GRA1594 CÁLCULO APLICADO _ VÁRIAS VARIÁVEIS GR0551211 - Atividade 4

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Usuário FRANCISCO WAGNER SABOIA DA SILVA
Curso GRA1594 CÁLCULO APLICADO VÁRIAS VARIÁVEIS GR0551211 - 202110.ead-
8769.04
Teste ATIVIDADE 4 (A4)
Iniciado 24/02/21 19:58
Enviado 24/02/21 20:35
Status Completada
Resultado da
tentativa
10 em 10 pontos  
Tempo decorrido 37 minutos
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Pergunta 1
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da
resposta:
Em um circuito elétrico, tem-se que o gerador fornece uma voltagem constante de  um
capacitor com capacitância de  e um resistor com uma resistência de . Sabe-se que
esse circuito pode ser modelado matematicamente por meio da seguinte equação diferencial:
 , onde  é a carga, medida em coulombs. 
  
Dado que , assinale a alternativa correta. 
  
  
A função corrente é expressa por .
A função corrente é expressa por .
Resposta correta. A alternativa está correta. A função corrente é a derivada da função carga, isto
é, . A EDO  é uma equação linear de primeira ordem cuja solução pode
ser expressa por . Dada a EDO
, temos que  e . Portanto, sua solução geral é
. Como , segue que  e, assim, a função carga é expressa por .
Por �m, concluímos que a função corrente é .
Pergunta 2
De acordo com Sodré (2003, p. 5), “se são conhecidas condições adicionais, podemos obter
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Comentário
da
resposta:
soluções particulares para a equação diferencial e, se não são conhecidas condições adicionais,
poderemos obter a solução geral”. Uma condição adicional que pode ser conhecida é o valor da
função em um dado ponto. Assim, uma equação diferencial mais essa condição adicional é
chamada de Problema de Valor Inicial (PVI) . 
  
SODRÉ, U. Notas de aula. Equações diferenciais ordinárias , 2003.  Disponível em: http://ww
w.uel.br/projetos/matessencial/superior/pdfs/edo.pdf. Acesso em: 20 dez. 2019. 
  
Assinale a alternativa que apresenta a solução do PVI: , . 
  
  
.
.
Resposta correta. A alternativa está correta. A equação dada é separável, assim, podemos
resolvê-la separando as variáveis  e , integrando ambos os lados da igualdade em seguida:
. 
Da condição inicial dada, temos que se  então . Trocando esses valores na solução,
obtemos: . Portanto, a solução do PVI é .
Pergunta 3
Resposta
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Comentário
da
Considere uma mola com uma massa de 3 kg e de comprimento natural 0,5 m. Para esticá-la até
um comprimento de 0,8 m, é necessária uma força de 22,5 N. Suponha que a mola seja esticada
até o comprimento de 0,8 m e, em seguida, seja liberada com velocidade inicial nula. O
movimento realizado obedece à equação diferencial: , onde  é uma função do
tempo  que indica a posição da massa  e  é a constante elástica. 
  
Com base na situação descrita, assinale a alternativa correta. (Dica: Lei de Hooke: ). 
  
  
A posição da massa em qualquer momento  é expressa por 
A posição da massa em qualquer momento  é expressa por 
Resposta correta. A alternativa está correta. O enunciado fornece as seguintes condições:
 (a mola no tempo  está esticada em 0,8 m sendo seu comprimento natural de
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resposta: 0,5 m; portanto, está deformada em 0,3 m) e  (a velocidade inicial da mola é nula;
lembre que a função velocidade é a derivada primeira da função posição). Pela lei de Hooke,
temos que o valor da constante elástica é: . Tomando
 e  na EDO , obtemos a EDO . Resolvendo o PVI:
,  e  temos que a solução geral da EDO é
 , portanto, a solução do PVI é . Portanto,
Pergunta 4
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Comentário
da
resposta:
As equações diferenciais lineares e homogêneas de segunda ordem podem ser expressas por
meio da seguinte forma: , onde  e  são funções contínuas. Para
resolvermos equações desse tipo, precisamos escrever uma equação auxiliar, a qual é uma
equação de segundo grau. 
  
Com relação à solução de equações diferenciais lineares e homogêneas de segunda ordem,
analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) Verdadeira(s) e F para a(s) Falsa(s).
  
I. (   ) A equação auxiliar pode apresentar duas raízes reais distintas. 
II. (   ) A equação auxiliar sempre apresenta raízes reais. 
III. (  ) A equação auxiliar da EDO homogênea de segunda ordem  é expressa
por . 
IV. (  ) A equação auxiliar de raízes complexas  e  apresenta como solução a função
 . 
  
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
  
  
V, F, F, F.
V, F, F, F.
Resposta correta. A alternativa está correta. Com base na teoria das equações diferenciais
lineares e homogêneas de segunda ordem, temos que, entre as a�rmativas apresentadas,
apenas a a�rmativa I é verdadeira, sendo todas as outras falsas. Portanto, a sequência correta é
V, F, F, F.
Pergunta 5
A meia-vida é o tempo gasto para metade dos átomos de uma quantidade inicial  se
desintegrar ou se transmutar em átomos de outro elemento. Uma substância é dita mais estável
quando a meia-vida possui um valor elevado. Esse tipo de problema pode ser modelado pela
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Comentário
da
resposta:
seguinte equação diferencial: , onde  representa a quantidade de átomos presente na
substância e é uma função do tempo . Uma substância radioativa teve sua quantidade inicial 
 reduzida em 0,043% após 15 anos. 
  
Com relação a essa informação, analise as afirmativas a seguir: 
  
I. O valor da constante de proporcionalidade é . 
II. A função que representa o problema descrito é . 
III. O tempo de meia-vida dessa substância é de 23.512 anos. 
IV. Após 15 anos, a quantidade de substância existente é de . 
  
É correto o que se afirma em: 
  
  
I e II, apenas.
I e II, apenas.
Resposta correta. A alternativa está correta. Resolvendo a equação diferencial separável
, temos que as a�rmativas I e II estão corretas, pois 
, onde
. 
Para , concluímos que  e, para  concluímos
. Portanto, a função que representa o problema descrito é
.
Pergunta 6
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Resposta Correta: 
Um circuito elétrico simples composto por um resistor , um indutor  e uma força eletromotriz
  (proporcionada por uma pilha ou gerador) pode ser modelado matematicamente por meio da
seguinte equação diferencial: . Sabendo que essa equação é do tipo linear de
primeira ordem, considere um resistor de , uma indutância de  e uma voltagem constante
de . 
  
Assinale a alternativa que corresponde ao fator integrante da EDO dada. 
  
  
.
.
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Comentário
da
resposta:
Resposta correta. A alternativa está correta. O fator integrante de uma EDO linear de primeira
ordem  é expresso por . Dada a EDO
, temos que  e, portanto, o fator integrante é
.
Pergunta 7
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Comentário
da
resposta:
Uma equação diferencial pode ser classificada de acordo com a sua linearidade em equação
diferencial linear e equação diferencial não linear . As equações diferenciais lineares são
caracterizadas por duas propriedades: Considere que a variável independente é  e a variável
dependente é , temos que: (i) A variável dependente  e todas as suas derivadas são do
primeiro grau, isto é, possuem grau 1. (ii) Cada coeficiente depende apenas da variável
independente . 
  
Considere a variável  uma função da variável , isto é, . Analise as afirmativas a seguir. 
  
I. A equação diferencial  é linear. 
II. A equação diferencial  é linear. 
III. A equação diferencial  é linear. 
IV. A equação diferencial  é linear. 
  
Assinale a alternativa correta. 
  
I, III e IV, apenas.
I, III e IV, apenas.
Resposta correta. A alternativa está correta. De acordo com as condições de linearidade de uma
equação diferencial, temos que as a�rmativas I, III e IV estão corretas, pois em todas elas temos
que a variável dependente  e todas as suas derivadas possuem grau 1, e cada coe�ciente
depende apenas da variável independente .
Pergunta 8
Umaequação diferencial linear de primeira ordem pode ser expressa na forma ,
onde  e  são funções contínuas em um dado intervalo. A solução geral para equações
diferenciais lineares de primeira ordem é dada pela expressão
 . 
  
Com base nessa informação, analise as afirmativas a seguir e, na sequência, assinale a
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Comentário
da
resposta:
alternativa que apresenta a(s) afirmativa(s) correta(s): 
  
  
I. A solução geral da equação  é . 
II. A solução geral da equação  é . 
III. A solução geral da equação  é . 
IV. A solução geral da equação  é . 
  
É correto o que se afirma em: 
  
  
I, II e IV, apenas.
I, II e IV, apenas.
Resposta correta. A alternativa está correta. Aplicando o método de solução para uma equação
diferencial linear, temos: 
A�rmativa I: correta. Temos que  e , assim, 
. 
  
A�rmativa II: correta. Dividindo toda a equação por , temos que  e ,
assim,
. 
  
A�rmativa IV: correta. Temos que  e , assim,
, onde .
Pergunta 9
Um problema de valor inicial (PVI), para equações diferenciais lineares homogêneas de segunda
ordem, consiste em determinar uma solução  que satisfaça às condições iniciais da forma
  e . Por meio dessas condições, é possível determinar o valor das constantes
obtidas na solução geral. 
  
Considere o seguinte PVI: ,  e . Analise as afirmativas a seguir: 
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Comentário
da
resposta:
  
I. A equação auxiliar apresenta duas raízes reais e distintas. 
II. A solução do PVI é . 
III. O valor de umas das constantes da solução geral é . 
IV. A EDO dada não é homogênea. 
  
É correto o que se afirma em: 
  
  
I e II, apenas.
I e II, apenas.
Resposta correta. A alternativa está correta. São verdadeiras as a�rmativas I e II, pois: 
A�rmativa I: Correta. A equação auxiliar é expressa por , cujas raízes são
 (duas raízes reais e distintas). 
A�rmativa II: correta. Como a equação auxiliar possui raízes reais e distintas, a saber ,
a solução geral é expressa por . A partir das condições iniciais, obtemos o
seguinte sistema: 
(i) 
(ii) 
Resolvendo o sistema, obtemos  e . Portanto, a solução do PVI é .
Pergunta 10
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Resposta Correta:
 
Comentário
De acordo com Stewart (2016, p. 543), “a técnica para resolver as equações diferenciais
separáveis foi primeiro usada por James Bernoulli (em 1690) para resolver um problema sobre
pêndulos e por Leibniz (em uma carta para Huygens em 1691). John Bernoulli explicou o método
geral em um artigo publicado em 1694”. 
  
STEWART, J. Cálculo . São Paulo: Cengage Learning, 2016. 2 v. 
  
Sabe-se que o método de resolução de uma equação diferencial separável é a integração de
ambos os membros da igualdade, assim, assinale a alternativa que corresponde à solução da
equação diferencial . 
  
  
.
.
Resposta correta. A alternativa está correta. A equação diferencial dada é uma equação
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Quarta-feira, 24 de Fevereiro de 2021 20h36min22s BRT
da
resposta:
separável. Separando as variáveis  e , podemos reescrever a equação como
. Integrando ambos os lados da igualdade, temos
.