Controle 1 - Aula11

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AULA 11 – RESPOSTA DE SISTEMA EM MALHA FECHADA 
- 1 - 
Aula 11 Resposta de Sistemas em Malha Fechada 
 
11.1 Introdução 
 
Para o sistema de controle mostrado na Figura 11.1, a função de transferência de malha fechada 
é dada por: 
Y( s ) G( s )
F( s )
R( s ) 1 G( s )H( s )
= =
+
 
 
E a correspondente função de transferência senoidal: 
 
Y( j ) G( j )
F( j )
R( j ) 1 G( j )H( j )
ω ω
ω
ω ω ω
= =
+
 
 
 
R(s) Y(s) 
G(s) 
H(s) 
 
Figura 11.1 – Sistema de controle em malha fechada 
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A função F(jω) pode ser expressa em termos de sua magnitude e fase: 
 
F( j ) F( j ) F( j )ω ω ω= ∠ 
 
onde, 
G( j )
F( j )
1 G( j )H( j )
ω
ω
ω ω
=
+
 
e 
F( j ) G( j ) [1 G( j )H( j )]ω ω ω ω∠ = ∠ − ∠ + 
 
A função F(jω) pode também ser escrita em termos de suas partes real e imaginária: 
 
F( j ) Re[ F( j )] j Im[ F( j )]ω ω ω= + 
 
11.2 Especificações no Domínio da Freqüência 
 
Pico de Ressonância Mr 
Pico de Ressonância Mr é o máximo valor de F( j )ω . Em geral, a magnitude Mr dá uma 
indicação da estabilidade relativa de um sistema de controle em malha fechada estável. 
Normalmente, um valor alto de Mr corresponde a um sobre-sinal na resposta ao degrau. Na 
maioria dos casos, o valor desejável de Mr deve estar entre 1,1 e 1,15. 
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Freqüência de Ressonância ωr 
Freqüência de ressonância ωr é a freqüência na qual o pico de ressonância Mr ocorre. 
 
Largura de Banda, Largura de Faixa ou Banda Passante ωBW 
A largura de banda é a freqüência ωBW na qual F( j )ω é 3dB (70,7%) abaixo de seu valor na 
freqüência zero. Em geral, a largura de banda um sistema de controle dá uma indicação da 
velocidade da resposta transitória no domínio do tempo. Uma largura de banda grande 
corresponde a um tempo de resposta rápido, já que os sinais de alta freqüência passam mais 
facilmente pelo sistema. De outro modo, se a largura de banda é pequena, somente sinais de 
freqüências relativamente baixas passam pelo sistema, e o tempo de resposta será lento. A 
largura de banda também fornece informações sobre as características de filtragem a ruídos e a 
robustez de um sistema. A robustez representa uma medida da sensitividade de um sistema a 
variações nos parâmetros. 
 
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Figura 11.2 – Sistema de controle de segunda ordem 
 
11.3 Sistemas de Segunda Ordem 
 
Para um sistema de segunda ordem, o pico de ressonância Mr, a freqüência de ressonância ωr e 
a largura de banda ωBW são relacionados diretamente com a razão de amortecimento ζ e a 
freqüência natural não-amortecida ωn do sistema. 
 
20 log Mr 
ωr ωBW 
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2
n
2 2
n n
Y( s )
F( s )
R( s ) s 2 s
ω
ζω ω
= =
+ +
 
 
 
R(s) Y(s) 
2
( 2 )
n
ns s
ω
ζω+
 
Figura 11.3 – Sistema de controle de segunda ordem 
 
A freqüência de ressonância ocorre em 
 
2
r n
1
1 2 , 0
2
ω ω ζ ζ= − < ≤ 
 
O módulo do pico de ressonância é dado por 
 
r
2
1 1
M , 0
22 1
ζ
ζ ζ
= < ≤
−
 
 
Para 0,707ζ > , não há pico de ressonância. 
 
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Figura 11.4 – Diagrama de módulo de sistema de segunda ordem, em dB, normalizado 
 
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De acordo com a definição de largura de banda, tem-se: 
 
2 2
2
2
n n
1
F( j )
2
1 1
F( j )
2
1 2
ω
ω
ω ω
ζ
ω ω
=
= =
   
− +   
   
 
 
A largura de banda é obtida a partir da solução da equação anterior: 
 
1/ 2
2 4 2(1 2 ) 4 2BW nω ω ζ ζ ζ = − + − + 
 
 
O pico de ressonância Mr da resposta em freqüência de malha fechada depende de ζ somente. 
Quando ζ é zero, Mr é infinito. Quando ζ é negativo, o sistema é instável e o valor de Mr não 
possui nenhum significado. À medida que ζ aumenta, Mr diminui. Para ζ ≥ 0,707, Mr = 1 e 
ωr = 0. Comparando com a resposta ao degrau, o sobre-sinal máximo também depende de ζ. 
Contudo, o sobre-sinal máximo é zero quando ζ ≥ 1. 
A largura de banda ωBW é diretamente proporcional a ωn. Ou seja, ωBW aumenta e diminui 
linearmente com ωn. Já um aumento de ζ causa uma diminuição da largura de banda ωBW. para 
um valor fixo de ωn. Para a resposta ao degrau, o tempo de subida tr aumenta com a diminuição 
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de ωn. De outro modo, o tempo de subida e a largura de banda ωBW são inversamente 
proporcionais. 
A largura de banda ωBW e Mr variam proporcionalmente para 0 0,707ζ< ≤ . 
 
11.4 Efeito da Adição de Zeros ao Ramo Direto 
 
As relações entre as respostas no domínio do tempo e no domínio da freqüência mostradas na 
seção anterior aplicam-se somente a sistemas de segunda ordem. Quando se trata de sistemas de 
ordem elevada, as relações podem ser mais complexas. Contudo, o estudo de sistemas de 
segunda ordem permite obter resultados que podem servir na análise qualitativa de sistemas de 
ordem superior. 
Seja um sistema de segunda ordem como mostrado na Figura 11.3. Sua função de transferência 
do ramo direto é dada por: 
2
n
n
G( s )
s( s 2 )
ω
ζω
=
+
 
 
Considere a adição de um zero em s = −1/T a esta função: 
 
2
n
n
(1 Ts )
G( s )
s( s 2 )
ω
ζω
+
=
+
 
 
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A função de transferência de malha fechada fica 
 
2
n
2 2 2
n n n
( 1 Ts )Y( s )
F( s )
R( s ) s ( 2 T )s
ω
ζω ω ω
+
= =
+ + +
 
 
As expressões exatas para Mr, ωn e ωBW são difíceis de serem obtidas analiticamente, ainda que 
o sistema seja de segunda ordem. A largura de faixa encontrada para este sistema é: 
 
1/ 2
2 41 4
2BW n
b bω ω
 
= − + + 
 
 
 
onde 
2 2 3 2 4 24 4 2
n n n n
b T Tζ ω ζω ω ω= + − − 
 
Pode-se generalizar que o efeito da adição de um zero à função de transferência do ramo direto 
é aumentar a largura de banda do sistema de malha fechada. 
 
 
 
 
 
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- 10 - 
 
(a) 
 
(b) 
Figura 11.5 – G(s)=(1+Ts)/(s(s+0.4)). (a) FTMA; (b) FTMF (ωn = 1 rad/s) 
T = 5 
 
T = 1 
T = 0.5 
T = 0.2 
T = 0 
T = 5 
 
T = 1 
T = 0.5 
 
T = 0.2 
 
T = 0 
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- 11 - 
 
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Frequencia (rad/s)
G
a
n
h
o
0,707
T = 0
T = 0.2
T = 0.5
T = 1
T = 5
 
0 1 2 3 4 5 6 7 8
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
Tempo(s)
A
m
p
lit
u
d
e
T = 0
T = 0.2
T = 0.5
T = 1
T = 5
 
 (a) (b) 
 
Figura 11.6 – G(s)=(1+Ts)/(s(s+0.4)). (a) Detalhe do diagrama de módulo da FTMF. 
(b) Resposta da FTMF ao degrau unitário 
 
 
 
 
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11.5 Efeito da Adição de Pólos ao Ramo Direto 
 
Adicionando um pólo em s = −1/T à função de transferência do ramo direto obtém-se: 
 
2
n
n
G( s )
s( s 2 )( 1 Ts )
ω
ζω
=
+ +
 
 
A função de transferência de malha fechada fica 
 
2
n
3 2 2
n n n
Y( s )
F( s )
R( s ) Ts s (1 2T ) 2 s
ω
ζω ζω ω
= =
+ + + +
 
 
Já que a função de transferência de malha fechada é de terceira ordem, ele pode ser instável 
para certos parâmetros do sistema. 
O efeito de adicionar um pólo à função de transferência do ramo direto é diminuir a largura de 
banda, tornando o sistema de malha fechada menos estável. 
Na resposta temporal observa-se que o tempo de subida aumenta com o a diminuição na largura 
de banda. Valores crescentes de Mr correspondem a valores crescentes no sobre-sinal da 
resposta ao degrau. 
 
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(a) 
 
(b) 
Figura 11.7 – G(s)=1/(s(s+1.414)(1+Ts)). (a) FTMA; (b) FTMF 
T = 0 
T = 0.5 
T = 1 
T = 5 
T = 0 
T = 0.5 
T = 1 
T = 5 
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- 14 - 
 
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
Frequencia (rad/s)
G
a
n
h
o
0,707
T = 0
T = 0.5
T = 1
T = 5
 
0 24 6 8 10 12 14 16 18 20
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
Tempo(s)
A
m
p
lit
u
d
e
T = 0
T = 0.5
T = 1
T = 5
 
 (a) (b) 
 
Figura 11.8 – G(s)=1/(s(s+1.414)(1+Ts)). (a) Detalhe do diagrama de módulo da FTMF. 
(b) Resposta da FTMF ao degrau unitário 
 
 
 
 
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11.6 Erro de Estado Estacionário 
 
11.6.1 Constante de erro de posição Kp 
 
Para determinar Kp, considere a função de transferência de malha aberta de um sistema Tipo 0: 
 
1 2
( 1)( 1)...( 1)
( ) ( )
( 1)( 1)...( 1)
a b m
n
K T s T s T s
G s H s
T s T s T s
+ + +
=
+ + +
 
 
Para este sistema, Kp = K, que é o mesmo valor do ganho da função de transferência de malha 
aberta em baixa freqüência. 
 
 
Figura 11.9 – Diagrama de Bode de módulo de sistema Tipo 0 
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- 16 - 
 
Exemplo: Para o diagrama de magnitude de malha aberta mostrado abaixo, determine o valor 
da constante de erro. 
 
 
 
Trata-se de um sistema Tipo 0. Do diagrama: 
 
20log 25
17,78
p
p
K
K
=
∴ =
 
 
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11.6.2 Constante de erro de velocidade Kv 
 
Para determinar Kv, considere a função de transferência de malha aberta de um sistema Tipo 1: 
 
1 2
( 1)( 1)...( 1)
( ) ( )
( 1)( 1)...( 1)
a b m
n
K T s T s T s
G s H s
s T s T s T s
+ + +
=
+ + +
 
 
Para este sistema, Kv = K. Portanto, pode-se encontrar Kv estendendo a inclinação de 
-20dB/década até o eixo de freqüência. O valor de Kv é o valor da freqüência em que a 
inclinação inicial cruza o eixo de freqüências em zero dB. 
1 (0 ) g v g
K
dB K K
j
ω ω
ω
= → = → = 
 
Figura 11.10 – Diagrama de Bode de módulo de sistema Tipo 1 
AULA 11 – RESPOSTA DE SISTEMA EM MALHA FECHADA 
- 18 - 
 
Exemplo: Para o diagrama de magnitude de malha aberta mostrado abaixo, determine o valor 
da constante de erro. 
 
 
 
Trata-se de um sistema Tipo 1. Do diagrama: 
 
0,55vK = 
 
 
 
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- 19 - 
11.6.3 Constante de erro de aceleração Ka 
 
Para determinar Ka, considere a função de transferência de malha aberta de um sistema Tipo 2: 
2
1 2
( 1)( 1)...( 1)
( ) ( )
( 1)( 1)...( 1)
a b m
n
K T s T s T s
G s H s
s T s T s T s
+ + +
=
+ + +
 
 
Para este sistema, Ka = K. Portanto, pode-se encontrar Ka estendendo a inclinação de 
-40dB/década até o eixo de freqüência. O valor da freqüência em que a inclinação inicial cruza 
o eixo de freqüências em zero dB corresponde a aK . 
2 2
2
1(0 )
( ) g a g
K
dB K K
j
ω ω
ω
= → − = → = 
 
Figura 11.11 – Diagrama de Bode de módulo de sistema Tipo 2 
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- 20 - 
 
Exemplo: Para o diagrama de magnitude de malha aberta mostrado abaixo, determine o valor 
da constante de erro. 
 
 
 
Trata-se de um sistema Tipo 2. Do diagrama: 
 
23 9aK = = 
 
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- 21 - 
Leitura: 
 
� OGATA (4a ed.) – cap. 8, p.464-470. 
� NISE – cap. 10, p.455-470. 
 
Problemas resolvidos: 
 
� OGATA (4a ed.) – A.8.1, A.8.19. 
� NISE – exemplos: 
exercícios de avaliação: 10.7, 10.10. 
 
Problemas propostos: 
 
� OGATA (4a ed.) – 
� NISE (cap. 10) – 15. 
 
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Problemas complementares: 
 
1) A função de transferência do ramo direto de um sistema com realimentação unitária é 
 
( )
( 6.54)
K
G s
s s
=
+
 
 
Analiticamente, encontre o pico de ressonância, a freqüência de ressonância e a largura de 
banda do sistema em malha fechada para os seguintes valores de K: (a) K = 5; (b) K = 21,39 e 
(c) K = 100. 
 
2) As especificações para um sistema de segunda ordem com realimentação unitária e função 
de transferência em malha fechada dada por 
2
2 2
( )
2
n
n n
F s
s s
ω
ζω ω
=
+ +
 
são: 
a) O sobre-sinal máximo não deve exceder 10%; 
b) O instante de pico deve ser menor do que 0,2s. 
Encontrar os valores limites para Mr e ωBW analiticamente. 
 
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3) A resposta em freqüência de módulo ( )F jω de um sistema de segunda ordem é mostrada na 
Figura 11.12. Esboce a correspondente resposta ao degrau unitário indicando o sobressinal, o 
instante de pico e o erro de estado estacionário. 
 
Figura 11.12 
 
4) A função de transferência do ramo direto de um sistema com realimentação unitária é 
 
2
1000
( )
( 105 600)
G s
s s s
=
+ +
 
a) Encontrar os valores de Mr, ωr e ωBW do sistema em malha fechada. 
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- 24 - 
b) Encontre os parâmetros de um sistema de segunda ordem com função de transferência de 
malha aberta 
2
n
n
G( s )
s( s 2 )
ω
ζω
=
+
 
que resultará nos mesmos valores de Mr e ωr do sistema de terceira ordem. Compare os 
valores de ωBW dos dois sistemas. 
 
5) A função de transferência do ramo direto de um sistema com realimentação unitária é 
2
1
( )
2 ( 1)
Ts
G s
s s s
+
=
+ +
 
Encontrar os valores de Mr, e ωBW do sistema em malha fechada para T = 0,05, T = 2 e T = 5. 
 
6) A função de transferência do ramo direto de um sistema com realimentação unitária é 
 
2
1
( )
2 ( 1)(1 )
G s
s s s Ts
=
+ + +
 
Encontrar os valores de Mr, e ωBW do sistema em malha fechada para T = 0, T = 0,5, T = 2 e 
T = 5. 
 
AULA 11 – RESPOSTA DE SISTEMA EM MALHA FECHADA 
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7) Um sistema de controle com realimentação unitária possui o seguinte diagrama de Bode de 
módulo da função de transferência de malha aberta. Identifique o tipo do sistema e seu erro para 
entrada em (a) degrau unitário e (b) rampa unitária. 
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
-160
-140
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
Freqüência (rad/s)
G
a
n
h
o
 (
d
B
)
 
Figura 11.13