Questão resolvida - limite se função com módulo - limite de x^2-1_(módulo(x-1) com tendendo a 1 - Cálculo I

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Resolva o limite
lim
x→1
x - 1
∣ x- 1 ∣
2
 
Subtituindo o limite; = = =lim
x→1
x - 1
∣ x - 1 ∣
2 1 - 1
∣ 1 - 1 ∣
( )2 1 - 1
∣ 0 ∣
0
0
 
 é uma indeterminação matemática, como há modulo no denominador, a função 
0
0
 vira uma função definida por duas sentenças;f x =( )
x - 1
∣ x - 1 ∣
2
Primeiro resolvemos a equação : x - 1 = 0 x = 1→
Vamos estudar a imagem, pois ∣ x - 1 ∣ não pode ser negativo :
 
Assim, a função fica:f x( )
 
f x =( )
, se x > 1
x - 1
x - 1
2
( )
, se x < 1
x - 1
- x - 1
2
( )
 
Para existir limite, os limites laterais devem ser iguais, ou seja;
f x = f xlim
x→1+
( ) lim
x→1-
( )
Quando x tende a 1 pela direita, usamos a função de cima:
O numerador é uma diferença de quadrados, assim, devemos aplicar a regra lim
x→1+
x - 1
x - 1
2
( )
→
da diferença de quadrados : x - 1 = x + 1 x - 12 2 ( )( )
 
 
 
x - 1- x - 1( )
1
O limite fica : = x + 1 = 1 + 1 = 2lim
x→1+
x + 1 x - 1
x - 1
( )( )
( )
lim
x→1+
( )
 
Da mesma forma, O numerador é uma diferença de quadrados, assim, devemoslim
x→1-
x - 1
- x - 1
2
( )
→
 aplicar a regra da diferença de quadrados : x - 1 = x + 1 x - 12 2 ( )( )
 
O limite fica : = = - x + 1 = - 1 + 1 = - 2lim
x→1-
x - 1
- x - 1
2
( )
lim
x→1-
x + 1
-1
( )
lim
x→1+
( ) ( )
 
Logo, como os limites laterais são diferentes, o limite não existe: = ∄lim
x→1
x - 1
∣ x - 1 ∣
2