Lista 8 - Cálculo diferencial e séries

Prévia do material em texto

1. Determine se a séries é convergente ou divergente.
a)
∞∑
n=1
ln(1 +
1
n
); b)
∞∑
n=0
72
59879n + 1000098
; c)
∞∑
n=1
2n− 1
2n
.
a) Observamos que ln(1 + 1
n
) = ln(n+1
n
) = ln(n + 1)− lnn. Assim,
sn =
∑n
k=1 ln(1 +
1
k
) =
∑n
k=1(ln(k + 1)− ln k) =
= (ln 2− ln 1) + (ln 3− ln 2) + · · ·+ (ln(n + 1)− lnn) = ln(n + 1)− ln 1 = ln(n + 1)
Como limn→∞ ln(n + 1) = +∞, temos que a série
∑∞
n=1 ln(1 +
1
n
) é divergente.
b) Sejam an =
72
59879n+1000098
e bn =
1
n
. Temos que an > 0 e bn > 0 para todo n ∈ N e
lim
n→∞
an
bn
= lim
n→∞
72n
59879n + 1000098
= lim
n→∞
72
59879 + 1000098
n
=
72
59879
> 0
Uma vez que
∑
n→∞
bn =
∑
n→∞
1
n
é divergente, segue do teste limite de comparação, que a série
∞∑
n=0
an =
∞∑
n=0
72
59879n + 1000098
é também divergente.
c) Seja an =
2n−1
2n
> 0. Temos que an > 0 para todo n ∈ N e
lim
n→∞
an+1
an
= lim
n→∞
2(n + 1)− 1
2n+1
· 2
n
2n− 1
= lim
n→∞
(2n + 1)
2(2n− 1)
= lim
n→∞
2 + 1
n
2(2− 1
n
)
=
1
2
< 1
Portanto, segue do teste da razão que a série
∞∑
n=1
an =
∞∑
n=1
2n− 1
2n
converge.
2. A função senohiperbólico, senh : R→ R ´e definida por senh(x) =
ex − e−x
2
.
a) Determine a série de Taylor (centrada em x0 = 0) da função seno hiperbólico;
Observamos que senh′(x) = e
x+e−x
2
= cosh(x)
senh′′(x) = cosh′(x) = senh(x)
senh′′′(x) = senh′(x) = cosh(x)
Percebemos portanto que para todo k ∈ N temos
senh(2k)(x) = senh(x) e senh(2k+1)(x) = cosh(x) = e
x+e−x
2
Como senh(0) = 0 e cosh(0) = 1, temos que a série de Taylor da função senh, centrada em
x0 = 0, é dada por
∞∑
n=0
x2n+1
(2n + 1)!
b) Qual o raio de convergência dessa série? Justifique.
Se bn =
x2n+1
(2n+1)!
então
lim
n→∞
|bn+1|
|bn|
= lim
n→∞
|x2n+3|(2n + 1)!
(2n + 3)!|x2n+1|
= lim
n→∞
x2
(2n + 3)(2n + 2)
= 0 < 1 para todo x ∈ R
Portanto, o raio de convergência dessa série é infinito.
2
Exercícios resolvidos de cálculo diferencial e séries
c) É verdade que
∞∑
n=0
senh(n)(0)
n!
xn = senh(x) para cada x no intervalo de convergência de
∞∑
n=0
senh(n)(0)
n!
xn? Justifique.
Lembrando que ex =
∑∞
n=0
xn
n!
temos que
senh(x) =
ex − e−x
2
=
1
2
(
∞∑
n=0
xn
n!
−
∞∑
n=0
(−x)n
n!
)
=
=
1
2
∞∑
n=0
(
xn
n!
− (−1)
nxn
n!
)
=
1
2
∞∑
n=0
xn
n!
(1− (−1)n) =
=
∞∑
n=0
xn
n!
(
1− (−1)n
2
)
=
∞∑
k=0
x2k+1
(2k + 1)!
Portanto a série de Taylor da função senh converge para senh(x) para todo x ∈ R.
3