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CURSO: CICLO BÁSICO DAS ENGENHARIAS TURMA: ENG0480N VISTO DO COORDENADOR PROVA TRAB. GRAU RUBRICA DO PROFESSOR DISCIPLINA: GELT1073 – VARIÁVEIS COMPLEXAS AVALIAÇÃO REFERENTE: A1 A2 A3 PROFESSOR: PEDRO PASSOS MATRÍCULA: Nº NA ATA: DATA: 15/04/2020 NOME DO ALUNO: UNIDADE: BANGU/BONSUCESSO Instruções: - Nenhuma questão será aceita sem o seu desenvolvimento do raciocínio coerente com a resposta dada. - O desenvolvimento dos cálculos pode ser feito à lápis, mas as respostas devem estar à caneta. - Valor da prova: 8,0 pontos Questão 1 – “AULA 1, 2 e 3” (2,0 ptos) Os números complexos são escritos, na sua forma algébrica, por z = a + bi, onde “a” é parte real e “b” é chamado de parte imaginária, por acompanhar a unidade imaginária i, criada pelo Matemático Leonhard Euler para representar a notação √−1. É possível realizar diversas operações elementares com os números complexos, como adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação, módulo, conjugado e igualdade. Considerando os números complexos 𝒛𝟏 = 𝟐 + 𝟐𝒊 ; 𝒛𝟐 = −𝟏𝟎 + 𝟑𝒊 e 𝒛𝟑 = 𝟑 − 𝒊, assinale, a forma algébrica do número complexo correspondente à expressão (𝒛𝟏 − 𝒛𝟐) . 𝒊 𝟐𝟒𝟕𝟒 𝒛𝟑̅̅ ̅ (A) 7 2 − 3 2 𝑖 (B) − 7 2 + 3 2 𝑖 (C) 7 2 + 3 2 𝑖 (D) − 3 2 + 7 2 𝑖 (E) 3 2 − 7 2 𝑖 Questão 2 – “AULA 3” (1,0 pto) Dois números complexos são iguais se, e somente se, apresentam simultaneamente iguais a parte real e a parte imaginária. Define-se um número complexo na forma algébrica como z = x+yi, onde temos: x = Re(z), parte real de z y = Im(z), parte imaginária de z Considere a igualdade 𝟐𝒙 − 𝟑𝒊 + 𝒚𝒊 = 𝟔 − 𝒙 + 𝟐𝒚𝒊, em que x e y são números reais e i é a unidade imaginária. Assinale a opção que corresponde a forma ao número complexo z = x + yi correspondente aos valores encontrados na igualdade acima. (A) – 2 + 3i (B) 2 – 3i (C) – 2 – 3i (D) 3 + 2i (E) – 3 + 2i Questão 3 – “AULA 1 ” (1,0 pto) Assinale a opção que corresponde a uma das raízes complexas da equação 𝟐𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟗 = 𝟎. (A) − 3 2 − 3 2 𝑖 (B) 3 2 − 3 2 𝑖 (C) − 3 2 + 3 2 𝑖 (D) −3𝑖 (E) 3𝑖 Questão 4 – “AULA 4, 5 e 6 ” (2,0 ptos) Uma das operações de número complexos na forma polar, é a multiplicação. Para quaisquer 𝑧1, 𝑧2, … , 𝑧𝑛, com 𝑛 inteiro não nulo, generaliza-se que • 𝒛𝟏. 𝒛𝟐. … . 𝒛𝒏 = 𝒓𝟏. 𝒓𝟐. … . 𝒓𝒏[𝐜𝐨𝐬(𝜽𝟏 + 𝜽𝟐 + ⋯ + 𝜽𝒏) + 𝒊(𝒔𝒆𝒏 (𝜽𝟏 + 𝜽𝟐 + ⋯ + 𝜽𝒏)] A divisão com os números complexos 𝑧1 e 𝑧2, com 𝑧2 ≠ 0 é dada por • 𝒛𝟏 𝒛𝟐 = 𝒓𝟏 𝒓𝟐 [𝐜𝐨𝐬(𝜽𝟏 − 𝜽𝟐) + 𝒊𝒔𝒆𝒏 (𝜽𝟏 − 𝜽𝟐)] Sejam os números complexos 𝒛𝟏 = 𝟑(𝐜𝐨𝐬 𝟔𝟎° + 𝒊 𝒔𝒆𝒏 𝟔𝟎°), 𝒛𝟐 = 𝟒(𝐜𝐨𝐬 𝟏𝟖𝟎° + 𝒊 𝒔𝒆𝒏 𝟏𝟖𝟎°) e 𝒛𝟑 = 𝟔(𝐜𝐨𝐬 𝟏𝟏 𝟔 𝝅 + 𝒊 𝒔𝒆𝒏 𝟏𝟏 𝟔 𝝅), assinale a forma algébrica do número complexo 𝒛𝟏.𝒛𝟐 𝒛𝟑 . (𝐴) 0 (B) −2 (C) 2 (D) −2𝑖 (B) 2𝑖 Questão 5 – “AULA 4, 5 e 6 ” (2,0 ptos) O plano complexo, também chamado de plano de Argand-Gauss, é uma representação geométrica que associa biunivocamente o ponto (x,y) do plano ao número complexo 𝑥 + 𝑖𝑦. Essa associação conduz a duas diferentes formas de representar um número complexo: a forma retangular (algébrica) e a forma polar. Na figura abaixo, o ponto P é o afixo do número complexo z, representado no plano complexo. Item (a): Escreva a forma polar z. (1,0 pto) Item (b): Assinale a opção que corresponde à parte imaginária da potência 𝑧15. (1,0 pto) (A) 0 (B) 1 (C) −1 (D) 215 (E) −215