = 3δ(t− π); y(0) = 1; y′(t) = 0
1
em que y(t) indica o deslocamento a partir do equiĺıbrio no instante t. Determine y(t) usando a
transformada de Laplace.
7. Uma massa presa a uma mola é liberada comuma velocidade inicial de 1m/s da posição de equiĺıbrio
para o sistema massa-mola e começa a vibrar. Depois de π/2 segundos, a massa é atingida por um
martelo exercendo um impulso sobre ela. O sistema é controlado pelo PVI
y′′(t) + y = δ(t− π/2); y(0) = 0; y′(0) = 1
em que y(t) indica o deslocamento a partir do equiĺıbrio no instante t. Determine y(t) usando a
transformada de Laplace.
8. Resolva o PVI usando convolução
y′′ − y = g(t) ; y(0) = −1; y′(0) = 0
Deixe as contas indicadas pois a função g(t) não foi dada.
9. Resolva o PVI:
a) y′′ + 4y′ + 5y = 0 y(0) = 1 y′(0) = 0
b) y′′ + ω2y = 3 sen ω0t; y(0) = 0; y
′(0) = 0 ω2 6= ω20
c) y′′(t) + 9y(t) = g(t) ; y(0) = 0; y′(0) = 4
onde
g(t) =
{
8sen t, se 0 ≤ t < π,
0, se t ≥ π,
d) y′′ + y′ + 9y = 0; y(0) = 0, 16; y′(0) = 0
e) y′′ + 2y′ + y = t5e−t + t2e−t + u3(t), y(0) = 0; y
′(0) = 5
f) y′′ + 2y′ + 5y = e0,5x + 40cos 10x− 190sen 10x y(0) = 0; y′(0) = 0
g) y′′ − 2y′ − 3y = 3te2t, y(0) = 1, y′(0) = 0
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