Avaliação On-Line 4 (AOL 4) - Questionário - Cálculo Integral

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Avaliação On-Line 4 (AOL 4) - Questionário
 Pergunta 1
 
 Os métodos de integração buscam auxiliar na resolução das integrais, em geral
reescrevendo as integrais complexas em integrais mais simples e facilmente solucionáveis.
Com base nessas informações e nos seus conhecimentos acerca dos métodos de
integração, associe os itens a seguir com os significados descritos:
1) Integração por partes.
2) Integração por substituição trigonométrica.
3) Integração por frações parciais.
4) Integração por substituição u du.
( ) Método de substituição mais simples, que pode ser utilizado em inúmeros casos de
integrais.
( ) Útil para integração de certos tipos de produtos de funções.
( ) Útil para a eliminação de tipos específicos de radicais nos integrandos.
( ) Utilizado para integração de funções racionais.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
1. 3, 4, 2, 1.
2. 1, 2, 3, 4.
3. 1, 2, 4, 3.
4. 2, 1, 3, 4.
5. 4, 1, 2, 3.
 
 Pergunta 2
 
 Algumas funções algébricas requerem substituições especiais para a resolução analítica de
sua integral. Utiliza-se o recurso de substituição para conseguir evidenciar algum termo que
possua integração mais simples, e isso ocorre, por exemplo, em integrais de funções com
raízes, nas quais nos valemos, muitas das vezes, de identidades trigonométricas.
Dessa forma, considerando as funções f(x) = √(x²-4) e g(x) = 1/√(x²+4) e também seus
conhecimentos sobre o método da integração por substituições trigonométricas desses tipos
de funções, é correto afirmar que:
1. ambas as funções possuem como domínio o conjunto dos números reais
2. f(x) requer substituição x = asec(w) e g(x) requer substituição x = asen(w).
3. f(x) requer substituição x = asec(w) e g(x) requer substituição x = atg(w).
4. ambas as funções possuem o argumento de sua expressão trigonométrica
correspondente restrito no intervalo [0, pi/2[ ou [pi, 3pi/2].
5. ambas as funções possuem o argumento de sua expressão trigonométrica
correspondente restrito no intervalo [-pi/2, pi/2].
 
 Pergunta 3
 
 O estudo acerca das integrais é essencial para aqueles que estudam cálculo. Por meio
delas, obtém-se uma medida analítica de algumas áreas, volumes e comprimentos.
Portanto, reconhecê-las e utilizá-las é essencial. Existem inúmeros métodos de integração,
cada um para um fim definido. O método de integração por partes é um deles, e é
extremamente útil para a integração de uma categoria de funções.
De acordo essas informações e com seus conhecimentos acerca de integração por partes,
analise as afirmativas a seguir:
I. A integração por partes é útil para se integrar certos tipos de produtos de funções.
II. A integração por partes pode ser concebida por meio da regra do produto das derivadas,
realizando manipulações algébricas e integrando ambos lados da igualdade.
III. Esse método de integração consiste em transformar uma integral em termos de dv em
outra em termos de du e um termo independente de integral.
IV. A função cos(x) é integrável por esse método.
Está correto apenas o que se afirma em:
1. I, II e III.
2. I, III e IV.
3. I, II e IV.
4. II e III.
5. II e IV.
 
 Pergunta 4
 
 As substituições trigonométricas são úteis para facilitar a resolução de inúmeras integrais
com integrandos que são compostos de raízes específicas. Busca-se substituir os
argumentos dessas raízes por algumas funções trigonométricas, tais como sen(x), sec(x) e
tg(x).
Com base nos seus conhecimentos acerca da interpretação geométrica do método de
substituições trigonométricas e dos conceitos estudados em Cálculo Diferencial e integral,
associe os itens a seguir com os processos de substituição descritos:
1) x²/√(4 – x²).
2) 1/√(16 + x²).
3) (x² -16)/ √(x² + 8x + 16).
4) (x² – 16).
( ) Substituição x = 2sen(w).
( ) Substituição x = 4sec(w).
( ) Substituição x = 4tg(w).
( ) Não é necessário realizar substituição trigonométrica.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
1. 2, 1, 3, 4.
2. 1, 4, 2, 3.
3. 1, 3, 2, 4.
4. 2, 3, 1, 4.
5. 1, 4, 3, 2.
 
 Pergunta 5
 
 A matemática pauta sua construção de conhecimento com base em seus axiomas, que são
premissas assumidas como verdadeiras, isto é, proposições inquestionáveis. A partir dessas
proposições, outros conhecimentos são gerados, tais como teoremas, propriedades,
corolários e afins. Esses conhecimentos vão gerando outros, e assim sucessivamente.
Considerando essas informações, pode-se afirmar que a propriedade da derivada do
produto de duas funções é relevante para a integração por partes porque:
1. a propriedade derivativa é utilizada para a resolução de problemas que envolvem
integral por partes.
2. ambas são axiomas da matemática.
3. deve-se derivar as funções antes de integrá-las
4. funciona como uma premissa verdadeira que serve como base para a dedução do
método de integração por partes.
5. as derivadas do produto são equivalentes as integrais dos produtos.
 
 Pergunta 6
 
 As funções racionais possuem diversas aplicações em diversos estudos de fenômenos
modelados matematicamente, de forma que o conhecimento da regra de integração de
funções racionais por frações parciais é essencial para o bom aproveitamento dos conceitos
estudados.
Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre regras de integração de
funções racionais por frações parciais, é correto afirmar que:
I. f(x) = cos(x)/sen(x) é uma função integrável pelo fato de ser possível aplicar o método das
frações parciais ou fazer alguma outra substituição para sua resolução.
II. Funções racionais podem ser expressas como a soma de frações mais simples,
chamadas frações parciais, as quais são mais fáceis de se integrar.
III. Sendo f a função racional tal que f(x) = P(x)/Q(x), então f pode ser expressa como uma
soma de frações parciais desde que o grau de Q seja menor que o grau de P.
IV. g(x) = (x+5)/(x² + x - 2) pode ser reescrita como g(x) = 2/(x-1) – 1/(x+2).
Está correto apenas o que se afirma em:
1. I, II e IV.
2. II e IV.
3. I e III.
4. II e III.
5. III e IV.
 
 Pergunta 7
 
 As técnicas de integração servem para possibilitar a resolução do cálculo de uma integral
indefinida, onde muitas vezes não há um passo direto para encontrarmos a primitiva F(x) de
uma certa função f(x). Dessa forma, dependendo do arranjo algébrico dos termos de f(x),
decidimos por diferentes técnicas de integração, como o método da substituição, o da
integração por partes, o das frações parciais, e etc.
De acordo com as definições e propriedades do cálculo da integral indefinida e definida pelo
método de integração por partes e com seus conhecimentos sobre funções trigonométricas,
analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeiras e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) A integral da função f(x) = (x+1)³(x-1) só pode ser calculada pela regra da integração
por partes, por se tratar do produto de duas funções.
II. ( ) A técnica de integração por partes é dada pela seguinte fórmula:
III. ( ) A primitiva de g(x) = ln(x) é G(x) = xln(x) - x + C.
IV. ( ) A integral definida no intervalo [-pi,pi] de h(x) = xsen(x) é aproximadamente igual a
6,28.
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
1. V, F, F, V.
2. F, V, V, V.
3. F, F, V, F.
4. F, V, V, V.
5. V, V, F, F.
 
 Pergunta 8
 
 O método da integração de funções racionais por frações parciais possui fundamental
importância no que diz respeito à integração de funções mais complexas em relação às
habituais, que aparecem em tabelas de integração. Esse método consiste em reescrever a
função como a soma de frações cujos denominadores são fatores do denominador original
e, apenas após isso, realizar a integração de fato.
Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre a técnica de integração por
frações parciais, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
I. A integral de f(x) = (x²+x)/(x-1) é igual a x²/2 + 2x + 2ln|x-1| + C, e pode ser calculada pelo
métododa integração de frações parciais.
Porque:
II. Separamos f(x) = (x²+x)/(x-1) como f(x) = x²/(x-1) + x/(x+1), e depois fazemos essas
divisões polinomiais, obtendo f(x) = x + 1 + 1/(x-1) + 1 + 1/(x-1) = x + 2 + 2/(x-1), para então
integrar utilizando a regra da integral da soma de vários termos.
Agora, assinale a alternativa correta:
1. As asserções I e II são proposições falsas.
2. A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
3. A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
4. As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da
I.
5. As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa
correta da I.
 
 Pergunta 9
 
 O método da integração trigonométrica possui fundamental importância no que diz respeito
à integração de funções mais complexas do que as habituais, que aparecem em tabelas de
integração. Esse método consiste em substituir um dos termos por uma função
trigonométrica, para que se encontre alguma identidade que simplifica a expressão,
possibilitando a sua integração.
Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre a técnica de integração por
substituições trigonométricas, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
I. A integral de 1/[x²√(x²+4)] é igual a √(x²+4)/4x + C, e pode ser calculada pelo método da
substituição trigonométrica, por meio da substituição x = 2sec(w).
Porque:
II. Consideramos a regra da integração por substituição trigonométrica e com x = 2sec(w),
temos que √(x²+4) = √[4sec²(w)+4] = √[4(sec²(w)+1), e como sec²(w) + 1 = tg²(w), √(x²+4) =
2tg(w). Substituindo na fórmula inicial e integrando, encontramos a expressão dada.
Agora, assinale a alternativa correta:
1. As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I
2. As asserções I e II são proposições falsas.
3. As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa
correta da I.
4. A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
5. A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
 
 
 
 Pergunta 10
 
 O método de integração por substituições trigonométricas é um dos mais trabalhosos e
complexos métodos. Busca-se, com ele, a realização de uma substituição a partir de
funções trigonométricas específicas para a eliminação de uma estrutura determinada do
integrando.
Com base no seu conhecimento acerca desse método de integração, analise as afirmativas
a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) O método trabalha com a eliminação de radicais específicos do integrando.
II. ( ) x= asen( ) é uma das substituições possíveis.
III. ( ) O conhecimento acerca das relações trigonométricas é dispensável para resolução
desse método.
IV. ( ) Há ligação entre o círculo trigonométrico e esse método de integração.
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
1. V, V, F, F.
2. V, V, V, F.
3. V, F, F, F.
4. V, V, F, V.
5. F, F, V, V.