Teorema da Bissetriz Interna e externa

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PROF: Wagner Lucas (∑ 𝑺) 
 COLÉGIO “TENENTE RÊGO BARROS” 
PROFESSOR: WAGNER LUCAS® 
 
Teorema da Bissetriz interna e externa 
 
 
Teorema da Bissetriz Interna. 
 
Uma bissetriz interna de um triângulo divide o 
lado oposto em segmentos (aditivos) proporcionais 
aos lados adjacentes. 
Em outras palavras temos como no triângulo 
abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O lado BC = a é dividido em dois segmento, 
pois 𝐷𝐵̅̅ ̅̅ + 𝐷𝐶̅̅ ̅̅ = 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ , ou seja, x + y = a. 
Com esses dados temos, então: 
 
 
 Hipótese Tese 
 
𝐴𝐷̅̅ ̅̅ é bissetriz interna do ∆𝐴𝐵𝐶 ⟹ 
x
c
= 
𝑦
𝑏
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
De fato, tracemos uma paralela a 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ passando por C, 
determinando um ponto E no prolongamento na reta 
𝐴𝐵 ⃡ (𝐶𝐸 ⃡ //𝐴𝐷 ⃡ ). 
Chamemos 𝐵�̂�𝐷 = 1, 𝐷�̂�𝐶 = 2, 𝐴�̂�𝐶 = 3 e 𝐴�̂�𝐸 = 4, 
temos: 
 
Como 𝐶𝐸 ⃡ //𝐴𝐷 ⃡ ⇒ 1 ≡ 3 ( ângulos correspondentes) 
 
Como 𝐶𝐸 ⃡ //𝐴𝐷 ⃡ ⇒ 2 ≡ 4 ( ângulos alternos internos) 
 
Sabe-se que, por hipótese, 1 ≡ 2, então 3 ≡ 4 
 
Sendo 3 ≡ 4 ⇒ ∆𝐴𝐶𝐸 é isósceles de base 𝐶𝐸̅̅̅̅ , portanto 
 𝐴𝐸̅̅ ̅̅ = 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ e concluímos que 𝐴𝐸̅̅ ̅̅ = 𝑏 
 
Considerando 𝐵𝐶 ⃡ e 𝐵𝐸 ⃡ como retas transversais de um feixe 
de retas paralelas (𝐴𝐷 ⃡ //𝐶𝐸 ⃡ ), podemos aplicar o teorema 
de tales e teremos: 
x
c
= 
y
b
 
 
 
Teorema da Bissetriz Externa. 
 
Se a bissetriz de um ângulo externo de um triângulo 
intercepta a reta que contém o lado oposto, então ela 
divide este lado oposto externamente em 
segmentos (subtrativos) proporcionais aos lados 
adjacentes. 
De maneira mais explicada temos pelo triângulo 
abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sendo ABC um triângulo de lados a, b, c, 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ a bissetriz 
externa com D na reta 𝐵𝐶 ⃡ (conforme figura acima), 𝐷𝐵̅̅ ̅̅ = 𝑥 
e 𝐷𝐶̅̅ ̅̅ = 𝑦, teremos: 
 
 x 
c
= 
 y
b
 
 
 
 
 
 Fica como dever de casa. 
 
 
 
 
Sendo ABC o triângulo de lados a, b e c, sendo 𝑨𝑫̅̅ ̅̅ 
uma bissetriz interna ( conforme a figura acima), 
𝑩𝑫̅̅̅̅̅ = 𝒙 e 𝑫𝑪̅̅ ̅̅ = 𝒚, teremos: 
 
 
𝒙
𝒄
= 
𝒚
𝒃
 
Demonstração 
Demonstração 
PROF: Wagner Lucas (∑ 𝑺) 
 
 
 
1. Se 𝐴𝑆̅̅̅̅ é bissetriz de Â, calcule o valor de x nos casos 
abaixo: 
 
 
 
 
 
2. Se 𝐴𝑃̅̅ ̅̅ é bissetriz do ângulo externo A, determine o valor 
de x nos casos: 
 
 
 
 
3. Se, no triângulo abaixo, 𝐴𝑆̅̅̅̅ é bissetriz de Â, calcule o 
valor de x. 
 
 
 
4. Na figura, abaixo. Calcule os valores de x e y, 
respectivamente, sendo 𝐵𝑆̅̅̅̅ a bissetriz interna do ângulo 𝐵.̂ 
 
 
5. Na figura, 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ é bissetriz externa do ângulo Â. Calcule x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. No triângulo ABC da figura abaixo, 𝐴𝑆̅̅̅̅ é bissetriz interna 
do ângulo  e 𝐴𝑃̅̅ ̅̅ é bissetriz externa. Calcule a medida do 
segmento 𝑆𝑃̅̅̅̅ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. O perímetro de um triângulo é 100 m. A bissetriz 
interna do ângulo  divide o lado oposto 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ em dois 
segmentos de 16 m e 24 m. Determine os lados desse 
triângulo. 
 
 
 
 
1. a) 4 b) 15 2. a) 12 b) 4 3. 15 4. x = 5 ; y = 4 
5. 8 6. 40 7. 7. 24m; 36m; 40m 
EXERCÍCIOS