Aula 10 - Fatora+º+úo - Papirando

Prévia do material em texto

ÁLGEBRA 
FATORAÇÃO 
/mestreviana /canalmestreviana 
 
Fatorar uma expressão algébrica é 
transformá-la num produto de expressões 
mais simples. 
 
1° Caso - Evidenciação 
É aplicada quando existem um ou mais 
fatores comuns a todos os termos. Para 
isto, colocamos em evidência o MDC dos 
termos, isto é, os fatores comuns elevados 
aos menores expoentes. Consulte item 
"MDC entre expressões algébricas" no fim 
deste capítulo (lembre-se do conceito de 
MDC). 
Exemplos: 
Fatorar as expressões. 
a) 2 4 3 3 4 66x y 9x y 12x y  
Resolução: 
MDC dos coeficientes = MDC (6, 9, 12) = 3 
MDC das partes literais = x²y³ 
Fator evidenciado dos termos = 3x²y³ 
 
Para determinarmos os termos que ficarão 
no interior dos parênteses, devemos 
dividir ordenadamente cada termo da 
expressão pelo fator evidenciado. 
2 4
2 3
6x y
2y
3x y
 
3 3
2 3
9x y
3x
3x y
 
4 6
2 3
2 3
12x y
4x y
3x y

  
 
Finalmente: 
 
2 4 3 3 4 6
2 3 2 3
6x y 9x y 12x y
3x y 2y 3x 4x y
  
   
 
 
 
 
b) 3 2 4 5 3 2 4 228a b c 32a b 12a b c  
Resolução: 
MDC dos coeficientes = MDC (28, 32,12) = 4 
MDC das partes literais = a²b² 
Fator evidenciado = 4a²b² 
 
Vamos obter, os termos interiores aos 
parênteses: 
3 2 4
4
2 2
28a b c
7ac
4a b
 
5 3
3
2 2
32a b
8a b
4a b

 
2 4 2
2 2
2 2
12a b c
3b c
4a b
 
 
 
3 2 4 5 3 2 4 2
2 2 4 3 2 2
28a b c 32a b 12a b c
4a b 7ac 8a b 3b c
  
   
 
 
2° Caso - Agrupamento 
Separamos os termos em grupos e fazemos 
evidenciações sucessivas: 
Exemplos: Fatorar as expressões 
a) ax + ay + bx + by = a(x + y) + (x + y) 
= (x + y) (a + b) 
 
b) 8xy + 4ax – 6y – 3a = 4x(2y + a) – 3(2y 
+ a) = (2y + a) (4x – 3) 
 
3° Caso - Diferença entre dois 
quadrados 
a² - b² = (a + b)·(a – b) 
Exemplos: Fatorar 
a) x² – 25 = x² –- 5² = (x +5) · (x – 5) 
 
b)    
2 24 2 2y 4a y 2a   
   2 2y 2a y 2a   
 
 
 
 
ÁLGEBRA 
FATORAÇÃO 
/mestreviana /canalmestreviana 
4° Caso - Trinômio quadrado perfeito 
a² + 2ab + b² = (a + b)² 
a² – 2ab + b² = (a – b)² 
Exemplos: Fatorar 
a) x² + 6x + 9 = x² + 2 · 3x + 3² = (x + 3)² 
 
b) 6 3 2z 4az 4a  
     
2 223 3 3z 2 2a z 2a z 2a       
 
5° Caso - Trinômio do 2° grau 
x² + Sx + P = (x + a) · (x + b) 
S = a + b P= a · b 
Nota: Neste caso devemos encontrar dois 
números de soma S e produto P. Quando tal 
procedimento for "muito difícil", podemos 
resolver uma equação do 2° grau para 
obter tais números (Ver capítulo 
"EQUAÇÃO DO 2° GRAU") 
Exemplos: Fatorar 
a) x² + 5x + 6 = (x + 2) · (x +3) 
S 5 a b 5
P 6 a b 6
   
   
a 2
b 3
 
 

 
 
b) x² + 5x – 14 = (x + 7) · (x – 2) 
S 5 a b 5
P 14 a b 14
   
     
a 2
b 7
  
 

 
 
6° Caso - Soma ou diferença de cubos 
a³ + b³ = (a + b) · (a² – ab + b²) 
a³ – b³= (a – b) · (a² + ab + b²) 
Exemplos: Fatore as expressões 
a) x³ + 8 = x³+ 2³= (x + 2) · (x² – 2x + 4) 
b)  
36 3 2 327a b 1 3a b 1   
   2 4 2 23a b 1 9a b 3a b 1     
MDC ENTRE EXPRESSÕES 
ALGÉBRICAS 
Para obter o MDC entre expressões 
algébricas devemos fatorá-las, o em 
seguida multiplicar os fatores comuns 
encontrados, elevados aos menores 
expoentes com os quais tenham aparecido. 
Exemplos: 
Determine o MDC das expressões: 
a) 6 324a b e 2 5 436a b c 
Resolução: 
6 3 3 6 324a b 2 3 a b    
2 5 4 2 2 2 5 436a b c 2 3 a b c     
2 2 3 2 3MDC 2 3 a b 12a b    
 
b) 26x 6x 12  , 28x 16x 8  e 412x 12 
Resolução: 
     2 26x 6x 12 6 x x 2 6 x 1 x 2          
   
22 28x 16x 8 8 x 2x 1 8 x 1        
     4 4 2 212x 12 12 x 1 12 x 1 x 1         
     212 x 1 x 1 x 1       
 MDC 2 x 1 2x 2    
MMC ENTRE EXPRESSÕES 
ALGÉBRICAS 
Neste caso devemos fatorar as expressões 
dadas, e multiplicar os fatores comuna e 
não comuns elevados aos maiores 
expoentes encontrados. 
Exemplos: 
 
 
ÁLGEBRA 
FATORAÇÃO 
/mestreviana /canalmestreviana 
Determine o MMC das expressões: 
a) 316am e 2 5 418a m x 
Resolução: 
3 4 316am 2 a m   
2 5 4 2 2 5 418a m x 2 3 a m x     
4 2 2 5 4 2 5 4MMC 2 3 a m x 144a m x      
 
b) 64x 4 , 3 22x 6x 6x 2   e 
26x 24x 18  
Resolução: 
   
36 6 24x 4 4 x 1 4 x 1          
   2 4 24 x 1 x x 1      
 3 2 3 22x 6x 6x 2 2 x 3x 3x 1        
 
3
2 x 1   
 2 26x 24x 18 6 x 4x 3      
   6 x 1 x 3     
     
 
3 2
4 2
MMC 12 x 1 x 3 x 1
x x 1
       
  
 
 
FRAÇÕES ALGÉBRICAS 
Fração algébrica é aquela cujos 
numeradores e denominadores são 
polinômios. O objetivo deste item do 
capítulo é lembrar que devemos, sempre 
que possível, simplificar ao máximo as 
frações algébricas. Isto é conseguido 
fatorando-se numerador e denominador, e 
efetuando as simplificações de termos que 
neles se repitam. 
 
 
 
 
Exemplos: 
a) 
2
2
6x 42x 60
4x 16
 

 
 
Resolução: 
Vamos em primeiro lugar fatorar o 
numerador e em seguida o denominador: 
6x² + 42x + 60 = 6 · (x² + 7x + 10) = 
= 6 · (x + 2) · (x + 5) 
4x² – 16 = 4 · (x² – 4) =4 · (x + 2) · (x – 2) 
 
O próximo passo é simplificarmos os 
coeficientes por 2 e a parte literal por x + 
2, que é o fator comum. 
a)    
   
2
2
6 x 2 x 56x 42x 60
4x 16 4 x 2 x 2
    
 
    
 
 
3 x 5 3x 15
2 x 2 2x 4
  
 
  
 
b)
3 2
3 2
2x 6x 6x 2
3x 3x 15x 9
  

  
 
 
 
3 2
3 2
2 x 3x 3x 1
3 x 3x 5x 3
   
 
   
 
 
3
3 2
2 x 1
3 x x 6x x 3
 
 
    
 
   
3
2
2 x 1
3 x x x 6 1 x 3
 
 
         
 
     
3
2 x 1
3 x x 3 x 2 1 x 3
 
 
         
 
    
3
2 x 1
3 x 3 x x 2 1
 
 
       
 
   
3
2
2 x 1
3 x 3 x 2x 1
 
 
    
artifício 
 
 
ÁLGEBRA 
FATORAÇÃO 
/mestreviana /canalmestreviana 
 
   
3
2
2 x 1
3 x 3 x 1
 
 
   
 
 
2 x 1 2x 2
3 x 3 3x 9
  
 
  
 
 
 
 
 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS 
1) Fatore ao máximo as expressões 
abaixo. 
a) 5x + 20y 
b) 12a + 18b 
c) 4a – 2b 
d) 6x³ + 10x² – 14x + 8 
e) 
k 1 k 2 k 35 5 5    
f) x³ – x² + 5x – 5 
g) 4x³ – 8x² + 3x – 6 
h) ax + bx + cy – ay – by – cx 
i) m² + 2mn + n² 
j) a² + 4ab + 4b² 
k) k² + 14k + 49 
l) 9x² + 24x + 16 
m) 
6 325k 20k 4  
n) (a + b)² – (a – b)² 
 
2) Determine o MDC e o MMC entre: 
a) 36, 48 e 30 
b) 
4 6 8x ,x e x 
c) 
3 5 418x ,24x e 60x 
d) 
3 4 5 4 3 5 2a b c ,a c e b c 
 
3) Simplifique as frações algébricas a 
seguir: 
a) 
x² 6x 9
x² 9
 
 
b) 
x² 3x 2
x² 5x 4
 
  
c) 
x 4
16 x²

 
d) 
2x 6
27 3x²

 
e) 
x² 4x 3
x² 5x 6
  
   
f) 
9 9
3 3
x y
x y

 
g) 
6 5 4
5 3
a 2a a
a a
 
 
 
4) Efetue as operações entre as frações 
algébricas abaixo, simplificando o 
resultado ao máximo 
a) 
m² 3m 2 m² 5m 4
m² 16 m² m 2
   

   
b) 
9
x 3
x 3
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ÁLGEBRA 
FATORAÇÃO 
/mestreviana /canalmestreviana 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
1. 2. 
a) 5(x + 4y) a) MDC = 6 e MMC = 720 
b) 6(2a + 3b) b) 4 8MDC x e MMC x  
c) 2(2a – b) c) 3 5MDC 6x e MMC 360x  
d) 2(3x³ + 5x² – 7x + 4) d) 2 4 5 5MDC c e MMC a b c  
e) 
k 329 5  3. 
f) (x – 1)·(x² + 5) 
a) 
x 3
x 3

 
g) (x – 2)·(4x² + 3) 
b) 
x 2
x 4

 
h) (a + b – c)·(x – y) 
c) 
1
x 4

 
i) (m + n)² 
d)  
2
3 x 3

 
j) (a + 2b)² 
e) 
x 3
x 6

 
k) (k + 7)² f) 
6 3 3 6x x y y  
l) (3x + 4)² 
g) 
 a a 1
a 1
 
 
m) (5k³ + 2)² 4. 
n) 4ab 
a) 
m 1
m 4

 
 
b) 
x²
x 3