MATEMATICA_APLICADA

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Matemática Aplicada
• Introdução
• Conjuntos
• Representação dos Conjuntos 
• Subconjuntos
• Operações entre Conjuntos
• Intersecção de Conjuntos
• Diferença entre Conjuntos
• Produto Cartesiano
• Propriedades das Operações entre Conjuntos
• Propriedades Distributivas 
• Intervalos Reais
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����I���QoD�
OBJETIVO DE APRENDIZADO
Conjuntos e Intervalos Reais
UNIDADE Conjuntos e Intervalos Reais
Introdução
Olá, aluno(a)!
Muitos dos conceitos que vamos estudar aqui já foram vistos no ensino médio. 
Porém, agora faremos uma formalização dos conceitos e da linguagem matemática, 
que possui uma simbologia própria, com o objetivo de lhe proporcionar uma 
maturidade que será necessária ao longo do curso.
Conjuntos
Na matemática, chamamos de conjunto uma abstração para expressar uma 
delimitação (ou agrupamento) de objetos ou elementos. Dessa forma, um conjunto 
pode ser uma coleção de objetos quaisquer, inclusive outros conjuntos. 
Exemplos: conjunto das vogais, conjunto dos números pares, conjunto dos 
nomes dos meses do ano que possuem 31 dias.
Dentre as formas de representação para indicar um conjunto, apresentamos 
inicialmente um par de chaves { , }. As chaves são indicadas, respectivamente, 
para iniciar e terminar a delimitação dos elementos de um conjunto e estes são 
separados por vírgulas. 
Por exemplo: temos o conjunto das três primeiras letras do alfabeto latino: 
{a, b, c} ou ainda {A, B, C}. O conjunto dos algarismos da base decimal: {0, 1, 2, 
3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. O conjunto dos números do CEP 04121-040 será dado por: 
{0,1,2,4}.
 Para deixar clara a ideia de conjunto, usamos as chaves e, normalmente, o 
nome do conjunto é indicado por uma letra maiúscula.
A = { v, x, z }, 
B = { 0, 1, 2, 4 }
C = { a, b, c }
D = { janeiro, fevereiro, março} 
E = { a, e, i o, u}
F = { azul, amarelo, vermelho} 
G = { positivo, negativo }
Mas qual nome utilizar? Os nomes, tanto dos elementos, como dos conjuntos 
são arbitrários, como quaisquer nomes, alguns deles são muito usados e tornam-se 
especiais, como os símbolos de trânsito, de propaganda etc.
8
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Também podemos representar um conjunto pela descrição da propriedade que 
seus elementos possuem em comum, ou ainda por diagramas, conforme veremos 
nesta unidade.
Um elemento pode ou não “pertencer” a um determinado conjunto, e para a 
relação de pertencimento utilizamos o símbolo ∈ (pertence) ou ∉ (não pertence).
Exemplo: a letra u pertence ao conjunto A das vogais, logo escrevemos da 
seguinte forma: u ∈ A. Já a letra v, não pertence ao conjunto A das vogais, nesse 
caso v ∉ A.
Pela notação, temos: A { a, e, i, o , u } 
E temos que: 
u ∈ A
v ∉ A
Em outro exemplo, temos que janeiro pertence ao conjunto B dos meses que 
possuem 31 dias, já o mês de abril não pertence a esses conjuntos. Pela simbologia, 
podemos descrever:
B = { janeiro, março, maio, julho, agosto, outubro, dezembro }
janeiro ∈ B
abril ∉ B
Um conjunto pode ser formado por elementos, mas também tratamos da relação 
entre dois ou mais conjuntos. E, quando tratamos de um conjunto a respeito de um 
outro conjunto, dizemos que este está contido (usamos o símbolo ⊂) ou não está 
contido (nesse caso o símbolo ⊄). 
Exemplo: o conjunto A das vogais A { a, e, i, o , u } está contido no conjunto 
B das letras do alfabeto B { a, b, c, d, e, f, g, h, ..., z }, então temos que A ⊂ B. 
Também podemos dizer que o conjunto A é um subconjunto de B. 
Outro exemplo de um conjunto que está contido em outro conjunto é o 
subconjunto dos números positivos ímpares, que chamaremos arbitrariamente de 
I, que está contido no conjunto B dos números inteiros de 0 a 10.
Logo: B { 0, 1, 2 ,3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }
e I = { 1, 3, 5, 7, 9 } 
Vemos que todos os elementos do conjunto I pertencem ao conjunto B; logo, 
temos que I está contido em B , ou I é um subconjunto de B.
Então, temos que I ⊂ B.
Dentre os diversos tipos de conjuntos, descreveremos, nesta disciplina, os 
conjuntos matemáticos mais usados, que são: 
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UNIDADE Conjuntos e Intervalos Reais
• N - Naturais 
• Z - Inteiros 
• Q - Racionais
• R - Reais 
• C - Complexos 
O foco desta unidade não são os conjuntos numéricos em si, detalharemos 
melhor cada um deles em outra unidade, mas aqui descreveremos brevemente 
cada um deles a fim de explorar as operações entre conjuntos, bem como as 
propriedades dessas operações, que são o foco da nossa unidade.
N – Conjunto dos Naturais: N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ... }
Neste conjunto, está intrinsicamente formada a noção de ordem, isto é, 0 é 
menor que qualquer número natural, 1 é menos que 2, ou seja: 1 < 2, assim como 
2 < 3 , 4 < 5, . . . , 45 < 67 etc.
Z - O conjunto dos inteiros: Z = {. . . , −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 
6, 7, 8, 9, ....}
Z se constitui quando acrescentamos os números negativos ao conjunto dos 
naturais. No conjunto dos inteiros, a relação de ordem é intuitivamente a mesma 
dos naturais, um número x é menor que outro y se o primeiro vem antes do 
segundo e representamos essa ordem por x < y.
Q: o conjunto dos números racionais
Para formar o conceito de fração ou parte de algo inteiro, temos o conceito de 
número racional, que vem de razão ou divisão. O conjunto dos racionais pode ser 
descrito da seguinte forma:
Q
a
b
a Zeb Z b= ∈ ∈ ≠{ |� � � �� ,� }0
Ou seja: o conjunto Q dos racionais é composto por qualquer número que 
possa ser escrito como a divisão de dois números inteiros a e b, sendo que b deve, 
necessariamente, ser diferente de zero. 
Logo, as razões: 1/2 , 1/3, 3/4 , 7/9 , 1/10 são números ditos como racionais. 
Temos ainda que 2 pode ser escrito como um número racional, já que 2 = 4/2 = 
8/4 = 20/10.
Vale destacar que todo número racional escrito na forma fracionária a/b possui 
também sua representação decimal (que é resultante da divisão de a por b) como, 
por exemplo: 1/2 = 0,5 ou ainda 1/3 = 0,3333333333... que, mesmo sendo um 
número decimal infinito, por ser escrito na representação fracionária, é um número 
finito periódico, ou seja, possui um período que se repete.
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Porém, existem números como � , � e π dentre outros, que não são possíveis 
de serem escritos na forma fracionária a/b. Eles possuem infinitos dígitos e não 
formam períodos, são chamados de números irracionais. Importante destacar que 
os irracionais não pertencem ao conjunto dos racionais.
R: conjunto dos números reais
R é formado a partir do conjunto de todos os números racionais e do conjunto 
dos irracionais. Nesse caso, temos, por exemplo:
2
1
4
2 0 4� �,� � ,� ,�� ,��� �,� �∈ ∈ ∈ ∈ ∈ − ∈R R R R R Rπ 
Mas todos os números pertencem ao conjunto dos números reais? A resposta é 
não, pois nos números reais não temos as raízes pares de números negativos. 
Por exemplo: 5�∈R porém − ∉5� R
C : conjunto dos números complexos
C é formado a partir a unidade imaginária i, a qual, por definição, temos que 
− =� i , logo, a partir dessa definição, temos o complexo que pode ser escrito 
como a + bi. 
C = { a + bi | a ∈ R , b ∈ R e i = -1}
Representação dos Conjuntos 
Existem vários modos de indicar conjuntos, o primeiro é explicando quem são os 
seus elementos, ou seja, pela citação de cada um dos seus elementos, e o segundo 
é pela citação de uma propriedade comum a todos seus elementos. Podemos ter 
também o modo pela representação por Diagramas.
Exemplo: Consideremos que A e o conjunto dos números naturais paresentre 
2 e 12, inclusive B e o conjunto dos números naturais maiores ou iguais a 1 e 
menores do que 6.
Representação pela citação:
A = { 2, 4, 6, 8, 10, 12 }; B = { 1, 2, 3, 4, 5 },
Representação por uma propriedade comum:
A = {x ∈ N|2 ≤ x ≤ 12 e x é par}; B = {x ∈ N|1 ≤ x < 6}
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UNIDADE Conjuntos e Intervalos Reais
Representação por diagramas:
A B
2
4
6
8
12
10
1
2
3
4 5
Figura 1
Subconjuntos
Como vimos, no exemplo das vogais para exemplificar, um conjunto pode, ou 
não, estar contido em outro conjunto. Na teoria dos conjuntos, temos que para 
cada conjunto existe uma coleção de conjuntos que contém entre seus elementos 
todos os subconjuntos do conjunto dado.
Temos, então, que dado um conjunto A dizemos que ele é subconjunto de um 
conjunto B se, e somente se, todo elemento de A pertence também a B.
A B x x A x B⊂ ↔ ∀( ) ∈ → ∈( )� � � � �
Importante!
O símbolo ∀ representa qualquer, ou seja: qualquer que seja o elemento x em A, 
quando falamos qualquer estamos considerando qualquer elemento, ou seja: todos os 
elementos.
Importante!
Os subconjuntos podem ser compreendidos como conjuntos que estão, na 
totalidade, em outros conjuntos, como podemos observar na ilustração abaixo: 
B
A
Figura 2
 Com isso, temos uma nova relação, agora não mais entre elemento e conjunto, 
mas entre conjuntos, a chamada de Relação de Inclusão. 
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No início desta unidade, demos o exemplo de um conjunto que está contido em 
outro, lembra? Trata-se do conjunto os números positivos ímpares, que chamaremos 
arbitrariamente de I, que está contido no conjunto B dos números inteiros de 0 a 10.
Temos então: B { 0, 1, 2 ,3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 } e I = { 1, 3, 5, 7, 9 }
Claramente, vemos que todos os elementos de I pertencem a B e então I ⊂ B . 
No diagrama, podemos ver essa relação:
0
2
4
6
8
10
1
3
5
7
9
B
Figura 3
A relação de inclusão é veri� cada entre conjuntos. Ou seja, dados dois conjuntos, te-
mos que um conjunto está contido (⊂) em outro ou não está contido (⊄) em outro. 
Quanto se trata da relação de pertinência (de elementos para um conjunto), temos 
que um determinado elemento pertence (∈) a um conjunto ou não pertence (∉).
Cardinalidade:
Considerando um conjunto qualquer A, temos que o número de elementos de 
A, que chamamos de cardinalidade, é representada por #A ou n(A) ou ainda |A|.
Exemplo: O conjunto D dos números primos entre 6 e 20 tem sua cardinalidade 
igual a 4, representada por #D ou n ( D ) ou |D| = 4, já que o conjunto em questão 
é formado por D = { 11, 13, 17 e 19}
Exemplo: O conjunto B das raízes reais da equação x2 − 8x + 15 = 0, nesse caso, 
como B= { 3, 5 }, tem dois elementos, logo: n ( B ) = 2 ou: #D = 2 ou |D| = 2
Exemplo: O conjunto D das raízes reais de −� . Nesse caso, como não temos 
raízes reais, somente complexas, visto que se trata de uma raiz par de um número 
negativo, então temos como resposta o conjunto vazio, representado por { } ou ∅. 
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UNIDADE Conjuntos e Intervalos Reais
Importante destacar que a cardinalidade do conjunto vazio { } é 1, ou seja, # { } = 1, 
pois consideramos que dentro de qualquer conjunto vazio existe um outro conjunto 
vazio, ou seja, o conjunto vazio { } é um subconjunto de qualquer outro conjunto.
Já a cardinalidade dos conjuntos numéricos N, Z, Q, R e C é infinita, logo: 
#N = #Z = #Q = #R = #C = ∞
 Temos ainda que: se o conjunto tem um só elemento, ele é chamado de 
unitário, se tem dois elementos, é binário etc. Se um conjunto é a referência para 
a formação dos demais, ele é chamado de conjunto Universo.
Operações entre Conjuntos
Igualdade: Dois conjuntos A e B são iguais quando todo elemento de A pertence 
a B e, reciprocamente, todo elemento de B pertence a A. Em símbolos:
A=B x x A x B� � � �↔ ( ) ∈ → ∈( )
Exemplos:
{ a, b, c, d } = { b, c, a, d }
{ 1, 3, 5, 7, 9 } = { x |x é inteiro, positivo, ímpar e menor do que 10}
{ x | 2x + 1 = 5 } = { 2 }
União: A União de dois conjuntos A e B é dada por: A ∪ B = {x|x ∈ A ou x ∈ B}, 
podemos utilizar a letra v no lugar de ou assim temos A ∪ B = {x|x ∈ A v x ∈ B}.
Quando temos a expressão A ∪ B = {x|x ∈�A ou x ∈ B}, temos que A união 
com B é o conjunto formado por elementos que ou pertencem a A ou pertencem 
a B, ou seja, a união entre dois conjuntos quaisquer A e B resultará em um outro 
conjunto que será formado por elementos que compõem os conjuntos originais, 
como vemos na figura abaixo:
A B A B
Figura 4
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Veremos, agora, alguns exemplos. Considere os conjuntos:
A = {10, 11, 13, 17, 19, 20}; B = {11, 12, 13, 15, 17, 18, 19, 20, 21, 23} 
C = {1, 2, 3, 4}
A ∪ B = {10, 11, 12, 13, 15, 17, 18, 19, 20, 21, 23}
A ∪ C = { 1, 2, 3, 4, 10, 11, 13, 17, 19, 20}
B ∪ C = { 1, 2, 3, 4, 11, 12, 13, 15, 17, 18, 19, 20, 21, 23}
Importante destacar que: A ∪ A = A e A ∪ ∅ = A
Ou seja: a união de qualquer conjunto com ele mesmo é o próprio conjunto e 
a união de qualquer conjunto com o conjunto vazio também é o próprio conjunto. 
Intersecção de Conjuntos
A intersecção entre os conjuntos A e B será um novo conjunto dado pelos 
elementos que existem concomitantemente nestes dois conjuntos, isto é, que estão 
nos dois conjuntos ao mesmo tempo.
A ∩ B = {x|x ∈ A e x ∈ B} ou (trocando e por ∧) A ∩ B = {x|x ∈ A ∧ x ∈ B}
Na figura abaixo, temos uma ilustração em diagramas do conceito de intersecção, 
que é fazer parte dos dois conjuntos ao mesmo tempo.
A B
Figura 5
Veremos exemplos considerando os conjuntos A, B e C:
A = {10, 11, 13, 17, 19, 20}; B = {11, 12, 13, 15, 17, 18, 19, 20, 21, 23}; 
C = {1, 2, 3, 4}
A ∩ B = {11, 13, 17, 19, 20} veja que esses são os elementos que estão em 
ambos os conjuntos. 
A ∩ C = { } ou�∅ 
B ∩ C = { } ou ∅ 
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UNIDADE Conjuntos e Intervalos Reais
Tanto em A ∩ C como em B ∩ C não temos nenhum elemento que seja 
concomitante, ou seja, que estão em ambos os conjuntos ao mesmo tempo.
Diferença entre Conjuntos
A diferença entre os conjuntos A e B será um novo conjunto formado pelos 
elementos que existem no conjunto A, mas não estão no conjunto B, como 
ilustramos na figura abaixo:
A B A-B
Diferença entre A e B
Figura 6
Também podemos pensar que A – B será o que sobra em A retirado o que tem 
em comum com B.
Veremos exemplos considerando os conjuntos A, B e C:
A = {10, 11, 13, 17, 19, 20}, B = {11, 12, 13, 15, 17, 18, 19, 20, 21, 23}; 
C = {1, 2, 3, 4}
A – B = [ 10 ] veja que dos elementos de A, foram retirados os elementos que 
também pertenciam a B , resultando apenas em A – B = [ 10 ]
Importante notar que A – B ≠ B – A, ou seja, a diferença entre conjuntos não é 
comutativa.
B – A = [ 12, 15, 18, 21, 23]
No caso de A – C, como não temos nenhum elemento de A que também está 
em B, então A – C será o próprio A , ou seja: A – C = A.
Produto Cartesiano
Dados dois conjuntos A e B, o Produto Cartesiano é formado por todos os 
pares ordenados (x,y) formados com um primeiro elemento de A e com o segundo 
elemento de B.
A × B = {( x, y ) | x ∈ A e y ∈ B}
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Exemplo: considere os seguintes conjuntos: X = {1, 2, 3} e Y = {a, b}. O 
produto cartesiano entre eles é dado por:
X × Y = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)} e Y × X = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), 
(b, 1), (b, 2), (b, 3)}
X × ∅ = ∅
Y × ∅ = ∅
Explore o link e leia um pouco mais sobre que discutimos até então:�https://goo.gl/NE5vXR
Ex
pl
or
Para facilitar as operações, destacaremos algumas propriedades: 
Propriedades das Operações entre Conjuntos
União
�����∪�∅� �����R�����D��D��Q�mR������D�������RQ��Q�R��R��R��RQ��Q�R��D]�R�
���i�R�S��S��R��RQ��Q�R�
����R���D�����D��������∪��� ���∪�����D��Q�mR�p��R���D���D��R�����D����∪���
p����D��D���∪���
���,Q��S�Q�rQ��D������∪��� ������D��Q�mR��������RQ��Q�R��R������S��S��R�
������D�QR�S��S��R��RQ��Q�R�
������R��D�����D���������∪����∪��� ���∪����∪������DR���D��]D��D��Q�mR��Q����
�D��� ��� �R��� �RQ��Q�R��� SR���R��D��R��i��R�������I���Q���� IR��D������R�
������D�R����i�R�����R�
�����⊂� �� ��� ���R��Q��� �����∪� �� ��� ��Q����� �D�R���� �R��Q��� SR������D��
�RQ���R���������D��Q�mR��Q���������p�R�S��S��R���Intersecção
�����∩�∅� �∅� ��D� �Q������omR��Q��������RQ��Q�R���D������ �R��R��RQ��Q�R�
�D]�R����i�R��RQ��Q�R��D]�R�
O vazio é um subconjunto de qualquer outro conjunto.
Ex
pl
or
����R���D�����D�����∩��� ���∩�����D��Q������omR�p��R���D���D��R�����D��D�
R������R���RQ��Q�R��SD�D�D���D��]DomR��D��Q������omR�QmR�D����D�R�������D�R�
�D�����D�
17
UNIDADE Conjuntos e Intervalos Reais
���,Q��S�Q�rQ��D���∩��� �����D��Q������omR��������RQ��Q�R��R����������R�
������D�QR�S��S��R��RQ��Q�R�
������R��D�����D������∩����∩��� ���∩����∩�����DR���D��]D��D��Q������omR��Q����
�D��� ��� �R��� �RQ��Q�R��� SR���R��D��R��i��R�������I���Q���� IR��D������R�
������D�R����i�R�����R�
�����⊂���������R��Q��������∩��� ����Q������D�R�����R��RQ��Q�R������i��RQ���R�
QR��RQ��Q�R������Q�mR�D��Q������omR�������R�������i�R��RQ��Q�R���
A propriedade comutativa vale tanto para a União como para a Intersecção, mas não 
vale para a Diferença entre dois conjuntos e para o produto cartesiano, assim como a 
propriedade de Associatividade não se aplica para a Diferença e o Produto Cartesiano.
Propriedades Distributivas 
Sejam A, B e C conjuntos quaisquer.
1. Distributiva da União perante a Intersecção
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
2. Distributiva da Intersecção perante a União
A�∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
Explore mais sobre o assunto nesse link: https://goo.gl/A8X1qk você encontrará outros 
exemplos e exercícios resolvidos. 
Ex
pl
or
Vamos para um exemplo que envolve a operação entre conjuntos, trata-se da 
resolução de uma situação problema: 
Uma pesquisa sobre a atividade extra que seria realizada no decorrer do semestre 
foi realizada com 50 alunos. Cada aluno poderia citar até duas opções de atividades. 
As opções mais citadas foram música e teatro. Do total de alunos, tivemos 30 
citações para música, 10 citações para música e teatro, 22 citações para teatro. 
Com base nesses dados, determine:
���4�DQ�R��D��QR�����D�D�������D�����D��R�DR�����R����SR�
���4�DQ�R��D��QR�����D�D��DS�QD�������D�
���4�DQ�R��D��QR�����D�D��DS�QD����D��R�
���4�DQ�R��D��QR�����[D�D��������D�������D�����D��R���S��I����D��R���D��RSo}���
18
19
Resolução:
Primeiro, temos que realizar uma leitura cuidadosa do enunciado, e dele extrair 
informações que são fornecidas. Vamos lá? 
Seguem as informações que temos, a partir do enunciado: 
Total de alunos: 50
30 escolhas para música
10 escolhas para música e teatro
22 escolhas para teatro
Se você observar, ao somarmos todas as escolhas, temos (30+10+22) 62 
escolhas, mas só temos 50 alunos, o que indica que alguns alunos citaram mais 
de uma opção ao mesmo tempo e os próprios números dizem isso: 10 escolhas 
para música e teatro, o que, na teoria dos conjuntos, indica uma intersecção de 
respostas...
A partir dessa análise, vamos pensar nas respostas?
1) Quantos alunos citaram música e teatro ao mesmo tempo?
Sejam M o conjunto dos alunos que escolheram música e T o dos que escolheram 
teatro. Podemos identificar, no enunciado do problema, que 10 alunos optaram 
por música e teatro. 
Logo, 10 alunos estão na intersecção M ∩ T , ou seja: #(M ∩ T) = 10
Por diagramas, temos:
M T
10 10
#(M T) = 10
Figura 7
2) Quantos alunos citaram apenas música?
Como música recebeu 30 opções, mas tivemos também algumas citações de 
música e teatro juntas, temos que o número dos alunos que citaram apenas música 
será igual ao número de alunos que citaram música menos o número de alunos que 
citaram música e teatro. Pela simbologia matemática, temos: 
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UNIDADE Conjuntos e Intervalos Reais
#M - #(M ∩ T) ou ainda n(M) - n(M ∩ T)
#(M - (M ∩ T)) = 30 - 10 = 20
Logo, 20 alunos citaram apenas música.
Por diagramas, temos:
M T
1020
Figura 8
Importante notar que M possui 30 elementos, mas 10 destes também pertencem 
a T, pois são elementos de M e T, o que vemos claramente no diagrama acima.
3) Quantos alunos citaram apenas teatro?
Como 22 citaram teatro, incluindo a música, e sabemos que 10 citaram música 
e teatro:
#(T - (M ∩ T)) = 22 – 10 = 12
Por diagramas, temos:
M T
1020 12
Figura 8
Importante!
Importante notar que T possui 22 elementos, mas 10 destes também pertencem a M, 
pois são elementos de M e T o que �ca claro no diagrama acima e os 10 como intersecção 
entre os dois conjuntos.
Importante!
4) Quantos alunos deixaram de citar música e teatro e preferiram ou-
tras opções?
Importante lembrar que, no total, temos 50 alunos que são todos os alunos que 
contemplam a pesquisa e que, matematicamente, chamamos de conjunto universo.
20
21
#(M ∪ T) = n(M - (M ∩ T)) + n(M ∩ T) + n(T - (M ∩ T)) = 
20 + 10 + 12 = 42
M T
1020 12
U
8
Figura 10
Como em U temos 50, logo:
50 – 42 = 8 que não estão na M ∪ T.
Que tal praticar um pouco a respeito do que aprendemos? No link https://goo.gl/Yu567m 
você encontrará exercícios resolvidos.
Ex
pl
or
Intervalos Reais
O conjunto dos números reais é um conjunto contínuo que pode ser abstraído 
como uma reta na qual estão os conjuntos: naturais, inteiros, racionais também os 
números irracionais.
Veremos os subconjuntos dos números reais que são chamados de Intervalos 
Reais. Os intervalos reais podem ser fechados, abertos ou mistos. Nesta unidade, 
veremos a composição de cada um dos tipos desses intervalores e as principais 
operações entre intervalos.
Intervalo Fechado
O intervalo fechado [a, b] com extremidades a e b é aquele que possui todos os 
elementos entre as extremidades e inclusive elas. É indicado pelos colchetes: [ para 
iniciar e ] para fechar.
[a, b] = {x ∈ R| a ≤ x ≤ b}
Exemplo: A = [2, 5]
Estão nesse intervalo todos os números reais compreendidos, e inclusive, 
entre 2 e 5.
21
UNIDADE Conjuntos e Intervalos Reais
Pode ser representado como conjunto A = { x ∈ R | 2 ≤ x ≤ 5}.
Na figura abaixo, temos a representação gráfica desse intervalo.
2 5
Figura 11
Intervalo Aberto
O intervalo aberto (a, b) com extremidades a e b e aquele que possui todos os 
elementos entre as extremidades, exceto elas próprias. E indicado pelos parênteses: 
(para iniciar e) para fechar. Ou ainda os colchetes em ordem inversa.
(a, b) = {x ∈ |R| a < x < b}
Importante notar que um intervalo aberto em ambas as extremidades é composto 
por todos os números reais que estão dentre as extremidades, mas sem considerá-
las, ou seja, será composto por todos os números x que são maiores do que a 
extremidade a e menores do que a extremidade b.
Exemplo: B = ( 2, 5 ) também pode ser descrito como B = ] 2, 5 [
Estão nesse intervalo todos os números reais compreendidos que são maiores 
do que 2 e menores do que 5, ou seja, todos os que estão compreendidos entre 
2 e 5, exceto os próprios 2 e 5. Isso significa que , por exemplo, 4,99999999.... 
pertence ao intervalo, mas o 5 não.
Pode ser representado como conjunto B = { x ∈ R | 2 < x < 5}.
Na figura abaixo, temos a representação gráfica desse intervalo.
2 5
Figura 12
Intervalo Misto
São intervalos que possuem uma das extremidades aberta e a outra fechada. 
Lembrando que quando está aberta a extremidade não pertence ao intervalo, 
somente delimita o intervalo, e quando está fechada pertence. 
22
23
Exemplos:
C = (2, 5] ou ainda C = ] 2, 5]
Neste caso dizemos que o intervalo está aberto (parênteses ou colchete ao con-
trário) em 2 e fechado em 5, ou seja: o 2 não pertence ao intervalo, mas o 5 sim.
Pode ser representado como conjunto C = { x ∈ R | 2 < x ≤ 5}.
D = [2, 5) ou ainda D = [2, 5 [
Neste caso dizemos que o intervalo está fechado em 2 e aberto (parênteses ou 
colchete ao contrário, em 5, ou seja: o 2 pertence ao intervalo, mas o 5 não.
Pode ser representado como conjunto D = { x ∈ R | 2 ≤ x < 5}.
As desigualdades < e ≤ estão diretamente ligadas ao fato de o intervalo ser aberto ou 
fechado, pois ≤ inclui a extremidade, já < não inclui a extremidade.
Ex
pl
or
Temos também intervalos nos quais definimos apenas uma das extremidades: 
(a,+ ∞) = {x ∈ R | x > a}
Neste caso, o intervalo é aberto em a, ou seja, não inclui o número a.
Por exemplo: (2, + ∞), neste caso são todos os números reais maiores do que 2.
(-∞,a) = {x ∈ R| x < a}
Neste caso, o intervalo é aberto em a, ou seja, não inclui o número a.
Por exemplo: (-∞, 2) , neste caso, são todos os números reais menores do que 2.
[a,+ ∞) = {x ∈ R | x ≥ a}
Neste caso, o intervalo é fechado em a, ou seja, inclui o número a.
Por exemplo: [2,+ ∞) , neste caso, são todos os números reais maiores ou iguais a 2.
(-∞, a]= {x ∈ R| x ≤ a} 
Neste caso, o intervalo é fechado em a, ou seja, inclui o número a.
Por exemplo: (-∞, a ] , neste caso, são todos os números reais menores ou 
iguais a 2.
Operações entre Invervalos Reais
As operações entre os intervalos reais seguem da mesma forma que realizamos 
com os conjuntos.
Dessa forma, apresentaremos a seguir exemplos das principais operações: 
união, intersecção e diferença entre intervalos. 
23
UNIDADE Conjuntos e Intervalos Reais
União de Intervalos
Exemplo: [4, 9] ∪ [6, 12] = [ 4, 12]
A
4 9
B
6 12
A U B
4 12
Figura 13
 O intervalo A = [ 4,9] em união com o intervalo B = [ 6, 12] resulta em um outro intervalo 
que agrupa elementos de ambos, portanto:
A U B= [ 4, 12] ou ainda: A U B = { x ∈ R | 4 ≤ x ≤ 12} 
Ex
pl
or
Intersecção entre Intervalos
Exemplo: [4, 9] ∩ [6, 12] = [6, 9]
Na intersecção, devemos lembrar que o resultado deve ser o que é comum (mes-
mos elementos) aos dois intervalos. Na figura abaixo, ao representar graficamente 
os intervalos A e B, e posteriormente traçar um segmento vertical pontilhado nas 
partes que são comuns à ambos, temos a visualização, em vermelho, ao final do 
intervalo resultante da intersecção entre ambos.
A
4 9
B
6 12
6 9
A B
Figura 14
A – B = [6 , 9] ou ainda { x ∈ R | 6 ≤ x ≤ 9
Diferença entre Intervalos
Exemplo: [4, 9] - [6, 12] = [4, 6)
Do intervalo A [ 4, 9] deveremos retirar o que também é comum ao intervalo B. 
Ou seja: de A retiramos o intervalo B.
Na figura abaixo, temos ambos os intervalos com suas representações gráficas 
e novamente traçamos um segmento vertical evidenciando as extremidades do 
intervalo B.
24
25
Vemos que A é comum a B a partir do número 6, inclusive o próprio 6. Dessa for-
ma, deveremos então remover do intervalo A os números reais a partir de 6, incluin-
do o próprio 6, como verificamos na representação gráfica em vermelho abaixo:
A
4 9
B
6 12
4 6A - B
Figura 15
Como resultado, temos [ 4, 6) ou ainda { x ∈ R | 4 ≤ x < 6} , ou seja, do intervalo 
A [ 4, 9 ] foi removida a parte que era comum de A com o intervalo B [ 6, 12].
Vimos, nesta unidade, a definição de conjuntos, suas principais operações 
e propriedades e destacamos, dentre os conjuntos, os conjuntos numéricos. A 
seguir, propomos uma lista de exercícios comentada para reforçar a sua reflexão e 
aprendizagem sobre o tema estudado.
Explore mais sobre o tema no link https://goo.gl/XJkkmL. Você encontrará outros exemplos 
sobre intervalos reais e operações entre intervalos.Ex
pl
or
Agora é com você, a partir do que vimos em nossa unidade de aprendizagem, 
vamos exercitar? Abaixo, segue uma lista de exercícios e, logo após, há as respostas 
para você conferir.
����RQ�������R���RQ��Q�R���
A = {5, 10, 20, 25, 30, 35, 40}, B = {8, 10, 12, 18, 20, 22, 30, 35}, C = {10, 
18, 20, 40, 45, 50, 60} 
Faça as seguintes operações: 
D����∪��
E����∪���
�����∪��
�����∪��
�����∪��
I����∪�∅
�����∩��
�����∩��
�����∩��
�����∩�∅
������∪����∪��
25
UNIDADE Conjuntos e Intervalos Reais
������∩����∩���
�����∩����∩���
Q�����∪����∩��
R����∪����∩���
S�������
��������
��������
��������
��������
�������∅
���6��D���� �������������(� ��������
D����[�(
E��(�[��
���(�[�(
���(�[�∅
����RQ������� R�� �Q����D�R�� ��D��� �� �� ���� �� �� �� � �� ��� �� �� �� �� �� �� �� ��� �� �
Efetue as seguintes operações: 
D����∪���
E����∪����
���������
���������
���������
I����∩���
�����∩���
Respostas
����RQ�������R���RQ��Q�R���
A = {5, 10, 20, 25, 30, 35, 40}, B = {8, 10, 12, 18, 20, 22, 30, 35}, C = {10, 
18, 20, 40, 45, 50, 60}
D����∪��� �������������������������������������������
E����∪��� ������������������������������������������������
�����∪��� �������������������������������������������
�����∪��� ���������������������������������������������
�����∪��� ����������������������������
I����∪�∅� ����������������������������������
�����∩��� �����������������
�����∩��� �������������
�����∩��� �������������
�����∩�∅� �∅
������∪����∪��� ����������������������������������������������∪��������������
���������������� �������������������������������������������������������
26
27
�����∩����∩���� �����������������������������∩�������������� ���������
������∩����∩��� �������������������∩����������������������������� ���������
Q�����∪����∩��� ��������������������������������������������∩��� �����������������
R����∪����∩���� ���∪�������������� ��������������������������������
S�������� ������������
��������� ����������������
��������� ��������������������
��������� ����������������
��������� �∅
�������∅� ���
���6��D���� �������������(� ��������
D������(� ����������������������������������������������������
E��(����� ����������������������������������������������������
���(���(� ��������������������������������������
���(���∅� �∅
����RQ������� R�� �Q����D�R�� ��D��� �� �� ���� �� �� �� � �� ��� �� �� �� �� �� �� �� ��� ��
(I�����D�������Q����RS��Do}����
D����∪��� ���������
E����∪��� ����������
��������� ����������
��������� ���������
��������� ����������
I����∩��� ���������
�����∩��� ���������
27
• Introdução
• Axiomas de Peano e o Conjunto dos Números Naturais
• Operações em N 
• Comutatividade da Adição e Multiplicação
• Elemento Neutro da Adição
• Elemento Neutro da Multiplicação
• Conjunto dos Números Inteiros Z 
• Das Operações de Adição e Multiplicação em Z
• Conjunto dos Números Racionais
• As Representações dos Números Racionais: Q
• Propriedades das Operações da Adição e Multiplicação em Q
• Soma ou Subtração de Racionais como mesmo Denominador
• Soma ou Subtração com
• Denominadores Diferentes
• Produto entre Racionais (Na Representação de Frações)
• Divisão entre Racionais (Na Representação de Frações)
• Conjunto dos Reais
• Potência
• Regras de Potenciação
• Potências com Expoentes Negativos
• Potência com Expoente Racional
• Radiciação
 · Resgatar o tópico da Teoria dos Conjuntos para reforçar conceitos já 
aprendidos e formalizar propriedades exploradas da Educação Básica;
 · Identificar os principais Conjuntos Numéricos: N, Z, C e R com suas 
respectivas características e propriedades;
 · Realizar as operações numéricas, reconhecer e utilizar propriedades 
relacionadas a cada operação em seus respectivos conjuntos: adição, 
subtração, multiplicação, potência e radiciação. 
OBJETIVO DE APRENDIZADO
Conjuntos Numéricos e Operações
UNIDADE Conjuntos Numéricos e Operações
Introdução
Nesta unidade, estudaremos os Conjuntos Numéricos citando as respectivas 
operações e propriedades permitidas em cada um dos conjuntos. Veremos que 
nem todas as operações são definidas em todos os conjuntos.
As operações numéricas mais usadas são a Adição, a Subtração, a Multiplicação 
e a Divisão. Veremos, também, a Potência e a Radiciação. 
Os conjuntos estudados nesta Unidade são:
 » Naturais N;
 » Inteiros Z;
 » Racionais Q;
 » Reais R.
Figura 1
Fonte: iStock /Getty Images
A Aritmética trata do estudo dos Conjuntos Numéricos e das operações 
entre os diferentes tipos de números e suas propriedades. Esse estudo abrange 
desde a Aritmética Elementar até a Teoria dos Números, que propicia um bom 
ferramental para outras áreas, como, por exemplo, a Criptografia, que é o estudo 
das transformações de uma informação em outra equivalente, mas codificada de 
forma ilegível, a não ser que o destinatário tenha a chave de códigos que originou 
a codificação. 
O entendimento dos diversos tipos de Conjuntos Numéricos variou muito ao 
longo do tempo, e foi sedimentado, inicialmente, pelo italiano Giuseppe Peano 
(1858-1932). Nesta Unidade, vamos nos concentrarna revisão das propriedades 
fundamentais das operações dos Conjuntos Numéricos.
Para fundamentos da Aritmética, Peano escolheu três conceitos primitivos: 
zero, número (natural no caso), e a função “é sucessor de”. A partir desses três 
conceitos, satisfez cinco postulados ou axiomas.
8
9
Importante!
Axioma ou Postulado é um conceito considerado verdadeiro e inquestionável. São fun-
damentos de uma demonstração; porém, sem serem demonstráveis matematicamente, 
mas tido como verdadeiros.
Você Sabia?
Número é a propriedade de certos conjuntos, os chamados “Conjuntos Padrão”. 
Assim, associamos o zero ao conjunto vazio: ∅ ≡�0. A noção de sucessor de x, 
indicado por S(x) é definida pela união:
{ } ( ) defS x x x∪
O Zero está associado ao conjunto vazio; já o conjunto com o conjunto vazio é associado 
ao número Um e ele é o sucessor de Zero. Analogamente, temos os demais números.
Assim, temos:
0 = ∅ ≡0
1 = s(0) ou 1 ≡ {∅}
2 = s(1) ou 2 ≡ {0, 1}
3 = s(2) ou 3 ≡ {0, 1, 2}
4 = s(3) ou 4 ≡ {0, 1, 2, 3}
A partir dos três conceitos primitivos, Peano, então, satisfez cinco axiomas, 
expostos a seguir.
Axiomas de Peano e o Conjunto
dos Números Naturais
1. Zero é um número natural;
2. Se a é um número natural, o sucessor de a também é um número natural. 
Se n ∈ N, então s(n) ∈ N;
3. Zero não é o sucessor de nenhum número natural;
4. Dois números cujos sucessores são iguais são eles próprios iguais.
Ou seja, se
s(n) = s(m), então n = m;
5. Se um conjunto S de números contém o zero e também o sucessor de todo 
número de S, então todo número está em S.
9
UNIDADE Conjuntos Numéricos e Operações
A partir desses axiomas, é criado o Conjunto dos Números Naturais, indicado 
por N, que é infinito e sua representação, por extensão, é simplificadamente: 
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, ..., n-1, n, n+1, ...}.
Podemos dizer que 2 ∈ N , 3029 ∈ N; porém -5 ∉ N , ¾ ∉ N, pois não são naturais. 
Um vídeo muito interessante resgata a história dos números e sua evolução, que está direta-
mente ligada à própria evolução da Humanidade. O vídeo é A História do Número 1.
https://youtu.be/3rijdn6L9sQ
Ex
pl
or
Operações em N 
Considere dois conjuntos A e B de intersecção vazia, em que o número de ele-
mentos de A é igual a x, ou seja, #A = x, e o número de elementos de B é igual 
a y, ou seja, #B = y. 
A partir desses dois conjuntos, valem as definições a seguir.
Definição: Adição
A soma x + y, resultado da operação da adição: + em N é dada por:
 
+ : 
( , ) #(A ), def
N x N N
x y x y B se A B
→
→ + ∪ ∩ =∅
Ou seja, a adição é tida como a união do número de elementos. Por isso 2 + 3 = 5, 
já que temos aqui a união; porém, cabe destacar que, como estamos tratando de 
conjuntos, a intersecção entre ambos deverá ser nula.
Definição: Subtração
A diferença x - y, resultado da operação de subtração – é definida quando o 
conjunto B é subconjunto de A:
− →
( )→ − −( ) ⊆
:
, # ,
N N N
x y x y A B se B Adef
 x 
 
Ou seja, a diferença é tida como a diferença entre dois conjuntos A – B; porém, 
necessariamente, B precisa estar contido em A. Logo, nos naturais, temos 5 -2 = 3 
(pois 2 está contido em 5) , mas não temos 2 - 5, visto que 5 não está contido em 2. 
10
11
Nessa altura, você certamente pensou em -3 como resposta para 2 - 5; porém, 
não se esqueça de que estamos tratando, por enquanto, do Conjunto dos Números 
Naturais (N) e definindo as operações e propriedades nesse Conjunto.
Definição: Multiplicação
O produto x . y, resultado da operação de multiplicação em N, é dado por: 
+ : 
( , ) ( . ) ...
N x N N
x y x y y y y y y
→
→ = + + + + +
Ou seja, a multiplicação é tida como a soma de x parcelas iguais de certo número y, 
como, por exemplo, 3.5 = 5 + 5 + 5 = 15, que são três parcelas do número 5 somadas.
Em N estão definidas e fechadas duas operações: Adição e Subtração. Dizemos 
fechadas pois valem para qualquer que seja o número natural, o que já não ocorre com 
a subtração, já que vimos que não é válida para qualquer par de números naturais.
Quando temos operações ditas definidas e fechadas, passa a valer um conjunto 
de propriedades que são utilizadas nas operações a fim de operar os números a 
partir delas. 
Vejamos, então, as propriedades: 
1. Fechamento da Adição
Para todos os números, se dois deles quaisquer, x e y são números naturais, 
então a sua soma x + y resultará também em um número natural.
Em simbologia, conforme a seguir, temos:
( )[ ],x y N x y N∀ ∈ + ∈
Para exemplificar, você mesmo(a) pode pensar em dois números naturais 
quaisquer e verá que a soma deles será sempre um terceiro número natural. 
2. Associativa da Adição e Multiplicação
Na adição de três números naturais quaisquer x, y, z, tanto faz somarmos o pri-
meiro ao resultado da adição dos dois últimos, como o resultado da soma dos dois 
primeiros ao terceiro; o resultado será o mesmo:
( ) ( ), ,( ) x y z N x y z x y z∀ ∈ + + = + +  
Para exemplificar, temos: (4 + 5) + 3 = 4 + (5 + 3)
11
UNIDADE Conjuntos Numéricos e Operações
O que também ocorre na multiplicação entre naturais:
)[ (, ( ], ) )x y z N x y z x y z∀ ∈ ∗ ∗ = ∗ ∗
Para exemplificar, temos: 4 * (2 * 5) = (4 * 2) * 5
Importante!
Mas é importante destacar que isso ocorre quando temos somente uma das operações: 
ou a soma ou a multiplicação. Veremos, posteriormente, que não é válido quanto temos 
mais de uma operação distinta.
Importante!
Comutatividade da Adição e Multiplicação
Na adição, a ordem das parcelas não altera o resultado da soma.
[ ]( ),x y N x y y x∀ ∈ + = +
Exemplificando: 2 + 5 = 5 + 2.
Essa propriedade é válida, também, para a multiplicação; porém, na multi-
plicação, chamamos os números de fatores e não de parcelas, como chamamos 
na adição.
Logo, para essa propriedade, dizemos: quaisquer que sejam dois números natu-
rais x e y, temos que a ordem dos fatores na multiplicação entre ambos não altera 
o resultado:
( )[ ],x y N x y y x∀ ∈ ∗ = ∗
Exemplificando: 4 * 7 = 7 * 4
Distributividade da Multiplicação para Adição
Quaisquer que sejam os naturais x, y e z , temos que, se x multiplica a soma dos 
naturais y e z , ou seja, x * (y + z), então, o resultado será o mesmo se x multiplicar 
cada um dos naturais e, por fim, somarmos o resultado das multiplicações.
( ), , ( ) ( ) [ ] ( )˘˘˘˘˘∀ ∈ ∗ + = ∗ + ∗
Exemplificando: 
4 * (2 + 7) = (4 * 2) + (4 * 7)
4 * 9 = 8 + 28
36 = 36
12
13
Elemento Neutro da Adição
Existe um único número n que é o Zero, n = 0, chamado de neutro aditivo. A 
partir dessa definição, para todos os demais naturais a ele somado, o resultado será 
sempre o mesmo número. 
[ ]( )x N n x x n x∀ ∈ + = + =
Exemplificando: 3 + 0 = 3.
Se pensarmos na adição como a soma do número de elementos dos conjuntos, 
fica intuitivo compreender que qualquer que seja o conjunto somado com o conjunto 
vazio (união entre os conjuntos), terá como resultado o próprio conjunto.
Elemento Neutro da Multiplicação
Existe um único número i que é o Um, i = 1, que é neutro multiplicativo e 
também chamado de unidade.
Na simbologia matemática o símbolo ∃ representa existir. Logo, a N∃ ∈ representa: existe 
um número a pertencente aos naturais.
Nessa propriedade, então, destaca-se a unidade, que trataremos na simbologia 
da propriedade como i (mas não a unidade imaginária dos números Complexos) 
e essa unidade nos números naturais (e veremos, também, que para todos os 
números reais) representa 1.
Logo, qualquer que seja o número natural, quando multiplicado pela unidade 1, 
o resultado será o próprio número real. 
( ) ( )[ ] i N x N i x x i x∃ ∈ ∀ ∈ ∗ = ∗ =
Importante!
Os números naturais não são su� cientes para a solução de todos os problemas matemáti-
cos. Note que a soma ou a multiplicação entre dois naturais será sempre um natural; 
porém, a diferença entre dois naturais nem sempre resultará em um natural; por isso 
dizemos que a subtração não é uma operação fechada em N.
Importante!
Material da Universidade de São Paulo no qual temos um complementodas propriedades 
dos conjuntos numéricos.
https://goo.gl/ZXf1EW
Ex
pl
or
13
UNIDADE Conjuntos Numéricos e Operações
Conjunto dos Números Inteiros Z 
O conjunto dos Inteiros, representado por Z, que vem da palavra inteiro ”zahl”, 
na língua alemã, é infinito e enumerável.
{ } . . . , 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, . . . , 1, , 1, . . .Z n n n= − − − − − − − − +
No conjunto dos Inteiros, para quaisquer números x e y ∈ Z, temos que x – y = w , e w ∈ Z.
Ou seja, a subtração é uma operação de�nida e fechada para quaisquer inteiros, o que não 
ocorre com o conjunto dos Naturais.
Portanto, estão definidas e fechadas em Z:
 » Adição;
 » Multiplicação;
 » Subtração.
Das Operações de Adição e Multiplicação em Z
As seis propriedades apresentadas em N também são válidas em Z, e inclui-se 
agora uma sétima propriedade:
Elemento Oposto ou Inverso Aditivo
Para todo e qualquer número inteiro x, existe outro número inteiro chamado 
oposto de x, representado por op(x) = - x, e a soma entre um número e seu oposto 
será igual ao elemento neutro 0 “zero”. 
( 0( ) ) p p px Z o Z o x x o∀ ∈ ∃ ∈ + = + =  
Tal número op é o oposto de x, op(x) = −x. 
Logo, para cada número inteiro, existe um oposto, e a soma de opostos é 
sempre nula.
Essa propriedade é extremamente importante para o “fechamento” da operação 
subtração no Conjunto dos Inteiros, pois estão definidos os apostos (-x) e a operação 
passa a se estabelecer para qualquer que seja o número inteiro. 
Assim, podemos definir em Z a operação de subtração, estabelecendo que a 
subtração entre dois números a e -b implica a soma de a com o aposto de b.
a + (-b) = a – b
Para todos a, e b ∈ Z.
14
15
Importante destacar que o oposto não quer dizer que será sempre um número 
negativo. 
O oposto de a = - a , logo o oposto de -a = a.
Assim, por exemplo: o oposto de -6 = 6. 
Regras dos Sinais em Z
Os sinais negativo e positivo podem ser associados aos sentidos do eixo de uma 
reta numerada, na qual o zero está ao centro e à direita temos os inteiros positivos 
(naturais como subconjunto de Z) e à esquerda os inteiros negativos.
Inteiros Negativos
... -6, -5, -4, -3, -2, -1
Inteiros Positivos
1, 2, 3, 4, 5, 6,...
0
Nas operações entre inteiros, valem as regras que citamos a seguir, sem necessa-
riamente demonstrá-las matematicamente:
1. A soma inteira positiva é positiva;
2. A soma de inteiros negativos é negativa;
3. Se o número tem sinais diferentes, subtraímos o menor do maior, em valor 
absoluto, e mantemos o sinal do maior, também em valor absoluto;
4. O produto de números inteiros de mesmo sinal é positivo;
5. O produto de números inteiros de sinais diferentes é negativo.
Embora no conjunto dos inteiros já tenhamos definidas e fechadas as operações: 
adição, subtração e multiplicação, não temos essa possibilidade para a divisão, vez 
que, assim como nos naturais, não podemos fazer a divisão entre qualquer par 
de números, mas apenas para alguns. 
Facilmente identi� camos que a divisão 4/2 ∈ Z, já que 4/2= 2 e ∈ Z. Assim como -10/5 ∈ Z; 
porém, o resultado da divisão 3/2 ∉ Z. Quando a divisão não é inteira, formamos uma fração 
que representa essa divisão, ou um decimal � nito ou in� nito.
Ex
pl
or
Para compreender e operar a divisão, precisamos conhecer o conjunto dos 
números racionais.
15
UNIDADE Conjuntos Numéricos e Operações
Conjunto dos Números Racionais
Nos dois conjuntos anteriores, N e Z, não apresentamos a propriedade da 
divisão e em nenhum deles esta é fechada. Isso passa a ser verdade no conjunto 
dos racionais Q, onde temos, por definição:
 | 0
a
Q a Z e b Z e b
b
= ∈ ∈ ≠
Na definição temos que o conjunto Q dos números racionais é o conjunto formado 
por todos os números que podem ser escritos como uma razão (divisão) entre dois 
números inteiros quaisquer a e b; porém, com b sendo diferente de 0 “zero”. 
O conjunto tem esse nome pois uma divisão ou fração também é chamada de 
razão e seu adjetivo é racional.
Agora, nos racionais, exceto quando b = 0, a divisão é uma operação fechada.
 Exemplo de racionais: 1/2, 3/5, 7/4, -2/5, -9/10.
 
Figura 3
As Representações dos Números Racionais: Q
Vale uma atenção especial para a representação dos números racionais, pois 
podem ser representados por razões a/b (ou uma barra de divisão), mas possuem, 
também, a representação decimal que é obtida quando dividimos o numerador a 
pelo denominador b.
Decimal Finito
O racional 1/2, por exemplo, na forma decimal, é representado por 0,5. Mas 
também por outros racionais ditos equivalentes como 2/4 , 3/6, 50/100, que 
também representam 1/2 = 0,5.
16
17
Decimal Dízima Periódica Simples
O racional 1/3 na forma decimal é representado por 0,33333... número que que 
possui infinitos dígitos que se repetem e é racional, assim como outras dízimas que po-
dem ser escritas na forma fracionária. Nesse caso, são as chamadas dízimas periódicas. 
O racional 23/99 tem como representação decimal a dízima periódica 
0,232323....
Decimal Dízima Periódica Composta
O racional 177/990 tem como representação decimal a dízima periódica 
composta 0,178787878... (chamada de composta).
Qualquer número decimal, seja ele � nito ou in� nito periódico simples ou composto, que 
possa ser escrito na forma fracionária a/b, é um número racional.
Porém, há números decimais infinitos e não periódicos que não podem ser 
escritos na forma fracionária; são os chamados Números Irracionais.
Entre eles, destacamos:
π= 3,14159265358979… (que é obtido a partir da razão entre o comprimento 
de qualquer circunferência pelo seu diâmetro);
e = 2,718281828.. (número de Neper, utilizado como base de logaritmos);
2 = 1,4142135...;
3 = 1,7320508... .
Propriedades das Operações da
Adição e Multiplicação em Q
As propriedades de fechamento da divisão, associatividade da adição e 
multiplicação, e também a comutatividade, são análogas ao Conjunto dos Inteiros.
1. Fechamento da Divisão
, , ( 0)[ ]
x
x y Q Q b
y
∀ ∈ ∈ ≠
Ou seja, a divisão está definida e fechada em Q para qualquer denominador 
diferente de zero.
17
UNIDADE Conjuntos Numéricos e Operações
2. Associativa da Adição e Multiplicação
Na adição de três números racionais quaisquer x, y, z, tanto faz somarmos o 
primeiro ao resultado da adição dos dois últimos, como o resultado da soma dos 
dois primeiros ao terceiro; o resultado será o mesmo.
( ) ( ), ,( ) x y z Q x y z x y z∀ ∈ + + = + +  
O que também ocorre na multiplicação:
( )[ ( ) ( ) ], , x y z Q x y z x y z∀ ∈ ∗ ∗ = ∗ ∗
3. Comutatividade da Adição e Multiplicação
Na adição, a ordem das parcelas não altera o resultado da soma:
[ ]( ),x y Q x y y x∀ ∈ + = +
Assim como na multiplicação, a ordem dos fatores não altera o resultado:
[ ], * ( ) *x y Q x y y x∀ ∈ =
4. Distributividade da Multiplicação para Adição
Quaisquer que sejam os racionais x, y e z, temos que, se x multiplica a soma dos 
racionais y e z, ou seja x * (y + z), então, o resultado será o mesmo se x multiplicar 
cada um dos racionais e, por fim, somarmos o resultado dessas multiplicações:
( ), , ( ) ( ) [ ] ( )x y z Q x y z x y x z∀ ∈ ∗ + = ∗ + ∗
5. Elemento Neutro da Adição
Também no conjunto dos racionais existe um único número n, que é o Zero, 
n = 0, chamado de neutro aditivo, e qualquer que seja o racional a ele somado, o 
resultado será o próprio racional que foi somado.
[ ]( )x Q n x x n x∀ ∈ + = + =
6. Elemento Neutro da Multiplicação
Nos racionais, o elemento neutro da multiplicação, assim como nos naturais e 
inteiros, é a unidade 1.
( )( )[ ]i Q x Q i x x i x∃ ∈ ∀ ∈ ∗ = ∗ =
18
19
7. Elemento Oposto ou Inverso Aditivo
Para todo e qualquer número racional x (sendo x = a/b com b ≠ 0), existe outro 
número racional chamado oposto de x , representado por op(x) = - x, e a soma 
entre um número e seu oposto será igual ao elemento neutro 0 “zero”. 
( 0( ) )p p px Q o Q o x x o∀ ∈ ∃ ∈ + = + =  
Tal número op é o oposto de x, op(x) = −x. 
Ou seja, se x= a/b, então -x = -a/b.
Chamamos atenção, agora, para a oitava propriedade, que não tínhamos no 
Conjunto dos Inteiros, mas é válida para os racionais.
8. Elemento Inverso Multiplicativo
Qualquer que seja um número racional x (logo x = a/b , com b ≠ 0), existe um 
elemento inverso que denotaremos por ei. 
Ao realizarmos a multiplicação entre um número racional e seu inverso, o 
resultado será igual ao elemento neutro da multiplicação:
[ ]x *( ) ( ) * 1i i iQ e Q x e e x∀ ∈ ∃ ∈ = =
Tal inverso de x é ei = e x x
e x x x xi = = = =
- - -� � * � * �1 1 1
1
1 
Exempli� cado:
1/2 seu inverso é 2/1, então, temos que 1/2 * 2/1 = 1.
2/3 seu inverso é 3/2, então, temos que 2/3 * 3/2 = 1.
-4/5 seu inverso é -5/4, então, temos que -4/5 * (-5/4) = 1.
No conjunto dos Racionais, a divisão é fechada, mas nem todas as operações que usamos 
são fechadas. Além disso, existem números que não são expressos por frações, conforme 
já vimos. Unindo o conjunto dos racionais com os números irracionais, formamos o 
Conjunto dos Reais R.
Ex
pl
or
Vamos relembrar as operações de soma, subtração e multiplicação entre os 
racionais.
19
UNIDADE Conjuntos Numéricos e Operações
Soma ou Subtração de Racionais 
como mesmo Denominador
Para somar ou subtrair frações de mesmo denominador, basta somar os 
numeradores e manter o respectivo denominador comum.
Exemplos:
1
5
3
5
1 3
5
4
5
+ =
+
=
5
3
7
3
5 7
3
2
3
− =
−
=
−
Soma ou Subtração com 
Denominadores Diferentes
Neste caso, é necessário escrever as frações originais com frações equivalentes 
que contenham o mesmo denominador para, somente após esse procedimento, 
somarmos os numeradores. Para obtermos o mesmo denominador, é necessário 
determinarmos o menor múltiplo comum às frações em questão.
1 3 2 3 5
2 4 4 4 4
+ = + =
Note que a fração 1/2 foi substituída pela fração 2/4, pois são frações 
equivalentes e ambas possuem o valor de 0,5 na representação decimal.
Na figura a seguir temos outro exemplo:
1 7 5 14 19
2 5 10 10 10
+ = + =
1 5
2 10
=
7 14
5 10
=
Note que de 2 para 10 o denominador foi 
multiplicado por 5, assim como o numerador 
também, pois foi de 1 para 5.
Note que de 5 para 10 o denominador 
dobrou, assim como o numerador também, 
pois foi de 7 para 14.Neste caso o MMC
é 10 pois 5 e 2
são primos
Figura 4
20
21
Para relembrar o procedimento do cálculo do Mínimo Múltiplo Comum (MMC), indicamos a 
leitura no site Só Matemática:
https://goo.gl/Bx4U
Ex
pl
or
Produto entre Racionais
(Na Representação de Frações)
A multiplicação consiste em multiplicar os numeradores, gerando o numerador 
do resultado final, e realizar o mesmo procedimento com o denominador.
De forma genérica temos: 
*
a c ac
b d db
=
Com b e d ≠ 0.
Exempli� cando:
2 5 10 5
*
3 4 12 6
= =
Exempli� cando:
−
=
−
=
−2
7
2
4
4
28
1
7
*
Sempre que possível, devemos “simplificar” as frações obtendo a fração 
equivalente irredutível. Para isso, basta dividir numerador e denominador por um 
mesmo divisor comum.
21
UNIDADE Conjuntos Numéricos e Operações
Divisão entre Racionais 
(Na Representação de Frações)
A divisão consiste em realizar uma multiplicação. Para isso, mantemos o 
dividendo e invertemos (numerador por denominador) o divisor.
De forma genérica temos:
a
b
c
d
a
b
d
c
: *=
Exempli�cando:
2
3
:
1
2
=
2
3
*
2
1
=
4
3
Exempli�cando:
5 5 1 5
: 2 *
6 6 2 12
= =
Para recordar o cálculo do Mínimo Múltiplo Comum (MMC): https://goo.gl/DPFvE9
Ex
pl
or
Conjunto dos Reais
Este Conjunto é bem mais novo que os demais e causa muito espanto, pois 
de fato ele é contínuo e não possui os “buracos” dos racionais. Esse infinito é de 
natureza diferente dos Naturais e dos Conjuntos Enumeráveis. Esse infinito é mais 
potente. O Conjunto R não é enumerável.
O Conjunto R possui todas as propriedades dos racionais e muitas outras; 
porém, além desse Conjunto, temos, ainda, o Conjunto dos números complexos, 
no qual temos a unidade imaginária i e a definição de i² = 1, que não detalharemos 
nesta Disciplina, pois não é o foco de nossos estudos.
Veremos, agora, duas outras operações importantes: a Potenciação e a Radiciação.
22
23
Potência
Seja a um número real e n um número natural, então, a potência de “a elevado 
a n” é definida por:
· · . . . na a a a a=
onde a.a.a será definido por n vezes
O valor de a é chamado de base e o valor de n é chamado de expoente. O re-
sultado, chamamos de potência.
an = a.a.a.....a
Base
Expediente
Multiplicação de n fatores
Potências são valores que representam uma multiplicação sucessiva de um número.
Assim, ao realizar a potência, devemos ficar atentos atentar ao valor da base, 
que é o número que é multiplicado sucessivamente, e do respectivo expoente, que 
é o número de multiplicações da base.
Importante!
Qualquer que seja a base a, temos que a0 = 1.
Importante!
Regras de Potenciação
Sejam a, b números reais e n, m números naturais:
1. ·a a a +=n m n m
Para multiplicar potências de mesma base, no resultado, conservamos a base, e 
o novo expoente é a soma dos expoentes dados.
Exempli� cando:
2 3 52² * 2³ 2 2 32.+= = =
23
UNIDADE Conjuntos Numéricos e Operações
2. a a a −÷ =n m n m
Para dividir potências de mesma base, no resultado, conservamos a base, e o novo 
expoente é a subtração dos expoentes dados: o numerador menos o denominador.
Exempli�cando:
6
6 4 2
4
2
2 2 4
2
−= = =
( )3. a a=
nm mn
Potência de potência, no resultado, conservamos a base, e o novo expoente é o 
produto dos expoentes dados.
Exempli�cando:
(23)4 = 23.4 = 212 = 4096
4.
a
b
a
b
n n
n





 =
Potência de uma fração é a fração das potências, ou seja, o resultado é uma 
nova fração, na qual os termos são os mesmos, com o expoente repetido no 
numerador e no denominador
Além das regras temos algumas definições matemáticas importantes para as 
potências, apresentadas a seguir.
24
25
Potências com Expoentes Negativos
Seja a um número real e n um número natural, então, a potência de a elevado 
a −n é definida por:
1
1
1
a
a
− =
Exempli� cando:
1 13
3
− =
3
3
1 1
2
2 8
− = =
2 2 2
2
2 3 3 9
3 2 2 4
−
   
= = =   
   
11 4
4
4 1
−
 
= = 
 
Um importante teorema das Potências: seja a um número real, se o expoente é 
natural e par, n = 2k, então, o resultado é positivo.
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2·
k kkk ka a a a a a− = − = −        − = =
Importante!
−24 ≠ (−2)4, veja a seguir: 
−24 , ou seja, −(24) =- (2.2.2.2) = −(16) = -16 ( o sinal negativo não pertence à base)
(−2)4 = 16 (nesse caso, o sinal pertence à base)
ou seja, (−2)4 = (−2). (−2). (−2). (−2) = 16. 
No primeiro caso, o uso dos parênteses não é necessário, mas no segundo caso, se o sinal 
de negativo faz parte da base, necessariamente, deve-se colocar o símbolo de parênteses.
Importante!
25
UNIDADE Conjuntos Numéricos e Operações
Potência com Expoente Racional
Sendo a um número real e n e m número naturais (com n ≠ 0), então, temos 
que a elevado a m/n é definido por:
a a
m
n mn=
Ou seja, o denominador (n) do expoente racional passa a ser o índice da raiz, 
enquanto que o numerador (m) do expoente passa a ser o expoente do radicando.
Exempli�cando:
3 3
1
2 12=
5 5 125
3
2 32= =
2 2 8
3
4 34 4= =
Radiciação
O cálculo da raiz está associado à operação inversa à da potenciação. Por 
exemplo, se sabemos que um quadrado tem 49m2 de área, então, seu lado tem 
7m, por meio da operação da radiciação, pois 49 7= .
Assim, seja a um número real positivo e n um número natural não nulo. A 
expressão n a representa o número real x para o qual temos que xn = a.
Ou seja, definimos a radiciação por:
nn a x a↔ =
O número n é chamado de índice, o valor de a é chamado de radicando e o valor 
de x é chamado de raiz.
a xn =
Radicando
Índice
Raiz
 Importante observar que, em alguns casos, podemos estender o conceito acima 
para qualquer número real a e definir a raiz quando existir o número x tal que xn = a.
26
27
Se o índicen for par, haverá dois números x tais que xn = a, mas a definição de 
raiz é dada, somente, ao valor que tem o mesmo sinal de a, quando existir.
Em certos casos, podemos estar interessados nos dois valores, e simbolizamos 
por ±a.
Porém, devemos chamar a atenção para o fato de que tal número pode não existir. 
Se, por exemplo, a é negativo e n = 2, então, não teremos uma raiz, já que não existe 
nenhum número real x que, elevado ao quadrado, resulte em um valor negativo.
Essa possibilidade existe no Conjunto dos Números Complexos, no qual uma 
unidade imaginária i tem por definição o resultado de i² = -1 e, por consequência 
− =1 i . Essa definição, assim como o conjunto dos numéricos complexos, 
possui aplicações bem interessantes no cálculo de circuitos elétricos.
Propriedades da Radiciação
Sejam a, b números reais e n, m e p inteiros, sendo n, m > 1, temos que:
1. .n n nab a b=
Exempli� cando:
33 32.10 2. 10=
2. 
n
n
n
a a
b b
=
Exempli� cando:
3
3
3
9 9
5 5
=
( )3. 
m
mnn a a=
Exempli� cando:
( )
2
3 23 4 4=
4. p pnn a a=
Exempli� cando:
2 3 664 64=
27
UNIDADE Conjuntos Numéricos e Operações
Vimos as operações nos conjuntos numéricos e suas propriedades, que são 
importantes ferramentas para realizar as operações. Além disso, vale destacar 
algumas observações importantes.
Em uma expressão numérica, a multiplicação ou a divisão são prioritárias à 
adição e à subtração. Então, por exemplo, na expressão 2 + 5 * 3, o resultado será 
obtido primeiro realizando a multiplicação 5*3 e, por fim, somando ao 2.
2 + 5 * 3 = 2 + 15 = 17
Se tivermos uma expressão como 3 – 4 : 4 + 9 – 3 , novamente deveremos 
iniciar com a operação que é prioritária, ou seja, 3 – 4 : 4 + 9 – 3 = 3 -1 + 9 -3 
e, nesse momento, como temos soma e subtração, a ordem das parcelas não altera 
o resultado (lembram-se dessa propriedade?). Então temos: 3 – 4 : 4 + 9 – 3 = 3 
-1 + 9 -3 = 8.
Em outro exemplo, temos que a potência é prioritária à multiplicação e à divisão: 
- 4 * 5² - 3 = -4 * 25 – 3 = -100 -3 = -103.
Porém, os símbolos de parênteses ( ), colchetes [ ] e chaves { }, definem prio-
ridades, a saber: primeiro resolvermos os parênteses, depois os colchetes e, por 
fim, as chaves.
Exemplo:
-4*{ 2 * [(-6+3) / (-2+5)] + 6} 
Resolvemos inicialmente os parênteses: -4*[ 2 * (-3/ 3) + 6]
Na sequência, os colchetes: -4*[ 2 * (-1) + 6] , logo: -4 * 4 = -16
Exemplo:
 -4² * (3 -5) + [(-2)³ + 3² - (-2)�]*3 
Algumas observações importantes:
-4² = -4.4 = -16
Logo: 
-16 * (-2) + [8+9-(16)] *3 = 32 + (1)*3 = 32+ 3 = 35
28
29
Exercícios
1. Calcule o resultado das expressões numéricas a seguir:
a) –3 + 5*4 – 2³ + 1 =
b) –1 + 3 * 4:2 – 4 + 7 =
c) 2–1*6+3*23 – 5=
d) 
1
4
2
3
4
1
2
+ − + =
e) 
1
5
2
3
3
5
∗ + =
f) − + ∗ − 




 =
−
2 3 3
1
4
3 2 3
3
g) 5*23+(–2)4 – 32=
h) 2 43 3∗ =
2. Utilize as propriedades de potência para simplificar as expressões a seguir:
a) 2 2 2
2 2
5 3 1
4 3
* *
*
=
b) 4 4 4
4 4
3 1
4 3
* *
*
−
=
c) a b a
a b
x y z
x y
. .
− =
29
UNIDADE Conjuntos Numéricos e Operações
Respostas
1. Calcule o resultado das expressões numéricas a seguir
a) –3 + 5*4 – 2³ + 1 = –3 + 20 – 8 + 1 = 10
b) –1 + 3 * 4:2 – 4 + 7 = –1 + 6 + 3 = 8
c) 2 6 3 2 5
1
2
6 3 8 5
6
2
24 5 3 24 5 221 3− + − = + − = + − = + − =* * * *
d) 
1
4
2
3
4
1
2
3 8 48 6
12
31
12
+ − + =
+ − +
=
−
e) 
1
5
2
3
3
5
2
15
3
5
2 9
15
11
15
* + = + =
+
=
f) − + − 




 = − + − = − + − =
−
2 3 3
1
4
8 3 4 8 243 64 1713 2 3
3
5 3*
g) 5 * 23 + (–2)4 – 32 = 5 * 8 + 16 – 9 = 40 + 7 = 47
h) 2 4 8 23 3 3* = =
2. Utilize as propriedades de potência para simplificar as expressões a seguir:
a) 2 2 2
2 2
2
2
2
5 3 1
4 3
9
7
2* *
*
= =
b) 4 4 4
4 4
4
4
4
1
4
3 1
4 3
3
7
3
3
* *
*
−
−= = =
c) a b a
a b
b * a
x y z
x y
y z. .
− =
2
30
• Relação
• Representações das Relações
• Tipos de Relações
• Função
• Tipos de Funções
 · Identificar e classificar uma relação de acordo com suas propriedades;
 · Identificar e classificar uma função de acordo com suas propriedades;
 · Diferenciar uma função de uma relação.
OBJETIVO DE APRENDIZADO
Relações e Funções
UNIDADE Relações e Funções
Introdução
Nesta Unidade, estudaremos os conceitos de relações e funções.
Atualmente, as redes sociais, principalmente com os programas na Internet, 
utilizam as relações entre as pessoas, que são estabelecidas pelos usos e contatos. 
As relações que formam as redes sociais computadorizadas, como Facebook, 
Linkedln etc., são formadas por diversos conceitos matemáticos. Essas redes são 
estabelecidas a partir de relações captadas via uso da própria Internet e dadas 
pelos usuários e estão sendo cada vez mais utilizadas pelos meios de publicidade, 
com o foco não só em personalizar a navegação do usuário, mas, especialmente, 
em oferecer produtos que sejam mais adequados ao seu perfil, perfil esse mapeado 
a partir das navegações e relações do usuário.
Em qualquer área da Matemática, as relações e, principalmente, as funções 
desempenham papel muito importante. Intuitivamente, uma função é uma máquina 
que transforma um objeto de entrada num novo objeto de saída, sendo que a 
maneira como ocorre essa transformação é a sua finalidade, isto é, finalidade e 
função estão intimamente associadas.
As máquinas em geral desempenham uma ou um agrupamento de funções 
e podem ser abstratas ou materiais. Uma das primeiras máquinas materiais a 
executar funções matemáticas, de modo mecânico, foi a máquina inventada por 
Blaise Pascal, em 1644, quando ele tinha apenas 20 anos, para ajudar seu pai nos 
cálculos de sua loja.
A Figura 1 mostra a máquina chamada Pascalina.
Figura 1 – Pascalina
Fonte: Wikimedia Commons
Blaise Pascal, além de físico e matemático, era também �lósofo e trouxe grandes con-
tribuições para a Ciência. Para conhecer um pouco mais sobre sua via e obra, indicamos o 
material disponível no link https://goo.gl/duLHn3.
Ex
pl
or
8
9
Mesmo objetos artísticos, como a imagem da Figura 2, são feitos a partir de 
uma função. Um fractal é um tipo mais geral de uma curva geométrica que pode 
ser dividido em partes – as frações – e de cada uma delas geramos outras curvas 
semelhantes à original.
Existem diversos tipos e algumas são transformadas em belíssimas imagens, 
como a que se vê a seguir.
Figura 2 – Exemplo de Fractal
Fonte: iStock/Getty Images
Uma função transforma um objeto de entrada em outro objeto, que é chamado 
de saída.
Descrever a função é descrever a transformação ou a regra de transformação.
Para termos uma função, precisamos de um conjunto de objetos de entrada e 
uma maneira de modificá-los, segundo a regra dada, para chegar a um objeto de 
outro conjunto, o conjunto dos resultados.
Ou seja, a função transforma os objetos do conjunto de entrada nos objetos do 
conjunto de saída, como podemos ilustrar na Figura a seguir:
Função
Objetos de entrada Objetos de saída
Figura 3 – Ilustração de função entre dois conjuntos
9
UNIDADE Relações e Funções
Mas, antes de estudarmos as funções, veremos a definição de relações, que são 
ainda mais amplas que as funções. Veremos que toda função é feita a partir de uma 
relação, mas nem toda relação estabelece uma função.
Relação
Veremos que a relação se dá entre dois conjuntos e utilizaremos alguns exemplos 
numéricos para:
Dados dois conjuntos quaisquer A e B, uma relação de 
A em B é qualquer subconjunto do produto cartesiano A � B.
Exemplo 1
Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {1 , 2}
Faremos uma relação de A para B de forma que cada elemento de A irá se 
relacionar com todos os elementos de B, formando todos os pares ordenados 
possíveis (a, b), ou seja: de A para B.
Logo, o produto cartesiano será dado por:
A � B = {(1,1) (1,2) (2,1), (2,2), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2)}
Verificamos a seguir, na Figura 4, a representação por diagramas da relação 
de A em B:
1
2
3
4
1
2
Figura 4 – Relação de A em B
Como o produto cartesianonão é comutativo, a ordem dos conjuntos é 
relevante. O primeiro conjunto indicado é o Conjunto de Partida, e o segundo é 
o Conjunto de Chegada.
Importante!
Note que, nesse caso, o primeiro elemento do par ordenado será sempre um elemento 
de A, e o segundo um elemento de B, pois a relação vai de A para B.
Os conjuntos A e B podem ser, inclusive, iguais; não há impedimento para que dois 
conjuntos iguais tenham uma relação.
Importante!
10
11
Representações das Relações
O Produto Cartesiano pode ser representado por diagramas e também no plano 
cartesiano. Vejamos o exemplo com o produto A � B = {(1,1) (1,2) (2,1), (2,2), 
(3,1), (3,2), (4,1), (4,2)}.
Na Figura 5, vemos, no primeiro diagrama, o conjunto A, que é chamado 
conjunto de partida. Note que cada um dos elementos de A possui uma flecha que 
o relaciona com elementos do conjunto B, representando, no segundo diagrama à 
esquerda, que é chamado conjunto de chegada.
1
2
3
4
1
2
A B
Figura 5 – Diagramas da Relação de A em B
A mesma relação A x B é agora representada no plano cartesiano, no qual o 
conjunto de partida é o eixo horizontal (eixo x – das abscissas) e o conjunto de 
chegada é representado pelo eixo vertical (eixo y – das ordenadas).
0
-1
1
2
3
4
5
-1 0 1 2 3 4 5 6
x
y
Figura 6 – Representação no Plano Cartesiano da Relação de A em B
Na representação A � B por gráfico, utilizamos o eixo das abscissas (eixo x) para 
representar os elementos do conjunto de partida e o eixo das ordenadas (eixo y) 
para representar os elementos do conjunto de chegada.
11
UNIDADE Relações e Funções
Exemplo 2
Sejam A = {2;3} e B = {0;1;2} temos que A � B ≠ B � A
Ou seja, a relação do produto cartesiano não é comutativa.
Podemos verificar facilmente que A � B ≠ B � A
A � B = {(2,0); (2,1); (2,2); (3,0); (3,1); (3;2)}
B � A = {(0,2); (0,3); (1,2); (1,3); (2,2); (2,3)}
Graficamente também notamos essa diferença:
2
3
0
1
2
2
3
0
1
2
A B B A
A x B B x A
Figura 7 – Relação A x B ≠ B x A
Exemplo 3
Faremos, agora, uma nova relação, dados dois novos conjuntos A e B. Seja o 
conjunto A o conjunto dos números naturais menores que 10 e o conjunto B o 
conjunto dos números naturais menores ou iguais a 15, temos:
A {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
B {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}
A relação R de A em B irá relacionar os elementos de A com os elementos de 
B, que corresponderem ao dobro do seu valor.
O resultado da relação será R = {(1,2) (2,4), (3,6), (4,8), (5,10), (6,12), (7, 14)}.
Pergunta para re�exão
Todos os elementos de A se relacionaram aos elementos de B ? 
Veri�camos que não, pois alguns elementos de A (os elementos 8 e 9) não se relacion-
aram com qualquer elemento no conjunto B, já que o dobro de 8 e o dobro de 9 não 
pertencem a B.
Ex
pl
or
Veremos mais adiante que o fato de todos os elementos se relacionarem com 
um único elemento no conjunto de chegada é fundamental para a relação ser 
uma função.
12
13
Tipos de Relações
Classificamos uma relação de acordo com as propriedades e para dizermos que 
uma relação é de certo tipo, é necessário que a propriedade esteja presente em 
todos os pares da relação.
Relação Re� exiva
Uma relação R em A é reflexiva se todos os elementos de A estão relacionados 
consigo mesmos.
Ou seja:
(∀x ∈ A) [(x, x) ∈ R].
Exemplo
Seja A = {10, 12, 14, 16, 18}
A Relação R1 = {(10, 10), (10, 18), (12, 12), (12, 14), (14, 14), (14, 16), 
(16, 16), (16, 18), (18, 18)} é reflexiva pois cada um dos elementos de A se 
relacionou consigo mesmo. Notamos a existência dos pares reflexivos destacados 
em vermelho: R1 = {(10, 10), (10, 18), (12, 12), (12, 14), (14, 14), (14, 16), 
(16, 16), (16, 18), (18, 18)}.
Relação Simétrica
Uma relação R em A é simétrica se cada elemento x de A que está relacionado 
com y também ocorre que y está relacionado com x.
Ou seja:
(∀x, y ∈ A) [(x, y) ∈ R → (y, x) ∈ R]
Exemplo
Seja A = {10, 12, 14, 16, 18}
A Relação R2 A � A = {(10, 10), (10, 18), (12, 14), (14, 12), (14, 14), (14, 16), 
(16, 14), (16, 16), (16, 18), (18, 10), (18, 16), (18, 18)} é simétrica, pois cada um 
dos elementos de A que se relacionou com B teve também o mesmo elemento 
de B que se relacionou com A.
Citamos aqui a observação de A que se relacionou com B, pois na relação 
não temos a obrigatoriedade de todos os elementos se relacionarem, mas se um 
elemento de A se relacionou com B, então, o mesmo B deve se relacionar com A. 
Por exemplo: se temos o par (12, 14), então deveremos ter o par (14, 12).
13
UNIDADE Relações e Funções
A Relação R2 A x A = {(10, 10), (10, 18), (12, 14), (14, 12), (14, 14), (14, 16), 
(16, 14), (16, 16), (16, 18), (18, 10), (18, 16), (18, 18)} é, portanto, simétrica.
Relação Transitiva
Uma relação R em A é transitiva se cada elemento x de A que está relacionado 
com y e y está relacionado com z; então, ocorre que x está relacionado com z.
(∀x, y, z ∈�A) [ (x, y) ∈ RÙ (y, z) ∈ R → (x, z) ∈ R]
Exemplo
A relação x < y é transitiva, pois se x < y, então, pela definição de ser menor, 
existe um número k tal que x + k = y. Analogamente, se y < z, então, existe um 
número m tal que y + m = z.
Para verificar se x < z, basta tomar o número k + m e daí x + (k + m) = z.
Logo, x < z.
Exemplos Numéricos
5 < 6 pois 5 + 1 = 6 e 6 < 10 pois 6 + 4 = 10, como 5 + (1 + 4) = 10; então, 
5 < 10.
Relação Antisimétrica
(∀x, y ∈ A) [(x, y) ∈ R ^ (y, x) ∈�R → x = y]
Alguns exemplos
Considere o conjunto A {1,2,3,4,5}
A relação R1 dada por x ≤ y na qual temos {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (2,2), 
(2,3), (2,4), (2,5), (3,3), (3,4), (3,5), (4,4), (4,5), (5,5)}
É reflexiva: pois todos os elementos de A se relacionam consigo mesmos;
Não é simétrica: vemos que em alguns pares, x se relaciona com y, mas y não 
se relaciona com x; como (1,2) já que não temos o par (2,1) na relação;
É transitiva: pois de 1 < 2 e 2 < 3, logo 1 < 3.
Novamente considerando o conjunto A {1, 2, 3, 4, 5}
A relação R2 dada por x = y, na qual temos {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5)} 
14
15
É reflexiva, simétrica e transitiva.
A relação R3: {(1,2), (2,1), (1,4), (4,1), (5,1), (1,5)}
Não é reflexiva e nem transitiva, mas é simétrica.
A Relação R4: {(1,2), (2,4), (1,4)}
É apenas transitiva.
Função
Uma função de A em B é uma relação nos mesmos conjuntos, na qual se 
satisfazem os dois itens:
1. Dom(f) = A 
2. Se (x,y) ∈�f e (x,z) ∈ f, então y = z
∀ (x ∈ A) (∃ y ∈�B) [Se (x,y) ∈ f e (x,y’) ∈ f então y = y’
Ou seja:
Todos os elementos de A possuem algum valor e para cada elemento do 
Conjunto de Partida A existe apenas um elemento correspondente no Conjunto 
de Chegada B.
O conjunto de partida A passa a ser chamado de Domínio, e o conjunto de 
chegada B chamado de Contradomínio de f.
A notação de função é:
f: A → B
x → y = f(x)
Lê-se: função de A em B, onde um x leva a uma função de x.
Em uma função:
• Dom (f) = A (o que não ocorre necessariamente nas relações, já que nas 
relações nem todos os elementos precisam se relacionar, mas na função sim, 
cada um dos elementos do Domínio necessariamente deve se relacionar, e 
apenas com um único elemento no contradomínio);
• Os elementos do contradomínio que são resultados da função para algum 
elemento do Domínio constituem a IMAGEM da função, denotada por Im(f).
Im(f) = { f(x)|x ∈ A }
Im(f) Í B
15
UNIDADE Relações e Funções
Domínio Contra-Domínio
Imagem
f
Figura 8 – Diagramas: domínio, contradomínio e imagem de uma função
O termo imagem é usado tanto para o valor da função y para um elemento em 
x, como para o conjunto de todas as imagens dos elementos de A.
Contradomínio é todo o conjunto B, mesmo que um ou outro elemento não se rela-
cione; já a imagem é um subconjunto do contradomínio formado pelos elementos 
que são relacionados com os elementos do domínio.
Importante ressaltar, ainda, que todos os elementos do domínio precisam se 
relacionar com um único elemento do contradomínio.
A seguir, alguns exemplos gráficos:
É função
Figura 9 – Exemplo de Função
Nesse exemplo,temos uma função, 
pois notamos que cada um dos elemen-
tos do domínio, à esquerda, relaciona-se 
com um único elemento no contradomí-
nio, à direita.
Não é função
Figura 10 – Exemplo de uma relação que não é função
Já nesse outro exemplo, não temos 
uma função, pois um dos elementos do 
domínio se relacionou com dois elemen-
tos do contradomínio.
16
17
Não é função
Figura 11 – Exemplo de uma relação que não é função
Nesse diagrama, não temos uma fun-
ção. Notamos que um dos elementos do 
domínio não se relaciona com o contrado-
mínio. E para ser função, todo e qualquer 
elemento do domínio deve se relacionar 
com um elemento do contradomínio.
É função
Figura 12 – Exemplo de função
Temos um exemplo de função, pois 
cada um dos elementos do domínio se 
relacionou apenas com um elemento do 
contradomínio.
Veja que os elementos do contradomí-
nio podem receber a relação de mais de 
um elemento.
Vimos exemplos de funções a partir das representações por diagramas e agora 
veremos outros exemplos por representações gráficas.
Assim como as relações, as funções podem ser representadas graficamente, 
em que temos no plano cartesiano os eixos das abscissas (x) e os eixos das or-
denadas (y).
No eixo das abscissas, temos a representação do domínio, e no eixo das orde-
nadas, a representação do contradomínio.
0
0
1
2
3
-1
-1 1 2
É função
Figura 13 – Exemplo de função
No exemplo ao lado, temos uma fun-
ção, sendo que, para qualquer que seja o 
elemento do domínio (x), temos um ele-
mento no contradomínio (y); não temos 
nenhum “salto” ou interrupção no gráfico.
17
UNIDADE Relações e Funções
0
0
1
2
-1
-2
-1 1 2
Não é função
-2
Figura 14 – Exemplo de uma relação que não é função
Nesse outro exemplo, não temos uma 
função. Notamos que há elementos em 
x (eixo das abscissas) que possuem duas 
imagens, ou seja: relacionaram-se com 
dois elementos em y (contradomínio). 
Por exemplo: o número 1, no eixo das 
abcissas, possui imagem 1 e -1 no eixo 
das ordenadas.
0
0 1 2 3 4 5
1
2
3
-1
-1-2
Não é função
Figura 15 – Exemplo de uma relação que não é função
Novamente, temos um exemplo no 
qual não temos uma função, pelo fato 
de que há elementos do domínio (eixo 
das abscissas) que possuem mais de 
uma imagem no contradomínio (eixo 
das ordenadas)
0
0
-1 21 3 4
1
2
-1
-2
É Função
Figura 16 – Exemplo de função
Ao lado, há um exemplo de função, 
pois todos os elementos do domínio se 
relacionam uma única vez com os ele-
mentos do contradomínio.
Dados os conjuntos A {a,b,c,d} , B {0,2,4} e C {1,3,5,7}
Exemplo 1
A → B {(a,0) (b,2) (c,2) (d,4)
É função, pois são observadas as seguintes determinações: todo elemento de A 
possui uma relação em B e cada um desses elementos se relacionou apenas com 
18
19
um único elemento em B (ainda que um mesmo elemento em B tenha sido imagem 
de mais de um elemento de A).
Exemplo 2
A → B {(a,0), (a,2), (b,4), (c,4), (d,2)}
Não é função. Embora os elementos de A tenham uma relação em B, ocorre 
que um elemento (a) se relacionou com mais de um elemento em B.
Exemplo 3
A → C {(a,1), (b,3), (c,5), (d,7)} 
É função, pois são observadas as seguintes determinações: todo elemento de A 
possui uma relação em C e cada um desses elementos se relacionou apenas com 
um único elemento em C.
Exemplo 4
A → C {(a,1), (c,3), (d,7)}
Não é função, pois um dos elementos de A, o elemento b, não se relacionou 
com nenhum elemento do conjunto C e, para ser função, todos os elementos do 
domínio devem possuir uma imagem a partir da função.
Exemplo 5
A → C {(a,1), (b,1), (c,1), (d,1)}
É função, pois todos os elementos de A se relacionaram com um único elemento 
em C. Importante notar que não há impedimento de que a imagem seja única; é o 
que chamamos de função constante.
Outros exemplos
Dado o conjunto A {1,2,3,4} e o conjunto B {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}, 
determine:
a) O conjunto imagem e os pares da função dada por:
f: A → B
x → y f(x)
f(x) = x + 2
Vemos que a função é dada pela regra que associa a cada elemento em A um 
único elemento em B e essa regra, nesse exemplo, é dada por f(x) = x +2.
Então, vamos aplicá-la a cada elemento de A.
19
UNIDADE Relações e Funções
Logo, temos:
f(x) = x +2
Para x = 1 teremos: f(1) = 1 + 2 = 3
Para x = 2 teremos: f(2) = 2 + 2 = 4
Para x = 3 teremos: f(3) = 3 + 2 = 5
Para x = 4 teremos: f(4) = 4 + 2 + 6
Após aplicar a função para todos os elementos do domínio, vemos que cada um 
deles possui uma imagem (resultado da função) no contradomínio.
O conjunto Imagem, ou seja Im(f) = {3,4,5,6}
Como resultado da função, temos os seguintes pares ordenados:
F = {(1,3), (2,4), (3,5), (4,6)}
b) A partir dos mesmos conjuntos, determine o conjunto imagem e os pares 
ordenados a partir de f(x) = 2x 
Aplicando a função f(x) para todos os elementos do conjunto A {1,2,3,4}, teremos:
f(1) = 2.1 = 2
f(2) = 2.2 = 4
f(3) = 2.3 = 6
f(4) = 2.4 = 8
A imagem da função Im(f) = {2,4,6,8}, que está contida no contradomínio.
E os pares ordenados da função f = {(1,2) , (2,4), (3,6), (4,8)}
Igualdade entre Funções
Sejam duas funções f: A → B e g: A → B, então f será igual a g somente se para 
todo elemento do domínio A as imagens de cada termo, em B, forem iguais tanto 
pela função f como pela função g.
Além disso, Domínio e Imagem devem ser iguais.
Ou seja:
(∀ x ∈ X) [ f(x) = g(x) ]
Exemplos numéricos
Sejam A = {1,2,3} e B {a,b,c} temos as funções f e g:
f = {(1,a), (2,b), (3,c)}
g = {(2,b) , (1,a), (3,c)}
Vemos que f = g, vez que para um mesmo x, a f(x), a imagem de x é exatamente 
igual a g(x).
20
21
Tipos de Funções
Assim como ocorre com as relações, de acordo com as propriedades e regras 
observadas, também classificamos as funções.
Função Injetora
Uma função f: A → B será injetora se:
(∀x1, x2 ∈ A) [ f(x1) = f(x2) → x1 = x2]
Ou seja, qualquer que seja x do elemento do domínio, ele se relacionará apenas 
com um elemento do contradomínio (condição necessária para ser função) e se o 
contradomínio de cada elemento também só se relacionou (isto é: é imagem) de um 
único elemento do domínio, então chamamos a função de INJETORA.
Exemplo de uma Função Injetora
Im(f)
Dom(f) C.Dom(f )
f
Exemplo de uma Função Não Injetora
Im(f)
Dom(f) C.Dom(f )
f
Figura 17 – Exemplo de função injetora e de função não injetora
Veja que no exemplo de uma função não injetora ocorreu de um elemento do 
contradomínio C.Dom(f) ser imagem de mais de um elemento, o que não descarac-
teriza a função, mas deixa de ser injetora.
Função Sobrejetora
Chamamos de sobrejetora a função na qual todo o contradomínio é imagem da 
função, isto é, todo elemento que pertence ao contradomínio é resultado da função.
Uma função f: A → B será sobrejetora se:
(∀ y ∈ B) (∃ x ∈ A)[ f(x) = y]
Ou seja, a função é sobrejetora se Im(f) = B
21
UNIDADE Relações e Funções
Exemplo de uma Função Sobrejetora
Dom(f) C.Dom(f ) = Im(f)
f
Exemplo de uma Função Não Sobrejetora
Im(f)
Dom(f) C.Dom(f )
f
Neste exemplo a função também é injetora Neste exemplo a função também é injetora
Figura 18 – Exemplo de função sobrejetora e de função não sobrejetora
Quando todos os elementos do contradomínio fazem parte da imagem, temos uma 
função chamada de sobrejetora.
Função Bijetora
Há alguns casos em que além de ser injetora (cada um dos elementos do 
contradomínio é imagem de apenas um elemento do domínio) a função é também 
sobrejetora (todos os elementos do contradomínio são imagens de algum elemento 
do domínio). Quando isso ocorre, chamamos a função de BIJETORA.
Uma função f: A → B é do tipo BIJETORA se e somente se f é injetora e tam-
bém sobrejetora.
Exemplo de uma Função Bijetora
Dom(f) C.Dom(f ) = Im(f)
f
Exemplo de uma Função Não Bijetora
Dom(f) C.Dom(f ) = Im(f)
f
Pois não é injetora
Figura 19 – Exemplo de função bijetora e de função não bijetora
Alguns exemplos numéricos
Para A = {1,2,3,4,5} e B { a,b,c,d} , sejam f1 e f2 dadas a seguir:
f1 = {(1,c), (2,b), (3,b), (4,d), (5,d)} não é sobrejetora e nem injetora.f2 = {(1,a), (2,b), (3,c), (4,d), (5,d)} é sobrejetora, mas não é injetora.
Para C = {2,4,6,8} e D {a,b,c,d} sejam g1 e g2 dadas a seguir:
g1 = {(2,a), (4,c), (6,d), (8,b)} é injetora e sobrejetora, portanto: bijetora.
g2 = {(2,a) (4,a), (6,a), (8,a)} não é injetora e nem sobrejetora.
22
23
Para ver outros exemplos de funções, acesse o material disponível no link
https://goo.gl/JxY221Ex
pl
or
Função Inversa
Na função inversa, temos a troca dos papéis entre domínio e imagem, mas na 
qual a relação se mantém. Por exemplo: temos uma função f de A em B, na qual 
é A o domínio (conjunto de partida) e B o contradomínio (conjunto de chegada).
Quando fazemos a inversão da função f, isto é, temos f–1, B passa a ser o 
domínio (conjunto de partida) e A passa a ser a imagem (conjunto de chegada), a 
relação entre os dois conjuntos se mantém, porém no sentido inverso.
A B A BFunção f Inversa de f
Figura 20 – Função Inversa
Ou seja na relação (x,y) temos que x passa a ocupar o lugar de y e vice-versa.
Para que uma função possua sua inversa, ela deve ser necessariamente bijetora; 
somente assim a inversão ocorrerá para todos os elementos em ambos os conjuntos.
Importante!
Nesta Unidade, vimos que uma relação é uma Lei ou regra de transformação dos 
elementos de um conjunto que resulta em elementos em um outro conjunto.
Especialmente nas funções, temos que para todo elemento do conjunto de partida há 
uma única imagem no conjunto de chegada. Além disso, vimos que, de acordo com 
propriedades e características, as funções e as relações podem ser classi� cadas. 
Esse conceito de relações e funções, na Matemática, é muito importante, pois vai 
além das funções matemáticas e lógicas que regem os computadores e as redes 
de comunicação.
A partir do conceito de funções e relações, da observação e da análise de fenônemos e 
padrões, é possível prever tendências e acontecimentos como fenômenos da natureza 
e ocorrências na sociedade: fenômenos atmosféricos, mercado � nanceiro, nível de 
produção e redes sociais entre outros.
Em Síntese
23
• Introdução
• Casos Particulares da Função Afim
 · Identificar a característica da função afim para utilizar como modelo 
matemático na resolução de problemas que relacionam grandezas 
com taxa de variação linear;
 · Classificar uma função afim em crescente ou decrescente;
 · Calcular o valor numérico de uma função; 
 · Calcular a raiz de uma função e identificá-la graficamente;
 · Identificar uma função afim a partir de dois pontos;
 · Resolver problemas lineares a partir da função afim.
OBJETIVO DE APRENDIZADO
Função Afi m
UNIDADE Função A�m
Introdução
Ao estudar funções, temos de ter clareza de que uma função transforma um 
objeto de um conjunto de entrada, a partir de uma regra, em outro objeto de um 
conjunto de saída.
O conjunto de entrada é chamado de domínio e o conjunto de saída é chamado 
de contradomínio. Além disso, podemos dizer que determinar a função matemati-
camente é descrever a transformação ou a regra de transformação.
Dessa forma, temos que uma função de um conjunto A em outro conjunto B é 
uma relação (transformação de um conjunto para o outro), na qual se satisfazem 
os dois itens:
Dom(f) = A
Se (x, y) ∈ f e (x, z) ∈ f, então y = z
∀ (x ∈ A) (∃ y ∈ B) Se (x, y) ∈ f e (x, y’) ∈ f então y = y’
Ou seja: o conjunto de partida A é o conjunto chamado Domínio Dom(f) e 
para todos os elementos x que pertencem à A existe apenas um único elemento y 
correspondente no conjunto B, que chamaremos de Contradomínio.
Contido no Contradomínio está o conjunto Imagem Im(f), que é composto por 
todos os resultados y dessa transformação.
A notação de função é:
f: A → B
x → y =f(x)
Importante!
Lê-se: função de A em B, onde um valor de x, a partir da Lei da transformação, tem como 
resultado uma imagem y, chamado também de função de x, ou seja, f(x).
Importante!
As funções podem representar padrões entre a relação de duas grandezas como: 
tempo percorrido e velocidade, taxa e juros, velocidade de um objeto em queda 
em função da aceleração da gravidade, demanda e preço de venda, crescimento de 
uma população de bactérias e valor a ser cobrado por determinada quilometragem 
percorrida, entre outros.
8
9
Importante destacar que temos vários tipos de funções e cada qual representa 
um padrão de comportamento da relação entre as diversas grandezas.
Nesta Unidade, estudaremos a função Afim.
Uma função f: R → R chama-se função afim quando existem dois números reais 
a e b tal que f(x) = ax + b, para todo x ∈ R.
A principal característica de uma função afim é que ela determina relações 
entre grandezas que possuem uma taxa de variação constante. Além disso, outra 
característica que devemos observar é que acréscimos iguais de x correspondem a 
acréscimos iguais para f(x).
A função afim f(x) = ax + b é definida em todo domínio R; a e b são chamados 
de constantes e temos que a constante a indica a taxa de variação da função e 
graficamente o coeficiente angular da reta que representa o gráfico da função no 
plano cartesiano.
Já o valor da constante b representa o valor do resultado da função quando 
x = 0 e determina o ponto onde a reta, que representa o gráfico da função no 
plano cartesiano, intercepta o eixo das ordenadas, o eixo OY.
Importante!
Em uma função f(x) = ax + b, onde a e b são as constantes, a é a taxa de variação da 
função e b o coe� ciente linear, temos que x é variável do conjunto domínio e f(x) a 
imagem dessa função.
Em Síntese
Vejamos alguns exemplos:
f(x) = 5x + 1 função na qual temos as constantes a = 5 e b = 1
f(x) = -x -7 função na qual temos as constantes a = -1 e b = - 7
f(x) = 1/3x + 2 função na qual temos as constantes a = 1/3 e b = 2
f(x) = -6x função na qual temos as constantes a = -6 e b = 0
f(x) = -x função na qual temos as constantes a = -1 e b = 0
f(x) = x função na qual temos as constantes a = 1 e b = 0
f(x) = 6 função na qual temos as constantes a = 0 e b = 6
9
UNIDADE Função A�m
Casos Particulares da Função Afim
Destacamos a seguir alguns casos particulares da função afim que estão direta-
mente ligados às constantes a e b.
Função Identidade
É a função afim f(x) = ax + b, mas nesse caso específico, temos a = 1 e b= 0.
Ou seja: f(x) = ax + b determinada por f(x) = 1x + 0.
Ou seja: f(x) = x para todo x Є R.
Translação da Função Identidade
Definida por f(x) = ax + b para todo x ∈ R. Nesse caso, a = 1 e b ≠ 0.
Exemplos
f(x) = x + 3 f(x) = x - 2 f(x) = x + 1/3 f(x) = x - 3.
Função Linear
É a função afim f(x) = ax + b, mas nesse caso com b= 0; logo, é definida por 
f(x) = ax para todo x ∈ R.
Exemplos
f(x) = -2x f(x) = 4x f(x) = 1/5x f(x) = 0,3x
Função Constante
É a função afim f(x) ax + b, mas nesse caso com o coeficiente a igual a zero 
(a = 0), ou seja, f(x) = 0x + b, e como a constante a é igual a zero, qualquer que 
seja o valor de x, esse valor será anulado na função.
Podemos, então, definir a função por f(x) = b para todo x ∈ R.
Exemplos
f(x) = 3 f(x) = -2 f(x) = 1/5 f(x) = 2
Em uma função constante, teremos um único valor como resultado, seja qual for o valor 
de x, e esse valor será justamente o coe�ciente linear b.Ex
pl
or
10
11
Valor Numérico de uma Função Afim
O valor de uma função afim f(x) = ax + b é obtido por um número real x0, 
quando temos f(x0) = ax0 + b, ou seja, atribuímos um número real para a variável x 
e, a partir desse número real, por meio do cálculo da função, determinamos o valor 
da imagem, ou seja, o valor de f(x).
Exemplos
Na função f(x) = 2x – 4, vamos atribuir aleatoriamente alguns valores para 
exemplificar o cálculo do valor de f(x).
Por exemplo, para x0 = 3, vamos atribuir o número 3 para a variável x. 
Dessa forma:
f(x) = 2x – 4
f(3) = 2(3) – 4 = 2, ou seja, quando x0 = 3, o valor da função, ou seja, f(x0), 
também chamado de y0, será igual a = 2, f(3) = 2.
Em outro exemplo, atribuiremos novo valor (aleatório); escolhemos x0 = 5. Então:
f(x) = 2x – 4
f(5) = 2(5) – 4 = 6,ou seja, quando x0 = 5, y0 = 5, f(5) = 6
Já para x0 = -4, teremos: 
f(x) = 2x – 4
f(-4) = 2 (-4) – 4 = -12
Para cada valor atribuído a x, ao calcular a função, obtemos um valor para f(x).
Vamos observar outra função, agora determinada por f(x) = -2x + 5. Novamente 
atribuiremos, aleatoriamente, valores reais para x. Escolhemos, então, 3 e -1, e 
observamos os cálculos a seguir:
Para x0 = 3, então f(3) = -2(3) + 5 = -1 , ou seja, f(3) = -1, f(3) = -1.
Para x0 = -1, então f(-1) = -2(-1) + 5 = 7, ou seja, f(-1) = 7, f(-1) = 7.
Importante!
Para calcular o valor numérico de uma função, basta atribuir um valor real para x, 
calcular a função e determinar o valor de f(x).
Importante!
11
UNIDADE Função A�m
Valor inicial
Em uma função afim f(x) = ax + b, chamamos de valor inicial da função o 
resultado de f(x) quando x = 0, ou seja, o número b = f(0).
Vemos claramente que o valor inicial será numericamente igual ao valor do co-
eficiente linear, vez que:
(x)= ax + b, atribuindo x = 0 teremos:
f(0) = a.0 + b
f(0) = b
Exemplos
f(x) = 2x – 4, o valor inicial será dado por x0 = 0, ou seja, f(0), logo:
f(0) = 2.0 – 4 = -4
 f(x) = 3x + 2, o valor inicial será dado por x0 = 0, ou seja f(0), logo: temos 
f(0) = 3(0) + 2
f(0) = 3.0 + 2 = 2
Generalizando, temos que, na função f(x) = ax + b, quando temos x� = 0, sempre 
teremos o resultado igual ao próprio b, já que f(0) = a.0+ b, ou seja, f(0) = b.
Gráfico da Função Afim
Para pensar no Gráfico da função afim, precisamos pensar no conjunto de 
pontos formados pelos pares ordenados da forma (x, y), nos quais x e y têm, entre 
si, a relação estabelecida pela função f(x) = ax + b e, nesse caso, f(x) é igual a y. 
Logo, os pares ordenados (x, y) são formados por (x, f(x)).
Importante!
Quaisquer que sejam os pares ordenados pertencentes a uma função, teremos que os 
pontos estarão alinhados e, portanto, formarão uma reta como representação grá�ca da 
função. Podemos dizer que esse “padrão de alinhamento” é determinado pela relação de 
transformação de x em f(x), ou seja, de x em y.
Importante!
Exemplo
Na função f(x) = 2x + 3, para verificar alguns pontos, vamos escolher aleato-
riamente um valor real para x, ou seja x ∈ R, e calcularemos o valor número da 
função com esse valor atribuído a x.
12
13
Escolhemos x = 2. Calculando o valor numérico da função, temos:
f(x) = 2x + 3, então:
f(2) = 2.(2) + 3 = 7. Portanto, f(2) = 7, ou seja, x = 2 e y = 7, formando, então, 
o par ordenado (2, 7).
Para x = 4, temos:
2(4) + 3 = 11, ou seja, f(4) =11 e, como resultado, o par ordenado (4, 11).
Já para x = -3, temos que:
2(-3) +3 = -3, ou seja, f(-3) = -3. Logo, o par ordenado (-3, -3) também pertence 
à essa função.
No caso de x = 0, ou seja, o valor chamado inicial da função, temos:
2(0) + 3 = 3. Logo, o par ordenado será (0,3).
Ao traçar, no plano cartesiano, a reta que passa por esses pontos, temos:
Figura 1 – Gráfico da função f(x) = 2x + 3
Você deve ter percebido que há um ponto, destacado em vermelho no Gráfico, 
de coordenadas x = 1 e y = 3, que não pertence à reta e também não foi citado 
por nós nos cálculos anteriores.
13
UNIDADE Função A�m
Vemos, claramente, no gráfico, que esse ponto destacado P (1, 3) não pertence 
à função, pois ele não está alinhando com os demais. Essa condição, de não 
pertencer à função, também é notada quando efetuamos os cálculos.
Vejamos:
f(x)= 2x + 3 para x = 1. Teremos:
f(1) = 2.1 + 3 = 5. Então, o par ordenado que pertence à função, quando x = 1 
é (1,5) e não (1,3); por isso esse ponto, claramente, não pertence à função.
Como o Gráfico de uma função a�m é uma reta, para construí-lo basta determinar dois 
pontos distintos. Mesmo que você queira incluir outros pontos, veri�cará que eles não 
alterarão o traçado do Grá�co, já que qualquer ponto que pertença à função estará alinhado 
com a reta que representa essa função.
Ex
pl
or
Coeficientes da Função
Já vimos que na função afim f(x) = ax + b, a e b são constantes reais e coefi-
cientes dessa função, na qual a é a taxa de variação e b o coeficiente linear. Além 
disso, ambos representam o comportamento gráfico da função, conforme a Figura 
a seguir:
f(x) = ax = b
Taxa de variação
da função
Se a > 0 a taxa é crescente
Se a < 0 a taxa é decrescente
Responsável pela
translação do grá�co
da função a�m
Valor inicial ou
coe�ciente linear
Figura 2 – Coeficientes da função a�m e alterações grá�cas
Geometricamente, na representação gráfica, temos que:
b é a ordenada do ponto onde a reta, que é o grá�co da função f(x) = ax + b, 
intercepta o eixo OY (eixo das ordenadas), ou, ainda, b é o valor numérico de f(0);
a é a taxa de variação da função; gra�camente indica qual é o coe�ciente angular 
da reta que representa o grá�co da função. Se a é positivo (a > 0), a função será 
crescente; se a é negativo (a < 0), a função será decrescente. Se a = 0, teremos a 
função constante em b.
14
15
Na Figura a seguir, ilustramos a alteração Gráfica de acordo com o valor do co-
eficiente a, que é a taxa de variação da função:
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
0
1 2-1-2
x x
y 4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
0
1 2-1-2
y
A>0
função a�m crescente
A<0
função a�m decrescente
Figura 3 – Variação gráfica da função a� m a partir do coe� ciente a
Quando a é um valor real positivo, a função é classificada como crescente, visto 
que a cada aumento no valor de x (no sentido positivo), aumenta-se também o valor 
de f(x) ou y.
Quando a é um valor real negativo, a função afim é classificada como decres-
cente, visto que a cada aumento do valor x (no sentido positivo), o valor de f(x) ou 
y diminui.
Quanto maior o valor de a, temos que a taxa de variação dessa função será maior. 
Esse fenômeno pode ser observado no Gráfico que apresentará uma inclinação 
maior em relação ao eixo OX.
No plano cartesiano a seguir, temos cinco representações gráficas da função 
f(x) = x.
São elas: f(x) = 0,5x ; f(x) = x ; f(x) = 2x ; f(x) = 4x e f(x) = 8x
15
UNIDADE Função A�m
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
0
0 1-1-2-3-4-5 2 3 4 5 6
Eixo OY
Eixo OX
f(x) = 8x
f(x) =4x
f(x) =2x
f(x) =x
f(x) =0,5x
Figura 4 – Variação grá�ca da função afim em virtude do coe�ciente a
Quanto maior o valor do coeficiente, maior será a inclinação da reta, em relação ao eixo OX.
Se o valor do coeficiente a for igual a zero, como já vimos nesta Unidade, não 
teremos a taxa de variação e, portanto, teremos uma função constante f(x) = b.
Graficamente, teremos uma reta paralela ao eixo das abscissas (OX) e intercep-
tando y no valor do coeficiente b.
0
1
-1
-2
-3
2
3
0 1 2-2 -1
y
x
Figura 5 – Coeficiente a nulo; função constante
16
17
Zero da Função Afim
Chamamos de ZERO da função, ou RAIZ equação, o número real que é 
atribuído ao valor de x e que faz com que f(x) seja igual a zero.
Geometricamente, o ZERO da função é ponto no qual o gráfico intercepta o 
eixo das abscissas (o eixo Ox).
No caso da função afim, temos apenas um “zero da função” ou “uma raiz da 
equação” para cada função f(x) = ax + b.
Na Figura a seguir, temos o exemplo da função f(x) = x + 3, que possui como raiz 
o ponto (-3,0), que é justamente o ponto que intercepta o eixo das abscissas OX.
0
0
4
3
2
11
-1
1 2-1-2-3-4
f(x) = x + 3
Raiz ou zero da função
Figura 6 – Zero da função afim f(x) = x + 3
Para calcular o ZERO da função afim, basta resolver a equação: ax + b = 0
No exemplo da função
f(x) = x + 3
Para calcular a raiz, temos de igualar a equação x + 3 a zero e calcular o valor 
de x.
x + 3 = 0
x = -3
Ou seja, na função f(x) = x + 3, o número real x= -3 é o elemento do domínio 
que anula o valor da função, já que f(-3) = 0. Graficamente, é o ponto no qual o 
gráfico da função intercepta (corta) o eixo OX.
17
UNIDADE Função A� m
Outros exemplos
Vamos calcular o zero da função f(x) = 2x + 9.
Para calcular o zero da função, vamos calcular a raiz da equação:
2x+ 9 = 0
2x = -9
x = -9/2 ou -4,5
Vamos calcular o zero da função f(x) = -3x + 4
Para calcular o zero da função,vamos calcular a raiz da equação:
f(x) = -3x + 4
-3x + 4 = 0
-3x = -4
x = -4/-3
x = 4/3
Importante!
Para calcular o ZERO ou RAIZ da função a� m f(x) = ax + b, basta resolver a equação: 
ax + b = 0.
Em Síntese
Como Determinar uma Função Afim a partir de Dois Pontos
Sendo definidos, ou conhecidos, dois pontos distintos A e B que pertencem 
a uma determinada função f(x) = ax + b, podemos identificar a função por meio 
de um sistema de equações que contemplem as coordenadas (x, y) de ambos os 
pontos conhecidos. Para isso, basta substituir os pontos em cada uma das funções.
Determinar uma função afim a partir de dois pontos pode ser extremamente útil 
quando se conhece a relação entre os pontos e se sabe que ela é linear. Além disso, 
determinando-se a função, pode-se determinar outros pontos (ou outros resultados) 
para a mesma função.
Vejamos um exemplo de como determinar uma função a partir de dois pontos.
Sejam os pontos A (2,5) e B (-1,-1) os pontos da função f(x) = ax + b.
Do ponto A (2, 5) temos: x =2 e y = 5
Do ponto B (-1,-1) temos: x = -1 e y = -1
LEMBRE-SE de que f(x) é 
numericamente igual a y, 
nesse caso.
18
19
Para determinar a função, basta escrever a estrutura da função afim 
f(x) = ax+ b e, na sequência, reescrevê-la de acordo com os pontos dados, atribuin-
do respectivamente os valores de x e y de cada ponto.
f(x) = ax + b
5 = a2 + b
-1 = a(-1) + b
A partir desse sistema de equações, podemos determinar os valores dos 
coeficientes a e b.
2a + b = 5
-1a + b = -1
Da primeira equação, subtraímos a segunda e temos que:
2a + b = 5
-(-1a + b = -1)
3a + 0 = 6
a = 6/3 = 2
Como a = 2, calculamos o valor de b em qualquer uma das duas equações acima:
Como a = 2
Então: 5 = 2a + b
 5 = 2(2) + b
 5 – 4 = b
 1 = b
 b = 1
Conhecidos a = 2 e b = 1, determinamos a função f(x) = ax + b, que será então 
f(x) = 2x +1.
Importante!
Para identificar uma função afim, conhecidos dois pontos pertencentes à função, basta 
construir um sistema de duas equações do 1º grau a partir dos valores x e y informados 
para os dois pontos.
Em Síntese
No Gráfico a seguir, estão destacados os dois pontos que foram citados em 
nosso exemplo, mas devemos notar que a reta possui infinitos pontos e que esses 
pontos seguem um padrão de alinhamento definido entre os pares ordenados que 
carregam em si a associação de x com y a partir da função dada.
19
UNIDADE Função A�m
4
5
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
0
0 1 2 3-1-2-3-4
P
Q
Figura 7 – Gráfico da função f(x) = 2x +1
A partir da função, podemos identificar outros pontos. Vejamos um exemplo:
Na função f(x) = 2x +1, qual é a ordenada do ponto M (1,y)? 
Basta incluir os dados do ponto na equação da função: f(x) = 2x + 1. 
Sendo M (1,y) um ponto pertencente à função, então reescreveremos a função 
substituindo x por 1 e f(x) por y, que é a ordenada que queremos descobrir:
f(x) = 2x + 1
y = 2(1) + 1
y = 2 + 1 = 3; portanto y = 3.
Podemos veri�car no Grá�co que essa informação procede, pois o ponto M = (1,3), embora 
não esteja destacado, faz parte da reta que representa o Grá�co da função.Ex
pl
or
Há aplicações interessantes da função afim em diversas áreas. Conhecer uma 
determinada função e, a partir dela, explorar o comportamento do fenômeno, ou 
dos dados, que ela representa, além de estimar pontos, resultados e tendências, é 
uma das aplicações do estudo da função afim.
20
21
Por exemplo: se uma operadora comercializa um pacote de serviços mensal no 
qual o cliente paga uma tarifa fixa por mês de R$ 35,00 e o valor de R$ 1,50 por 
minuto de ligação local, qual será o valor a pagar por um cliente que utilizou 104 
minutos em um mês?
Para responder essa questão, basta seguir o raciocínio de que o cliente pagará um 
valor fixo e, além dele, outro valor que dependerá da quantidade de minutos utilizados.
O valor total a pagar, que chamaremos de V, será dado por:
V = 1,5 * 104 + 35
V = 156 + 35
V = 191.
Ou seja, o valor a pagar, nesse caso, será de R$ 191,00.
Vamos supor que outro cliente utilize, no mês, 34 minutos. Qual será o valor 
a pagar?
Seguindo o mesmo raciocínio, teremos:
V = 1,5 * 34 + 35
V = 51 + 35
V = 86
Nesse caso, V = 86,00. 
Agora, generalizando para uma função matemática, para que o valor V a pagar 
seja em função da quantidade x de minutos utilizados no mês, temos a função 
V(x) = 1,5x + 35.
Ou seja: o cliente pagará 1,5 por minuto (representado por 1,5x e que vai 
variar de acordo com a quantidade x de minutos utilizados) somado ao valor fixo 
de 35,00.
Outro exemplo similar
Os serviços de táxi são cobrados por um valor fixo, chamado de bandeirada e 
um valor por quilômetro rodado. Em certa cidade, o valor da bandeirada é R$ 4,50 
e o valor por Km rodado é R$ 2,50.
A função do valor V a pagar em função da quantidade x de quilômetros rodados 
será descrita por: V = 2,5 x + 4,5.
Importante!
Devemos notar que 2,50 é o valor por Km rodado e que é a variável do preço a pagar, já 
que 4,50 é o valor � xo, independente do valor rodado; porém, 1,5 é a taxa de variação 
por Km rodado; por isso, 4,50 equivalem ao valor de b na função e 1,50 ao valor de a.
Importante!
21
UNIDADE Função A�m
No próximo exemplo, além de definir duas funções, vamos compará-las.
• Situação problema: uma pessoa possui duas opções de cobertura de plano 
de saúde, que chamaremos de A e B, para sua faixa etária.
O plano A cobra um valor fixo de R$ 100,00 por mês e um valor de R$ 25,00 
por consulta realizada no período (mês). Já o plano B cobra um valor fixo de 
R$ 160,00 por mês e R$ 15,00 por consulta no mesmo período determinado pelo 
plano A.
O gasto total de cada plano é dado em função do número x de consultas.
Determine:
a) A função P do preço a pagar, em relação ao número x de consultas realizadas;
b) Em que condições é possível afirmar que o plano A é mais econômico que 
o plano B? E em que condições podemos afirmar que os dois planos são 
equivalentes?
Respostas
a) Para determinar a função, vamos descrever os valores cobrados:
• Plano A: Fixo 100,00 e 25,00 por consulta
• Plano B: Fixo 160,00 e 15,00 por consulta
Na sequência, escreveremos as funções A(x) e B(x), que retratarão o valor a 
pagar, no respectivo plano, de acordo com o número x de consultas.
Função para o plano A: A(x) = 25x + 100
Função para o plano B: B(x) = 15x + 160 
b) Para verificar em que condições o plano A é mais econômico que o plano B, 
vamos analisar as duas funções juntas e verificar quando A(x) será mais econômico, 
para o cliente do que de B(x), ou seja, A(x) < B(x).
A(x) < B(x)
25x + 100 < 15x + 160 e resolver essa inequação do 1º grau
25x – 15x < 160 – 100
10x < 60
x < 60 / 10
x < 6
x representa o número de consultas, ou seja: A(x) < B(x) para x < 6 , que 
representa que o Plano A será menos custoso ao cliente em relação ao plano B se 
o número de consultas não ultrapassar 6.
22
23
Os dois planos serão equivalentes quando estiverem ambos com o número de 
6 consultas, isto é, com exatamente 6 consultas, os planos apresentam o mesmo 
valor a pagar.
Com menos de 6 consultas (x < 6), o plano A será mais econômico que o B. 
Logo, para um número maior do que 6 consultas (x > 6), o plano B será mais 
econômico.
Por último, exemplificaremos outra aplicação da função afim que está na análise 
da Função Demanda.
Utilizada principalmente na área de negócios, a Função Demanda é a função 
que relaciona a quantidade demandada e o preço de um bem ou produto.
Sabe-se que quando o preço de venda de um produto aumenta, a procura 
diminui; porém, quando o preço diminui, a procura (demanda) aumenta. 
A Lei de demanda é caracterizada por uma função afim decrescente, ou seja, 
por um modelo matemático f(x) = -ax + b.
Vamos ao exemplo! 
Quando o preço é de R$ 40,00, sabe-se que 8 camisetas são vendidas; porém, 
quando o preço é de R$ 30,00 o número de vendas sobe para 12 camisetas.
Encontre a função demanda que determina o preço p a cobrar em função da 
quantidade x de camisetas. Ou seja, p(x) = ax + b.
Paradeterminar a função, precisamos de dois pontos nos quais x e y se 
relacionam a partir da função.
O enunciado deixa claro que a função é em relação à quantidade x de camisetas. 
Então, os pares ordenados (x,y) serão dados por (x camisetas, preço)
Como temos:
8 camisetas ao preço de 40,00 e 12 camisetas ao preço de 30,00, então, os 
pares serão: A (8,40) e B (12,30). 
Conhecidos os dois pontos, basta colocar as informações na estrutura da função 
afim e criar um sistema:
f(x) = ax + b
(Equação 1) 40 = 8a + b 
(Equação 2) 30 = 12a+ b 
O sistema ficará:
8a + b = 40
12a + b = 30
23
UNIDADE Função A�m
Da Equação 1 subtrairemos a Equação 2:
-4a = 10
a = 10/(-4) = -2,5
Com o valor de a = -2,5, substituímos em qualquer uma das duas equações para 
determinar o valor de b:
8a + b = 40
8(-2,5) + b = 40
b = 40 + 20
b = 60
Com a = -2,5 e b = 60, a função será dada por: 
P(x) = -2,5x + 60
A partir da função, pode-se calcular o valor de venda para, por exemplo: 10 
camisetas.
Nesta Unidade, vimos a função afim, suas características, como definir a função 
afim a partir de dois pontos, como identificar se uma função afim é crescente ou 
decrescente, calcular o zero de uma função (ou raiz da equação), além de identificar 
a aplicação da função afim na resolução de situações problema que envolvam 
características dessa função, principalmente a taxa de variação (representado pelo 
coeficiente a), que é constante.
Agora, reveja os exemplos e conceitos abordados. Além disso, para aprofundar 
sobre o tema, indicamos alguns links no material complementar.
24
• Função Quadrática
• Valor Numérico da Função Quadrática em um Ponto
• Zero da Função Quadrática
• Representação Gráfica das Raízes
• Vértice da Parábola
• Estudo do Sinal
• Exemplos de Resolução de Exercícios
�· ,��Q��I�FDU�D�)�QomR���D�Ui��FD���V�DV�FDUDF��UtV��FDV�
�· ��FRQ��F�U�D�SDUiEROD�FR�R�U�SU�V�Q�DomR��UiI�FD������D�)�QomR�
��D�Ui��FD�
�· �R�SU��Q��U�DV�DO��UDo��V��UiI�FDV��D�SDUiEROD�D�SDU��U��RV�FR�I��
F��Q��V�D��E���F�
�· �DOF�ODU�R��pU��F����FODVV�I�FDU�FR�R�SRQ�R��i���R�R���tQ��R�
�· �R�SU��Q��U�R�V�QDO��D�)�QomR���D�Ui��FD�
OBJETIVO DE APRENDIZADO
Função Quadrática
UNIDADE Função Quadrática
Função Quadrática
Uma função f: de R em R chama-se Quadrática quando existem números reais 
a, b, e c, com a ≠ 0, tal que f(x) = ax2 + bx + c, para todo x Î IR. 
Vejamos alguns exemplos de Função Quadrática:
f(x) = 3x2 - 2x + 1, onde a = 3, b = - 2 e c = 1
f(x) = x2 -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1
f(x) = - x2 + 5 x, onde a = 1, b = 5 e c = 0
f(x) = -2 x2, onde a = - 2, b = 0 e c = 0
f(x) = ½ x² + 4x , onde a = ½ , b = 4 e c = 0
A Função Quadrática aparece em vários fenômenos e situações do dia a dia. En-
tre eles, podemos citar: a relação entre dois números, quando conhecemos a soma 
e o produto entre ambos, nos fenômenos físicos, como, por exemplo, na queda 
livre de corpos, no lançamento de um projétil que atinge o ponto máximo, cuja tra-
jetória gráfica (parábola) pode ser escrita por uma Função Quadrática, entre outros.
Valor Numérico da Função 
Quadrática em um Ponto
Identificar o valor da Função Quadrática em um ponto consiste em calcular o 
valor resultante da função para determinado x.
Exemplo
Seja a função f(x) = x² + 4x + 2, o valor numérico da função para x0 = 3, ou 
seja, f(3) é dado por:
f(x) = x² + 4x + 2
f(3) = (3)² + 4(3) + 2 = 23
Ou seja, na função dada, quando temos x = 3, f(x) = 23 em par ordenado, 
podemos denotar por: P = (3,23).
Exemplo
Seja a função f(x) = x² + 5x, o valor numérico da função para x0 = -1, ou seja, 
f(-1) é dado por:
f(x) = x² + 5x
f(-1) = (-1)² + 5(-1) = 1 - 5 = -4
8
9
Ou seja, na função dada, quando temos x =-1, f(x) = -4 em par ordenado, 
podemos denotar por: P = (-1 , -4).
Importante!
Para calcular o valor numérico de uma função, basta substituir o valor de x na função e 
calcular seu resultado.
Em Síntese
Gráfico da Função Quadrática
O gráfico de uma Função Quadrática é uma parábola. Vamos relembrar a 
definição geométrica de uma parábola?
Consideremos um ponto F e uma reta d que não o contém. Chamamos de 
parábola de foco F e de reta diretriz d ao conjunto de pontos do plano que distam 
igualmente de F e d, conforme ilustrado na imagem a seguir:
Figura 1 – Parábola
A reta perpendicular à diretriz que contém o foco chama-se eixo da parábola. 
O Ponto (V) da parábola mais próximo da diretriz chama-se vértice. O vértice (V) 
é o ponto médio do segmento cujos extremos são o foco e a intersecção do eixo 
com a diretriz.
O traçado gráfico da curva formada pela função f(x) = ax² + bc + c é uma 
parábola que pode ter variações gráficas de acordo com os coeficientes a, b, e c. 
A seguir veremos cada uma dessas variações:
9
UNIDADE Função Quadrática
Parâmetros da Função Quadrática 
e suas Alterações Grá�cas
Coeficiente a e a Concavidade da Parábola
A parábola que representa a Função Quadrática pode ter sua concavidade 
para cima ou para baixo. Algebricamente, tal fato é determinado pelo valor do 
coeficiente a. 
Se a é positivo (a > 0), a concavidade é dita “para cima”; se a é negativo (a < 0), 
a concavidade é dita “para baixo”.
V
V
a > 0 a < 0
Figura 2 – Concavidade da parábola e o coe�ciente a
O Vértice é o ponto mais próximo da diretriz D e é, por esse motivo, chamado 
de ponto extremo da parábola. Esse extremo poderá ser Máximo ou Mínimo, 
dependendo da concavidade da parábola.
Importante!
Quando a concavidade está VOLTADA PARA CIMA, o vértice (V) é o PONTO MÍNIMO da 
parábola; mas quando está VOLTADA PARA BAIXO, o vértice (V) é o ponto MÁXIMO.
Importante!
Além de interferir na concavidade da parábola, o valor do coeficiente a também 
irá determinar a abertura da curva:
• Quanto maior o valor do coeficiente a, menor será a abertura da parábola;
• Quanto menor o valor do coeficiente a, maior será a abertura da parábola.
10
11
j(x) = 0,1 x�j(x) = 0,1 x�
h(x) = 1/2 x�
f(x) = x� g(x) = 2x�
k(x) = 5x�
j(x) = 0,1 xj(x) = 0,1 xj(x) = 0,1 xj(x) = 0,1 xj(x) = 0,1 xj(x) = 0,1 x������
h(x) = 1/2 xh(x) = 1/2 x��
f(x) = xf(x) = x�� g(x) = 2xg(x) = 2x= ��
k(x) = 5xk(x) = 5x��
Figura 3 – Alterações grá� cas na parábola em decorrência do parâmetro a
Parâmetro b
Indica se a parábola intercepta o eixo y no ramo crescente ou decrescente:
Se b > 0, a parábola intercepta o eixo y no ramo crescente.
Se b < 0, a parábola intercepta o eixo y no ramo decrescente.
0 1
1
2
3
1
2
3
4
5
4
5
-1-2-32-1 10 3
b < 0 b > 0
Figura 4 – Alterações grá� cas na parábola em decorrência do parâmetro b
11
UNIDADE Função Quadrática
0 1
1
2
3
1
2
3
-1-2-3 21 10 3
b < 0 b > 0
Figura 5 – Alterações grá�cas na parábola em decorrência do parâmetro b
Parâmetro c
O parâmetro c, também denominado termo independente, indica em qual ponto 
a parábola intercepta o eixo y, pois esse ponto é determinado por (x,c):
Se c > 0, a parábola intercepta o eixo OY acima do eixo das abscissas.
Se c < 0, a parábola intercepta o eixo OY a seguir do eixo das abscissas
Se c = 0, a parábola intercepta o eixo OU na origem.
1
2
3
4
5
y
x2-1 10 3
c > 0
0 1
y
x
-1-4 -3 2
c = 0
1
2
3
4
6
-2
-1
5
-2
0 1
y
x
-1-4 -3 2
c < 0
1
2
3
4
-2
-1
-3
5
-2
Figura 6 – Alterações grá�cas na parábola em decorrência do parâmetro c
Zero da Função Quadrática
Chamamos de ZERO da função, ou RAIZ da equação, ao número real que 
é atribuído à variável x e que faz com que f(x) seja igual a zero. Uma Função 
Quadrática pode apresentar uma, duas ou nenhuma raiz real.
12
13
Uma das formas de calcular as raízes é resolver a da equação de segundo grau:
ax² + bx + c = 0 , em que x é a raiz e será determinado por: 
x
b
a
=
− ± ∆
�
2
Considerando: ∆ = b² - 4ac, temos que:
x
b b ac
a
=
− ± −
�
�� 2 4
2
Nessa fórmula, por meio do cálculo do discriminante ∆ chamado de delta, 
podemos identificar se a função terá, ou não, raízes.
Pois, considerando:
∆= −� ²b ac4
temos que:
∆ = 0 , teremos uma única raiz real, que é chamada de raiz dupla:∆ > 0, teremos duas raízes reais distintas
∆ < 0, não teremos raízes reais
Representação Gráfica das Raízes
Vimos que uma Função Quadrática pode conter:
• Uma única raiz real dupla;
• Duas raízes reais distintas;
• Nenhuma raiz real.
2-1 10 3
3
2
1
5
4
∆ = 0
Uma única raiz
real dupla
Neste caso, o x do vértice
coincide com a raiz
∆ > 0
∆ < 0
Duas raízes 
reais distintas
Nenhuma raiz real
1-2 0 2-1 -2-5 -3 -1-4
Figura 7 – Representação gráfica das raízes de uma Função Quadrática
13
UNIDADE Função Quadrática
Verificamos na imagem acima que, dependendo da Função Quadrática, podemos 
ter uma única raiz real (∆ = 0), o que graficamente representa que a parábola 
“tocará” em apenas um único ponto no eixo OX, independente se a concavidade 
da parábola é para cima ou para baixo.
Já quando a função apresenta duas raízes reais distintas (∆ > 0), graficamente a 
parábola intercepta o eixo OX em dois pontos, independente se a concavidade da 
parábola é para cima ou para baixo.
E quando a função não apresenta raiz (∆ < 0), graficamente a parábola não 
intercepta o eixo OX. Ou seja: o ponto máximo ou mínimo está a seguir ou acima 
do eixo OX , sem interceptá-lo.
Exemplos 
As raízes da função f(x) = x² - 5x - 6 são x1 = -1 e x2 = 6, vamos detalhar os cálculos: 
x
b b ac
a
=
− ± −
�
�� 2 4
2
x��
�� . .
�.
�
��
�
��
��
�
=
− −( )± − −( )
=
± +
=
±5 5 4 1 6
2 1
5 25 24
2
5 7
2
2
x1
5 7
2
6=
+
=�
�
x2
5 7
2
1=
−
= −�
�
A existência dessas duas raízes x1 = 6 e x2 = -1também é evidenciada graficamente 
na parábola, que representa a função, que intercepta o eixo OX nos pontos P (-1,0) 
e Q (6, 0), conforme podemos verificar na imagem a seguir:
14
15
2-1-2-3-4 10 3 654 7 8
X
Y
3
2
1
x2 x1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
-11
-12
Figura 8 – Gráfico da Função f(x) = x² -5x – 6
Já para a função f(x) = x² - 2x +1, ao calcular a equação x² - 2x + 1 = 0, temos 
apenas uma raiz real (chamada também de raiz real dupla), e podemos observar 
que, de fato, temos ∆ = 0.
x��
�� . .
�.
�
��
�
��
��
�
=
− −( )± −( ) −
=
± −
=
±2 2 4 1 1
2 1
4 4 4
2
4 0
2
2
2 0
2
1
� �
�
±
=
Graficamente, notamos que a parábola “toca” o eixo OX em um único ponto, 
que é justamente P (1,0), conforme figura a seguir:
2-1-2-3-4 10 3 54
X
Y
11
10
x1
8
7
6
5
4
3
2
1
9
-1
-2
-3
 
Figura 9 – Gráfico da função f(x) = 2x -2 +1
15
UNIDADE Função Quadrática
Já para a função f(x) = x² + 2x + 3, ao calcular a equação x² + 2x + 3 = 0, temos:
x��
�� . .
�.
�
��
�
��
��
�
=
− ± ( ) −
=
− ± −
=
− ± −2 2 4 1 3
2 1
2 4 12
2
2 8
2
2
Como ∆ = -8 , não temos a existência de uma raiz real, portanto, nesse caso, 
não há zero da função. 
Evidenciamos esse fato graficamente, no traçado da parábola que representa 
f(x) = x²+2x + 3, em que o ponto mínimo na função está acima do eixo OX. Além 
disso, possui concavidade para cima e não intercepta o eixo OX.
210 3 54
X
Y
8
7
6
5
4
3
2
1
9
-1-2-3-4-5
-1
-2
Figura 10 – Gráfico da função f(x) = x² + 2x + 3
Vértice da Parábola
O Vértice de uma parábola, como vimos, é o ponto mais próximo da diretriz; isso 
o torna um ponto crítico da parábola que, dependendo da concavidade, pode ser:
• PONTO MÁXIMO que a parábola atinge, ou seja, o maior valor da imagem f(x);
• PONTO MÍNIMO que a parábola atinge, ou seja, o menor valor da imagem f(x).
16
17
420 6-2
-2
-4
-6
-8
6
4
2 4
V
V
20-2
-2
-4
-6
-8
4
2
Figura 11
O vértice de uma parábola da função f(x) = ax² + bx + c é um ponto, definido por:
V
b
a a
=
− −∆




2 4
�,�
Lembrando que ∆�=�b2 – 4ac
Como o Vértice assume um ponto máximo ou mínimo da função, devemos 
observar que a ordenada do ponto vértice, ou seja, a imagem (y) do vértice, delimita 
a imagem da Função Quadrática.
Voltamos ao exemplo da função f(x) = x² - 5x – 6, que já sabemos, conforme 
cálculo efetuado no exemplo anterior, que as raízes são x1 = 6 e x2 = -1.
Vamos calcular o ponto vértice e classificá-lo em ponto Mínimo ou Máximo.
V
b
a a
=
− −∆




 =
− −( ) −




 =
−




2 4
5
2 1
49
4 1
5
2
49
4
,
.
,
.
,
 
Podemos, ainda, classificar o ponto V como ponto mínimo, vez que a concavi-
dade da parábola é para cima, e tal análise e realizada a partir da observação do 
coeficiente a, que é positivo.
Importante!
Lembrando-se de que se a concavidade está VOLTADA PARA CIMA (a > 0), o vértice (V) 
é o PONTO MÍNIMO da parábola, mas se está VOLTADA PARA BAIXO (a < 0), o vértice 
(V) é o ponto MÁXIMO.
Importante!
17
UNIDADE Função Quadrática
Graficamente, visualizamos a seguir o gráfico da função f(x) = x² - 5x – 6 e, 
além das duas raízes, destacamos o ponto V, que é o vértice, que nesse caso é 
V =
−





5
2
49
4
,
 e é o ponto mínimo da função.
4
Y
X
2
AA BB
VV
0 6 8-2-4
-2
-4
-6
-8
-10
-12
-14
4
2
Figura 12 – Gráfico da função f(x) = x² -5x – 6 e o vértice V
Devemos observar que o vértice, como ponto máximo ou mínimo de uma 
Função Quadrática, está diretamente ligado ao conjunto imagem da função.
No exemplo acima, vimos que o vértice V =
−





5
2
49
4
,
 
 é o ponto (x, y) mínimo 
de f(x) = x² -5x – 6, logo y = -49/4 será o menor valor assumido pela orde-
nada y. Ou seja, ele limitará o conjunto imagem em -49/4. Assim, a imagem 
Im(f) = { y Î R | y ≥ -49/4 }, o que representa que todos os valores de y maiores 
ou iguais a -49/4 serão imagem dessa função, o que já não ocorre com números 
menores de -49/4. 
Ou seja: a imagem de uma Função Quadrática tem ligação direta com a ordenada 
y do ponto vértice V.
Importante!
A ordenada y do Vértice é a imagem da função que será o extremo máximo ou mínimo.
Importante!
Se V é o ponto mínimo, temos que Imagem da Função = Im(f) = { y Î R | y ≥ yv}.
Se V é o ponto máximo, temos que Imagem da Função = Im(f) = { y Î R | y ≤ yv}.
18
19
4
f(x)
20 6-2
-2
-4
-6
-8
4
6
2
Im
ag
em
4
f(x)
20-2
-2
-4
-6
-8
4
2
-10
Im
ag
em
v
v
Figura 13 – Vértice e imagem da Função Quadrática
Estudo do Sinal
Realizar o estudo do sinal de uma função é analisar, além dos pares ordenados 
que fazem parte do traçado do gráfico ou do resultado da função, o comportamento 
da função em determinados intervalos.
Por exemplo: para quais intervalos de x, quando atribuídos à função, teremos 
para y (ou f(x)) resultados numericamente positivos? Ou ainda. Para quais intervalos 
de x, teremos resultados numericamente negativos, ou ainda: iguais a zero?
Em relação à Função Quadrática, essa análise se dá por meio da observação 
das raízes reais e da concavidade da parábola.
Na imagem a seguir, temos o esboço de uma parábola em relação ao eixo OX 
(eixo das abscissas) e, nesse exemplo, a concavidade é para cima e a função possui 
duas raízes (x1 e x2).
Devemos observar que, exatamente nas duas raízes, o valor de f(x) é nulo, isto 
é: igual à zero. Antes da raiz x1, ou seja, para qualquer xi < x1, o valor da função 
será positivo, o que ocorrerá também com os valores de x que são maiores do que 
x2, ou seja xi > x2 . Porém, o comportamento do resultado da função (valores de y) 
mudam entre as duas raízes. Note, na figura a seguir, que entre as duas raízes, o 
valor da função, ou seja o valor de y, é negativo, pois estão a seguir do eixo OX.
19
UNIDADE Função Quadrática
X2X1
Figura 14 – Estudo do sinal da Função Quadrática
Resumindo a análise do estudo do sinal, para esse esboço, temos:
f(x) = 0; x = x1 ou x = x2, ou seja: a função é NULA (igual a zero ) nas raízes.
f(x) < 0; x1 < x < x2, ou seja: a função será NEGATIVA no intervalo entre as 
duas raízes, todos os números reais x que sejam maiores do que x1 e menores do 
que x2.
f(x) > 0; x < x1 e x > x2, ou seja: a função será POSITIVA para valores menores 
do que x1 e para valores maiores do que x2.
No próximo exemplo, temos o esboço de uma parábola de concavidade para 
baixo e com duas raízes. Observamos, novamente, o comportamento do sinal de 
f(x), ou seja os resultados de y ,lembrando que: para valores a seguir do eixo OX, o 
sinal de y será negativo, e para valores acima do eixo OX, o sinal de y será positivo.
X1 X2
Figura 15 – Estudo do sinal da Função Quadrática
20
21
Ao finalizar a observação do estudo do sinal, temos:
f(x) = 0; x = x1 ou x = x2. A função será NULA nas raízes. 
f(x) > 0; x1 < x < x2. Ou seja: a função será POSITIVA no intervalo entre as 
duas raízes; todos os números reais x que sejam maiores do que x1 e menores do 
que x2.
f(x) < 0; x < x1 ou x > x2. Ou seja: a função será NEGATIVA, para valores 
menores do que x1 e para valores maiores do que x2.
No próximo exemplo, conforme figura 15 a seguir, temos o esboço de uma 
parábola com uma única raiz real (ou raiz dupla) e concavidade para cima.
X1
Figura 16 – Estudo do sinal da Função Quadrática
Nesse exemplo, notamos que, exceto a raiz, todo o traçado da parábola está 
acima do eixo OX, ou seja, são valores positivos para y.
f(x) = 0; x = x1 a função será NULA na raiz. 
f(x) > 0; x < x1 ou x > x1 f(x) > 0. Ou seja: a função será POSITIVA para valores 
menores do que x1 e para valores maiores do que x1. Podemos escrever, também, 
que será positiva para valores diferentes de x1.
Nos dois exemplos a seguir, temos o esboço de duas parábolas de funções que 
não possuem raízes, uma de concavidade para baixo e outra de concavidade para 
cima. Nesse caso, como não temos raízes, os valores de y serão todos positivos 
(concavidade para acima) ou todos negativos (concavidade para baixo).
21
UNIDADE Função Quadrática
X
f(x) < 0 ; x ∈ Rf(x) > 0 ; x ∈ R
X
Figura 17 – Estudo do sinal da Função Quadrática
Exemplos de Resolução de Exercícios
����RQV���UDU��RV�D�I�QomR�I���� ����������������U�DO��D�RV�����V���R�QR�
��DO�U�VSRQ��U��RV�
D�����SRVV�������D�V�VmR�DV�UDt��V�
E���QDO�VDU��RV�D�FRQFD���D����D�SDUiEROD�
F��2�SRQ�R���������Q��UF�S�D�R����R�28�
����pU��F���D�SDUiEROD���FODVV�I�FDomR����SRQ�R��i���R�R���tQ��R�
���(VERoR��R��UiI�FR�
I��(V���R��R�V�QDO�
���,�D�����D�)�QomR�
Respostas
a) Para responder se possui ou não raízes, vamos ao cálculo da equação 
–x² + 2x + 8 = 0:
=
− ± ( ) − −( )
−( )
=
− ± +
−
=
− ±
−
=
− ±
�
�� . .
�.
�
��
��
�� ��2 2 4 1 8
2 1
2 4 32
2
2 36
2
2
2
66
2�−
De onde temos que:
x e x1 2
2 6
2
2
2 6
2
4=
− +
−
= − =
− −
−
=
Portanto a função possui duas raízes distintas: x1= -2 e x2 = 4;
b) A concavidade da parábola é voltada para baixo, visto que o coeficiente a = -1;
c) A parábola intercepta o eixo OY em y= 8, visto que o coeficiente c = 8;
d) Vértice da parábola será dado por V = −
−( )
−
−( )





 = ( )
2
2 1
36
4 1
1 9
.
,
.
, ;
22
23
e) O esboço do gráfico pode ser realizado apontando quatro itens principais: as 
duas raízes, o vértice, o ponto no qual a parábola intercepta o eixo OY.
2-1-2-3-4 10 3 654
9
10
V
BA
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
Figura 18
f) Para o estudo do sinal temos:
f(x) = 0; x = -2 ou x = 4 A função será NULA nas raízes. 
f(x) > 0; -2 < x < 4. Ou seja: a função será POSITIVA no intervalo entre as duas 
raízes, todos os números reais x que sejam maiores do que -2 e menores do que 4.
f(x) < 0; x < -2 ou x > 4. Ou seja: a função será NEGATIVA, para valores 
menores do que -2 e para valores maiores do que 4;
g) A imagem da função pode ser respondida a partir da análise do y do ponto 
vértice que, nesse caso, é o ponto máximo da função. Nesse caso: Im(f) = { y ∈ R 
| y ≤ 9 }.
���2��UDoD�R��R��R����Q�R�������SUR�p��O��ODQoD�R�SDUD�F��D���U��FDO��Q����
p���VFU��R�S�OD�I�QomR�I���� ����������������RQ�����p�D�DO��UD��������URV��
D��Q���D�S�OR�SUR�p��O�QR����SR������V���Q�RV�DSyV�R�ODQoD��Q�R������U��Q��
D�DO��UD��i���D�D��Q���D���R����SR���������VV��SUR�p��O�S�U�DQ�F��QR�DU�
Resposta
A partir da análise da função f(x) = - 20x2 + 180x, identificamos que se trata de 
uma Função Quadrática e que, portanto, possui como representação gráfica uma 
parábola. A parábola será com concavidade para baixo, visto que o coeficiente a é 
negativo (a = -20); portanto, teremos um ponto máximo nessa trajetória. 
O ponto máximo será o ponto vértice, logo: V b
a a
=
− −∆




2 4
, .
23
UNIDADE Função Quadrática
Para responder a altura em metros, basta calcular o y do vértice:
−∆




 =
− ( ) − −( ) 
−( )
=
−
−
=
4
180 4 20 0
4 20
32 400
80
405
2
a
. .
��
.
Ou seja: a altura máxima a ser atingida pelo projétil, que corresponde ao y do 
vértice da parábola que possui o ponto máximo, é de 405 metros.
O tempo que esse projétil permanece no ar é o intervalo entre as raízes. 
Calculando as raízes, temos x1 = 0 e x2 = 9; portanto, o projétil permanece no ar 
por 9 segundos. 
Nesta Unidade, estudamos a Função Quadrática, suas características, o traçado 
da parábola que a representa graficamente, o cálculo das raízes, do vértice, a 
classificação e a compreensão de que o vértice pode ser ponto máximo ou mínimo 
de uma função e, ainda, o estudo do sinal dessa função.
Bons estudos!
24
• Matriz
• Elementos das Diagonais
• Classificação de Matrizes
• Operações Basicas com Matrizes
• Sistemas Lineares
 · Identificar os diferentes tipos de matriz;
 · Realizar operações: soma, subtração e multiplicação entre matrizes;
 · Calcular�os�determinantes�de�matrizes�quadradas�de�ordem�n�≤�3;
 · Reconhecer situações que envolvam sistemas lineares;
 · Utilizar os métodos Cramer e Gauss para a resolução de sistemas 
lineares possíveis e determinados.
OBJETIVO DE APRENDIZADO
Matrizes e Sistemas Lineares
UNIDADE Matrizes e Sistemas Lineares
Matriz
Define-se por Matriz de m × n a um conjunto de m × n (lê-se m por n) elementos 
que são dispostos em m linhas e n colunas.
Os elementos que compõem uma determinada matriz são representados por 
uma letra minúscula acompanhada dos índices i (que representa a linha na qual o 
elemento está posicionado) e j (que representa a coluna na qual o elemento está 
posicionado); a matriz nós representamos por uma letra maiúscula.
Vejamos um exemplo: temos a seguir uma matriz 3 × 3 que denominaremos 
matriz A.
Veja a estrutura da matriz com os índices i (linhas) e j (colunas):
A
a a a
a a a
a a a
=










�
11 12 13
21 22 23
31 32 33
E, na sequência, a matriz já com os valores numéricos que, nesse caso, foram 
estipulados de forma aleatória, somente para exemplificar uma matriz com valo-
res numéricos:
A = − −










�
6 2 0
1 3 1
3 5 8
Os elementos da matriz são localizados pelos dois índices: i (linha) e j (coluna).
A matriz A3x3 possui os seguintes elementos:
a11 = 6; a12 = 2; a13 = 0.
a21 = -1; a22 = -3; a23 = 1.
a31 = 3; a32 = 5; a33 = 8.
O elemento a32 = 5 é elemento que está localizado na 3ª linha e na 2ª coluna.
Elementos das Diagonais
Chamamos de Diagonal Principal (P) a diagonal da matriz quadrada composta 
pelos elementos aij, onde i = j, isto é, no caso de uma matriz quadrada de ordem 3, 
a diagonal principal será composta pelos elementos de posição: a11, a22 e a33.
8
9
Já a Diagonal Secundária (S) é a diagonal composta pelos elementos aij, onde 
i + j = n + 1; no caso da matriz quadrada de ordem 3, a diagonal secundária será 
composta pelos elementos a31, a22 e a13.
1
1
2
1
0
4
5
-2
-3
P S
Figura 1 – Diagonais de uma matriz quadrada 3x3
Em uma matriz quadrada de ordem 2, as diagonais principais e secundárias 
serão compostas da seguinte forma:
Diagonal Principal, elementos a11 e a22.
Diagonal Secundária, elementos a12 e a21.
4
1
1
-2
P S
Figura 2
Classificação de Matrizes
As matrizes são classificadas de acordo com o número de linhas e colunas.
• Matriz linha: quando temos uma matriz m = 1, composta por uma única linha;
• Matriz coluna: quando temos uma matriz n = 1, composta por uma única coluna;
• Matriz nula: quando temos uma matriz cujos elementos são todos iguais a zero;
• Matriz quadrada: trata-se da matriz m × n, na qual m = n, ou seja, igual 
número de linhas e colunas. Importante destacar que em toda matriz m × n 
quadrada temos duasdiagonais que são chamadas: diagonal principal e dia-
gonal secundária;
• Matriz triangular superior: quando temos uma matriz quadrada n ×�n, na 
qual todos os elementos a seguir da diagonal principal são nulos.
Nesta Unidade, o estudo da matriz quadrada é importante, pois a utilizaremos 
no cálculo do determinante e na solução de sistemas lineares.
9
UNIDADE Matrizes e Sistemas Lineares
Operações Básicas com Matrizes
Soma e Subtração de Matrizes
Considerando duas matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)mxn, a matriz C = (cij)mxn será a 
matriz soma, das matrizes A + B, na qual os elementos cij serão obtidos por cij = 
aij + bij.
Importante!
Cada elemento cij da matriz soma C será o resultado da soma entre os elementos 
correspondentes de A e B. Chamamos de correspondentes os termos que possuírem os 
mesmos índices ij.
Importante!
Ou seja, associamos, por meio da soma, os elementos que possuem o mes-
mo índice:
 
 
A= 
a11 a12 a13 
a21 a22 a23 
a31 a32 a33 
 
 
 
+B= 
b11 b12 b13 
b21 b22 b23 
b31 b32 b33 
 
 
 
C= 
a11+ b11 a12+ b12 a13+ b13 
a21+ b21 a22+ b22 a23+ b23 
a31+ b31 a32+ b32 a33+ b33 
 
Importante!
A soma ou subtração de matrizes somente ocorre entre matrizes de mesma ordem, ou 
seja, o número de linhas de uma matriz deve ser igual ao número de linhas da outra 
matriz, assim como o número de colunas.
Importante!
Exemplos
A e B e A B=
−




 =
−
−





 + =
−




� � �
2 1 3
0 2 1
1 3 4
2 2 1
3 4 7
2 0 2
� � � �C e D e C D=
−
−










=
− − −










+ =
1 2 3
4 5 2
2 4 7
0 1 3
4 3 4
2 3 5
1 33 0
8 8 2
0 1 2










10
11
A C=
−




 + =
−
−










�
2 1 3
0 2 1
1 2 3
4 5 2
2 4 7
 Soma de A + C não é possível
Multiplicação de Matrizes
Dadas duas matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)mxn, a multiplicação entre as matrizes 
A e B gerará uma nova matriz C na qual:
Todo elemento cij é calculado multiplicando-se ordenadamente os elementos da 
linha i, da matriz A, pelos elementos da coluna j, da matriz B, e somando-se os 
produtos obtidos.
Para dizer que a matriz C é o produto de A por B, vamos indicá-la por AB.
Só definimos o produto AB de duas matrizes quando o número de colunas da 
matriz A for igual ao número de linhas de B. Além disso, notamos que a matriz 
produto AB possui o número de linhas de A e o número de colunas de B.
Assim, se tivermos uma matriz A3x2 e uma matriz B3x3 não teremos o produto 
AB, visto que o número de colunas de A não é igual ao número de colunas de B. 
Porém, se tivermos uma matriz A3x3 e uma matriz B3x3, o produto entre as matrizes 
se dará da forma que se expõe a seguir.
Importante!
A multiplicação entre duas matrizes A e B só ocorre se o número de colunas da matriz 
A for igual ao número de linhas da matriz B.
Importante!
Para realizar a multiplicação, associaremos os termos da linha 1 (da primeira 
matriz) com a coluna 1 (da segunda matriz); posteriormente, os termos da linha 1, 
com a coluna 2, e na sequência os termos da linha 1 com a coluna 3.
Após finalizar a associação dos termos da linha 1 com todas as colunas, repeti-
remos o processo com as demais linhas.
 
 
A= 
a11 a12 a13 
a21 a22 a23 
a31 a32 a33 
 
 
 
 
b11 b12 b13 
*B= b21 b22 b23 
 b31 b32 b33 
 
 
 
 
C= 
a11* b11+ a12* b21+a13* b31 a11* b12+ a12* b22+a13* b32 a11* b13+ a12* b23+a13* b31 
a21* b11+ a22* b21+a23* b31 a21* b12+ a22* b22+a23* b32 a21* b13+ a22* b23+a23* b33 
a31* b11+ a32* b21+a33* b31 a31* b12+ a32* b22+a33* b32 a31* b13+ a32* b23+a33* b33 
 
11
UNIDADE Matrizes e Sistemas Lineares
Importante!
Note que cada termo da linha a1n vai multiplicar um termo na coluna bn1, e faremos a 
soma dos produtos, obtendo o c11 = a11* b11 + a12* b21 + a13* b31.
Importante!
Para o cálculo de c12, procederemos da mesma forma; porém, cada termo da 
linha a1j vai multiplicar um termo da coluna bi2 e teremos c12 = a11* b12 + a12* b22 + 
a13* b32. E assim sucessivamente também para as demais linhas.
Exemplo
Dadas duas matrizes A3x3 e B3x2:
A e B=









 −










� ��
2 3 1
0 1 2
3 5 1
1 2
2 3
1 1
Inicialmente, devemos verificar se a multiplicação (produto) entre A*B é possível. 
Nesse caso, temos que o produto entre A e B é possível, vez que a condição para 
a existência do produto entre duas matrizes, de que o número de colunas da matriz 
A é igual ao número de linhas da matriz B, está contemplada.
Assim, a matriz C=A.B será obtida por:
A B*
* * * * * *
* * * * * *
*
=
+ + −( ) + +
+ + −( ) + +
+
2 1 3 2 1 1 2 2 3 3 1 1
0 1 1 2 2 1 0 2 1 3 2 1
3 1 55 2 1 1 3 2 5 3 1 1
7 14
0 5
12 22* * * * *
� �
+ −( ) + +










= =










C
Determinantes de Matrizes Quadradas até Ordem 3
Uma matriz quadrada tem, associado a ela, um número real chamado determi-
nante da matriz (Det), obtido por meio de operações que envolvem os elementos 
da matriz.
Nesta Disciplina, estudaremos os determinantes para matrizes de ordem 1, 
ordem 2 e ordem 3.
Determinante de Matriz Quadrada de Ordem 1
Para matriz quadrada de ordem 1, indicada por A = [a11] , por definição, o 
determinante da matriz será igual ao número do elemento de posição a11.
Exemplo
Seja a matriz A = [5], o determinante de A será det A = 5.
Seja a matriz B = [-2], o determinante de B será det B = 2.
12
13
Determinante da Matriz Quadrada de Ordem 2
Para as matrizes quadradas de ordem 2, calculamos o determinante fazendo o 
produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da 
diagonal secundária.
Exemplo
Calcularemos o determinante da matriz M =





�
2 3
1 4
.
Importante!
O determinante será calculado da seguinte forma: do produto da diagonal principal 
subtraímos o produto da diagonal secundária.
Importante!
D = produto da diagonal principal: 2*4 = 8
S = produto da diagonal secundária 3*1 = 3
P – S = 8 – 3 = 5. Logo, det(M) = 5
Determinante da Matriz Quadrada de Ordem N = 3
Existem alguns procedimentos para o cálculo do determinante das matrizes 
quadradas de ordem 3. Um deles, chamado de REGRA DE SARRUS, consiste em 
copiar as duas primeiras colunas da matriz original:
A = −
−










�
1 1 5
1 0 2
2 4 3
Copiando novamente a matriz e incluindo, após a terceira coluna, novamente as 
duas primeiras colunas, teremos:
1 1 5 1 1
1 0 -2 1 0
2 4 -3 2 4
Da matriz quadrada A3x3, teremos, agora, uma nova matriz que possui três 
diagonais de três elementos no sentido da diagonal principal e três diagonais no 
sentido das diagonais secundárias.
A seguir, somamos os produtos obtidos nas três diagonais principais e dessa 
soma subtrairemos a soma dos três produtos obtidos nas três diagonais secundárias.
13
UNIDADE Matrizes e Sistemas Lineares
1
1
2
1
0
4
5
-2
-3
1
1
2
1
0
4
P P P S S S
0 -8 -3 0 -4 20
Figura 3 – Cálculo do determinante da matriz de ordem 3 – Regra de Sarrus
Das diagonais principais (P), temos: 0 – 4 + 20 = 16.
Das diagonais secundárias (S), temos: 0 – 8 – 3 = -11.
Logo, da soma dos produtos das diagonais principais, subtrairemos a soma dos 
produtos das diagonais secundárias, ou seja, P – S:
16 – (-11) = 16 + 11 = 27
Det(A) = 27
O determinante será a soma dos produtos das diagonais principais com o oposto 
da soma dos produtos das diagonais secundárias.
Sistemas Lineares
Quando temos um problema que envolve mais de uma variável e mais de uma 
equação, de modo que estão vinculadas, então temos um sistema de equações. Por 
exemplo, se temos as equações E1 3x + 2y = 16 e E2 4x − 3y = 20, temos um 
sistema, que é, usualmente, indicado por chaves no início:
3x + 2y =16
4x -3x = 10
Outro exemplo de sistema de equações, com três variáveis (x, y e z), com três 
equações, é dado por:
 x + y + 3z= 9
-3x +2y -6z = -14
4x – 5z = 11
Um Sistema de Equações Lineares é um conjunto finito de equações, todas elas 
nas mesmas incógnitas, que devem ser satisfeitas, simultaneamente.
Uma soluçãode um sistema linear é uma sequência ordenada de números 
tais que as substituições das variáveis, por esses números, transformem todas as 
equações do sistema em identidades verdadeiras.
14
15
Resolver um sistema é determinar todas as soluções (sistemas possíveis) ou, 
ainda, provar que não existe nenhuma (sistemas impossíveis).
É importante considerar que, nesta Disciplina, estudaremos os métodos para 
resolução de “sistemas lineares possíveis e determinados”, ou seja, sistemas que 
admitem uma única solução; porém, vale observar que em outras situações, que não 
trataremos aqui, podemos nos deparar com sistemas lineares possíveis e indetermi-
nados, pois apresentam infinitas soluções e ainda sistemas lineares impossíveis, que 
não admitem soluções.
Os métodos que estudaremos a seguir são: Método de Cramer e Método de Gauss.
Método de Cramer
É o método que envolve o cálculo de determinantes para a resolução de siste-
mas matriciais.
Considere o sistema a seguir:
2x + 1y = 3
1x – 3y = -2
A partir desse sistema, nós construiremos uma equação matricial, na qual os 
coeficientes de x e y serão os elementos de uma matriz A e os resultados do sistema 
serão elementos de outra matriz B, conforme a figura 4. Note que do produto 
matricial A*X = B nos permite escrever o sistema como uma equação matricial.
2x + 1y = 3
1x - 3y = -2
2
1
1
-3
x
y
3
-2
A = X = B =
Figura 4 – Equação Matricial
A seguir, calcularemos os determinantes das matrizes chamados de: det A, det 
Ax e det Ay.
Para calcular det Ax, basta trocar os elementos da primeira coluna da matriz A 
(que correspondem aos coeficientes de x), pelos elementos que compõem a matriz B.
Da mesma forma, para calcular o valor do det Ay, basta trocar os elementos da 
segunda coluna da A (que correspondem aos coeficientes de y) pelos elementos que 
compõem a coluna da matriz B, como vemos na figura a seguir:
15
UNIDADE Matrizes e Sistemas Lineares
2
1
1
-3
3
-2
1
-3
2
1
3
-2
detA = [(2.(-3)] - [1.(1)] = -6 -1
detA = -7
detAx = [(3.(-3)] - [1.(-2)] = -9 +2
detAx = -7
detAy = [(2.(-2)] - [3.(1)] = -4 -3
detAy = -7
A =
Det Ax = 
Det Bx =
Figura 5 – Cálculo dos determinantes
Os valores de x e y para a solução do sistema serão calculados por:
x
detA
A
y
detA
A
x
y
=
=
�
det
��
� �
det
Logo, os valores de x e y serão:
x
detA
A
y
detA
A
x
y
= =
−
−
=
= =
−
−
=
�
det
�
�
det
�
7
7
1
7
7
1
Portanto, a solução de nosso sistema será x = 1 e y = 1.
Se tivermos um sistema cuja matriz seja quadrada de ordem três, resolveremos 
det A , det Ax , det Ay e det Az que deverão ser calculados conforme vimos na Regra 
de Sarrus e os valores de x, y e z será, respectivamente:
x
detA
A
y
detA
A
z
detA
A
x
y
z
=
=
=
�
det
�
� �
det
�
det
Método de Gauss
Outro método utilizado na resolução de sistemas lineares é o método de Gauss 
que consiste em transformar o sistema linear original S em um sistema linear 
equivalente, que chamaremos de S’, mas de forma escalonada, ou com matriz 
triangular superior.
16
17
Os sistemas equivalentes são sistemas que admitem uma mesma solução; por 
vezes, é mais prático trabalhar com sistemas equivalentes que permitem soluções 
mais rápidas e menos trabalhosas.
Como vimos, um sistema equivalente ao outro é sobretudo um sistema cuja 
solução é a mesma do sistema original.
Por exemplo: quando temos a equação 2x + 6 = 18, temos como solução o 
valor de x = 6. Podemos obter uma equação equivalente a 2x + 6 = 18 realizando 
qualquer operação nessa equação, desde que façamos a operação para todos os 
elementos da equação.
Se dividirmos todos os coeficientes da equação 2x + 6 = 18 por 2 , teremos 
uma nova equação que será x + 3 = 9. Podemos observar que a solução dessa 
equação continua sendo x = 3, ou seja, 2x + 6 = 18 e x + 3 = 9 são equivalentes.
Importante!
Multiplicando-se os membros de uma equação E qualquer de um sistema linear S por 
um número K≠0, o novo sistema S’ obtido será equivalente a S.
Importante!
Por exemplo, o sistema S é equivalente aos sistemas S’ e S’’:
Sistema S
2x + y = 5
-x +3y = 1
Sistema S’
2x + y = 5
-2x+6y = 2
Sistema S”
6x + 3y = 15
3x - 9y = -3
Note que a diferença de S’ para S é que a segunda equação E2 em S’ é o dobro 
da E2 em S. Também devemos notar que em S”, a equação 1, ou seja, a E1, é o 
triplo da E1 de S, mas são todos sistemas equivalentes, cuja solução é x = 2 e y = 1.
Outra transformação importante: “se substituirmos uma equação E de um sistema 
linear S, pela soma membro a membro (isto é, de seus respectivos coeficientes e 
variáveis) dela com outra, o novo sistema obtido S’ será equivalente a S.
Vamos avaliar novamente nosso sistema S e o equivalente S’:
Sistema S
2x + y = 5
-x +3y = 1
Sistema S’
2x + y = 5
-2x+6y = 2
Em S’, podemos substituir a segunda equação E2 pela soma dela mesma com a 
primeira E1, membro a membro, ou seja:
2x + (-2x) = 0 e também y + 6y = 7y e por fim 5 + 2 = 7.
17
UNIDADE Matrizes e Sistemas Lineares
Assim, a segunda equação ficará 0x + 7y = 7 e o sistema S” obtido com essa 
nova equação será equivalente a S e S’:
2x + y = 5
0x +7y = 7
Agora, podemos facilmente determinar o valor de y, pois:
7y = 7 então y = 1
e se y = 1, temos que 2x +(1) = 5. Então, x = 2
Essas transformações são extremamente úteis quando resolvemos um sistema 
linear buscando uma matriz triangular superior, que é a matriz na qual todos os 
elementos a seguir da diagonal principal são nulos.
Veremos agora um exemplo no qual temos um sistema 3x3, ou seja, um sistema 
de três equações e três variáveis.
Para resolver esse sistema de equações, chamaremos de pivô o número pelo 
qual deveremos multiplicar as equações para que, ao somarmos ou subtrairmos 
duas equações, possamos anular uma das variáveis, e repetiremos o processo até 
chegarmos à matriz do triangular superior, isto é, devemos anular os coeficientes a 
seguir da diagonal principal.
Exemplo
Resolver o sistema linear S
S= x + 2y + z = 9
 2x + y - z = 3
 3x - y -2z = -4
O sistema do exemplo é um sistema composto por três equações com as 
variáveis x, y e z. Para facilitar as transformações e os cálculos, iremos, a partir das 
equações, construir um modelo chamado de equação matricial, ou seja, uma matriz 
composta pelos coeficientes das três equações, que chamaremos de E1, E2 e E3, 
que compõe o sistema:
E1: 1 2 1
E2 2 1 -1
E3 3 -1 2
Resolveremos as equações quando obtivermos da matriz original uma matriz 
triangular superior. Para isso utilizaremos as etapas a seguir:
�
18
19
1ª. etapa: eliminar os elementos que estão em destaque em vermelho, ou seja, 
os elementos a21, a31 e a32 da matriz A3x3. Para isso executaremos as multiplicações 
e somas necessárias:
• 1º passo: destacar o elemento pivô da primeira etapa, isto é, o elemento 
a11, pois é por meio dele que anularemos o elemento a21. Assim, definiremos 
a partir de a11 e a21 o multiplicador da equação. O elemento pivô é a razão 
entre os dois elementos (no caso a21 e a11) e, por meio desse número, é que 
realizaremos a transformação em busca de uma equação equivalente.
Para Equação 1 (E1) e Equação 2 (E2) o pivô será:
m
a
a1
21
11
2
1
2= = =� �
1 2 1 
 
9 
2 1 -1 3 
 3 -1 -2 -4 
m1= 2 
• 2º passo: determinar a transformação da segunda equação (E2’), que será 
dada pela subtração de (E2) com a primeira equação (E1) multiplicada por m1, 
ou seja, E2’ = E2 – m1 * E1.
Acompanhe a transformação de cada um dos termos da segunda equação E2’:
novo a21
a21 – m1*a11
2 – 2(1)
0
novo a22
a22 – m1*a12
1 – 2(2)
-3
novo a23
a23 – m1*a13
-1 -2(1)
-3
novo a24
a24 – m1*a14
3 – 2(9)
-15
Assim, o novo sistema com a substituição de E2 por E2’ ficará:
1 2 1 
 
9 
0 -3 -3 -15 
 3 -1 -2 -4 
• 3º passo: anular o termo a31. Nesse caso, o pivô será determinado por a11 e 
o multiplicador (m2), por a11 e a31:
m
a
a2
31
11
3
1
3= = =� �
19
UNIDADE Matrizes e Sistemas Lineares
1 2 1 
 
9 
0 -3 -3 -15 
 3 -1-2 -4 
m2 =3 
• 4º passo: executar a transformação, mas agora da terceira equação (E3), que 
será subtraída do triplo da primeira equação (E1).
A nova E3’ será dada por:
novo a31
a31 – m2. a11
3 – 3(1)
0
novo a32
a32 – m2.a12
-1 – 3(2)
-7
novo a33
a33 – m2.a13
-2 -3(1)
-5
novo a34
a34 – m2.a14
-4 – 3(9)
-31
O sistema, com a nova equação ficará:
1 2 1 
 
9 
0 -3 -3 -15 
 0 -7 -5 -31 
• 5º passo: anular o termo a32. O pivô será determinado por a22 e o multiplicador 
por a22 e a32:
m
a
a3
32
22
7
3
7
3
= =
−
−
=� � �
1 2 1 9 
0 -3 -3 -15 
 0 -7 -5 -31 
m3 =7/3 
• 6º passo: executamos a transformação, mas agora da terceira equação (E3) 
que será subtraída da segunda equação (E2), multiplicada por m3 = 7/3.
20
21
A terceira equação E3’ será dada por:
novo a31
a31 – m3. a21
0 – 7/3(0)
0
novo a32
a32 – m3.a22
-7 – 7/3(-3)
0
novo a33
a33 – m3.a23
-5 -7/3(-3)
-5+7 = 2
novo a34
a34 – m3.a24
-31 – 7/3(-15)
-31+35 = 4
Dessa forma, nosso sistema ficará:
 2 1 
 
9 
 -3 -3 -15 
 0 2 4 
Que compõe uma matriz triangular, na qual prosseguiremos com a segunda etapa.
2ª etapa: resolver as equações E1, E2 e E3.
Iniciamos por E3:
2z = 4
z = 2
Com o valor de z = -2, resolvemos E2:
-3y – 3z = -15
-3y – 3(2) = -15
y = 3
E, por fim, resolvemos E3:
x + 2y + z = 9
x + 2(3) + (2)
x = 1
 Portanto, a solução de nosso sistema será S (1, 3, 2).
21
UNIDADE Matrizes e Sistemas Lineares
Vale considerar que, nesse exemplo, lidamos com números inteiros; porém, 
podemos encontrar sistemas com números racionais e, por vezes, poderemos 
encontrar pivôs nulos ou próximos de zero, o que pode conduzir a resultados 
imprecisos com a ampliação de erros de arredondamento. Assim, para contornar 
problemas como esse, podemos executar algumas manobras como:
a) No início de cada etapa, escolher para pivô o elemento de maior módulo 
entre os coeficientes;
b) Trocar as linhas das equações, se necessário, para obter um pivô mais 
conveniente;
c) Promover transformações, por meio da multiplicação em duas equações, 
simultaneamente, em busca de um pivô mais conveniente.
Para a solução de sistemas lineares, entre os dois métodos estudados, podemos 
optar por um deles. Cabe uma análise para verificar qual deles fornece menos 
etapas e, por consequência, é mais prático.
22