L1_Sistemas_Lineares

Prévia do material em texto

1a Lista de Exercícios de A. L. G. A. - Profa Vanessa Munhoz
Sistemas de equações lineares
Exercício 1. Em cada item, determine se a equação é linear em x1, x2 e x3.
(a) x1 + 5x2 −
√
2x3 = 1
(b) x1 + 3x
2
2 − x1x3 = 2
(c) x1 = −7x2 + 3x3
(d) x−21 + x
2
2 + 8x3 = 5
(e) x
3/5
1 − 2x2 + x3 = 4
(f) πx1 −
√
2x2 +
1
3
x3 = 7
1/3
Exercício 2. Determine se as equações formam um sistema linear. Caso seja um sistema linear,
veri�que se é consistente ou inconsistente.
(a)
{
2x1 − x4 = 5
−x1 + 5x2 + 3x3 − 2x4 = −1
(b)

7x1 − x2 + x3 = 0
2x1 + x2 + x3x4 = 3
−x1 + 5x2 − x4 = −1
(c) {x1 + x2 = x3 + x4
Exercício 3. Em cada item, veri�que se os ternos ordenados são soluções do sistema dado.
2x1 − 4x2 − x3 = 1
x1 − 3x2 + x3 = 1
3x1 − 5x2 − 3x3 = 1
(a) (3, 1, 1)
(b) (3,−1, 1)
(c) (13, 5, 2)
(d)
(
13
2
,
5
2
, 2
)
(e) (17, 7, 5)
1
Exercício 4. Em cada item, determine o conjunto de soluções da equação linear usando parâme-
tros, se necessário.
(a) 7x− 5y = 3
(b) −8x1 + 2x2 − 5x3 + 6x4 = 1
Exercício 5. Em cada item, encontre um sistema linear correspondente a matriz aumentada
dada.
(a)

2 0 0
3 −4 0
0 1 1

(b)

3 0 −2 5
7 1 4 −3
0 −2 1 7

(c)

1 0 0 0 7
0 1 0 0 −2
0 0 1 0 3
0 0 0 1 4

Exercício 6. Em cada item, encontre a matriz aumentada do sistema linear dado.
(a)

−2x = 6
3x = 8
9x = −3
(b)
{
6x1 − x2 + 3x3 = 4
5x2 − x3 = 1
(c)

2x2 − 3x4 + x5 = 0
−3x1 − x2 + x3 = −1
6x1 + 2x2 − x3 + 2x4 − 3x5 = 6
Exercício 7. A curva y = ax2 + bx + c, (uma parábola), passa pelos pontos (x1, y1), (x2, y2) e
(x3, y3). Mostre que os coe�cientes a, b e c são uma solução do sistema de equações lineares cuja
matriz aumentada é 
x21 x1 1 y1
x22 x2 1 y2
x23 x3 1 y3
.
2
Exercício 8. Suponha que a matriz aumentada de um sistema linear tenha sido reduzida à forma
escalonada. Resolva o sistema linear corresponte (ou seja, determine a solução dos sistemas lineares
por eliminação de Gauss).
(a)

1 −3 4 7
0 1 2 2
0 0 1 5

(b)

1 0 8 −5 6
0 1 4 −9 3
0 0 1 1 2

(c)

1 7 −2 0 −8 −3
0 0 1 1 6 5
0 0 0 1 3 9
0 0 0 0 0 0

Exercício 9. Resolva os sistemas lineares por eliminação de Gauss e depois por eliminação de
Gauss-Jordan.
(a)

I1 + I2 + 2I3 = 8
−I1 − 2I2 + 3I3 = 1
3I1 − 7I2 + 4I3 = 10
(b)

x − y + 2z − w = −1
2x + y − 2z − 2w = −2
−x + 2y − 4z + w = 1
3x − 3w = −3
(c)

2Z1 + Z2 + 3Z3 = 0
Z1 + 2Z2 = 0
Z2 + Z3 = 0
Exercício 10. Determine para que valores de a o sistema não tem solução, tem exatamente uma
solução ou tem uma in�nidade de soluções.
(a)

x + 2y − 3z = 4
3x − y + 5z = 2
4x + y +(a2 − 14)z = a+ 2
3
(b)
{
x + 2y = 1
2x +(a2 − 5)y = a− 1
Exercício 11. Encontre os coe�cientes a, b, c e d tais que os pontos (0, 10), (1, 7), (3,−11) e
(4,−14) pertençam a equação cúbica y = ax3 + bx2 + cx+ d.
Exercício 12. Considere o sistema de equações
ax + by = 0
cx + dy = 0
ex + fy = 0
Discuta as posições relativas das retas ax+ by = 0, cx+dy = 0 e ex+fy = 0 e esboce um possível
grá�co nos casos em que:
(a) o sistema possui somente a solução trivial (x = 0 e y = 0).
(b) o sistema possui soluções não triviais.
4