Fundamentos_Lista03_Parte1

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Curso: Fundamentos Elementares de Matemática (2020.2)
Professor: Filipe Dantas
Lista de Exercícios (Unidade III) - Parte 1
1. Suponha que o conjunto das partes de um conjunto finito A tenha cardinalidade 512. Qual a cardinalidade do
conjunto A?
2. Suponha que o conjunto das partes do conjunto das partes de um conjunto finito A tenha cardinalidade 256.
Qual a cardinalidade do conjunto A?
3. Determine (e explique) se cada uma das proposições abaixo é verdadeira:
a) 0 ∈;
b) ;∈;
c) ;⊂;
d) {0} ∈ {0}
e) ;∈ {;}
f) {;} ⊂ {;, {;}}
4. (Paradoxo de Russell) Considere S como o conjunto formado por todos os conjuntos que não pertencem a eles
mesmos, isto é: S = {A conjunto ; A ∉ A}.
a) Mostre que a hipótese S ∈ S leva a uma contradição;
b) Mostre que a hipótese S ∉ S leva a uma contradição.
5. Encontre
∞⋃
i=1
Ai e
∞⋂
i=1
Ai , se para todo i ∈N
a) Ai = {i , i +1}
b) Ai = (i ,∞) (O conjunto dos números reais maiores do que i )
c) Ai = (0, i ) (o intervalo aberto de extremos 0 e i )
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6. Determine se as funções abaixo são injetivas, sobrejetivas e/ou bijetivas:
i) f :R→R, f (x) = x2 −5x +6;
ii) f :R→R, f (x) =
p
x2 +1;
iii) f :Z→Z, f (x) = x3;
iv) f : [0,∞) → [0,∞), f (x) = x3;
v) f : [0,∞) →Z, f (x) = dxe;
vi) f :R→R, f (x) = bxc;
vii) f :Z×Z→Z, f (n,m) = n.m;
viii) f :R×R→Z, f (x, y) = dx + ye.
7. Considere a função f : R→ R dada por f (x) = bx
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c. Encontre f (S), que é o conjunto formado pelas imagens de
todos os elementos de S por f , onde S = {−3,−2,−1,0,1,2,3}.
8. Sejam f : A → B e g : B →C .
a) Mostre que, se f e g forem injetivas, então g ◦ f : A →C também é injetiva;
b) Mostre que, se f e g forem sobrejetivas, então g ◦ f : A →C também é sobrejetiva;
c) Mostre que, se f e g forem bijetivas, então g ◦ f : A →C também é bijetiva;
9. Prove que é verdade ou dê um contra-exemplo para as sentenças abaixo:
a) Se f : A → B for injetiva e g : B →C , então g ◦ f : A →C é injetiva;
b) Se f : A → B for sobrejetiva e g : B →C , então g ◦ f A →C é sobrejetiva.
10. Seja f : A → B e V ,W ⊂ A. Considere as notações f (V ), f (W ), f (V ∪W ) e f (V ∩W ) como no Exercício 7. Mostre
que:
a) f (V ∪W ) = f (V )∪ f (W );
b) f (V ∩W ) ⊆ f (V )∩ f (W ).
11. Seja f : R→ R dada por f (x) = x2. Determine f −1(S), que é o conjunto formado por todas as imagens inversas
dos elementos de S por f , onde S ⊂R é o conjunto:
a) S = [0,1];
b) S = [−1,0);
c) S = {−1,0,1,2};
12. Mostre que a função f : [0,∞) → [0,1) dada por f (x) = x
x +1 é bijetiva e calcule sua inversa.
13. Mostre que a função f :R→R dada por f (x) = x3 +1 é bijetiva e calcule sua inversa.
14. Seja X ⊆N um subconjunto não vazio que possui as seguintes propriedades:
i) Se n,m ∈ X , então m +n ∈ X ;
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ii) Se m +n ∈ X e m ∈ X , então n ∈ X .
Mostre que existe k ∈N tal que X = {k.n;n ∈N} (Conjunto dos múltiplos de k).
(DICA: Use o PBO para encontrar o k)
“A matemática, vista corretamente, possui não apenas verdade, mas também suprema beleza - uma beleza fria e
austera, como a da escultura.”
(Bertrand Russel)
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