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Lista 07 
Produção \u2013 Cálculo II 
 
 
As Coordenadas Polares 
 
 
O sistema polar 
 
Fixado no plano um semi-eixo Ox (eixo polar) e o ponto O (pólo), cada ponto 
P do plano fica determinado por suas coordenadas polares (\u3c1, \u3b8), onde \u3b8 é a 
medida em radianos do ângulo entre o segmento OP e o eixo polar, contado a 
partir do eixo polar no sentido anti-horário. Observe que o \u3c1 é a medida do 
segmento OP. Sobrepondo a orientação cartesiana retangular a uma orientação 
polar e, nisso, fazendo coincidir as origens dos dois sistemas, determinaremos 
algumas equações que nos permitirão transformar para a forma polar, pontos e 
equações dados na forma cartesiana e vice-versa. São elas: 
 
\u3c1
\u3b8 x=cos , 
\u3c1
\u3b8 ysen = , 22 yx +=\u3c1 , 
x
y
tg =\u3b8 
 
Exemplo: 
Determinar em coordenadas cartesianas a localização dos ponto (-6, 
4
7pi )1, 
(4,
6
5pi ), (4, pipi k2
6
5
+ ), (4, 
6
7pi
\u2212 ). 
 
Desses exemplos segue que, ao contrário do que ocorre no sistema de 
coordenadas cartesianas, não existe, no sistema de coordenadas polares, uma 
relação biunívoca entre os pares ordenados e os pontos do plano. Para que isso 
seja evitado e para que exista uma relação mais próxima entre os sistemas de 
coordenadas retangulares e polares, estabeleceremos 0 \u2264 \u3b8 < 2pi. 
 
Exercícios 
(1) Dadas as equações polares, determine suas equações cartesianas 
 
(a) \u3b8\u3c1 242 sen= (b) \u3b8\u3c1 2cos42 = (c) 3cos =\u3b8\u3c1 
 
1
 Este ponto é deixado para exemplificar um caso em que 0<\u3c1 , o que \u2013 via-de-regra \u2013 não será 
aqui considerado. 
 2
 
(2) Dadas as equações cartesianas, determinar as polares a elas referentes: 
 
(a) x2+y2 \u2013 4x = 0 (b) x2 + y2 = a2 (c) (x2+y2)2 = 4(x2 \u2013 y2) 
 
(3) Se \u3c1 > 0 e pi\u3b8 20 <\u2264 , encontre (\u3c1, \u3b8) para o ponto cuja representação em 
coordenadas cartesianas retangulares é )1,3( \u2212\u2212 
 
(4) Idem ao enunciado acima para )
2
3
,
2
33( \u2212 , )3,1( , (-3,0) 
 
(5) Dada a representação polar, determine a cartesiana para os pontos 
)
3
,2( pi , )
4
7
,3( pi , )
2
,3( pi 
 
(6) Representar em coordenadas polares o conjunto dos pontos que 
satisfazem 
(a) 
4
pi\u3b8 = (b) k=\u3c1 , k real positivo 
 
 
Gráficos em coordenadas polares2 
 
Como exemplo, em sala, discutiremos o gráfico de \u3b8\u3c1 sen23 += . Os gráficos 
de equações da forma \u3b8\u3c1 cosba ±= ou \u3b8\u3c1 bsena ±= são chamados \u201climaçon\u201d. 
Se b>a, a limaçon terá um laço. Se a>b, que é o caso do nosso exemplo, a 
limaçon não tem laço. Se a=b o gráfico será chamado \u201ccardióide\u201d, devido à 
forma de coração. 
 
 
Uma observação sobre a simetria nos gráficos 
 
(1) Se para uma equação em coordenadas polares, uma equação 
equivalente é obtida quando ),( \u3b8\u3c1 for substituído por )2,( pi\u3b8\u3c1 n+\u2212 ou 
 
2
 O esboço de gráficos em coordenadas polares segue sempre o mesmo processo daquele exercitado 
nos exemplos. Uma possibilidade interessante para esboçar esses gráficos é o uso de apoio 
computacional. No caso, o WINPLOT pode desenhar, com boa definição, gráficos de funções e, em 
especial para o nosso caso, gráficos de funções em coordenadas polares. 
 3
)2,( pi\u3b8pi\u3c1 n+\u2212\u2212 onde n é um inteiro qualquer, o gráfico da equação 
será simétrico em relação ao eixo polar; 
(2) Se para uma equação em coordenadas polares uma equação equivalente 
é obtida quando ),( \u3b8\u3c1 for substituído por )2,( pi\u3b8pi\u3c1 n+\u2212 ou 
)2,( pi\u3b8\u3c1 n+\u2212\u2212 onde n é um inteiro qualquer, o gráfico dessa equação 
será simétrico em relação ao eixo pi
2
1
 
(3) Se para uma equação em coordenadas polares uma equação equivalente 
é obtida quando ),( \u3b8\u3c1 for substituído por )2,( pi\u3b8\u3c1 n+\u2212 ou 
)2,( pi\u3b8\u3c1 n+\u2212\u2212 , onde n é um inteiro qualquer, o gráfico dessa equação 
será simétrico em relação ao pólo. 
 
 
Exercícios 
 
(1) Usando o recurso computacional, esboçar os gráficos de 
 
(a) 3 \u3b8\u3c1 2cos4= (b) 4 \u3b8\u3c1 = (c) \u3b8\u3c1 2sen= (d) 3=\u3b8\u3c1sen 
(e) 3=\u3b8\u3c1sen (f) 3cos \u2212=\u3b8\u3c1 (g) 3\u2212=\u3b8\u3c1sen (h) 1=\u3c1 
(i) \u3b8\u3c1 cos22 \u2212= (j) \u3b8\u3c1 cos2= (k) \u3b8\u3c1 32sen= (l) \u3b8\u3c1 cos= 
 
 
 
(2) Esboce, sem o recurso computacional, os gráficos das funções dadas 
abaixo. 
 
(a) \u3b8\u3c1 cos22 += (b) \u3b8\u3c1 sen3= 
 
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 O gráfico de uma equação da forma )cos( \u3b8\u3c1 na= ou )( \u3b8\u3c1 nasen= é chamado 
\u201crosácea\u201d, e terá n pétalas se n for ímpar e 2n pétalas se n for par. 
4
 Esta curva é chamada \u201cEspiral de Arquimedes\u201d.