Cálculo Diferencial e Integral I (MAD101) P3

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1. O conceito de limites inaugura dentro da história da ciência um novo paradigma em que as análises científicas ganham um grau de abstração muito maior. Podemos perceber este fato na definição de infinito. Neste sentido, vamos retomar os cálculos relacionados aos limites no infinito. Desta forma, calcule: ( * Máximo 4000 caracteres )
	
Lim 5+7/x 
x→-∞ 3 +1/x – 7/x2
 = Lim 5 + 7 Lim 1/x
 x→-∞ x→-∞____________ 
 Lim 3 + Lim 1/x -7 Lim 1/x2
 x→-∞ x→-∞ x→-∞ 
= 5 + 0 = 5
 3 + 0 – 0 3
Portanto, 
 Lim 5x2+7x = 5 
 x→-∞ 3x2 + x -7 3
 
	2.
	A regra de L'Hôpital, também por vezes denominada regra de Cauchy, foi incorporada no primeiro livro de texto sobre cálculo diferencial, publicado por Guillaume François Antoine, Marquês de L'Hôpital, em 1712. Seu objetivo é calcular o limite de frações nos casos em que há indeterminações do tipo zero sobre zero ou infinito sobre infinito. Utilizando a Regra de L'Hôpital (derivando quantas vezes forem necessárias), determine o valor do limite a seguir: ( * Máximo 4000 caracteres )
	
Para utilizar a regra de L’HÔPITAL, devemos derivar numerador e denominador da função.
Lim (1-x –lm x)’ = Lim (1/x)’ 
x→1 (x3 –3x +2)’ x→1 3x2 +3
deriva novamente= 
Lim (1/x)’ = Lim -1/x2 / 6x = Lim -1/6x2 
x→1 (3x2 +3) x→1 x→1
portanto
= - 1___ = -1/6
 6.(1)3
Lim 1-x –ln x = -1/6 
x→1 x3 –3x +2 
Parte superior do formulário
	1.
	Uma cidade X é atingida por uma moléstia epidêmica. Os setores de saúde calculam que o número de pessoas atingidas pela moléstia depois de um tempo t (medido em dias a partir do primeiro dia de epidemia) é, aproximadamente, dado por  f(t) = 64.t - t³/3. A partir disto, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
(    ) Após t = 4 dias o número de atingidos é de aproximadamente 235 pessoas.
(    ) A taxa de expansão da epidemia é de 48 pessoas/dia após 4 dias.
(    ) A taxa de expansão da epidemia é de 28 pessoas/dia após 3 dias.
(    ) Após 8 dias a taxa de expansão se estabiliza e chega a zero.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
	
	a) V - V - F - V.
	
	b) F - V - F - V.
	
	c) V - F - F - F.
	
	d) F - F - V - V.
	 
	 
	2.
	Os limites são usados no cálculo diferencial e em outros ramos da análise matemática para definir derivadas e a continuidade de funções. Calcule o limite da questão a seguir, observe as opções e assinale a alternativa CORRETA:
	
	
	a) Somente a opção III está correta.
	
	b) Somente a opção I está correta.
	
	c) Somente a opção IV está correta.
	
	d) Somente a opção II está correta.
	3.
	No cálculo, a derivada em um ponto de uma função y=f(x) representa a taxa de variação instantânea de y em relação a x neste ponto. Um exemplo típico é a função velocidade que representa a taxa de variação (derivada) da função espaço. Assinale a alternativa CORRETA que apresenta a derivada do produto entre f(x) = 3 - 2x² e g(x) = 2x - 1:
I) - 12x² - 4x - 6.
II) - 12x² - 4x + 6.
III) - 12x² + 4x + 6.
IV) - 12x² + 4x - 6.
	
	a) Somente a opção II está correta.
	
	b) Somente a opção IV está correta.
	
	c) Somente a opção III está correta.
	
	d) Somente a opção I está correta.
	4.
	Derivadas são utilizadas em grande escala na física quando se deseja obter uma variação entre duas grandezas. Leia a questão a seguir e assinale a alternativa CORRETA:
	
	
	a) A opção I está correta.
	
	b) A opção III está correta.
	
	c) A opção II está correta.
	
	d) A opção IV está correta.
	5.
	Em matemática, uma função é contínua quando, intuitivamente, pequenas variações nos objetos correspondem a pequenas variações nas imagens. Nos pontos onde a função não é contínua, diz-se que a função é descontínua, ou que se trata de um ponto de descontinuidade. Determine o ponto de descontinuidade da função:
	
	
	a) O ponto é  x = 0.
	
	b) O ponto é  x = -1.
	
	c) O ponto é  x = -2.
	
	d) O ponto é  x = -3.
	6.
	Leia a questão a seguir e assinale a alternativa CORRETA:
	A distância percorrida por um trem, desde seu ponto de partida, quando viaja ao longo de um trilho em linha reta, é dada pela equação s=16t2 + 2t, onde s é a distância percorrida em Km e t é o tempo em h. ache a velocidade após 2h.
I) 68 Km/h
II) 56 Km/h
III) 66 Km/h
IV) 52 Km/h
	
	a) A opção II está correta.
	
	b) A opção III está correta.
	
	c) A opção I está correta.
	
	d) A opção IV está correta.
	7.
	O conceito de limites inaugura, dentro da história da ciência, um novo paradigma, em que as análises científicas ganham um grau de abstração muito maior. Podemos perceber este fato na definição de infinito. Neste sentido, vamos retomar os cálculos relacionados aos limites no infinito. Desta forma, calcule o valor do limite representado a seguir e assinale a alternativa CORRETA:
	
	
	a) O limite é 14.
	
	b) O limite é 15.
	
	c) O limite é 12.
	
	d) O limite é 6.
	8.
	A construção da Usina Hidrelétrica de Itaipu no rio Paraná, na fronteira entre o Brasil e o Paraguai, iniciou-se na década de 1970, mais precisamente em Janeiro de 1975. Nesta época, não existiam ferramentas computacionais para representar os desenhos referentes à planta de construção da usina e nem para realizar cálculos com tamanha exatidão e rapidez. Na época, a importância dos matemáticos era grande e foi necessária a atuação de um deles para a determinação do comprimento correto da barragem da usina. Sabe-se geometricamente, através do desenho da planta da usina, constatou que a função matemática que mais se aproximava da curva representativa da barragem da Usina era f(x) = ln (cos x) em que f(x) é dado em km. Com base nessas informações, qual das alternativas representa o valor provável do comprimento da barragem da usina, sabendo-se que o valor de x da função f(x) varia de pi/6 a pi/4?
	
	a) 0,8813 km.
	
	b) 0,5493 km.
	
	c) 0,6640 km.
	
	d) 0,3320 km.
	9.
	As operações inversas: adição e subtração, multiplicação e divisão, potenciação e radiciação, exponenciação e logaritmação, já são bastante conhecidas. A integração indefinida é basicamente a operação inversa da diferenciação. Assim, dada à derivada de uma função, o processo que consiste em achar a função que a originou, ou seja, achar a sua primitiva denomina-se de antiderivação. Baseado nisto, analise as opções que apresentam f(x), sendo que f'(x) = x³ - x + 2 para todo x e f(1) = 2 e assinale a alternativa CORRETA:
	
	
	a) I, apenas.
	
	b) IV, apenas.
	
	c) II, apenas.
	
	d) III, apenas.
	10.
	No cálculo, a derivada em um ponto de uma função y = f(x) representa a taxa de variação instantânea de y em relação a x neste ponto. Um exemplo típico é a função velocidade que representa a taxa de variação (derivada) da função espaço. Com relação à questão a seguir, assinale a alternativa CORRETA:
	
	
	a) Somente a opção II está correta.
	
	b) Somente a opção IV está correta.
	
	c) Somente a opção III está correta.
	
	d) Somente a opção I está correta.
	11.
	(ENADE, 2011).
	
	
	a) a = 0.
	
	b) a = e.
	
	c) a = 1/2.
	
	d) a = 1.
	12.
	(ENADE, 2014).
	
	
	a) 5.
	
	b) 3.
	
	c) 9.
	
	d) 7.
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