exponencial_logaritmo

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POTENCIAÇÃO, FUNÇÃO EXPONENCIAL E LOGARITMOS 
 
Potenciação 
 
1) Sendo a um número real, n natural e n > 1, temos 
4434421
L
fatoresn
n aaaaa ⋅⋅⋅⋅= . 
Exemplos 
a) 34 = 3 · 3 · 3 · 3 = 81 b) (-4)2 = (-4) · (-4) = 16 
 
2) Sendo a um número real, temos a1 = a. 
 
Exemplos 
a) 81 = 8 b) (-3)1 = –3 
 
3) Sendo a um número real não nulo, temos a0 = 1. 
 
Exemplos 
a) 100 = 1 b) (-2)0=1 
 
4) Sendo n > 0, temos 0n = 0. 
Exemplos 
a) 04 = 0 b) 020= 0 
 
5) Sendo a um número real não nulo, e n >0, temos a-n = 1/an. 
Exemplos 
a) 
8
1
2
1
2
3
3
==
− 
b) ( )
81
1
)3(
1
3
4
4
=
−
=−
−
 
c) 
16
9
4
3
3
4
22
=





=





−
 
 
5) Sendo a > 0, e n um número natural, temos a1/n = nn/1 aa = . 
Exemplos 
a) 288 33/1 == 
b) 22/1 55 = 
 
6) Sendo a um número real não nulo, m e n números reais quaisquer, temos 
nmnm aaa +=⋅ . 
Exemplos 
a) 1282222 74343 ===⋅ + 
b) 1)1()1()1()1( 97272 −=−=−=−⋅− + 
 
7) Sendo a um número real não nulo, m e n números reais quaisquer, temos nm
n
m
a
a
a −
= . 
Exemplos 
a) 24333
3
3 527
2
7
===
− 
b) 8)2()2(
)2(
)2( 325
2
5
−=−=−=
−
− − 
c) 
64
1
4
1
44
4
4
3
385
8
5
====
−− 
 
8) Sendo a > 0, m e n números reais quaisquer, temos ( ) nmnm aa ⋅= . 
Exemplos 
a) ( ) 32768222 153535 === ⋅ 
b) ( ) 729333 63232 === ⋅ 
c) ( )
15625
1
5
1
555
6
6)2(323
====
−−⋅− 
 
 
Função exponencial 
 
Definição: Dado um número real a, com a > 0 e 1a ≠ , chamamos função exponencial de base 
a a função f de R → R que associa a cada x real o número ax. 
 
Podemos escrever, também: f: R → R 
 x → ax 
 
Exemplos de funções exponenciais em R: 
a) f(x) = 2x b) f(x) = 
x
3
1






 c) f(x) = ex d) f(x) = 10x 
Gráfico: O gráfico de f(x) = ax tem o seguinte aspecto: 
 
1) Se a > 1 2) Se 0 < a < 1 
 
 
 função crescente função decrescente 
 
Observamos que nos dois casos, a imagem da função exponencial é: Im = R+*. 
 
Dizemos, ainda, que a função f(x) = ax, intercepta o eixo y no ponto (0, 1). 
 
 
Equações exponenciais 
 
Definição: Equações exponenciais são equações com incógnita no expoente. 
 
Exemplos 
 
a) 2x = 64 
b) ( ) 3x 813 = 
c) 4x – 2x = 2 
 
 
Para resolvermos essas equações, devemos reduzir ambos os membros em potências de 
mesma base, usando para isso as propriedades de potência. 
 
Pelo fato da função exponencial f(x) = ax ser injetora, podemos concluir que potências iguais e 
de mesma base têm os expoentes iguais, ou seja: 
 
ab = ac ⇔ b = c (a > 0 e 1a ≠ ) 
 
Exemplos 
a) 2x = 64 b) ( ) 3x 813 = c) 4x – 2x = 2 
2x = 26 ( ) 3/1x2/1 )81(3 = 22x – 2x – 2 = 0 
x = 6 3
1
4
x
2
1
)3(3 = fazendo 2x = t 
V = {6} 3
4
x
2
1
33 = t2 – t – 2 = 0 
 
3
4
x
2
1
= temos que t = – 1 ou t = 2 
 x = 
3
8
 2x = – 1 ou 2x = 2 
 V = {
3
8
} ∃/ x tal que 2x = – 1 
 2x = 21 
 x = 1 
 V = {1} 
 
LOGARITMOS 
 
Definição: Seja 1b ≠ um número real positivo. Dado um número positivo x qualquer, 
existe um único número real y tal que ybx = . Este número y é chamado logaritmo do 
número x na base b e será denotado por xlogy b= . 
Temos, então, a igualdade: yb bxxlogy =⇔= 
Exemplos: 
1) Calcule 9log 3 . 
 Da igualdade acima temos: 
 2y33399logy y2y3 =⇔=⇔=⇔= . 
Logo, 29log 3 = 
2) Calcule 2log 4 . 
 Da igualdade acima temos: 
 
2
1
y1y222422logy y2y4 =⇔=⇔=⇔=⇔= . 
Logo, 
2
1
2log 4 = 
 
FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
 Para cada número real positivo 1b ≠ , definimos a função logarítmica, na base b, como sendo a 
função R),0(:f →∞+ , que a cada número real positivo x associa o número real xlog)x(f b= 
 
Gráficos 
A função logaritmo de x na base b, pode ser representada graficamente de duas maneiras 
diferentes, dependendo do valor de b, como figura abaixo: 
 
 
b > 1 0 < b < 1 
 
Como se vê nos gráficos acima, a função logarítmica é crescente se b > 1 e é decrescente se 
0 < b < 1. O domínio da função logarítmica é o conjunto dos números reais positivos e sua 
imagem é o conjunto de todos os números reais, ou seja, RR:logb →+ . 
 
Propriedades 
Sejam b > 0 e 1b ≠ , M > 0, N > 0 e r números reais, então: 
 
a) NlogMlog)NM(log bbb += 
b) NlogMlog
N
M
log bbb −=





 
c) Mlogr)M(log b
r
b ⋅= 
d) 1blog b = 
e) 01log b =
 
Mudança de base 
Sejam a e b números reais positivos com 1a ≠ e 1b ≠ , para qualquer número real positivo M 
temos a igualdade: 
blog
Mlog
Mlog
a
a
b = 
 
Exemplo 
 
Escreva a seguinte expressão zlog3ylog2xlog 666 −+ com um único logaritmo. 
Solução: 
3
2
6
3
6
2
66666
z
xy
logzlogylogxlogzlog3ylog2xlog =−+=−+ 
 
Logaritmos especiais 
Dois logaritmos possuem notações próprias que são: 
 
• xlog)x(f 10= , que será denotado simplesmente por xlog)x(f = e será chamado 
logaritmo decimal (na base 10). 
 
• xlog)x(f e= , que será denotado simplesmente por xln)x(f = e será chamado logaritmo 
natural (ou Neperiano), onde e representa o número de Napier, base da função 
exponencial xe)x(g = , cujo valor aproximado é e = 2,7182... 
 
 
Relação entre função logarítmica e função exponencial: 
As funções xlog)x(f b= e 
yb)y(g = são funções inversas, uma da outra, pois pela própria 
definição de logaritmo temos, yb bxyxlog =⇔= e, assim, 
( ) xbxlogg))x(f(g xlogb b === e 
( ) y)b(logbf))y(g(f yby === 
 
Exemplo 
 
Durante quanto tempo devemos investir R$ 900,00 a uma taxa de 10% ao ano, no sistema de 
juros compostos, para resgatar R$ 1.500,00? 
 
Solução: 
Da fórmula de juros composto, t)i1(PVPF += , onde PF é o valor a ser resgatado, PV é o 
valor aplicado, i é a taxa e t é o tempo de aplicação, temos que: 
( ) ( ) 3599,5
0414,0
2219,0
)1,1log(
)3/5log(
3
5
logt
3
5
1,1
900
1500
1,01
100
10
19001500 1,1
tt
t
===





=⇔=⇔=+⇔





+=
 
EXERCÍCIOS SOBRE EXPONENCIAL E LOGARITMO 
 
1) Esboce o gráfico das seguintes funções: 
a) f(x) = 2x 
b) f(x) = 
x
2
1






 
c) f(x) = 2x + 2 
d) f(x) = 
x
2
1






- 3 
e) f(x) = 3.2x 
f) f(x) = 
x
2
 
2) Resolva as seguintes equações exponenciais: 
a) 125
5
1
x
=





 
b) 125x = 0,04 
c) 53x-1 = 
3x2
25
1
+






 
d) (2x)x + 4 = 32 
e) 4x + 1 – 9.2x + 2 = 0
 
3) Calcule o valor do logaritmo dado. 
a) 64log 8 b) 64log 4 c) 8log 64 d) 
64
1
log 2 
e) 1log 2 f) 2log 2 g) 8log
2
1 h) 81log
3
1 
4) Determine o domínio e faça um esboço do gráfico da função dada. 
a) xlog)x(f
4
1= b) xlog)x(f 2= c) )1xln()x(f += 
d) )2xln()x(f −= e) )x(log)x(f
2
1 −= f) xlog)x(f
3
1−= 
5) Reduza a expressão dada em um único logaritmo. 
 a) ylog
2
1
xlog4 + b) 1log3yln
3
2
xln5 6−+ 
 c) 1)y2(log)x(log3 bb −+ d) zlog36logxlog 939 −+ 
6) Sendo 51,0
5
3
ln,5bln,2aln −=== , calcule. 
 a) )abln( b) abln c) )baln( 32 d) )
a5
b3
ln(
3
2
 
7) Resolva as seguintes equações: 
a) 9ln3lnxln =+ 
b) 04ln)x2x(ln 2 =+− 
c) )x3ln(2ln)1xln(xln −+=−− 
d) 04lnxlnxln 2 =−− 
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DO CÁLCULO ZERO 
 
EXPONENCIAL 
 
1a) 1b) 1c) 
 
1d) 1e) 1f) 
 
 
2a) V = {-3} 
2b) V = 






−
3
2
 
2c) V = 






−
7
5
 
2d) V = {-5; 1} 
 
2e) V = {-2; 1}
 
LOGARTIMOS 
3) a) 2; b) 3; c) 
2
1
; d) –6; e) 0; f) 1; g) –3; h) –4. 
4) a) }0x/Rx{Df >∈= b) }0x/Rx{Df >∈= 
 
 
 c) }1x/Rx{Df −>∈= d) }2x/Rx{Df >∈= 
 
 
 e) }0x/Rx{Df <∈= f) }0x/Rx{Df >∈=5) a) )yxlog( 4 ; b) )yxln( 3 25 ; c) 








b
y2x
log
3
b ; d) 







39 z
x36
log . 
6) a) 7; b) 
2
7
; c) 19; d) 6,49. 
7) a) 3; b) não existe; c) 2 ou 
2
3
; d) 4.