apol 1 tentativa 2 análise combinatória

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Questão 1/10 - Análise Combinatória 
Uma carta é sorteada de um baralho comum, que possui 13 cartas (AA, 2, 3, 4, 5, 6, 
7, 8, 9, 10, J, Q, K) de cada naipe (ouros - ♢♢, copas - ♡♡, paus - ♣♣ e espadas - ♠♠). 
Com base nesse experimento, analise as afirmativas: 
 
I. O espaço amostral ΩΩ associado a esse experimento possui exatamente 52 
eventos elementares. 
II. A probabilidade de que a carta sorteada seja um AA é 152152. 
III. Sabendo que a carta sorteada é de copas, a probabilidade de que ela seja um 
AA é 113.113. 
 
São corretas as afirmativas: 
 
Nota: 10.0 
 
A I, apenas. 
 
B I e II, apenas. 
 
C I e III, apenas. 
Você acertou! 
O baralho possui 4×13=524×13=52 cartas. Logo, o espaço amostral possui 52 eventos elementares e a afirmativa I é correta. Consideremos AA o evento "sortear AA". 
Logo, #A=4#A=4 e a probabilidade da carta sorteada ser um AA é P(A)=452=113P(A)=452=113. Com isso, a afirmativa II é incorreta. Passamos para a afirmativa III. Trata-se de 
uma probabilidade condicional. Seja BB o evento "sortear copas". Então, P(A∩B)=152P(A∩B)=152 e P(B)=1352.P(B)=1352. Portanto, a probabilidade da carta sorteada ser AA, 
dado que é de copas é P(A∖B)=P(A∩B)P(B)=113.P(A∖B)=P(A∩B)P(B)=113. 
 
D II, apenas. 
 
E II e III, apenas. 
 
Questão 2/10 - Análise Combinatória 
Assinale a alternativa que apresenta o coeficiente de x2x2 no desenvolvimento de 
(x+2)5(x+2)5: 
Nota: 10.0 
 
A 60 
 
B 70 
 
C 80 
Você acertou! 
O termo geral do desenvolvimento de (x+2)5(x+2)5 é dado por Tp+1=(5p)2px5−pTp+1=(5p)2px5−p com 0≤p≤50≤p≤5. Como queremos o coeficiente de x2x2, devemos impor 
que 5−p=25−p=2, isto é, p=3p=3. Portanto, T4=(53)23x2=80x2.T4=(53)23x2=80x2. 
 
D 90 
 
E 100 
 
Questão 3/10 - Análise Combinatória 
Considere o binômio (x−1x)8.(x−1x)8. Com base nele, assinale V para as afirmativas 
verdadeira e F para as falsas. 
 
I. ( ) O termo geral do desenvolvimento deste binômio é 
Tp+1=(8p)(−1)px8−2p.Tp+1=(8p)(−1)px8−2p. 
 
II. ( ) O coeficiente independente de xx vale 70. 
 
III. ( ) O desenvolvimento deste binômio não apresenta parcela com o monômio 
x5.x5. 
 
Agora, marque a alternativa com a sequência correta: 
 
Nota: 0.0 
 
A V – V – V 
O termo geral do desenvolvimento do binômio (x−1x)8(x−1x)8 é dado por 
 
Tp+1=(8p)(−1x)px8−p=(8p)(−1)px−px8−p=(8p)(−1)px8−2p,Tp+1=(8p)(−1x)px8−p=(8p)(−1)px−px8−p=(8p)(−1)px8−2p, 
o que mostra que a afirmativa I é verdadeira. O coeficiente independente de xx ocorre quando a potência de xx for nula. Isso acontece quando no termo geral do desenvolvimento 
tivermos 8−2p=08−2p=0, isto é, p=4.p=4. Logo, o coeficiente independente de xx vale T5=(84)(−1)4=(84)=70T5=(84)(−1)4=(84)=70 e a afirmativa II é verdadeira. Para que 
tenhamos o monômio x5x5 no desenvolvimento do binômio em questão, devemos impor que 8−2p=5.8−2p=5. Como não existe p∈Np∈N que satisfaz essa equação, concluímos que o 
desenvolvimento não apresenta parcela com o monômio x5x5. Portanto, a afirmativa III também é verdadeira. 
 
 
B V – F – V 
 
C V – V – F 
 
D V – F – F 
 
E F – V – V 
 
Questão 4/10 - Análise Combinatória 
Brasil e Alemanha participam de um campeonato internacional de futebol no qual 
competem oito seleções. Na primeira rodada serão realizadas quatro partidas, nas 
quais os adversários são escolhidos por sorteio. Assinale a alternativa que apresenta a 
probabilidade de Brasil e Alemanha se enfrentarem na primeira rodada. 
Nota: 10.0 
 
A 1818 
 
 
B 3838 
 
 
C 1212 
 
D 1717 
 
Você acertou! 
São 7 possíveis adversários para o Brasil com a mesma chance de serem escolhidos. Com isso, a probabilidade da Alemanha ser adversária do Brasil na primeira rodada é 1717. 
 
E 4747 
 
 
Questão 5/10 - Análise Combinatória 
As noções de arranjo e combinação simples são ferramentas fundamentais no 
processo de contagem. Com base nessas noções, coloque V quando a afirmativa for 
verdadeira e F quando falsa. 
 
I. ( ) Um arranjo de nn elementos (distintos), tomados pp a pp, é qualquer maneira 
de listar ordenadamente pp elementos dentre os nn elementos dados. 
 
II. ( ) Em uma combinação simples, apenas o conjunto dos elementos escolhidos é 
relevante, de modo que a ordem em que eles são tomados não importa. 
 
III.( ) Quatro atletas participam de uma corrida. Ao todo, existem 
C4,3=4C4,3=4 resultados possíveis para o 1º, 2º e 3º lugares. 
 
Agora marque a sequência correta: 
 
Nota: 10.0 
 
A V – V – V 
 
B V – F – V 
 
C V – V – F 
Você acertou! 
A afirmativa I é verdadeira, pois trata-se da definição de arranjo. A afirmativa II também é verdadeira. Na combinação simples, a ordem como os elementos são tomados não é 
relevante. Já a afirmativa III é falsa. Neste problema, a ordem como os atletas são dispostos no pódio é relevante. Assim, o número de resultados possíveis 
é A4,3=4!(4−3)!=24.A4,3=4!(4−3)!=24. 
 
D V – F – F 
 
E F – V – V 
 
Questão 6/10 - Análise Combinatória 
Marcam-se 5 pontos sobre uma reta rr e 8 pontos sobre uma reta ss paralela a rr. 
Assinale a alternativa que apresenta o número exato de triângulos que existem com 
vértices em 3 desses 13 pontos. 
Nota: 10.0 
 
A 38 
 
B 80 
 
C 144 
 
D 220 
Você acertou! 
Para formar um triângulo, ou tomamos um vértice em rr e dois em ss ou tomamos um vértice em ss e dois em rr. O número de triângulos do 1º tipo é 5⋅C8,25⋅C8,2 e o do 2º tipo 
é 8⋅C5,2.8⋅C5,2. Portanto, existem 5⋅C8,2+8⋅C5,2=140+80=2205⋅C8,2+8⋅C5,2=140+80=220 triângulos. 
 
E 448 
 
Questão 7/10 - Análise Combinatória 
Em um grupo de 14 pessoas, existem 5 médicos, 6 advogados e 3 engenheiros. 
Assinale a alternativa que apresenta o número exato de comissões de 7 pessoas que 
podem ser formadas, cada qual constituída de 3 médicos, 2 advogados e 2 
engenheiros. 
Nota: 10.0 
 
A 360 
 
B 450 
Você acertou! 
O número total de comissões de 7 pessoas que podem ser formadas considerando 3 médicos, 2 advogados e 2 engenheiros é dado 
por C5,3×C6,2×C3,2=10×15×3=450.C5,3×C6,2×C3,2=10×15×3=450. 
 
C 640 
 
D 720 
 
E 810 
 
Questão 8/10 - Análise Combinatória 
Lança-se um dado perfeito (com seis faces, numeradas de 1 a 6, todas com a mesma 
probabilidade de serem obtidas) e verifica-se o número voltado para cima. Com base 
nesse experimento aleatório, coloque V quando for verdadeira e F quando falsa. 
 
I. ( ) A probabilidade de tirar um 3 é 1616. 
II. ( ) A probabilidade de tirar um número ímpar é 1212. 
III. ( ) A probabilidade de tirar um 3 ou um 5 é 1313. 
 
Agora, marque a sequência correta: 
 
Nota: 10.0 
 
A V – V – V 
Você acertou! 
O espaço amostral é dado por Ω={1,2,3,4,5,6}Ω={1,2,3,4,5,6} e #Ω=6#Ω=6. Considere AA o evento "tirar um 3". Então, A={3}A={3} com #A=1#A=1. Logo, a probabilidade de 
tirar um 3 é P(A)=#A#Ω=16P(A)=#A#Ω=16 e a afirmativa I é verdadeira. Seja BB o evento "tirar um número ímpar". Então, B={1,3,5}B={1,3,5} com #B=3#B=3. 
Assim, P(B)=36=12P(B)=36=12 e a afirmativa II é verdadeira. Para a afirmativa III, seja CC o evento "tirar um 5". Logo, a probabilidade de tirar um 3 ou um 5 é dada 
por P(A∪C)=P(A)+P(C)=16+16=13P(A∪C)=P(A)+P(C)=16+16=13, uma vez que os eventos AA e CC são mutuamente exclusivos (A∩C=∅A∩C=∅). Assim, a afirmativa III é 
verdadeira. 
 
B V – F – V 
 
C V – V – F 
 
D V – F – F 
 
E F – V – V 
 
Questão 9/10 - Análise Combinatória 
O número do cartão de crédito é composto de 16 algarismos. Eduardo teve seu cartão 
quebrado, perdendo a parte que contém os quatro últimos dígitos. Apenas consegue 
lembrar que o número formado por eles é par, começa com 3 e tem todos os 
algarismos distintos. Assinale a alternativa que apresenta a quantidade exata de 
números satisfazendo essas condições. 
Nota: 10.0 
 
A 120 
 
B 280 
Você acertou! 
Para o último algarismo, existem 5 modos possíveis: 0, 2, 4, 6 e 8. Assim, pelo Princípio Fundamental da Contagem, existem 1×8×7×5=2801×8×7×5=280 números satisfazendo as 
condições apresentadas. 
 
C 420 
 
D 580 
 
E 840 
 
Questão 10/10 - Análise Combinatória 
Analiseo triângulo de Pascal abaixo e assinale a alternativa que apresenta o 
desenvolvimento de (x+a)4(x+a)4 com a∈R, a≠0.a∈R, a≠0. 
 
111121133114641111121133114641 
 
Nota: 0.0 
 
A x4+4ax3+6a2x2+4a3x+a4x4+4ax3+6a2x2+4a3x+a4 
 
Para obtermos os coeficientes do desenvolvimento de (x+a)4,(x+a)4, consideramos a quinta linha do triângulo de Pascal. Como o termo geral 
é Tp+1=(4p)apx4−p,Tp+1=(4p)apx4−p, concluímos que o desenvolvimento deste binômio é dado por x4+4ax3+6a2x2+4a3x+a4.x4+4ax3+6a2x2+4a3x+a4. 
 
B x4+4a3x+6a2x2+4a3x+a4x4+4a3x+6a2x2+4a3x+a4 
 
C x4+6ax3+4a2x2+4a3x+a4x4+6ax3+4a2x2+4a3x+a4 
 
 
D a4+4a3x3+6a2x2+4ax3+x4a4+4a3x3+6a2x2+4ax3+x4 
 
 
E a4+4ax3+6a2x2+4a3x+axa4+4ax3+6a2x2+4a3x+ax