Lista 9 - Cálculo 1 - Integrais indefinidas

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1. Determine as integrais indefinidas abaixo.
a)
∫
cos3(5x) · sen(5x) dx;
a substituiçãoRealizando u = cos(5x) temos que, du = (−5) · sen(5x)dx. Portanto,∫
cos3(x) · sen(5x) dx =
∫
u3
−5
du = −1
5
∫
u3 du =
(
−1
5
)
u4
4
+ C = −cos
4(5x)
20
+ C
b)
∫
e2x√
1− e4x
dx;
a substituiçãoRealizando u = e2x temos que, du = 2e2xdx. Assim,∫
e2x√
1− e4x
dx =
∫
1
2 ·
√
1− u2
du =
1
2
∫
1√
1− u2
du =
1
2
arcsen(u)+C =
1
2
arcsen(e2x) + C
c)
∫ √
1 + x2 dx.
Fazendo a substituição trigonométrica x = tg(θ) temos que, dx = sec2(θ) dθ. Assim, supondo
θ ∈ [0, π
2
) (o qual é um domı́nio comum aos domı́nios principais de sec e tg), obtemos:∫ √
1 + x2 dx =
∫ (√
1 + tg2(θ)
)
· sec2(θ) dθ =
∫ (√
sec2(θ)
)
· sec2(θ) dθ =
∫
sec3(θ) dθ.
Observamos que,
∫
sec3(θ) dθ =
∫
sec(θ) · sec2(θ) dθ
agoraUtilizando o método de integração por partes, fazendo u = sec(θ) e dv = sec2(θ) dθ. Logo,
du = sec(θ) · tg(θ) dθ e v = tg(θ). Assim,∫
sec3(θ) dθ = sec(θ) · tg(θ)−
∫
sec(θ) · tg2(θ) dθ =
= sec(θ) · tg(θ)−
∫
sec(θ) · (sec2(θ)− 1) dθ =
= sec(θ) · tg(θ)−
∫
sec3(θ) dθ +
∫
sec(θ) dθ
Logo, 2 ·
∫
sec3(θ) dθ = sec(θ) · tg(θ) +
∫
sec(θ) dθ = sec(θ) · tg(θ) + ln |sec(θ) + tg(θ)|+K,
ou seja, ∫
sec3(θ) dθ =
sec(θ) · tg(θ)
2
+
ln |sec(θ) + tg(θ)|
2
+ C
1
Exercícios resolvidos de cálculo 1 - Integrais indefinidas
sendo C = K
2
.
Lembrando que x = tg(θ) e que θ ∈ [0, π
2
) temos que, sec(θ) =
√
1 + x2, logo:
∫ √
1 + x2 dx =
x ·
√
1 + x2
2
+
1
2
ln |x+
√
1 + x2|+ C
2