Cálculo Diferencial (AOL-3)

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Conteúdo do exercício 
1. Pergunta 1 
/1 
As aplicações da derivada de uma função são inúmeras dentro da física, sendo que 
nosso primeiro contato com esses conceitos em física ocorre no estudo das velocidades 
instantâneas e sua relação com as equações horárias do espaço, velocidade (que é a taxa 
de variação da posição) e aceleração (que é a taxa de variação da velocidade). 
 
De acordo com as definições e propriedades do cálculo da derivada pelo limite e com 
seus conhecimentos sobre funções trigonométricas, analise as afirmativas a seguir e 
assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
 
I. ( ) A derivada de uma função sempre é calculável em um ponto no qual os limites 
laterais coincidirem. 
 
II. ( ) A função f(x)=tgx é diferenciável para qualquer valor real de x. 
 
III. ( ) A derivada da função g(x)=3x³+3x²+x, no ponto onde x=a, é g’(a)=(3a+1)². 
 
IV. ( ) Um objeto disparado ao ar tem altura dada por y=10t−5t². Assim sua velocidade 
quando t=2 é de -10m/s. 
 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
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1. 
 V, F, F, V. 
2. 
 F, F, V, V. 
Resposta correta 
3. 
 F, V, F, V. 
4. 
V, V, F, F. 
5. 
 F, F, V, F. 
2. Pergunta 2 
/1 
As regras de derivação permitem uma manipulação algébrica mais rápida das 
expressões, tornando-se ferramentas importantes para o estudo do Cálculo Diferencial. 
 
Considerando essas informações e os conteúdos estudados a respeito da regra de 
derivação da diferença entre funções, analise as afirmativas a seguir e assinale V para 
a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
 
I. ( ) A derivada de uma função f(x)=x²−x−1 é f’(x)=2x−1. 
 
II. ( ) A regra é aplicável às funções algébricas e não algébricas. 
 
III. ( ) A função trigonométrica f(x)=cosx−2senx não é diferenciável pela regra de 
derivação da diferença entre funções. 
 
IV. ( ) Essa regra é representada pela relação [f(x)−g(x)]’=f’(x)–g’(x). 
 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
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1. 
 V, F, V, V. 
2. 
 V, F, F, F. 
3. 
 V, V, F, V. 
Resposta correta 
4. 
 F, F, V, V. 
5. 
 V, V, V, F. 
3. Pergunta 3 
/1 
Algumas expressões algébricas não podem ser derivadas pelas regras de derivação 
convencionais, como é o caso das chamadas funções implícitas. 
 
Considerando essas informações, e utilizando seus conhecimentos sobre esse tipo de 
função e suas derivadas, é correto afirmar que a derivada da função é: 
 
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1. 
 
2. 
 
Resposta correta 
3. 
 
4. 
 
5. 
 
4. Pergunta 4 
/1 
Funções trigonométricas são aquelas definidas a partir do círculo unitário, e podem ser 
categorizadas entre dois grupos: aquelas que são diretas e aquelas que são inversas. As 
funções inversas referem-se ao arco seno, arco cosseno, arco tangente, entre outros. 
Cada uma dessas funções possui uma derivada particular, que seguem as suas 
propriedades específicas. 
 
Tendo em vista essas informações e os conhecimentos acerca das trigonométricas 
inversas e suas derivadas, analise as afirmações a seguir: 
I. Dada f(x)= , tem se que 
II. ≠arcsenx. 
III. Todas as funções inversas são funções trigonométricas. 
 
IV. Dada f(x)= tem-se que 
Está correto apenas o que se afirma em: 
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1. Incorreta: 
 I e III. 
2. 
 I e IV. 
Resposta correta 
3. 
 II e III. 
4. 
 I e II. 
5. 
 II, III e IV. 
5. Pergunta 5 
/1 
O estudo do Cálculo Diferencial é repleto de interpretações geométricas acerca das 
curvas de funções. 
 
Considerando as funções e g(x)=x³−3 e com base nos seus conhecimentos acerca 
de funções compostas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) 
verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
 
I. ( ) A inclinação da reta tangente à curva do gráfico de f(x) em x=½ é igual a 3/2. 
 
II. ( ) O gráfico de 3.f(x) é alongado verticalmente em relação ao gráfico de f(x). 
 
III. ( ) A derivada de c.g(x), onde c é constante, é igual a cx². 
 
IV. ( ) f(g(x)) possui derivada igual a f’(x)g(x)+f(x)g’(x). 
 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
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1. 
 V, V, V, F. 
2. 
 V, V, V, F. 
3. 
F, F, F, V. 
4. 
V, V, F, F. 
Resposta correta 
5. 
 V, F, F, V. 
6. Pergunta 6 
/1 
Comumente são usadas funções polinomiais para descrever o custo que uma indústria 
tem para produzir determinado bem de consumo, e o valor derivado dessa função C(x), 
em x = a, é chamado de custo marginal para produzir um número ‘a’ de produtos, que 
representa a taxa em que o custo varia de acordo com o número de itens produzidos. 
 
Considerando a função custo C(x)=0,001x³+8x, em reais, o que foi exposto acima e seus 
conhecimentos sobre a derivadas e taxas de variação, analise as afirmativas a seguir, e 
assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
 
I. ( ) O custo marginal tem, para a função custo, o mesmo significado que a aceleração 
de um corpo tem para a função velocidade do mesmo. 
 
II. ( ) O custo marginal para x = 2000 é igual a R$ 1208/item. 
 
III. ( ) O custo marginal para x = 2000 pode ser obtido pela aproximação C(2001) – 
C(2000). 
 
IV. ( ) A derivada de C(x) não pode assumir valores negativos. 
 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
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1. 
 V, F, V, V. 
Resposta correta 
2. 
 F, V, V, F. 
3. 
 V, F, F, V. 
4. 
 V, V, V, F. 
5. 
 F, V, F, V. 
7. Pergunta 7 
/1 
As funções trigonométricas estão relacionadas ao círculo trigonométrico de raio 
unitário, e relacionam-se entre si de diversas maneiras. A tangente, por exemplo, é a 
razão entre seno e cosseno, e esses referem-se a comprimentos dentro desse círculo 
trigonométrico. Compreender e manipular suas derivadas é fundamental para o 
desenvolvimento dos estudos de Cálculo Diferencial e Integral. 
 
Considerando essas informações e os conteúdos estudados sobre derivada de funções 
trigonométricas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F 
para a(s) falsa(s). 
 
I. ( ) A função trigonométrica f(x)=5cosx tem como derivada −5senx. 
 
II. ( ) A função f(x)=sen é uma função trigonométrica composta, que pode ser derivada 
pela regra da cadeia. 
 
III. ( ) As derivadas de f(x)=cosx e g(x)=senx são iguais a, 
respectivamente, f’(x)=senx e g’(x)=cosx. 
 
IV. ( ) A função f(x)=sen(3x)+1 tem sua derivada definida por f’(x)=cos(3x). 
 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
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1. 
 F, F, V, F. 
2. 
 V, F, V, V. 
3. 
 F, F, V, F. 
4. 
 V, V, F, F. 
Resposta correta 
5. 
 V, V, F, V. 
8. Pergunta 8 
/1 
A diferenciabilidade de uma função depende de alguns fatores. Dizer isso significa que 
não podemos tomar toda e qualquer função como diferenciável em um ponto, pois, para 
isso, é necessário analisar seu comportamento geral na região de interesse. 
 
Considerando essas informações e os conteúdos estudados sobre funções diferenciáveis, 
analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas. 
 
I. No ponto onde x=0, a derivada da função f(x)=1/x² não pode ser calculada. 
 
Porque: 
 
II. A função f(x) não é definida onde x=0, pois a reta tangente a f(x) nesse ponto é 
vertical. 
 
A seguir, assinale a alternativa correta: 
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1. 
 As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta 
da I. 
2. 
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira. 
3. 
 A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa. 
Resposta correta 
4. 
As asserções I e II são proposições falsas. 
5. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa 
correta da I. 
9. Pergunta 9 
/1 
Diversas sãoas regras de derivação, que podem variar conforme a categoria da função, 
algébrica ou não, ou até mesmo por estaren explícitas ou não. Entre essas regras de 
derivação, há a regra do quociente. 
 
Acerca dessa regra de derivação, e considerando os conteúdos estudados, analise as 
afirmativas a seguir: 
 
I. Essa regra considera funções racionais. 
 
II. Essa regra não considera funções algébricas. 
 
III. Essa regra não considera funções constantes, pois a derivada dessa função é igual a 
zero. 
 
IV. A derivada do quociente entre duas funções é definida por [f(x)/g(x)]’=[f’(x)g(x)–
f(x)g’(x)]/[g(x)]2. 
 
Está correto apenas o que se afirma em: 
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1. 
 I e II. 
2. 
 I e IV. 
Resposta correta 
3. 
 II e IV. 
4. 
 III e IV 
5. 
 I e III. 
10. Pergunta 10 
/1 
O Cálculo Diferencial é aplicado em diversas situações do cotidiano e serve como 
ferramenta nas diferentes ciências. 
 
Tendo em vista essas informações e os conhecimentos acerca das derivadas, analise as 
afirmações a seguir, referentes às suas aplicações. 
 
I. As derivadas podem ser aplicadas para interpretar a taxa de variação de custos de 
produção. 
 
II. As derivadas em pontos extremos da função são nulas, pois a reta tangente nesses 
pontos é horizontal. 
 
III. A derivada muito utilizada em problemas que envolvem movimento de objetos em 
queda livre. 
 
IV. Consegue-se mensurar a área sob a curva de uma função com base em sua derivada. 
 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
 I, III e IV. 
2. 
 I, II e III. 
Resposta correta 
3. 
 II, III e IV. 
4. 
 II e III. 
5. 
 I e IV.