Questão resolvida - Dado o número complexo Z=(1-i)_i+i_(1+i), qual é o menor valor de n R-{0} de modo que Z^n seja um número real_ - EE Benedito Valadares

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Dado o número complexo , qual é o menor valor de n ∈ de Z = +
1 - i
i
i
1 + i
R - 0{ }
modo que seja um número real?Z( )n
 
Resolução:
 
Inicialmente, vamos colocar o número Z na forma ;a + bi
Z = + = - + ⋅ = ⋅ - 1 + = - 1 +
1 - i
i
i
1 + i
1
i
i
i
i
1 + i
1 - i
1 - i
1
i
i
i
i - i
1 - i
2
2
i
i2
i - -1
1 - -1
( )
( )
 
= - 1 + = - i - 1 + = = = - -
i
-1
i + 1
1 + 1
i + 1
2
-2i - 2 + i + 1
2
-i - 1
2
1
2
i
2
Agora, é preciso escrever o número complexo em sua forma trigonométrica. Para isso, 
primeiro, vamor encontrar o módulo de ;Z
 
∣ Z ∣= = = = = ⋅ =- + -
1
2
2
1
2
2
+
1
4
1
4
2
4
1
2
1
2
2
2 2
2
 
A forma trigonométrica do número complexo é dada pela fórmula:Z = a + bi
Z =∣ Z ∣ ⋅ cos 𝜃 + ∣ Z ∣ ⋅ sen 𝜃 ⋅ i( ) ( )
 
Com isso, temos que : ∣ Z ∣ ⋅ cos 𝜃 = a cos 𝜃 = ( ) → ( )
a
∣ Z ∣
e 
∣ Z ∣ ⋅ sen 𝜃 = b sen 𝜃 =( ) → ( )
a
∣ Z ∣
como nesse caso a = - e ∣ Z ∣= sen 𝜃 = sen 𝜃 = - ⋅
1
2 2
2
→ ( )
- 
1
2
2
2
→ ( )
1
2
2
2
sen 𝜃 = - ⋅ sen 𝜃 = -( )
1
2
2
2
→ ( )
2
2
 
Vamos consultar a tabela de ângulos notáveis:
 
 
Relação 
trigonométrica/
ângulo
 
 30°
 45° 
 60°
 Seno 
1
2
 
 
2
2
 
 
2
3
 
 cosseno 
2
3
 
 
2
2
 
 
1
2
 
 tangente
3
3
 
1
 
 
3
 
 
Veja que, em módulo, o valor representa o ângulo rad. Com isso, a representação do 
2
2 𝜋
4
complexo Z em forma trigonômétrica é:
Z = ⋅ cos + ⋅ sen ⋅ i = ⋅ cos + sen ⋅ i
2
2 𝜋
4 2
2 𝜋
4 2
2 𝜋
4
𝜋
4
 
Existe uma propriedade que diz que um número complexo, em sua forma trigonométrica, 
quando elevado a uma potência n fica:
Z = ∣ Z ∣ ⋅ cos n𝜃 + sen n𝜃 ⋅ i( )n ( )n ( ( ) ( ) )
 
Aplicando essa propriedade para o número complexo Z do problema em questão, fica;
 
Z = ⋅ cos n ⋅ + sen n ⋅ ⋅ i( )n
2
2
n
𝜋
4
𝜋
4
Para o número complexo ser um número real devemos ter: 
sen n ⋅ ⋅ i = 0 sen n ⋅ = 0, para a igualdade ser verdadeira n ⋅ = 0, 𝜋, 2𝜋 ...
𝜋
4
→
𝜋
4
𝜋
4
 
 
Como n não pode ser igual a zero, então, a primeira possibilidade que fornece o menor valor de(
 n é : n ⋅ = 𝜋 n = n = 4 )
𝜋
4
→
4𝜋
𝜋
→
 
 
 
(Resposta )