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Álgebra A
Folha 1 de exercícios
csaba@mat.ufmg.br
1. Seja a ∈ Z. Mostre que na divisão de a2 por 8, os restos possíveis são 0, 1, ou 4.
2. Determine os inteiros positivos que divididos por 17 deixam um resto igual ao quadrado do quociente.
3. Sejam a, b, c ∈ Z. Demonstre as seguintes a�rmações ou dê contraexemplo:
(1) se ac | bc, então a | b;
(2) se a | b e a | c, então a | (b− c);
(3) se c | (a+ b), então c | a ou c | b;
(4) se a | b, então a | xb para todo x ∈ Z.
4. Mostre que se a | (2x− 3y) e a | (4x− 5y) então a | y para todo a, x, y ∈ Z.
5. Sejam a, b, n ∈ Z tais que n ≥ 2. Mostre que as seguintes a�rmações são equivalentes:
(1) n | (a− b);
(2) os restos de a e b, quando divididos por n, são iguais.
6. Sejam a, b, c ∈ Z. Mostre que
(1) mdc(ac, bc) = c ·mdc(a, b).
(2) mdc(a/d, b/d) = 1 onde d = mdc(a, b).
7. Usando o algoritmo de Euclídes, determine d = mdc(a, b) sendo
(1) a = 232, b = 136;
(2) a = 187, b = 221;
(3) a = −25, b = 5;
(4) a = −39, b = 17.
8. Sejam a, b ∈ Z tais que existem u, v ∈ Z com ua+ vb = 1. Mostre que mdc(a, b) = 1.
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