Campos vetoriais

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Universidade Federal de Lavras
Lista 04 de exercício - Cálculo III
Professora: Graziane Sales Teodoro BOM TRABALHO!
Independência do caminho; campo vetorial conservativo
Questão 1. a) Mostre que a integral de linha
∫
C
y2 dx+ 2xy dy é independente do caminho.
b) Calcule a integral da parte ao longo do segmento de reta de (−1, 2) até (1, 3) usando o
Teorema Fundamental das integrais de linha.
Questão 2. Con�rme que o campo de forças F é conservativo em alguma região aberta
conexa contendo os pontos P e Q e, então, calcule o trabalho realizado pelo campo de forças
numa partícula que se move de P até Q, ao longo da curva lisa arbitrária.
a) F(x, y) = xy2i+ x2yj; P (1, 1) e Q(0, 0).
b) F(x, y) = yexyi+ xexyj; P (−1, 1) e Q(2, 0).
Teorema de Green
Questão 3. Calcule a integral de linha usando o Teorema de Green e veri�que a resposta
calculando-a diretamente. ∮
C
y2 dx+ x2 dy,
onde C é o quadrado de vértices (0, 0), (1, 0), (1, 1) e (0, 1) orientado no sentido anti-horário.
Questão 4. Use o Teorema de Green para calcular a integral. Suponha que a curva seja
orientada no sentido anti-horário.
a)
∮
C
3xy dx+ 2xy dy onde C é o retângulo limitado por x = −2, x = 4, y = 1 e y = 2.
b)
∮
C
(x2 − y) dx+ x dy onde C é o círculo x2 + y2 = 4.
c)
∮
C
ln(1 + y) dx− xy
1 + y
dy onde C é o triângulo de vértices (0, 0), (2, 0), (0, 4).
d)
∮
C
x2y dx+(y+xy2) dy onde C é a fronteira da região compreendida por y = x2 e x = y2.
Questão 5. Use uma integral de linha para encontrar a área do triângulo de vértices (0, 0),
(a, 0), (0, b), onde a > 0 e b > 0.
Questão 6. Use o Teorema de Green para calcular o trabalho realizado pelo campo de forças
F(x, y) = xyi +
(
1
2
x2 + xy
)
j numa partícula que se move iniciando em (5, 0), percorre o
semicírculo superior x2 + y2 = 25 e retorna ao seu ponto de partida ao longo do eixo x.
1
Integrais de Superfície
Questão 7. Calcule a integral de superfície.
a)
∫∫
σ
z2 dS, onde σ é a porção do cone z =
√
x2 + y2 entre os planos z = 1 e z − 2.
b)
∫∫
σ
x− y − z dS, onde σ é a porção do plano x+ y = 1 no primeiro octante entre z = 0 e
z = 1.
Questão 8. Calcule a integral de superfície, onde σ é representada pela função vetorial
r(u, v).
a)
∫∫
σ
xyz dS, onde r(u, v) = u cos vi+ u senvj+ 3uk (1 ≤ u ≤ 2, 0 ≤ v ≤ π
2
).
b)
∫∫
σ
1√
1 + 4x2 + 4y2
dS, onde r(u, v) = u cos vi+u senvj+u2k (0 ≤ u ≤ senv, 0 ≤ v ≤ π).
Questão 9. Encontre o �uxo do campo vetorial F através de σ na direção da orientação
positiva.
a)F(x, y, z) = xi + yj + 2zk e σ é a porção do cone z2 = x2 + y2 entre os planos z = 1 e
z = 2.
b)F(x, y, z) = xi+yj+k e σ é a porção do parabolóide r(u, v) = u cos vi+u senvj+(1−u2)k
(1 ≤ u ≤ 2, 0 ≤ v ≤ 2π).
Teorema da Divergência
Questão 10. Veri�que a fórmula do Teorema da divergência calculando a integral de super-
fície e a integral tripla. Seja F(x, y, z) = xi+ yj+ zk, onde σ é a superfície do cubo limitado
pelos planos x = 0, x = 1, y = 0, y = 1, z = 0 e z = 1.
Questão 11. Use o teorema da Divergência para encontrar o �uxo de F através da superfície
σ com orientação para fora.
a) F(x, y, z) = (x − z)i + (y − x)j + (z − y)k, onde σ é a superfície do sólido limitado por
x2 + y2 = a2, z = 1 e z = 0.
b) F(x, y, z) = x2i+y2j+z2k, onde σ é a superfície do sólido compreendido por z =
√
x2 + y2
e z = 1.
Teorema de Stokes
Questão 12. Veri�que a fórmula do Teorema de Stokes calculando a integral de linha e a
integral dupla. Suponha que a superfície tenha orientação para cima.
a) F(x, y, z) = (x− y)i + (y − z)j + (z − x)k, onde σ é a porção do plano x + y + z = 1 no
primeiro octante.
b) F(x, y, z) = xi+ yj+ zk, onde σ é o hemisfério superior z =
√
a2 − x2 − y2.
Questão 13. Calcule
∮
F · dr, onde F(x, y, z) = −y2i+xj+z2k e C é a curva da interseção
do plano y + z = 2 com o cilindro x2 + y2 = 1. Oriente C no sentido anti-horário quando
observado de cima.
2
Respostas:
1. b) 13
2. a) W = −1
2
b) W = 1− e−1
3. 0
4.a) 0 b) 8π c) −4 d) 0
5. A = ab
2
6. W = 250
3
7.a) 15π
√
2
2
b) −
√
2
2
8.a) 93√
10
b) π
4
9.a) 14π
3
b) 18π
10.3
11.a) 3πa2 b) π
2
12.a) 3
2
b) 0
13. π
3