ATIVIDADE 1 - MAT - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I - 2020D

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ATIVIDADE 1 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I - 2020D 
O conceito de limites é uma das bases do cálculo, pois ele é referência para se 
definir derivas e integrais. Além dos conceitos intuitivos de limites devemos conhecer 
propriedades e vários teoremas, entre eles destacamos o do confronto. Neste sentido, 
resolva a questão abaixo usando a ideia de função limitada e também o teorema do 
confronto. 
Sejam as funções de reais em reais com as seguintes características para todo valor 
x: 
 
I) Podemos afirmar que a função f é limitada inferiormente? Justifique. 
 Sabe-se que a imagem da função à esquerda da inequação |𝑠𝑒𝑛 𝑥| é [0, 1]. Dessa 
maneira, se o valor mínimo é 0 e tem-se que "f(x)" é sempre maior ou igual ao valor desta 
função, "f(x)" é, portanto, limitada inferiormente, sendo 0 o limite inferior. 
II) A função g é limitada superiormente? Justifique. 
Como informado no item acima, a imagem da função |𝑠𝑒𝑛 𝑥| é [0, 1]. Logo, a 
imagem da função à direita da inequação, 1 + |𝑠𝑒𝑛 𝑥|, é [1, 2]. Dessa maneira, se o valor 
máximo é 2 e tem-se que "g(x)" é sempre menor ou igual ao valor desta função, "g(x)" é, 
portanto, limitada superiormente, sendo 2 o limite superior. 
III) Determine o valor de: 
. 
𝑙𝑖𝑚𝑥→0 3 ∗ 𝑙𝑖𝑚𝑥→0 𝑓(𝑥) ∗ 𝑙𝑖𝑚𝑥→0 𝑔(𝑥) + 𝑙𝑖𝑚𝑥→0 2 ∗ 𝑙𝑖𝑚𝑥→0 (𝑐𝑜𝑠𝑥) 
 Analisando-se os valores da inequação anterior de f(x): 
|𝑠𝑒𝑛 𝑥| ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 3|𝑥| 
𝑙𝑖𝑚𝑥→0 |𝑠𝑒𝑛 𝑥| ≤ 𝑙𝑖𝑚𝑥→0 𝑓(𝑥) ≤ 𝑙𝑖𝑚𝑥→0 3|𝑥| 
0 ≤ 𝑙𝑖𝑚𝑥→0 𝑓(𝑥) ≤ 0 
 
 
Acadêmico: R.A. 
Curso: Licenciatura em matemática Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I 
 
 
Dessa forma, como a função "f(x)" está contida entre funções cujo limite de ambas 
é equivalente a 0, tem que o limite de "f(x)" também será igual a 0, conforme o Teorema 
do Confronto. 
E como o limite da função “f(x)” está multiplicando o da “g(x)”, é desnecessário 
encontrar o valor da último, haja vista que o resultado da equação será nulo de qualquer 
maneira. 
Regressando-se então para a equação principal, obtém-se que: 
𝑙𝑖𝑚𝑥→0 3 ∗ 𝑙𝑖𝑚𝑥→0 𝑓(𝑥) ∗ 𝑙𝑖𝑚𝑥→0 𝑔(𝑥) + 𝑙𝑖𝑚𝑥→0 2 ∗ 𝑙𝑖𝑚𝑥→0 (𝑐𝑜𝑠𝑥) 
3 ∗ 0 ∗ 𝑙𝑖𝑚𝑥→0 𝑔(𝑥) + 2 ∗ 𝑙𝑖𝑚𝑥→0 (𝑐𝑜𝑠𝑥) 
0 + 2 ∗ 1 = 2 
Logo, o valor da expressão é equivalente a 2.