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Lista 07
Produção – Cálculo II

As Coordenadas Polares

O sistema polar

Fixado no plano um semi-eixo Ox (eixo polar) e o ponto O (pólo), cada ponto
P do plano fica determinado por suas coordenadas polares (ρ, θ), onde θ é a
medida em radianos do ângulo entre o segmento OP e o eixo polar, contado a
partir do eixo polar no sentido anti-horário. Observe que o ρ é a medida do
segmento OP. Sobrepondo a orientação cartesiana retangular a uma orientação
polar e, nisso, fazendo coincidir as origens dos dois sistemas, determinaremos
algumas equações que nos permitirão transformar para a forma polar, pontos e
equações dados na forma cartesiana e vice-versa. São elas:

ρ
θ x=cos ,

ρ
θ ysen = , 22 yx +=ρ ,

x

y
tg =θ

Exemplo:
Determinar em coordenadas cartesianas a localização dos ponto (-6,

4
7pi )1,

(4,
6

5pi ), (4, pipi k2
6

5
+ ), (4,

6
7pi

− ).

Desses exemplos segue que, ao contrário do que ocorre no sistema de
coordenadas cartesianas, não existe, no sistema de coordenadas polares, uma
relação biunívoca entre os pares ordenados e os pontos do plano. Para que isso
seja evitado e para que exista uma relação mais próxima entre os sistemas de
coordenadas retangulares e polares, estabeleceremos 0 ≤ θ < 2pi.

Exercícios
(1) Dadas as equações polares, determine suas equações cartesianas

(a) θρ 242 sen= (b) θρ 2cos42 = (c) 3cos =θρ

1
 Este ponto é deixado para exemplificar um caso em que 0<ρ , o que – via-de-regra – não será

aqui considerado.

 2

(2) Dadas as equações cartesianas, determinar as polares a elas referentes:

(a) x2+y2 – 4x = 0 (b) x2 + y2 = a2 (c) (x2+y2)2 = 4(x2 – y2)

(3) Se ρ > 0 e piθ 20 <≤ , encontre (ρ, θ) para o ponto cuja representação em
coordenadas cartesianas retangulares é )1,3( −−

(4) Idem ao enunciado acima para )
2
3

,

2
33( − , )3,1( , (-3,0)

(5) Dada a representação polar, determine a cartesiana para os pontos
)

3
,2( pi , )

4
7

,3( pi , )
2

,3( pi

(6) Representar em coordenadas polares o conjunto dos pontos que
satisfazem
(a)

4
piθ = (b) k=ρ , k real positivo

Gráficos em coordenadas polares2

Como exemplo, em sala, discutiremos o gráfico de θρ sen23 += . Os gráficos
de equações da forma θρ cosba ±= ou θρ bsena ±= são chamados “limaçon”.
Se b>a, a limaçon terá um laço. Se a>b, que é o caso do nosso exemplo, a
limaçon não tem laço. Se a=b o gráfico será chamado “cardióide”, devido à
forma de coração.

Uma observação sobre a simetria nos gráficos

(1) Se para uma equação em coordenadas polares, uma equação
equivalente é obtida quando ),( θρ for substituído por )2,( piθρ n+− ou

2
 O esboço de gráficos em coordenadas polares segue sempre o mesmo processo daquele exercitado

nos exemplos. Uma possibilidade interessante para esboçar esses gráficos é o uso de apoio
computacional. No caso, o WINPLOT pode desenhar, com boa definição, gráficos de funções e, em
especial para o nosso caso, gráficos de funções em coordenadas polares.

 3

)2,( piθpiρ n+−− onde n é um inteiro qualquer, o gráfico da equação
será simétrico em relação ao eixo polar;

(2) Se para uma equação em coordenadas polares uma equação equivalente
é obtida quando ),( θρ for substituído por )2,( piθpiρ n+− ou

)2,( piθρ n+−− onde n é um inteiro qualquer, o gráfico dessa equação
será simétrico em relação ao eixo pi

2
1

(3) Se para uma equação em coordenadas polares uma equação equivalente
é obtida quando ),( θρ for substituído por )2,( piθρ n+− ou

)2,( piθρ n+−− , onde n é um inteiro qualquer, o gráfico dessa equação
será simétrico em relação ao pólo.

Exercícios

(1) Usando o recurso computacional, esboçar os gráficos de

(a) 3 θρ 2cos4= (b) 4 θρ = (c) θρ 2sen= (d) 3=θρsen
(e) 3=θρsen (f) 3cos −=θρ (g) 3−=θρsen (h) 1=ρ
(i) θρ cos22 −= (j) θρ cos2= (k) θρ 32sen= (l) θρ cos=

(2) Esboce, sem o recurso computacional, os gráficos das funções dadas
abaixo.

(a) θρ cos22 += (b) θρ sen3=

3
 O gráfico de uma equação da forma )cos( θρ na= ou )( θρ nasen= é chamado

“rosácea”, e terá n pétalas se n for ímpar e 2n pétalas se n for par.
4
 Esta curva é chamada “Espiral de Arquimedes”.