Resolução - Lista - Q c) - Prof Dr Hércules Oliveira - UTFPR - Limites

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
Resolução - Lista - Q.c) - Prof. Dr. Hércules Oliveira - UTFPR - Limite 
 
c) Encontre o limite de cada item abaixo
 
1. 1lim
x 2→
 
Resolução:
O limite da constate é a própria constante; 1 = 1lim
x 2→
 
2. xlim
x +2→
 
Resolução:
Substituindo; x = 2lim
x +2→
 
3. x lim
x +4→
2
 
Resolução:
Substituindo; x = 2 = 4lim
x +4→
2 ( )2
 
4. x+ 1 lim
x +3→
( )
 
Resolução:
Substituindo; x + 1 = 3 + 1 = 4lim
x +3→
( )
 
5. x- 1lim
x +1→
( )
 
Resolução:
Substituindo; x - 1 = 1 - 1 = 0lim
x +1→
( )
 
6. x - x+ 1lim
x +2→
2
 
Resolução:
 
 
Substituindo; x - x + 1 = 2 - 2 + 1 = 4 - 1 = 3lim
x +2→
2 ( )2
 
7. x - x+ 1 lim
x -1→
3
 
Resolução:
Substituindo; x - x + 1 = -1 - -1 + 1 = - 1 + 2 = 1lim
x -1→
3 ( )3 ( )
 
8. lim
x +2→
1
x
 
Resolução:
Substituindo; =lim
x +2→
1
x
1
2
 
9. lim
x +4→
x
 
Resolução:
Substituindo; = = 2lim
x +4→
x 4
 
10. lim
x 0→
1
x
 
Resolução:
 
Substituindo; → indeterminação! = lim
x 0→
1
x
1
0
 
É preciso estudar os limites laterais da função: tendendo a zero, como visto abaixo f x =( )
1
x
↓
 
 
 
11. lim
x +1→
x - 1
x- 1
2
 
Resolução:
 
Substituindo; → Zero sobre zero não existe, é uma = = =lim
x +1→
x - 1
x - 1
2 1 - 1
1 - 1
( )2 1 - 1
0
0
0
indeterminação, mas isso mostra que 1 é raíz da equação do numerador e do denominador, 
assim, há um fator comum que pode ser simplificado. Devemos fatorar a equação do 
numerador.
O numerador é uma diferença de quadrados, assim, devemos aplicar a regra da diferença de 
quadrados : x - 1 = x + 1 x - 12 2 ( )( )
Assim, o limite fica:
 
= = x + 1 = 1 + 1 = 2lim
x +1→
x - 1
x - 1
2
lim
x +1→
x + 1 x - 1
x - 1
( )( )
lim
x +1→
( )
 
12. lim
x 0→
∣ x ∣
x
 
 
 
Resolução:
 
Como há um módulo, é preciso estudar o sinal da função do numerador; a raíz é zero;
Assim, para que a função tenha apenas valores positivos, devemos ter 2 possibilidades, 
para x>0;
f x = = 1( )
x
x
 
para x<0; f x = = - 1( )
-x
x
 
Com isso os limites laterais são:
 e = 1lim
x 0→ +
x
x
 = - 1lim
x 0→ -
-x
x
 
Como os limites laterais são diferentes, o limite não existe!
 
13. lim
x +1→
x+ 2
x+ 1
 
Resolução:
Substituindo; = =lim
x +1→
x + 2
x + 1
1 + 2
1 + 1
3
2
 
14. lim
x +1→
x + x+ 2
x+ 2
2
 
Resolução:
Substituindo; = = =lim
x +1→
x + x + 2
x + 2
2 1 + 1 + 2
1 + 2
( )2 1 + 3
3
4
3
 
15. lim
x +1→
x - 4
x+ 2
2
 
 
0
x-x
 
Resolução:
Substituindo; = = = = - 1lim
x +1→
x - 4
x + 2
2 1 - 4
1 + 2
( )2 1 - 4
3
-3
3
 
16. lim
x +∞→
x + 4
x- 2
2
 
Resolução:
Substituindo; = = =lim
x +∞→
x + 4
x - 2
2 +∞ + 4
+∞- 2
( )2 +∞+ 4
+∞
+∞
+∞
 
 é uma indeterminação, para "retirar" a indeterminação rescrevemos o limite como:
-∞
+∞
 
= = = =lim
x +∞→
x + 4
x - 2
2
lim
x +∞→
x 1 +
x 1 -
2 4
x2
2
x
lim
x +∞→
x 1 +
1 -
4
x2
2
x
+∞ ⋅ 1 +
1 -
4
+∞( )2
2
+∞
+∞ ⋅ 1 + 0
1 - 0
( )
 
= = +∞
+∞ ⋅ 1
1
( )
 
17. lim
x +∞→
x + x + 2x
2x + 2x + 2
7 5
8 2
 
Resolução:
Substituindo; = = =lim
x +∞→
x + x + 2x
2x + 2x + 2
7 5
8 2
+∞ + +∞ + 2 +∞
2 +∞ + 2 +∞ + 2
( )7 ( )5 ( )
( )8 ( )2
+∞+∞+∞
+∞+∞+ 2
+∞
+∞
 
 é uma indeterminação, para "retirar" a indeterminação rescrevemos o limte como:
+∞
+∞
 
= =lim
x +∞→
x + x + 2x
2x + 2x + 2
7 5
8 2
lim
x +∞→
x 1 + +
x 2 + +
7 1
x5
2
x6
8 2
x6
2
x8
lim
x +∞→
1 + +
x 2 + +
1
x5
2
x6
2
x6
2
x8
 
 
 
= = = = 0
1 + +
+∞ ⋅ 2 + +
1
+∞( )5
2
+∞( )6
2
+∞( )6
2
+∞( )8
1 + 0 + 0
+∞ ⋅ 2 + 0 + 0( )
1
+∞
 
18. lim
x +∞→
2x + x+ 1
3x + 2
4
4
 
Resolução:
Substituindo; = = =lim
x +∞→
2x + x + 1
3x + 2
4
4
2 +∞ +∞+ 1
3 +∞ + 2
( )4
( )4
+∞+∞+ 1
+∞+ 2
+∞
+∞
 
 é uma indeterminação, para "retirar" a indeterminação rescrevemos o limte como:
+∞
+∞
 
= = =lim
x +∞→
2x + x + 1
3x + 2
4
4
lim
x +∞→
x 2 + +
x 3 +
4 1
x3
1
x4
4 2
x4
lim
x +∞→
2 + +
3 +
1
x3
1
x4
2
x4
2 + +
3 +
1
+∞( )3
1
+∞( )4
2
+∞( )4
 
= =
2 + 0 + 0
3 + 0
2
3
 
19. lim
x +∞→
1
x
 
Resolução:
 
Substituindo; = = 0lim
x +∞→
1
x
1
+∞
 
20. - 3xlim
x +∞→
9x + x2
 
Resolução:
 
Substituindo; - 3x = - 3 ⋅ +∞ = -∞lim
x +∞→
9x + x2 9 +∞ +∞( )2 ( ) +∞+∞
 
= -∞ = +∞-∞+∞
 
 
 
 é uma indeterminação, como a expressão possuí raíz, é possível usar a técnica do +∞-∞
conjugado para simplificar a expressão e "retirar" a indeterminação;
 
- 3x = - 3x ⋅lim
x +∞→
9x + x2 lim
x +∞→
9x + x2
+ 3x
+ 3x
9x + x2
9x + x2
= = =lim
x +∞→
- 3x ⋅ + 3x
+ 3x
9x + x2 9x + x2
9x + x2
lim
x +∞→
9x + x - 9x
+ 3x
2 2
9x + x2
lim
x +∞→
x
+ 3x9x + x2
 
= = = =lim
x +∞→
x
+ 3xx ⋅ 9 +2
1
x
lim
x +∞→
x
x ⋅ + 39 +
1
x
lim
x +∞→
1
+ 39 +
1
x
1
+ 39 +
1
+∞
 
= = = =
1
+ 39 + 0
1
+ 39
1
3 + 3
1
6
 
 
21. - 2xlim
x +∞→
4x + x2
 
Resolução:
 
Substituindo; - 2x = - 2 ⋅ +∞ = -∞lim
x +∞→
4x + x2 4 +∞ +∞( )2 ( ) +∞+∞
= -∞ = +∞-∞+∞
 
 é uma indeterminação, como a expressão possuí raíz, é possível usar a técnica do +∞-∞
conjugado para simplificar a expressão e "retirar" a indeterminação;
 
- 2x = - 2x ⋅lim
x +∞→
4x + x2 lim
x +∞→
4x + x2
+ 2x
+ 2x
4x + x2
4x + x2
= = =lim
x +∞→
- 2x ⋅ + 2x
+ 2x
4x + x2 4x + x2
4x + x2
lim
x +∞→
4x + x - 4x
+ 2x
2 2
4x + x2
lim
x +∞→
x
+ 2x4x + x2
 
 
 
= = = =lim
x +∞→
x
+ 2xx ⋅ 4 +2
1
x
lim
x +∞→
x
x ⋅ + 24 +
1
x
lim
x +∞→
1
+ 24 +
1
x
1
+ 24 +
1
+∞
 
= = = =
1
+ 24 + 0
1
+ 24
1
2 + 2
1
4
 
 
22. cos lim
x 𝜋→
x -𝜋
x-𝜋
2 2
 
Resolução: 
Substituindo; cos = cos = coslim
x 𝜋→
x -𝜋
x -𝜋
2 2
𝜋 -𝜋
𝜋-𝜋
2 2 0
0
 
Zero sobre zero não existe, é uma indeterminação, mas isso mostra que é raíz da 
equação 
𝜋
do numerador e do denominador, assim, há um fator comum que pode ser simplificado. 
Perceba que o numerador é uma diferença de quadrados, assim, devemos aplicar a regra da 
diferença de quadrados : x -𝜋 = x +𝜋 x -𝜋2 2 ( )( )
Com isso, o limite fica;
cos = cos = cos x +𝜋 = cos 𝜋+𝜋 = cos 2𝜋 = 1lim
x 𝜋→
x -𝜋
x -𝜋
2 2
lim
x 𝜋→
x +𝜋 x -𝜋
x -𝜋
( )( )
lim
x 𝜋→
( ) ( ) ( )
 
23. - x lim
x +∞→
x + 5x6 3
 
Resolução:
 
Substituindo;
- x = - +∞ = -∞ = -∞ = +∞-∞lim
x +∞→
x + 5x6 3 +∞ + 5 +∞( )6 ( ) ( )3 ∞+∞ +∞
 
 é uma indeterminação, como a expressão possuí raíz, é possível usar a técnica do +∞-∞
conjugado para simplificar a expressão e "retirar" a indeterminação;
 
- x = - x ⋅ =lim
x +∞→
x + 5x6 3 lim
x +∞→
x + 5x6 3
+ x
+ x
x + 5x6 3
x + 5x6 3
 
 
= =lim
x +∞→
- x ⋅ + x
+ x
x + 5x6 3 x + 5x6 3
x + 5x6 3
lim
x +∞→
- x
+ x
x + 5x6
2
3
2
x + 5x6 3
 
= = =lim
x +∞→
x + 5x - x
+ x
6 6
x + 5x6 3
lim
x +∞→
5x
+ xx + 5x6 3
lim
x +∞→
5x
+ xx 1 +6
5
x5
3
= = =lim
x +∞→
5x
x ⋅ + 13 1 +
5
x5
lim
x +∞→
5
x ⋅ + 12 1 +
5
x5
5
+∞ ⋅ + 1( )2 1 +
5
+∞( )5
 
= = = = = = 0
5
+∞ ⋅ + 11 + 0
5
+∞ ⋅ + 11
5
+∞ ⋅ 1 + 1( )
5
+∞ ⋅ 2
5
+∞
 
24. lim
x→0
sen 2x
x
( )
 
Resolução:
Substituindo; = = =lim
x→0
sen 2x
x
( ) sen 2 ⋅ 0
0
( ) sen 0
0
( ) 0
0
 
Zero sobre zero não existe matematicamente, é uma indeterminação, assim, vamos fazer 
uma substituição para "tirar" a indeterminação;
 
, quando x tende a zero, t também tende a zero, com isso, o limite fica;t = 2x x =→
t
2
 
= = 2 ⋅ = 2 ⋅lim
x→0
sen 2x
x
( )
lim
t→0
sen t( )
t
2
lim
t→0
sen t
t
( )
lim
t→0
lim
t→0
sen t
t
( )
 
= 1 limite trigonométrico fundamental! lim
t→0
sen t
t
( )
→
 
= = 2 ⋅ 1 = 2lim
x→0
sen 2x
x
( )
 
 
 
 
25. lim
x→0
sen 3x
x
( )
 
Resolução:
Substituindo; = = = 0lim
x→𝜋
sen 3x
x
( ) sen 3 ⋅𝜋
𝜋
( ) 0
𝜋
 
 
26. lim
x +∞→
2x + 5x
x
10 3
3
 
Resolução:
Substituindo; = = =lim
x +∞→
2x + 5x
x
10 3
3
2 +∞ + 5 +∞
+∞
( )10 ( )3
( )3
+∞+∞
+∞
+∞
+∞
 
 é uma indeterminação, para "retirar" a indeterminação vamos reescrever o limite;
+∞
+∞
 
= = x ⋅ 2 + = +∞ ⋅ 2 +lim
x +∞→
2x + 5x
x
10 3
3
limx +∞→
x 2 +
x
10 5
x7
3
lim
x +∞→
7 5
x7
( )7
5
+∞( )7
 
= +∞ ⋅ 2 + 0 = +∞ ⋅ 2 = +∞( ) ( )
 
27. lim
x→0
sen 5x
x
( )
 
Resolução:
Substituindo; = = =lim
x→0
sen 5x
x
( ) sen 5 ⋅ 0
0
( ) sen 0
0
( ) 0
0
 
Zero sobre zero não existe matematicamente, é uma indeterminação, assim, vamos fazer 
uma substituição para "tirar" a indeterminação;
, quando x tende a zero, t também tende a zero, com isso, o limite fica;t = 5x x =→
t
5
 
= = 5 ⋅ = 5 ⋅lim
x→0
sen 5x
x
( )
lim
t→0
sen t( )
t
5
lim
t→0
sen t
t
( )
lim
t→0
lim
t→0
sen t
t
( )
 
 
 
= 1 limite trigonométrico fundamental! lim
t→0
sen t
t
( )
→
 
= = 5 ⋅ 1 = 5lim
x→0
sen 5x
x
( )