ATIVIDADE 2 Matemática discreta

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2º Atividade Da Disciplina Matemática Discreta (2021.2-T01). 
ALUNA: Adriana Tavares da Costa. 
 
ATIVIDADE 2.1. São dados os conjuntos 𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒}, 𝐵 = {𝑏, 𝑐, 𝑑} e 𝐶 =
 {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑒}. Calcule e enumere os elementos do conjunto �̅�. �̅�. 𝐶. 
Solução: 
�̅� = 𝑈 − 𝐴 = {𝑓, 𝑔, ℎ, … , 𝑥, 𝑦, 𝑧} 
�̅� = 𝑈 − 𝐵 = {𝑎, 𝑒, 𝑓, 𝑔, ℎ, … , 𝑥, 𝑦, 𝑧} 
Como o produto 𝐴. 𝐵 é a intersecção usual de conjuntos, isto é, 𝐴. 𝐵 = 𝐴 ∩ 𝐵 então 
�̅�. �̅�. 𝐶 = ( �̅� ∩ �̅�) ∩ 𝐶 
Calculando 
 �̅� ∩ �̅� = {𝑓, 𝑔, ℎ, … , 𝑥, 𝑦, 𝑧} = �̅� 
E por fim, 
( �̅� ∩ �̅�) ∩ 𝐶 = �̅� ∩ 𝐶 = ∅ 
 
ATIVIDADE 2.2. Calcule quantos números primos existem inferiores a 170. 
Solução: 
Temos que o único primo par é o 2 sendo assim o numero 𝑛 de primos menores que 170 
será: 
𝑛 ≤ 170 − ⌊
170
2
⌋ + 1 = 86 
Denotemos o conjunto dos números primos menores que 170 por 𝑃𝑛. Temos que com 
certezas 1,2,3,5,7,11,13,17,19,23 ∈ 𝑃𝑛. 
Dos 85 números impares temos aqueles que são múltiplos de três assim temos que 
 𝑛 < 85 + 1 < 85 − ⌊
85
3
⌋ + 3 = 57 + 3 
Que por sua vez nos 57 números temos muitos múltiplos de 5 então 
𝑛 ≤ 57 − ⌊
57
5
⌋ + 1 + 3 = 46 + 4 
Tirando agora os múltiplos de 7 com exceção do próprio termos que 
𝑛 ≤ 46 − ⌊
46
7
⌋ + 1 + 4 = 40 + 5 
Tirando agora os múltiplos de 11 com exceção do próprio termos que 
𝑛 ≤ 40 − ⌊
40
11
⌋ + 1 + 5 = 37 + 6 
Tirando agora os múltiplos de 13 com exceção do próprio termos que 
𝑛 ≤ 37 − ⌊
37
13
⌋ + 1 + 6 = 35 + 7 
Tirando agora os múltiplos de 17 com exceção do próprio termos que 
𝑛 ≤ 35 − ⌊
35
17
⌋ + 7 + 1 = 33 + 8 
Tirando agora os múltiplos de 19 com exceção do próprio termos que 
𝑛 ≤ 33 − ⌊
33
19
⌋ + 1 + 8 = 31 + 9 
Como ⌊
31
23
⌋ = 0 temos que 𝑛 = 31 + 9 = 40 
 
ATIVIDADE 2.3. Calcule o número de naturais menores do que o número 𝑛 dado e 
primos com ele: 
1. 𝑛 = 12. 
2. 𝑛 = 20. 
3. 𝑛 = 847. 
Solução: 
a) Para calcularmos utilizaremos da função de Euler, para isso primeiro faremos a 
decomposição de 𝑛 em fatores primos, então 
𝑛 = 12 = 2 ∗ 2 ∗ 3 
Tampando agora a função 
𝜑(12) = 12 ∗ (1 −
1
2
) ∗ (1 −
1
3
) = 12 (
1
2
) (
2
3
) = 4 
b) Faremos a decomposição de 𝑛 em fatores primos, então 
𝑛 = 20 = 2 ∗ 2 ∗ 5 
Tampando agora a função 
𝜑(20) = 20 ∗ (1 −
1
2
) ∗ (1 −
1
5
) = 20 (
1
2
) (
4
5
) = 8 
 
c) Faremos a decomposição de 𝑛 em fatores primos, então 
𝑛 = 847 = 7 ∗ 11 ∗ 11 
Tampando agora a função 
𝜑(847) = 847 ∗ (1 −
1
7
) ∗ (1 −
1
11
) = 847 (
6
7
) (
10
11
) = 660 
 
ATIVIDADE 2.4. Deveriam ser pintados 150 dados. 20 receberam tinta só vermelha, 10 
só branca, 30 só azul; 8 receberam só tinta vermelha e azul; 13 receberam só branca e azul; e 12 
receberam tinta vermelha, azul e branca. Quantos não foram pintados? 
Solução: 
Utilizando o diagrama de Venn termo que: 
 
 
Portanto ficaram 57 dados sem pintar. 
 
ATIVIDADE 2.5. São dados os conjunto 𝐴 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e 𝐵 = {1, 2, 3, 4, 5}, e 
as proposições: 𝑝1 ∶ 𝑥 + 𝑦 é par; 𝑝2 ∶ 𝑥 é ímpar; 𝑝3 ∶ 𝑦 > 3. Pede-se calcular e enumerar os 
pares ordenados (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴 × 𝐵 para os quais se verifica a proposição composta: 𝑝1 ∧ (∼
 𝑝2) ∧ (∼ 𝑝3). 
Solução: 
Consideremos 𝐴𝑖 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴 × 𝐵 ∕ 𝑝𝑖}. Então 
𝐴1 = {(1,1), (1,3), (1,5), (2,2), (2,4), (3,1), (3,5), (4,2), (4,4), (5,1), (5,3), (5,5), (6,2), (6,4)} 
𝐴2 = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5)} 
𝐴3 = {(1,4), (1,5), (2,4), (2,5), (3,4), (3,5), (4,4), (4,5), (5,4), (5,5), (6,4), (6,5)} 
Desejamos 𝐴1. 𝐴2̅̅ ̅. 𝐴3̅̅ ̅ . Assim, pelo crivo de Silva-Sylvestre temos que 
𝐴1. 𝐴2̅̅ ̅. 𝐴3̅̅ ̅ = 𝐴1 + 𝐴1𝐴2𝐴3 − (𝐴1𝐴2 + 𝐴1𝐴2) 
Como 
𝐴1𝐴2𝐴3 = {(1,5), (3,5)} 
𝐴1𝐴2 = {(1,1), (1,3), (1,5), (3,1), (3,5), (5,1), (5,3)} 
𝐴1𝐴2 = {(1,5), (2,4), (3,5), (4,4), (5,5), (6,4)} 
Teremos a solução 𝐴1. 𝐴2̅̅ ̅. 𝐴3̅̅ ̅ = {(2,2), (4,2), (6,2)}