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Lista 07 
Produção – Cálculo II 
 
 
As Coordenadas Polares 
 
 
O sistema polar 
 
Fixado no plano um semi-eixo Ox (eixo polar) e o ponto O (pólo), cada ponto 
P do plano fica determinado por suas coordenadas polares (ρ, θ), onde θ é a 
medida em radianos do ângulo entre o segmento OP e o eixo polar, contado a 
partir do eixo polar no sentido anti-horário. Observe que o ρ é a medida do 
segmento OP. Sobrepondo a orientação cartesiana retangular a uma orientação 
polar e, nisso, fazendo coincidir as origens dos dois sistemas, determinaremos 
algumas equações que nos permitirão transformar para a forma polar, pontos e 
equações dados na forma cartesiana e vice-versa. São elas: 
 
ρ
θ x=cos , 
ρ
θ ysen = , 22 yx +=ρ , 
x
y
tg =θ 
 
Exemplo: 
Determinar em coordenadas cartesianas a localização dos ponto (-6, 
4
7pi )1, 
(4,
6
5pi ), (4, pipi k2
6
5
+ ), (4, 
6
7pi
− ). 
 
Desses exemplos segue que, ao contrário do que ocorre no sistema de 
coordenadas cartesianas, não existe, no sistema de coordenadas polares, uma 
relação biunívoca entre os pares ordenados e os pontos do plano. Para que isso 
seja evitado e para que exista uma relação mais próxima entre os sistemas de 
coordenadas retangulares e polares, estabeleceremos 0 ≤ θ < 2pi. 
 
Exercícios 
(1) Dadas as equações polares, determine suas equações cartesianas 
 
(a) θρ 242 sen= (b) θρ 2cos42 = (c) 3cos =θρ 
 
1
 Este ponto é deixado para exemplificar um caso em que 0<ρ , o que – via-de-regra – não será 
aqui considerado. 
 2
 
(2) Dadas as equações cartesianas, determinar as polares a elas referentes: 
 
(a) x2+y2 – 4x = 0 (b) x2 + y2 = a2 (c) (x2+y2)2 = 4(x2 – y2) 
 
(3) Se ρ > 0 e piθ 20 <≤ , encontre (ρ, θ) para o ponto cuja representação em 
coordenadas cartesianas retangulares é )1,3( −− 
 
(4) Idem ao enunciado acima para )
2
3
,
2
33( − , )3,1( , (-3,0) 
 
(5) Dada a representação polar, determine a cartesiana para os pontos 
)
3
,2( pi , )
4
7
,3( pi , )
2
,3( pi 
 
(6) Representar em coordenadas polares o conjunto dos pontos que 
satisfazem 
(a) 
4
piθ = (b) k=ρ , k real positivo 
 
 
Gráficos em coordenadas polares2 
 
Como exemplo, em sala, discutiremos o gráfico de θρ sen23 += . Os gráficos 
de equações da forma θρ cosba ±= ou θρ bsena ±= são chamados “limaçon”. 
Se b>a, a limaçon terá um laço. Se a>b, que é o caso do nosso exemplo, a 
limaçon não tem laço. Se a=b o gráfico será chamado “cardióide”, devido à 
forma de coração. 
 
 
Uma observação sobre a simetria nos gráficos 
 
(1) Se para uma equação em coordenadas polares, uma equação 
equivalente é obtida quando ),( θρ for substituído por )2,( piθρ n+− ou 
 
2
 O esboço de gráficos em coordenadas polares segue sempre o mesmo processo daquele exercitado 
nos exemplos. Uma possibilidade interessante para esboçar esses gráficos é o uso de apoio 
computacional. No caso, o WINPLOT pode desenhar, com boa definição, gráficos de funções e, em 
especial para o nosso caso, gráficos de funções em coordenadas polares. 
 3
)2,( piθpiρ n+−− onde n é um inteiro qualquer, o gráfico da equação 
será simétrico em relação ao eixo polar; 
(2) Se para uma equação em coordenadas polares uma equação equivalente 
é obtida quando ),( θρ for substituído por )2,( piθpiρ n+− ou 
)2,( piθρ n+−− onde n é um inteiro qualquer, o gráfico dessa equação 
será simétrico em relação ao eixo pi
2
1
 
(3) Se para uma equação em coordenadas polares uma equação equivalente 
é obtida quando ),( θρ for substituído por )2,( piθρ n+− ou 
)2,( piθρ n+−− , onde n é um inteiro qualquer, o gráfico dessa equação 
será simétrico em relação ao pólo. 
 
 
Exercícios 
 
(1) Usando o recurso computacional, esboçar os gráficos de 
 
(a) 3 θρ 2cos4= (b) 4 θρ = (c) θρ 2sen= (d) 3=θρsen 
(e) 3=θρsen (f) 3cos −=θρ (g) 3−=θρsen (h) 1=ρ 
(i) θρ cos22 −= (j) θρ cos2= (k) θρ 32sen= (l) θρ cos= 
 
 
 
(2) Esboce, sem o recurso computacional, os gráficos das funções dadas 
abaixo. 
 
(a) θρ cos22 += (b) θρ sen3= 
 
3
 O gráfico de uma equação da forma )cos( θρ na= ou )( θρ nasen= é chamado 
“rosácea”, e terá n pétalas se n for ímpar e 2n pétalas se n for par. 
4
 Esta curva é chamada “Espiral de Arquimedes”.