Aula 6 - Probabilidade-P2

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PROBABILIDADE E 
ESTATÍSTICA 
Profa. Dra. Yara de Souza Tadano yaratadano@utfpr.edu.br 
Aula 6 
Probabilidade 10/2014 
Aulas 6 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 3/79 
Interpretações 
de 
Probabilidade 
Aulas 6 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 4/79 
Probabilidade 
¨  Vamos trabalhar com espaços amostrais DISCRETOS. 
¨  Probabilidade é usada para quantificar a possibilidade ou 
chance de ocorrência de um resultado de um experimento 
aleatório. 
¨  Quantificamos com um número entre [0, 1] ou em 
porcentagem, de 0% a 100%. 
Aulas 6 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 5/79 
Probabilidade 
¨  Números maiores indicam que o resultado é mais provável 
que números menores. 
Probabilidade igual a 0 Resultado não 
ocorrerá 
Probabilidade igual a 1 Resultado ocorrerá 
com certeza. 
Aulas 6 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 6/79 
Definições de Probabilidade 
¨  Definição Clássica; 
¨  Definição Frequentista; 
¨  Definição Axiomática. 
Aulas 6 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 7/79 
Definição Clássica 
¨  A probabilidade de um acontecimento E, que é um 
subconjunto finito de um espaço amostral S, de resultados 
igualmente prováveis, é: 
¨  Sendo n(E) e n(S) as quantidades de elementos de E e de S, 
respectivamente. 
( ) ( )
( )Sn
EnEP =
Aulas 6 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 8/79 
Definição Clássica 
¨  A definição clássica é dúbia, já que a ideia de “igualmente 
provável” é a mesma de “com probabilidade igual”, isto é, 
a definição é circular, porque está definindo essencialmente 
a probabilidade com seus próprios termos. 
¨  A definição não pode ser aplicada quando o espaço amostral 
é infinito. 
Aulas 6 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 9/79 
Frequência Relativa × Probabilidade 
¨  Nem sempre é possível determinar, pela definição clássica, a 
probabilidade de ocorrência de um evento. 
¨  Qual a probabilidade de um avião cair? 
¨  Qual a probabilidade de que um carro seja roubado? 
¨  Qual a probabilidade de um aluno de Ciência da 
Computação ser aprovado na disciplina de Probabilidade e 
Estatística? 
Aulas 6 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 10/79 
¨  Respostas para esses problemas são fundamentais mas, como 
não podemos calcular essas probabilidades pela definição 
clássica, tudo o que podemos fazer é observar com que 
frequência esses fatos ocorrem. 
¨  Com um grande número de observações, podemos obter 
uma boa estimativa da probabilidade de ocorrência desse 
tipo de eventos. 
¨  Denominamos de “ ” 
Frequência Relativa × Probabilidade 
Aulas 6 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 11/79 
 
 
¨  Seja E um experimento e A um evento de um espaço 
amostral associado S. Suponha que E é repetido “n” vezes e 
seja frA a frequência relativa do evento. Então, a 
probabilidade de A é definida como sendo o limite de frA 
quando “n” tende ao infinito. Ou seja: 
Frequência Relativa × Probabilidade 
( ) A
n
frAP lim
∞→
=
Aulas 6 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 12/79 
¨  Deve-se notar que a frequência relativa do evento A é uma 
aproximação da probabilidade de A. As duas se igualam 
apenas no limite. 
¨  Em geral, para um valor de n razoavelmente grande, a frA é 
uma boa aproximação de P(A). 
Frequência Relativa × Probabilidade 
Aulas 6 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 13/79 
Frequência Relativa × Probabilidade 
¨  A proporção, ou frequência relativa, de réplicas do 
experimento é 0,2. 
¨  Escolhemos as probabilidades de modo que a 
 em um experimento 
seja igual a . 
Probabilidade de 0,2 ao 
resultado que contém 
um pulso corrompido 
em um sinal digital 
Se analisarmos muitos 
pulsos, aproximadamente 
20% deles estarão 
corrompidos 
Aulas 6 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 14/79 
EXEMPLO 
¨  Distribuição de frequências referente às alturas (em 
centímetros) dos alunos da UTFPR obtida na primeira aula. 
Intervalos 
de Classe 
Ponto médio Frequência 
absoluta 
Frequência 
Relativa 
Freq. Abs. 
Acumulada 
Freq. Rel. 
Acumulada 
 
150 |⎯ 154 (150+154)/2 
= 152 
4 4 / 40 = 0,100 4 0,100 
154 |⎯ 158 156 9 0,225 4 + 8 = 13 0,325 
158 |⎯ 162 160 11 0,275 24 0,600 
162 |⎯ 166 164 8 0,200 32 0,800 
166 |⎯ 170 168 5 0,125 37 0,925 
170 |⎯ 174 172 3 0,075 40 1,000 
40 1 
Aulas 6 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 15/79 
EXEMPLO 
¨  Distribuição de frequências referente às alturas (em 
centímetros) dos alunos da UTFPR obtida na primeira aula. 
Intervalos 
de Classe 
Ponto médio Frequência 
absoluta 
Frequência 
Relativa 
Freq. Abs. 
Acumulada 
Freq. Rel. 
Acumulada 
 
150 |⎯ 154 (150+154)/2 
= 152 
4 4 / 40 = 0,100 4 0,100 
154 |⎯ 158 156 9 0,225 4 + 8 = 13 0,325 
158 |⎯ 162 160 11 0,275 24 0,600 
162 |⎯ 166 164 8 0,200 32 0,800 
166 |⎯ 170 168 5 0,125 37 0,925 
170 |⎯ 174 172 3 0,075 40 1,000 
40 1 
Probabilidade de 
um aluno ter altura 
entre 150 e 154 cm 
é de 10% 
Probabilidade de 
um aluno ter altura 
entre 162 e 166 cm 
é de 20% 
Soma das 
probabilidades de 
todos os resultados 
Aulas 6 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 16/79 
Resultados Igualmente Prováveis 
¨  Toda vez que um espaço amostral consistir em N resultados 
possíveis que forem , a probabilidade 
de cada resultado é . 
Lançamento 
de um dado 
N = 6 
Probabilidade de cada 
resultado é 1/6 
Aulas 6 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 17/79 
¨  Pela definição frequentista, para saber qual a probabilidade 
de que a face sorteada de um dado seja igual a 1, teríamos 
que realizar o experimento aleatório n vezes. 
¨  Quanto maior n, mais próximos estaremos da probabilidade 
exata (1/6 = 0,1666...). 
Número de 
Lançamentos Face 1 Frequência 
100 23 0,23 
1.000 171 0,171 
10.000 1688 0,1688 
50.000 8266 0,16532 
Aulas 6 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 18/79 
Probabilidade de Eventos 
¨  É frequentemente necessário atribuir probabilidades a 
eventos que sejam compostos por vários resultados do 
espaço amostral. 
¨  Para espaço amostral : 
¨  A , denotada por 
P (E), é igual à soma das probabilidades dos resultados em 
E. 
Aulas 6 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 19/79 
Exemplo 1 
¨  Um experimento aleatório pode resultar em um dos 
resultados {a, b, c, d} com probabilidades 0,1; 0,3; 0,5 e 0,1, 
respectivamente. Seja A o evento {a, b}, B o evento {b, c, 
d} e C o evento {d}. 
¨  Então quanto vale: 
 P (A); P (B); P (C)? 
 e P (A’ ); P (B’ ); P (C’ )? 
Aulas 6 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 20/79 
Exemplo 1 
¨  Quanto vale: 
( )BAP ∩
( )BAP ∪
( )CAP ∩
Aulas 6 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 21/79 
Exemplo 2 
¨  Uma inspeção visual de um ponto em pastilhas de um 
processo de fabricação de semicondutores resultou na 
seguinte tabela: 
Número de 
partículas de 
contaminação 
0 1 2 3 4 5 ou mais 
Proporção de 
Pastilhas 0,40 0,20 0,15 0,10 0,05 0,10 
Aulas 6 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 22/79 
Exemplo 2 
¨  Se informação fosse disponível para cada pastilha, 
poderíamos definir o espaço amostral como o conjunto de 
todas as pastilhas inspecionadas, porém esse nível de 
detalhamento não é necessário nesse caso. 
¨  Então, qual é o espaço amostral??? 
¨  Podemos considerar o espaço amostral consistindo nas seis 
categorias que resumem o número de partículas 
contaminantes em uma pastilha. 
{ }maisou 5 4, 3, 2, 1, 0,=S
Aulas 6 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 23/79 
Exemplo 2 
¨  Se desse processo uma pastilha for selecionada, ao acaso, e o 
ponto for inspecionado, qual será a probabilidade de que ele 
não contenha partículas? 
¨  Qual é a probabilidade de uma pastilha conter três ou mais 
partículas no ponto inspecionado? 
Aulas 6 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 24/79 
Exemplo 2 
Os níveis de contaminação afetam o rendimento de 
dispositivos funcionais na fabricação de semicondutores,de modo que probabilidades, tais como essas, sejam 
regularmente estudadas. 
 
Aulas 6 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 25/79 
Exemplo 3 
¨  Suponha que uma batelada contenha seis itens 
{a, b, c, d, e, f} e que dois itens sejam selecionados 
aleatoriamente, sem reposição. Suponha que o item f seja 
defeituoso, porém que os outros sejam bons. 
¨  Qual é a probabilidade de que o item f apareça na amostra? 
Aulas 6 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 26/79 
¨  Esta definição frequentista, embora útil na prática, 
apresenta dificuldades matemáticas, pois o limite pode não 
existir. 
¨  Em virtude dos problemas apresentados pela definição 
clássica e pela definição frequentista, foi desenvolvida uma 
teoria moderna, que é a 
 
Aulas 6 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 27/79 
Definição 
Axiomática de 
Probabilidade 
Aulas 6 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 28/79 
Axiomas de Probabilidade 
¨  Os axiomas asseguram que as probabilidades atribuídas a um 
experimento podem ser interpretadas como frequências 
relativas e que as atribuições são consistentes com nosso 
entendimento intuitivo das relações entre frequências 
relativas. 
Se o evento A estiver contido no evento B. 
Então, deveríamos ter: 
P(A) ≤ P(B) 
Aulas 6 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 29/79 
Axiomas de Probabilidade 
¨  Probabilidade é um número que é atribuído a cada membro 
de uma coleção de eventos, a partir de um experimento 
aleatório que satisfaça as seguintes propriedades: 
¨  Se S for o espaço amostral e E for qualquer evento em um 
experimento aleatório: 
P (S) = 1; 
0 ≤ P (E) ≤ 1; 
Para dois eventos E1 e E2 com 
 
∅=∩ 21 EE
P E1∪E2( ) = P E1( )+P E2( )
Aulas 6 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 30/79 
Axiomas de Probabilidade 
¨  Estes axiomas implicam nos seguintes resultados: 
¨  Se o evento E1 estiver contido no evento E2: 
P ∅( ) = 0
P E '( ) =1−P E( )
P E1( ) ≤ P E2( )
Aulas 6 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 31/79 
são gerados pela aplicação de 
operações básicas de conjuntos a eventos individuais. 
¨  A pode 
frequentemente ser determinada a partir de probabilidades 
dos eventos individuais que o compreendem. 
A∪B A∩B
Aulas 6 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 32/79 
Regra 
da 
Adição 
Aulas 6 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 33/79 
EXEMPLO 4 
¨  A Tabela abaixo lista a história de 940 pastilhas em um 
processo de fabricação de semicondutores. Suponha que uma 
pastilha seja selecionada, ao acaso. 
Localização na Ferramenta de Recobrimento 
Contaminação Centro Borda Total 
Baixa 514 68 582 
Alta 112 246 358 
Total 626 314 940 
Aulas 6 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 34/79 
EXEMPLO 4 
¨  Seja A o evento em que a pastilha contém altos níveis de 
contaminação. 
¨  Qual é a probabilidade do evento A ? 
Aulas 6 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 35/79 
EXEMPLO 4 
¨  A Tabela abaixo lista a história de 940 pastilhas em um 
processo de fabricação de semicondutores. Suponha que uma 
pastilha seja selecionada, ao acaso. 
Localização na Ferramenta de Recobrimento 
Contaminação Centro Borda Total 
Baixa 514 68 582 
Alta 112 246 358 
Total 626 314 940 
A 
Aulas 6 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 36/79 
EXEMPLO 4 
¨  Seja C o evento em que a pastilha esteja no centro de uma 
ferramenta de recobrimento. 
¨  Qual é a probabilidade do evento C ? 
Aulas 6 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 37/79 
EXEMPLO 4 
¨  A Tabela abaixo lista a história de 940 pastilhas em um 
processo de fabricação de semicondutores. Suponha que uma 
pastilha seja selecionada, ao acaso. 
Localização na Ferramenta de Recobrimento 
Contaminação Centro Borda Total 
Baixa 514 68 582 
Alta 112 246 358 
Total 626 314 940 
A 
C 
Aulas 6 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 38/79 
EXEMPLO 4 
¨  Qual a probabilidade de uma pastilha ser proveniente do 
centro da ferramenta de recobrimento e conter altos níveis de 
contaminação? 
¨  Qual a probabilidade de uma pastilha ser proveniente do 
centro da ferramenta de recobrimento ou conter altos níveis 
de contaminação (ou ambos)? 
Aulas 6 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 39/79 
Regra Geral de Adição 
¨ 
P A∪B( ) = P A( )+P B( )−P A∩B( )
P A∪B( ) = P A( )+P B( )
Aulas 6 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 40/79 
P A∪B∪C( ) = P A( )+P B( )+P C( )−P A∩B( )
−P A∩C( )−P B∩C( )+P A∩B∩C( )
Aulas 6 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 41/79 
 
Uma coleção de eventos, E1, E2, ..., Ek, é dita mutuamente 
excludente se para todos os pares: 
 
 
 
Para uma coleção de eventos mutuamente excludentes: 
P E1∪E2∪!∪Ek( ) = P E1( )+P E2( )+!+P Ek( )
Ei∩Ej =∅
Aulas 6 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 42/79 
Probabilidade 
Condicional 
Aulas 6 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 43/79 
Probabilidade Condicional 
¨  Algumas vezes, probabilidades necessitam ser reavaliadas à 
medida que informações adicionais se tornam disponíveis. 
¨  A probabilidade de um evento B, sabendo qual será o 
resultado do evento A, é dada por: 
¨  É chamada de 
. 
P B A( )
Aulas 6 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 44/79 
EXEMPLO 5 
¨  A tabela abaixo fornece um exemplo de 400 itens 
classificados por falha na superfície e como defeituosos 
(funcionalmente). 
Falhas na superfície 
Sim Não Total 
Defeituosos 
Sim 10 18 28 
Não 30 342 372 
Total 40 360 400 
Aulas 6 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 45/79 
EXEMPLO 5 
¨  Qual a probabilidade de um item COM falhas na superfície 
ser defeituoso? 
¨  Qual a probabilidade de um item SEM falhas na superfície 
ser defeituoso? 
Aulas 6 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 46/79 
EXEMPLO 5 
¨  A tabela abaixo fornece um exemplo de 400 itens 
classificados por falha na superfície e como defeituosos 
(funcionalmente). 
Falhas na superfície 
Sim Não Total 
Defeituosos 
Sim 10 18 28 
Não 30 342 372 
Total 40 360 400 
D 
F F’ 
Aulas 6 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 47/79 
EXEMPLO 5 
¨  Qual a probabilidade de um item COM falhas na superfície 
ser defeituoso? 
¨  Qual a probabilidade de um item SEM falhas na superfície 
ser defeituoso? 
( ) 25,0=FDP
( ) 05,0' =FDP
Aulas 6 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 48/79 
EXEMPLO 5 
¨  Podemos concluir que a probabilidade de itens defeituosos é 
cinco vezes maior para itens com falhas na superfície. 
¨  O resultado sugere também que pode haver uma ligação 
entre falhas na superfície e itens funcionalmente defeituosos 
que deveria ser investigada. 
Aulas 6 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 49/79 
Probabilidade Condicional 
¨  A de um evento B, 
dado um evento A, denotada como é: 
 para . 
P B A( ) = P A∩B( )P A( )
P B A( )
P A( ) > 0
Aulas 6 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 50/79 
Probabilidade Condicional 
¨  Essa definição pode ser entendida em um caso especial em 
que todos os resultados de um experimento aleatório são 
. Se houver n resultados totais: 
¨  Logo: 
P A( ) = número de resultados em A( ) n
P A∩B( ) = número de resultados em A∩B( ) n
P A∩B( ) P A( ) =
número de resultados em A∩B( )
número de resultados em A( )
Aulas 6 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 51/79 
Amostras Aleatórias 
¨  Quando uma amostra é selecionada aleatoriamente a partir 
de uma batelada grande, é geralmente mais fácil evitar a 
numeração do espaço amostral e calcular probabilidades a 
partir de probabilidades condicionais. 
¨  Selecionar aleatoriamente implica que, em cada etapa da 
amostragem, os itens que permanecem na batelada são 
igualmente prováveis de serem selecionados. 
Aulas 6 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 52/79 
Amostras Aleatórias 
Considere uma batelada que contenha 10 
itens da ferramenta 1 e 40 itens da ferramenta2. Se dois 
itens forem selecionados aleatoriamente, sem reposição, qual 
será a probabilidade condicional de que um item da 
ferramenta 2 seja selecionado na segunda retirada, dado que 
um item da ferramenta 1 tenha sido selecionado primeiro? 
Aulas 6 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 53/79 
Regra 
da 
Multiplicação 
Aulas 6 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 54/79 
Regra da Multiplicação 
¨  Do agora considere E o evento consistindo 
nos resultados contendo o primeiro item selecionado 
proveniente da ferramenta 1 e o segundo item proveniente da 
ferramenta 2. Qual a probabilidade de E? 
P E( ) = P E2 E1( )×P E1( ) =
8
49
Aulas 6 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 55/79 
Regra da Multiplicação 
¨  Frequentemente, necessita-se calcular a probabilidade da 
interseção de dois eventos. A definição de probabilidade 
condicional pode ser reescrita e teremos, a conhecida 
para probabilidades. 
P A∩B( ) = P B A( )P A( ) = P A B( )P B( )
Aulas 6 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 56/79 
EXEMPLO 7 
¨  A probabilidade de que o primeiro estágio de uma operação, 
numericamente controlada, de usinagem para pistões com 
alta rpm atenda às especificações é igual a 0,90. 
¨  Dado que o primeiro estágio atende às especificações, a 
probabilidade de que o segundo estágio de usinagem atenda 
às especificações é de 0,95. Qual a probabilidade de ambos 
os estágios atenderem às especificações? 
Aulas 6 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 57/79 
EXEMPLO 7 
¨  Sejam A e B os eventos em que o primeiro e o segundo 
estágios atendem às especificações, respectivamente. A 
probabilidade requerida é: 
P A∩B( ) = P B A( )P A( ) = 0,95 0, 90( ) = 0,855
Aulas 6 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 58/79 
Regra da 
Probabilidade 
Total 
Aulas 6 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 59/79 
EXEMPLO 8 
¨  Algumas vezes, a probabilidade de um evento é dada sujeita 
a cada uma das várias condições. 
¨  Suponha que na fabricação de semicondutores, a 
probabilidade de um chip, que está sujeito a altos níveis de 
contaminação durante a fabricação, causar uma falha no 
produto seja de 0,10. A probabilidade de um chip, que não 
está sujeito a altos níveis de contaminação durante a 
fabricação, causar uma falha no produto seja de 0,005. 
Aulas 6 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 60/79 
EXEMPLO 8 
¨  Em uma batelada particular de produção, 20% dos chips 
estão sujeitos a altos níveis de contaminação. 
¨  Qual é a probabilidade de um produto usando um desses 
chips vir a falhar? 
Aulas 6 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 61/79 
Regra da Probabilidade Total 
¨  Claramente, a probabilidade requerida depende se o chip foi 
ou não exposto a altos níveis de contaminação. 
¨  Para qualquer evento B, podemos escrever B como uma 
união da parte de B em A e da parte de B em A’. 
¨  Pelo fato de A e A’ serem mutuamente excludentes, 
 e serão mutuamente excludentes. 
( ) ( )BABAB ∩∪∩= '
( )BA∩
( )BA∩'
Aulas 6 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 62/79 
Regra da Probabilidade Total 
¨  Por meio do da Regra da Adição e da Regra da 
Multiplicação, temos: 
de dois eventos 
 Para quaisquer eventos A e B, 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )''
'
APABPAPABP
ABPABPBP
+=
∩+∩=
Aulas 6 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 63/79 
EXEMPLO 8 
¨  Voltando ao exemplo 8, temos: 
¨  Seja F o evento em que o produto falha e seja A o evento em 
que o chip é exposto a altos níveis de contaminação. 
¨  A probabilidade solicitada é P (F), então: 
Probabilidade 
de Falha 
Nível de 
Contaminação 
Probabilidade 
do Nível 
0,10 Alto 0,20 
0,005 Não Alto 0,80 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 024,0'' =+= APAFPAPAFPFP
Aulas 6 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 64/79 
Regra da Probabilidade Total 
¨  Em geral, uma coleção de conjuntos E1, E2, ..., Ek, tal que: 
 , é dita ser exaustiva. 
Suponha que E1, E2, ..., Ek, sejam k conjuntos mutuamente 
. 
A de múltiplos 
eventos será então: 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )kk
k
EPEBPEPEBPEPEBP
EBPEBPEBPBP
+++=
∩++∩+∩=
!
!
2211
21
SEEE k =∪∪∪ !21
Aulas 6 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 65/79 
EXEMPLO 9 
¨  Continuando com a fabricação de semicondutores, suponha 
as seguintes probabilidades para falha no produto sujeito a 
níveis de contaminação na fabricação: 
¨  Em uma batelada particular da produção, 20% dos chips 
estão sujeitos a níveis altos de contaminação, 30% a níveis 
médios de contaminação e 50% a níveis baixos de 
contaminação. 
Probabilidade de Falha 0,10 0,01 0,001 
Nível de Contaminação Alto Médio Baixo 
Aulas 6 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 66/79 
EXEMPLO 9 
¨  Qual é a probabilidade de um produto falhar ao usar um 
desses chips? 
¨  Seja A o evento em que um chip esteja exposto a níveis altos 
de contaminação. 
¨  Seja M o evento em que um chip esteja exposto a níveis 
médios de contaminação. 
¨  Seja B o evento em que um chip esteja exposto a níveis 
baixos de contaminação. 
¨  Seja F o evento em que o produto falhou. 
Aulas 6 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 67/79 
INDEPENDÊNCIA 
Aulas 6 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 68/79 
Independência 
¨  Em alguns casos, a probabilidade condicional 
 pode ser igual a P(B). 
 
¨  Nesse caso especial, o conhecimento de que o resultado do 
experimento esteja no evento A não afeta a probabilidade de 
que o resultado esteja no evento B. 
( )ABP
Aulas 6 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 69/79 
Exemplo 10 
¨  Suponha que uma produção diária de 850 peças fabricadas 
contenha 50 peças que não satisfaçam as exigências dos 
consumidores. Suponha que duas peças sejam selecionadas 
da batelada, porém a primeira peça seja reposta antes de a 
segunda peça ser selecionada. 
¨  Qual é a probabilidade de que a segunda peça seja defeituosa 
(evento B), dado que a primeira peça é defeituosa 
(evento A)? 
Aulas 6 – Probabilidade 
Probabilidade e Estatística 70/79 
Exemplo 10 
¨  Pelo fato de a primeira peça ser reposta antes da seleção da 
segunda, a batelada ainda contém 850 peças, 50 das quais 
são defeituosas. 
¨  Assim, a probabilidade de B não depende de a primeira peça 
ser defeituosa. 
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Probabilidade e Estatística 71/79 
Exemplo 11 
¨  Do Exemplo 5, temos uma tabela com informações que 
relacionam falhas na superfície a itens funcionalmente 
defe i tuosos . Naquele caso , de te rminamos que 
P (D|F) = 10/40 = 0, 25 
 e P (D) = 28/400 = 0,07. 
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Probabilidade e Estatística 72/79 
Exemplo 11 
¨  Suponha que a situação seja diferente e dada pela tabela: 
¨  Agora, P (D|F) = 2/40 = 0,05 e P (D) = 20/400 = 0,05. 
¨  Isto indica que, a probabilidade de que o item seja defeituoso 
não depende de ele ter falhas na superfície. 
Falhas na superfície 
Sim (Evento F) Não Total 
Defeituosos 
Sim (Evento D) 2 18 20 
Não 38 342 380 
Total 40 360 400 
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Exemplo 11 
¨  Também, P (F|D) = 2/20 = 0,10 e P (F) = 40/400 = 0,10. 
¨  Assim, a probabilidade de uma falha na superfície não 
depende de o item ser defeituoso. 
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Exemplo 11 
¨  Além disso, a Regra da Multiplicação diz que: 
¨  Porém, no caso especial desse problema: 
( ) ( ) ( )FPDPDFP =∩
( ) ( ) ( )FPFDPDFP =∩
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Exemplo 11 
Falhas na superfície 
Sim (Evento F) Não Total 
Defeituosos 
Sim (Evento D) 2 18 20 
Não 38 342 380 
Total 40 360 400 
D F 
( )
200
1
400
2
==∩DFP
( )
400
40
=FP( )
400
20
=DP
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200
1
400
40
400
20
=×=
Exemplo 11 
¨  Porém, no caso especial desse problema:¨  Essas conclusões levam a uma importante definição. 
( ) ( ) ( )FPDPDFP =∩
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Independência (dois eventos) 
¨  Dois eventos A e B são se qualquer 
uma das seguintes afirmações for verdadeira: 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )BPAPBAP
BPABP
APBAP
=∩
=
=
3
2
1
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Independência (múltiplos eventos) 
¨  Os eventos E1, E2, ..., En são independentes se, e somente se: 
P E1∩E2∩!∩Ek( )
= P E1( )×P E2( )×!×P Ek( )
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EXEMPLO 12 
¨  Considere que a probabilidade de uma pastilha conter uma 
grande partícula de contaminação seja 0,01 e que as pastilhas 
sejam independentes; isto é, a probabilidade de uma pastilha 
conter uma grande partícula não é dependente das 
características de qualquer uma das outras pastilhas. 
¨  Se 15 pastilhas forem analisadas, qual será a probabilidade 
de nenhuma partícula grande ser encontrada? 
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EXEMPLO 12 
¨  Seja Ei o evento em que a i-ésima pastilha não contém 
partículas grandes, i = 1, 2, ..., 15. Então, P(Ei) = 0,99. A 
probabilidade pode ser representada como: 
¨  Da suposição de independência: 
( )1521 EEEP ∩∩∩ !
( )
( ) ( ) ( )
86,099,0 15
1521
1521
==
×××=
=∩∩∩
EPEPEP
EEEP
!
!