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Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
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Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
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Prefacio a la Segunda Edición 
Este libro es para el curso estándar, de un semestre, de nivel intermedio-
júnior, que a menudo pasa por el título "Ecuaciones Diferenciales Parciales 
Elementales" o "Problemas de Valor en la Frontera". El público está formado 
por estudiantes de matemáticas, ingeniería y ciencias. Este texto da 
derivaciones de las ecuaciones estándar de ingeniería y ciencia (incluyendo 
la ecuación de advección, la ecuación de difusión, la ecuación de onda y la 
ecuación de Laplace) y métodos para resolver esas ecuaciones en dominios 
acotados y no acotados. Los métodos incluyen expansiones de funciones 
propias (variables separables), transformaciones integrales (Fourier y 
Laplace), métodos característicos y métodos de diferencias finitas. Hay un 
fuerte énfasis en el modelado y las aplicaciones en todo. Los prerrequisitos 
son Cálculo y Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. 
Hay varios excelentes textos existentes, pero la mayoría de ellos son largos. 
Este texto fue escrito para proporcionar una breve introducción de un 
semestre a las ecuaciones diferenciales parciales. Es limitado tanto en 
alcance como en profundidad en comparación con los libros existentes, pero 
abarca los temas principales. Las fronteras de la matemática y la ciencia se 
están expandiendo rápidamente, y un curso de un semestre debe tratar de 
hacer avanzar a los estudiantes a un nivel en el que puedan alcanzar estos 
límites más rápidamente que en el pasado. No todos los temas tradicionales 
pueden ser examinados con gran detalle. Un ejemplo es el método de 
separación de variables, que desempeña un papel dominante en la mayoría 
de los textos; Algunas ilustraciones bien escogidas del método deberían 
bastar. 
El nivel de exposición en este texto es ligeramente superior al que 
normalmente se encuentra en el curso de ecuaciones diferenciales post-
cálculo. La filosofía es que un estudiante debe progresar en la capacidad de 
leer matemáticas. Los cálculos elementales y las ecuaciones diferenciales 
ordinarias contienen muchos ejemplos y cálculos detallados, pero los libros 
avanzados de matemáticas y ciencias le dejan mucho al lector. Este texto 
deja algunos de los detalles fáciles de suministrar al lector. Al estudiante se 
le anima como parte del proceso de aprendizaje a llenar estos detalles 
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faltantes (ver "Para el Estudiante"). La escritura tiene más un estilo de 
ingeniería y ciencia que un formato matemático formal. En consecuencia, 
los argumentos dados son deducciones en lugar de pruebas 
cuidadosamente construidas. Los ejercicios animan a los estudiantes a 
pensar en los conceptos y deducciones en lugar de simplemente repetir 
muchas soluciones rutinarias. El estudiante que lea este libro 
cuidadosamente y que resuelva la mayor parte de los ejercicios tendrá una 
sólida base de conocimientos para continuar con un curso de ecuaciones 
diferenciales parciales de segundo año en el que se llevarán a cabo pruebas 
cuidadosas o cursos superiores en ciencias e ingeniería donde se introducen 
las aplicaciones detalladas de ecuaciones diferenciales parciales. Tanto la 
exposición como los ejercicios desarrollarán habilidades analíticas que 
algunos estudiantes no desarrollaron en los cursos de cálculo de la reforma. 
Los principales cambios en esta segunda edición incluyen una nueva 
sección en el Capítulo 1 sobre los procesos de advección y difusión en las 
ciencias biológicas y un nuevo capítulo (capítulo 5) sobre modelos en las 
ciencias de la vida; Este último incluye secciones sobre estructura de 
edades, ondas epidémicas itinerantes y formación de patrones a través de 
inestabilidades químicas. Muchos nuevos ejercicios han sido añadidos en 
todo el texto. 
En el Capítulo 1 introducimos algunas ecuaciones diferenciales parciales 
básicas de la matemática aplicada. Muchas de las ecuaciones básicas 
provienen de una ley de conservación, o ley de equilibrio, y describen 
procesos físicos como advección (convección), difusión y reacción. La 
variedad de aplicaciones demuestran el papel central que desempeñan las 
ecuaciones diferenciales parciales en todas las áreas de la ciencia y la 
ingeniería. El objetivo es dar a los estudiantes un sentido de los orígenes de 
las ecuaciones diferenciales parciales y cómo sus soluciones difieren. Al 
mismo tiempo, los ejercicios obligan a los estudiantes a revisar la regla de 
la cadena, el teorema de la divergencia y otros conceptos del cálculo 
multivariable. 
El Capítulo 2 examina ecuaciones en dominios ilimitados infinitos y semi-
infinitos. La opinión del autor es que estos problemas son más simples que 
sus contrapartes en dominios acotados con límites presentes. La mayoría de 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
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los estudiantes han estudiado transformadas de Laplace en un curso de 
ecuaciones diferenciales ordinarias elementales, por lo que es una 
transición natural para estudiar los métodos de transformación para las 
ecuaciones de derivadas parciales. 
Una idea fundamental en matemáticas aplicadas es la ortogonalidad. En el 
capítulo 3, en lugar de adoptar un enfoque estricto en la serie de Fourier, se 
toma una estrategia general. Cursos de cálculo siempre han incluido la serie 
de Taylor, y muchos cursos de cálculo, especialmente los cursos de reforma, 
ahora incluyen algún material sobre la serie de Fourier. Por lo tanto, los 
estudiantes están listos para ser introducidos a las expansiones generales 
de funciones en serie, especialmente las series ortogonales. Estas 
expansiones están motivadas por el método de separación de variables y las 
series de Fourier clásicas se estudian como un caso especial. 
El Capítulo 4 contiene material tradicional sobre el método de separación 
de variables para resolver ecuaciones diferenciales parciales en dominios 
acotados. Resolvemos ecuaciones con diversas condiciones de contorno en 
geometría rectangular, cilíndrica y esférica. Se insta a los estudiantes a usar 
paquetes de software para realizar algunos de los cálculos. Hay una sección 
sobre problemas inversos y una sección sobre el método de diferencias 
finitas. 
Me gustaría dar las gracias a los muchos usuarios de la primera edición por 
ayudar a que sea un éxito. Su brevedad ciertamente golpeó un acorde 
positivo. Algunos de sus comentarios, correcciones y sugerencias se han 
convertido en una parte de esta nueva edición. También me gustaría dar las 
gracias a mi amigo y colega de Biociencia, el profesor Tony Joern, por 
presentarme a un mundo de interesantes problemas en ecología. Algunos 
de estos problemas estimularon la nueva cobertura de las aplicaciones de 
las EDP a la biología en esta segunda edición. 
Sugerencias para el uso del texto: El autor ha enseñado este material en 
numerosas ocasiones y utiliza aproximadamente el siguiente calendario: 
Capítulo 1 (10 clases), Capítulo 2 (9 clases), Capítulo 3 (7 clases), Capítulo 4 
(12 clases) Capítulo 5 (6 clases). Bajo este calendario, las secciones marcadas 
con un asterisco (∗) en la Tabla de Contenidos a menudo no están cubiertas 
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en conferencias, sino más bien se asignan como material de lectura adicional 
a los estudiantes de posgrado que toman el curso. Los esquemas de las 
soluciones a muchos de los ejercicios se pueden encontrar en mi sitio web 
(www.math.unl.edu/~dlogan) o se accede en el sitio de Springer-Verlag 
(www. Springer-ny.com). 
Lincoln, Nebraska J. David Logan 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
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Para el estudiante 
Las ecuaciones diferenciales parciales (EDP) son una materia sobre 
ecuaciones diferencialespara funciones desconocidas de varias variables; 
Las derivadas implicadas son derivadas parciales. Como tal, es una materia 
que está íntimamente conectado con cálculo multivariable o de tercer 
semestre. Para ser exitoso se debe tener, en primer lugar, un buen dominio 
de los conceptos del cálculo de varias variables. Por lo tanto, mantenga un 
texto de cálculo cerca y revise los conceptos cuando sean necesarios. Los 
mismos comentarios se aplican a las ecuaciones diferenciales ordinarias 
elementales (EDO). Hay un apéndice al final del libro que revisa algunas de 
las técnicas básicas de solución para EDO. 
En segundo lugar, un libro de matemáticas debe leerse con un lápiz y papel 
a mano. Los libros elementales llenan la mayoría de los pasos en la 
exposición, pero los libros avanzados dejan muchos detalles al lector. Este 
libro tiene suficiente detalle para que pueda seguir la discusión, pero se 
requiere lápiz y papel en algunas partes. Verificar todas las declaraciones 
en un texto es un esfuerzo valioso y le ayudará a aprender el material. 
Muchos estudiantes encuentran que estudiar EDP proporciona una 
oportunidad para reforzar muchos conceptos de cálculo y cálculos. 
Por último, los ejercicios son la parte más importante de este texto, y usted 
debe tratar de resolver la mayoría o todos ellos. Algunos requerirán cálculos 
analíticos o informáticos de rutina, pero otros requerirán una reflexión 
cuidadosa. Aprendemos matemáticas haciendo matemáticas, incluso 
cuando estamos atrapados por un problema. El esfuerzo puesto en un 
intento fallido le ayudará a resolver los conceptos y reforzar el proceso de 
aprendizaje. Vea los ejercicios como un desafío y resista la tentación de 
renunciar. 
Lincoln, Nebraska J David Logan 
 
 
 
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Contenidos 
Prefacio a la Segunda Edición 2 
Para el Estudiante 6 
Capítulo 1: Los Orígenes Físicos de las Ecuaciones Diferenciales 
Parciales 
1.1 Modelos Matemáticos 9 
1.2 Leyes de Conservación 19 
1.3 Difusión 29 
1.4 Modelos de EDP en Biología 38 
1.5 Vibraciones y Acústica 53 
1.6 Mecánica Cuántica 63 
1.7 Flujo del Calor en Tres Dimensiones 67 
1.8 Ecuación de Laplace 74 
1.9 Clasificación de las EDP 82 
 
Capítulo 2: Ecuaciones Diferenciales Parciales en Dominios No 
Acotados 
2.1 Problema de Cauchy para la Ecuación del Calor 88 
2.2 Problema de Cauchy para la Ecuación de Onda 96 
2.3 Problemas Mal Planteados 102 
2.4 Dominios Semi-Infinitos 106 
2.5 Principio de Duhamel y Fuentes 113 
2.6 Transformadas de Laplace 119 
2.7 Transformadas de Fourier 128 
2.8 Solución de EDP Usando Sistemas de Algebra por Computadora 137 
Capítulo 3: Expansiones Ortogonales 
3.1 El Método de Fourier 142 
3.2 Expansiones Ortogonales 146 
3.3 Series Clásicas de Fourier 159 
3.4 Problemas de Sturm-Liouville 167 
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Capítulo 4: Ecuaciones Diferenciales Parciales en Dominios Acotados 
4.1 Separación de Variables 178 
4.2 Condiciones de Flujo y Radiación 189 
4.3 Ecuación de Laplace 199 
4.4 Enfriamiento de una Esfera 210 
4.5 Difusión en un Disco 217 
4.6 Fuentes y Dominios Acotados 224 
4.7 Problemas de Identificación de Parámetros 230 
4.8 El Método de las Diferencias Finitas 237 
Capítulo 5: Ecuaciones Diferenciales Parciales en las Ciencias de la Vida 
5.1 Modelos Estructurados por Edad 251 
5.2 Frente de ondas viajeras 263 
5.3 Equilibrio y Estabilidad 272 
Apéndice: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 285 
Tabla de Transformadas de Laplace 293 
Referencias 294 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
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Capítulo 1 
Los Orígenes Físicos de las Ecuaciones 
Diferenciales Parciales 
 
1.1 Modelos Matemáticos 
Muchas ideas importantes de matemáticas fueron desarrolladas dentro del 
marco de las ciencias físicas. Por ejemplo, el cálculo tiene sus orígenes en el 
esfuerzo por describir con exactitud el movimiento de los cuerpos. Las 
ecuaciones matemáticas siempre han proporcionado un lenguaje con el cual 
se formulan conceptos en física – Las ecuaciones de Maxwell describen un 
fenómeno electrodinámico, las ecuaciones de Newton describen sistemas 
mecánicos, las ecuaciones de Schrödinger describen aspectos de la mecánica 
cuántica; y así sucesivamente. En el transcurso de los años, sin embargo, 
matemáticos y científicos han extendido este tipo de conexiones para incluir 
todas las áreas de la ciencia y la tecnología, emergiendo así un campo 
llamado Modelación Matemática. Un modelo matemático es una ecuación 
o un conjunto de ecuaciones, cuya solución describe el comportamiento 
físico de un sistema físico relacionado. Estos modelos pueden ser 
concernientes a lo económico, biológico, etcétera. Por ejemplo las 
ecuaciones de Maxwell son un modelo para el fenómeno electrodinámico, 
como muchos modelos matemáticos, las ecuaciones de Maxwell se basan en 
experimentos y observaciones físicas. En general, un modelo matemático es 
una descripción simplificada o caricatura de la realidad física (económica, 
biológica, etc.) en términos matemáticos. La modelación matemática 
involucra observaciones físicas relevantes, formulación de las ecuaciones, 
análisis y simulación; y finalmente validación del modelo. En este últimopaso la información de las simulaciones y las soluciones alimentan de 
nuevo el modelo, para asegurar cuando en verdad el modelo describe al 
fenómeno; en este paso, pueden ocurrir modificaciones y pueden hacerse 
las mejoras. 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
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En este curso se estudiarán modelos físicos de Ecuaciones en Derivadas 
Parciales (EDP). Esto es, se examinarán fenómenos físicos que se describen 
por ecuaciones diferenciales parciales. El objetivo es estudiar el origen de 
tales modelos y las herramientas que se utilizan para su análisis. 
El lector debería estar familiarizado con sistemas físicos gobernados por 
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO). Por ejemplo, el modelo típico 
de crecimiento de poblaciones de Malthus (Thomas Malthus fue un 
ensayista del siglo XVIII que escribió en palabras sobre el crecimiento de la 
población y el suministro de recursos) 
ⅆ𝑢
ⅆ𝑡
= 𝑟𝑢, 𝑡 > 0, 
el cual es un modelo simple del crecimiento de la población donde la razón 
de cambio de la población 𝑢 = 𝑢(𝑡) es proporcional a la población. Aquí 𝑡 
es el tiempo y 𝑢 = 𝑢(𝑡) es la población de un sistema de individuos dado. 
Nos referimos a 𝑢 como la variable de estado y decimos que la evolución de 
la variable de estado se rige por la ecuación del modelo. El número real 𝑟 es 
un parámetro físico dado que representa la razón de crecimiento relativo; 
presuntamente 𝑟 puede medirse para la población dada bajo investigación. 
La solución a tal modelo se puede encontrar fácilmente, a saber; 
𝑢(𝑡) = 𝑢0ⅇ
𝑟𝑡 , 𝑡 > 0 
Donde 𝑢0 representa la población inicial. 
Así el modelo de Malthus predice un crecimiento exponencial, el cual 
describe con precisión algunas poblaciones durante la etapa inicial de 
crecimiento. 
El modelo de Malthus es un modelo típico de EDO. La variable de estado 
es una función que depende únicamente de una variable independiente 
(tiempo 𝑡), el modelo contiene un parámetro 𝑟. En general los modelos de 
EDO son del tipo 
ⅆ𝑢
ⅆ𝑡
= 𝐹(𝑡, 𝑢; 𝑟), 𝑡 > 0 
 
Donde 𝐹 es una relación funcional dada entre 𝑡, 𝑢 y 𝑟. Algunos modelos 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
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incluyen una condición inicial de la forma 𝑢(0) = 𝑢0, donde 𝑢0 es un valor 
de estado dado en 𝑡 = 0. De manera más general, un modelo de EDO puede 
consistir de un sistema de 𝑛 EDO para 𝑛 variables de estado 𝑢1(𝑡), … , 𝑢𝑛(𝑡) 
y puede haber 𝑚 parámetros 𝑟1, … , 𝑟𝑚. 
Un modelo de EDP difiere de un modelo de EDO en que la variable de 
estado depende de más de una variable independiente, y la ecuación del 
modelo resultante es una EDP. Mientras que una EDO modela la 
evolución de un sistema en el tiempo, y las observaciones se hacen en el 
tiempo, una EDP modela la evolución de un sistema en el tiempo y 
espacio; el sistema se puede observar tanto en un intervalo de tiempo 
como en una región espacial (la cual puede ser de una, dos o tres 
dimensiones). Los modelos de EDP pueden ser independientes del tiempo, 
pero depender de varias variables espaciales. Para atrapar la idea, vamos a 
considerar el problema de determinar la temperatura en una barra de metal 
aislada lateralmente, de longitud 𝑙 y área unitaria de la sección transversal, 
cuyos dos extremos se mantienen a temperatura constante de valor cero 
grados y cuya temperatura inicial (en el tiempo cero) varía a lo largo de la 
barra y se determina por una función fija 𝜙(𝑥). 
 
Figura 1.1 Barra de metal aislada lateralmente con la 
temperatura de cero grados en los extremos. El calor 
fluye en la dirección 𝑥, y 𝑢(𝑥, 𝑡) es la temperatura de la 
sección transversal en 𝑥 en el tiempo 𝑡. 
 
¿Cómo funciona el enfriamiento de la barra? En este caso, la variable de 
estado 𝑢 es la temperatura, y esta depende de cuando se hace la medición y 
en que parte de la barra. Luego 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑡), 0 < 𝑥 < 𝑙 La ecuación modelo 
que rige la evolución de la temperatura 𝑢 es llamada la ecuación del calor 
y tiene la siguiente forma 
 
𝒖𝒕 = 𝒌𝒖𝒙𝒙 (𝟏. 𝟏) 
 
La cual es una EDP (casi siempre utilizamos la notación de subíndice para 
indicar diferenciación parcial; y rara vez se escriben las variables 
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independientes, prefiriendo 𝑢 a 𝑢(𝑥, 𝑡)). En otras palabras, la derivada 
parcial de la temperatura con respecto a 𝑡 debe ser igual a la segunda 
derivada parcial respecto a 𝑥 multiplicada por una constante 𝑘. La 
constante 𝑘, es llamada constante de difusividad y es un parámetro 
conocido propio de la barra; que se puede determinar en términos de la 
densidad, calor específico y conductividad térmica del metal. De esta 
manera, la ecuación del calor es un modelo de EDP. Más adelante 
observaremos que surge de una ley básica física (ahorro de energía) y una 
observación empírica (ley del calor de Fourier). Las condiciones de que los 
extremos de la barra se mantengan a temperatura cero grados se expresa 
por: 
 
𝒖(𝟎, 𝒕) = 𝟎, 𝒖(𝒍, 𝒕) = 𝟎, 𝒕 > 𝟎 (𝟏. 𝟐) 
que son conocidas como condiciones en la frontera porque son 
condiciones que se imponen en la frontera del dominio espacial. La 
condición de que la barra tenga inicialmente una temperatura de 𝜙(𝑥) 
grados se expresa matemáticamente por 
 
𝒖(𝒙, 𝟎) = 𝝓(𝒙), 𝟎 < 𝒙 < 𝒍. (𝟏. 𝟑) 
Esta condición se conoce como condición inicial porque se especifica la 
variable de estado en el tiempo 𝑡 = 0. El conjunto de ecuaciones (1.1) – (1.3) 
– La EDP y las condiciones auxiliares- forman el modelo matemático para 
el flujo de calor en la barra. A tal modelo, desde el punto de vista de EDP 
se le conoce como un problema de valores en la frontera y condiciones 
iniciales. La invención y análisis de tales modelos son la materia de estudio 
de estas notas. 
En el ejemplo previo del flujo del calor, la variable de estado 𝑢 dependía de 
dos variables independientes: una variable temporal y una espacial. Dicho 
modelo es un modelo de evolución. Algunos sistemas físicos no dependen 
del tiempo, sino únicamente de las variables espaciales, a tales modelos se 
les conoce como modelos estáticos o de equilibrio. Por ejemplo, si 𝛺 
representa una región tridimensional acotada la cual no presenta carga y en 
la frontera de la región 𝜕𝛺 se da un potencial eléctrico independiente del 
tiempo (recordando que en electrostática, el gradiente del potencial 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
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eléctrico es el campo vectorial eléctrico), entonces se sabe que el potencial 
eléctrico 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧) dentro de 𝛺 satisface la ecuación de Laplace, una 
ecuación diferencial parcial que tiene la forma 
 
𝒖𝒙𝒙 + 𝒖𝒚𝒚 + 𝒖𝒛𝒛 = 𝟎, (𝒙, 𝒚, 𝒛) ∈ 𝜴 (𝟏. 𝟒) 
 
Si denotamos el potencial dado en la frontera por 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) entonces (1.4) 
junto con la condición de frontera 
 
𝒖(𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛), (𝒙, 𝒚, 𝒛) ∈ 𝝏𝜴 (𝟏. 𝟓) 
 
es un modelo de equilibrio de la electrostática. En ecuaciones diferenciales 
parciales tales modelos son llamados problemas de valor en la frontera. 
Resolver la ecuación de Laplace (1.4) en una región 𝛺 sujeto a la 
condición (1.5) en la frontera es llamado Problema de Dirichlet. 
En general, una EDP en una variable espacial y el tiempo es de la forma 
 
𝑮(𝒙, 𝒕, 𝒖, 𝒖𝒙, 𝒖𝒕, 𝒖𝒙𝒙, 𝒖𝒕𝒕, 𝒖𝒙𝒕, … ) = 𝟎, 𝒙 ∈ 𝜴, 𝒕 ∈ 𝑰, (𝟏. 𝟔) 
donde 𝐼 es un intervalode tiempo dado y  es un intervalo en una 
dimensión. A menudo, 𝐼 es un tiempo positivo 𝑡 ≥ 0, y 𝛺 puede ser un 
intervalo acotado o no acotado. De este modo, una EDP es una ecuación que 
involucra una función desconocida 𝑢(𝑥, 𝑡), la variable de estado y algunas 
derivadas parciales. El orden de la ecuación (1.6) es el orden de la derivada 
más alta que aparece. Un modelo de EDP es una EDP junto con condiciones 
iniciales y/o de frontera que especifican el estado inicial y en la frontera. 
Pueden aparecer uno o más parámetros que no se muestran en (1.6). 
Las EDPs se clasifican de acuerdo a su orden y a otras propiedades. Por 
ejemplo, como en EDO, se clasifican en lineales y no lineales. La ecuación 
(1.6) es lineal si 𝐺es una función lineal en 𝑢 y en todas sus derivadas; esto 
significa que la 𝑢 desconocida y las derivadas que están presentes aparecen 
solas y a la primera potencia en la ecuación; de otra forma es no lineal. Una 
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ecuación lineal es homogénea si cada término contiene a 𝑢 o alguna 
derivada de 𝑢. 
Ejemplo 
Las siguientes dos ecuaciones son de segundo orden 𝑢𝑡 + 𝑢𝑢𝑥𝑥 = 0 y 𝑢𝑡𝑡 −
𝑢𝑥 + 𝑠ⅇ𝑛𝑢 = 0, son no lineales, la primera por el producto 𝑢𝑢𝑥𝑥 y la segunda 
porque la 𝑢 está ligada a la función seno. La siguiente ecuación es de 
segundo orden, lineal y no-homogénea 𝑢𝑡 − 𝑠ⅇ𝑛(𝑥
2𝑡)𝑢𝑥𝑥 = 0. □ 
No se puede exagerar la importancia de la división de las EDP en las 
categorías de lineales o no lineales. Las ecuaciones lineales tienen una 
estructura algebraica en el conjunto de sus soluciones; por ejemplo, la suma 
de dos soluciones a una ecuación lineal homogénea es también una 
solución, es decir, satisfacen el principio de superposición. Esto no ocurre 
con las no lineales además de que sus soluciones son más difíciles de 
analizar. En este texto solo se estudiarán las ecuaciones lineales. 
Igualmente importante en los esquemas de clasificación para una EDP es la 
especificidad del fenómeno físico que se describe; por ejemplo, una EDP 
puede ser clasificada como de onda, de difusión, o estática, dependiendo de 
los modelos de propagación de la onda, del proceso de difusión, o del 
estado de equilibrio, respectivamente. Por ejemplo, la ecuación de Laplace 
(1.4) es una ecuación de equilibrio lineal y de segundo orden; la ecuación 
del calor (1.1) es una ecuación de difusión lineal, de segundo orden porque 
el flujo de calor es un proceso de difusión. En la sección 1.10 daremos una 
caracterización más precisa. 
Para una solución a la EDP (1.6) nos referimos a una función 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑡) 
definida en el dominio de espacio-tiempo 𝑡 ∈ 𝐼, 𝑥 ∈ 𝛺 que satisface, tras la 
sustitución, la ecuación (1.6) de forma idéntica en ese dominio. Implícito en 
esta definición está la estipulación de que 𝑢 posee la mayor cantidad de 
derivadas parciales continuas como sea necesario para la EDP. Por ejemplo, 
una solución de una ecuación de segundo orden debe tener dos derivadas 
parciales continuas, para que tenga sentido para el cálculo de las derivadas 
y sustituirlas en la ecuación. Mientras que la solución general de una EDO 
implica constantes arbitrarias, la solución general a un EDP implica 
funciones arbitrarias. A veces la solución general a un EDP se puede 
encontrar, pero usualmente no es necesario tener que resolver la mayoría 
de los problemas de interés. 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
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Ejemplo: 
Comprobar, por sustitución directa, que ambas funciones 
𝑢1(𝑥, 𝑡) = 𝑥
2 + 2𝑡 y 𝑢2(𝑥, 𝑡) = ⅇ
−𝑡𝑠ⅇ𝑛𝑥 
resuelven la ecuación del calor 𝑢𝑡 − 𝑢𝑥𝑥 = 0 
Hay muchas otras soluciones a esta ecuación. Las condiciones auxiliares, 
como las condiciones iniciales y de frontera, por lo general señalan a la 
solución adecuada a un problema. 
Ejemplo: 
Considerar la EDP no homogénea lineal de primer orden. 
𝑢𝑥 = 𝑡𝑠ⅇ𝑛𝑥 
Esta ecuación puede ser resuelta por integración directa. Integramos con 
respecto a 𝑥 , manteniendo 𝑡 fijo, obtenemos: 
𝑢(𝑥, 𝑡) = −𝑡 cos 𝑥 + 𝜙(𝑡), 
donde 𝜙 es una función arbitraria. Note que, en una EDP, integrar con 
respecto a una variable produce una función arbitraria de la otra variable, 
no una constante arbitraria como en el cálculo de una dimensión. Esta 
última ecuación define la solución general. Uno puede comprobar que es 
solución para alguna función diferenciable 𝜙(𝑡) . Las EDP tienen funciones 
arbitrarias en la expresión de sus soluciones generales; el número de tales 
funciones usualmente coincide con el orden de la ecuación. □ 
En este punto mencionamos que algunos sistemas de álgebra 
computacional tienen comandos que regresan la solución general a la EDP 
en términos de funciones arbitrarias. El lector que desee explorar esta 
característica en el paquete de software de Maple puede en este momento 
ir directamente a la sección 2.8 para ejemplos. 
Geométricamente, una solución 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑡) puede pensarse como una 
superficie en el espacio − 𝑥𝑡𝑢. Refiérase a la figura 1.2. La superficie se 
encuentra sobre el dominio del espacio-tiempo 𝛺× 𝐼 (Este es el conjunto 
(𝑥, 𝑡) tal que 𝑥 ∈ 𝛺 y 𝑡 ∈ 𝐼). Alternativamente, se puede considerar la 
solución como una secuencia continua de instantáneas de tiempo. Esto es, 
para cada tiempo 𝑡0 fijo, 𝑢(𝑥, 𝑡0) es una función de 𝑥 y por lo tanto 
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representa una instantánea de tiempo de la solución. En otras palabras, 
𝑢(𝑥, 𝑡0) es interpretado como un perfil de onda, o señal, en el tiempo 𝑡0. De 
esta manera una solución 𝑢(𝑥, 𝑡) de (1.6) 𝐺(𝑥, 𝑡, 𝑢, 𝑢𝑥 , 𝑢𝑡 , 𝑢𝑥𝑥 , 𝑢𝑡𝑡 , 𝑢𝑥𝑡 , … ) = 0,
𝑥 ∈ 𝛺, 𝑡 ∈ 𝐼, se puede considerar como una sucesión continua, en el tiempo, 
de la evolución de las formas de onda. 
Notas bibliográficas 
Hay muchos excelentes libros de EDP elementales escritos 
aproximadamente al mismo nivel que éste. Mencionamos a Farlow (1993), 
Guenther & Lee (1992) y Strauss (1992). En un nivel avanzado sugerimos a 
John (1982) o Renardy & Rogers (1993). El texto clásico de Tychonov & 
Samarskii (1990) tiene un buen balance de aplicaciones y teoría. Las EDP no 
lineales se tratan en detalle en Logan (1994), Smoller (1995) y Whitham 
(1974). Los modelos de EDP ocurren en todas las áreas de las ciencias puras 
y aplicadas. Los textos generales que involucran el modelado son Lin & 
Segel (1989) y Logan (1997). Las áreas específicas están incluidas en Bird, 
Stewart y Lightfood (1960) (ingeniería química), Carslaw y Jaeger (1959) 
(transferencia de calor), Chorin y Marsden (1993) (dinámica de fluidos), 
Edelstein-Keshet (1988), Grindrod (1997), Kot (2001), Britton (2003) y 
Murray (2003) (biología), de Marsily (1987) y Logan (2001) (hidrogeología) 
y Segel (1987). 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.2 Una superficie de la solución 𝑢 =
𝑢(𝑥, 𝑡) cuya sección transversal es un perfil 
de onda. 
 
 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
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Ejercicios: 
1. Verificar que una solución a la ecuación del calor 𝑢𝑡 = 𝑘𝑢𝑥𝑥 en el 
dominio −∞ < 𝑥 < ∞, 𝑡 > 0 está dada por 𝑢(𝑥, 𝑡) =
1
√4𝜋𝑘𝑡
ⅇ−
𝑥2
4𝑘𝑡. 
Utilizar un paquete de álgebra computacional para esbozar varias 
instantáneas de tiempo sobre el mismo conjunto de ejes de 
coordenadas para mostrar cómo el perfil de temperatura evoluciona 
en el tiempo (toma 𝑘 = 1). ¿Cómo es el perfil de temperatura cuando 
𝑡 → 0? Dibuje la superficie de la solución. ¿Cómo afecta el parámetro 
𝑘 a la solución? Verificar que 𝑢(𝑥, 𝑦) = ln√𝑥2 + 𝑦2satisface la 
ecuación de Laplace 𝑢𝑥𝑥 + 𝑢𝑦𝑦 = 0. Para todo (𝑥, 𝑦) ≠ (0,0). 
2. Verificar que 𝑢(𝑥, 𝑦) = ln√𝑥2 + 𝑦2 satisface la ecuación de Laplace 
𝑢𝑥𝑥 + 𝑢𝑦𝑦 = 0 para todo (𝑥, 𝑦) ≠ (0,0). 
3. Encontrar una función 𝑢(𝑥, 𝑡) que satisface la EDP 𝑢𝑥𝑥 = 0, 
0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑙, 𝑡 > 0 sujeto a las condiciones de frontera𝑢(0, 𝑡) = 𝑡2, 𝑢(1, 𝑡) = 1, 𝑡 > 0. 
4. Verificar que 𝑢(𝑥, 𝑡) =
1
2𝑐
∫ 𝑔(𝜉)ⅆ𝜉
𝑥+𝑐𝑡
𝑥−𝑐𝑡
 es una solución a la EDP 𝑢𝑡𝑡 =
𝑐2𝑢𝑥𝑥 donde 𝑐 es una constante y 𝑔 es una función continuamente 
diferenciable. Aquí necesitaras la regla de Leibniz para diferenciar 
una integral con respecto a un parámetro que se produce en los límites 
de integración y en el integrando. La regla de Leibniz es 
ⅆ
ⅆ𝑡
∫ 𝐹(𝑦, 𝑡)ⅆ𝑦 
𝑏(𝑡)
𝑎(𝑡)
= ∫ 𝐹𝑡(𝑦, 𝑡)ⅆ𝑦
𝑏(𝑡)
𝑎(𝑡)
+ 𝐹(𝑏(𝑡), 𝑡)𝑏´(𝑡) − 𝐹(𝑎(𝑡), 𝑡)𝑎´(𝑡) 
Aquí, se asume que 𝑎, 𝑏, y 𝐹 son continuamente diferenciables. 
5. ¿Para qué valores de 𝑎, y 𝑏, 𝑢(𝑥, 𝑡) = ⅇ𝑎𝑡𝑠ⅇ𝑛 𝑏𝑥 es solución a la 
ecuación 𝑢𝑡 − 𝑘𝑢𝑥𝑥 = 0? 
6. Encontrar la solución a la ecuación general 𝑢𝑥𝑡 + 3𝑢𝑥 = 1. Sugerencia: 
Suponga 𝑣 = 𝑢𝑥 y resuelva la ecuación resultante para 𝑣; entonces 
encuentre 𝑢 . 
7. Demostrar que la ecuación no lineal 𝑢𝑡 = 𝑢𝑥
2 + 𝑢𝑥𝑥 puede ser reducida 
a la ecuación del calor 𝑢𝑡 = 𝑘𝑢𝑥𝑥 eligiendo 𝑤 = ⅇ
𝑢 para la variable 
dependiente. 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
18 
 
8. Mostrar que la función 𝑢(𝑥, 𝑦) = arctan (
𝑦
𝑥
) satisface la ecuación 
bidimensional de Laplace 𝑢𝑥𝑥 + 𝑢𝑦𝑦 = 0 para 𝑦 > 0. Usando este 
hecho construir una solución a la ecuación bidimensional para 𝑦 > 0 
que además satisfaga las condiciones de frontera 𝑢(𝑥, 0) = 1 para 
 𝑥 > 0 y 𝑢(𝑥, 0) = −1 para 𝑥 < 0 . Asegúrese de explicar que rama de 
la función arctan está utilizando. 
9. Mostrar que ⅇ−𝜉𝑦𝑠ⅇ𝑛 (𝜉𝑥), 𝑥𝜖ℝ, 𝑦 > 0 es una solución a 𝑢𝑥𝑥 + 𝑢𝑦𝑦 = 0 
para algún valor del parámetro 𝜉. Deduce que 𝑢(𝑥, 𝑦) =
∫ 𝑐(𝜉)ⅇ−𝜉𝑦𝑠ⅇ𝑛 (𝜉𝑥)
∞
0
ⅆ𝜉. 
es una solución a la misma ecuación para alguna función 𝑐(𝜉) que es 
continua y acotada en [0,∞). (La hipótesis sobre 𝑐 permite diferenciar 
bajo el signo de la integral). Este ejercicio muestra que tomando 
soluciones integrales a veces da otra solución; la integración es una 
forma de superposición o suma de una solución continua. 
10. La EDP lineal homogénea con coeficientes constantes admite 
soluciones complejas de la forma 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝐴ⅇ𝑖(𝑘𝑥−𝜔𝑡) las cuales son 
llamadas ondas planas. La parte real e imaginaria de esta función 
compleja arroja soluciones reales. Aquí 𝐴 es la amplitud, 𝑘 es el 
número de onda, y 𝑤 es la frecuencia temporal. Cuando la forma de 
la onda plana es sustituida en la EDP resulta una relación de 
dispersión de la forma 𝜔 = 𝜔(𝑘) que establece como la frecuencia 
depende del número de onda. Para las siguientes EDP, encontrar la 
relación de dispersión y describir el resultado de la onda plana 
dibujando un perfil de la onda en diferentes tiempos. 
a) 𝑢𝑡 = 𝐷𝑢𝑥𝑥 
b) 𝑢𝑡𝑡 − 𝑐
2𝑢𝑥𝑥 = 0 
c) 𝑢𝑡 + 𝑢𝑥𝑥𝑥 = 0 
d) 𝑢𝑡 = 𝑖𝑢𝑥𝑥 
 
 
 
 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
19 
 
1.2 Leyes de conservación 
 
Muchos modelos vienen de una ley de equilibrio básico, o la ley de la 
conservación. Una ley de conservación es sólo una formulación 
matemática del hecho básico de que la tasa de cambio en un dominio 
dado debe ser igual a la velocidad a la que fluye la cantidad a través de la 
frontera más la velocidad a la que se crea la cantidad, o se destruye, dentro 
del dominio. Por ejemplo, considere una población de una determinada 
especie animal en una región geográfica determinada. La velocidad de 
cambio de la población animal debe ser igual a la velocidad a la que los 
animales migran hacia la región, menos la velocidad a la que migran fuera 
de ella, además de la tasa de natalidad, menos la tasa de muerte. Un 
enunciado de este tipo es una expresión verbal de un equilibrio, o la ley de 
la conservación. Uno puede hacer declaraciones similares para muchas 
cantidades de -energía térmica, la masa de un producto químico, el número 
de automóviles en una autopista, y así sucesivamente. 
Para cuantificar tales declaraciones requerimos alguna notación. Suponga 
que la variable de estado 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑡) denota la densidad de una cantidad 
dada (masa, energía, animales, automóviles, etc.); la densidad se mide 
generalmente en cantidad por unidad de volumen, o en ocasiones cantidad 
por unidad de longitud. Por ejemplo, la densidad de energía se mide en 
unidades de energía por volumen. Suponemos que cualquier variación en 
la cantidad se limita a una dimensión espacial, es decir, se supone un 
dominio de una sola dimensión (por ejemplo, un tubo, como en la figura 
1.3) donde cada sección transversal está etiquetada por la variable espacial 
𝑥; es necesario que no haya variación de 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑡) dentro de la sección 
transversal en 𝑥. Implícita es la suposición de que la cantidad en el tubo es 
lo suficientemente abundante y continua en 𝑥 por lo que tiene sentido para 
definir una densidad en cada sección del tubo. El importe de la cantidad en 
una pequeña sección de anchura ⅆ𝑥 es 𝑢(𝑥, 𝑡)𝐴 ⅆ𝑥, donde 𝐴 es el área de la 
sección transversal del tubo. Además, suponemos que 𝜙 = 𝜙(𝑥, 𝑡) denota el 
flujo de la cantidad en 𝑥 en el tiempo 𝑡. El flujo mide el importe de la 
cantidad que está cruzando la sección en 𝑥 en el tiempo 𝑡 y sus unidades 
son cantidad por unidad de área, por unidad de tiempo. Por lo tanto 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
20 
 
𝐴𝜙(𝑥, 𝑡) es el importe actual de la cantidad que está cruzando la sección en 
𝑥 en el tiempo 𝑡. Por conveniencia, el flujo es positivo si fluye a la derecha, 
y negativo si fluye a la izquierda. Finalmente, supongamos 𝑓 = 𝑓(𝑥, 𝑡) 
denota la razón a la cual se crea la cantidad, o destruye, dentro de la sección 
en 𝑥 en el tiempo 𝑡. La función 𝑓 es llamada término fuente si es positiva y 
un sumidero si es negativa; se mide en cantidad por unidad de volumen 
por unidad de tiempo. Así 𝑓(𝑥, 𝑡)𝐴 ⅆ𝑥 representa la acumulación de la 
cantidad que es creada en una pequeña anchura ⅆ𝑥 por unidad de tiempo. 
 
Figura 1.3. Tubo con área de sección 
transversal 𝐴 con una muestra de sección 
arbitraria. El lado lateral está aislado, y las 
cantidades varían únicamente en la dirección 
de 𝑥 – en el tiempo. 
 
Una ley de conservación es una relación cuantitativa entre 𝑢, 𝜙 y 𝑓. Se 
puede formular la ley considerando una sección 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 fija, pero 
arbitraria del tubo (Figura 1.3) y requiriendo que la razón de cambio de la 
acumulación de la cantidad en la sección sea igual a la razón a la cual fluye 
en 𝑥 = 𝑎 menos la razón en la cual esta es creada dentro de 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏. En 
símbolos matemáticos 
 
ⅆ
ⅆ𝒕
∫𝒖(𝒙, 𝒕)𝑨ⅆ𝒙
𝒃
𝒂
= 𝑨𝝓(𝒂, 𝒕) − 𝑨𝝓(𝒃, 𝒕) + ∫𝒇(𝒙, 𝒕)𝑨ⅆ𝒙 (𝟏. 𝟕)
𝒃
𝒂
 
esta ecuación es la ley de conservación fundamental; esta es una expresión 
integral del hecho básico que debe haber un balance entre, cuánto entra, 
cuanto sale y cuanto se cambia. Como A es una constante, puede cancelarse 
de la fórmula. 
La ecuación (1.7) es un modelo integral. Sin embargo, si las funciones 𝑢 y 𝜙 
son suficientemente suaves, esta ecuación puede reformularse como un 
modelo en EDP. Por ejemplo, si 𝑢 tiene primeras derivadas parciales 
continuas, entonces la derivada respecto al tiempo en el lado izquierdo de 
(1.7) puede ser llevada bajo el signo de la integral para obtener 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
21 
 
 
ⅆ
ⅆ𝑡
∫ 𝑢(𝑥, 𝑡) ⅆ𝑥
𝑏
𝑎
= ∫ 𝑢𝑡(𝑥, 𝑡) ⅆ𝑥
𝑏
𝑎
 
(note que este es un caso especial de la regla de Leibniz – ver sección 1.1, 
ejercicio 4). Si 𝜙 tiene primeras derivadas parciales continuas, entonces se 
puede aplicar el teorema fundamental del cálculo para escribir el cambio en 
el flujo como la integral de una derivada, o 
 𝜙(𝑎, 𝑡) − 𝜙(𝑏, 𝑡) = −∫ 𝜙𝑥(𝑥, 𝑡) ⅆ𝑥
𝑏
𝑎
 
Por lo tanto, (1.7) puede ser escrito como∫ (𝑢𝑡(𝑥, 𝑡) + 𝜙𝑥(𝑥, 𝑡) − 𝑓(𝑥, 𝑡)) ⅆ𝑥
𝑏
𝑎
= 0 
Puesto que 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 es cualquier intervalo, y como el integrando es 
continuo, se sigue que el integrando se anula, o 
 𝒖𝒕(𝒙, 𝒕) + 𝝓𝒙(𝒙, 𝒕) = 𝒇(𝒙, 𝒕) (1.8) 
La ecuación (1.8) es una versión local de (1.7) obtenidas bajo la suposición 
de que 𝑢 y 𝜙 son continuamente diferenciables; este es un modelo de EDP 
describiendo la relación entre la densidad, su flujo, y la razón a la cual esta 
es creada. A (1.8) se le llama ley de la conservación fundamental. El término 
𝑓 es llamado la fuente, el término 𝜙 es el flujo. En (1.7) se suele entender la 
dependencia de 𝑥 y 𝑡 cuando se escribe 𝑢𝑡 + 𝜙𝑥 = 𝑓 por simplicidad. 
Antes de estudiar algunos ejemplos, haremos algunos comentarios 
generales. El flujo 𝜙 y la fuente 𝑓 son funciones de 𝑥 y 𝑡 pero su dependencia 
puede ser además de 𝑢. Por ejemplo, la fuente puede ser 𝑓 = 𝑓(𝑢), donde, 
por supuesto 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑡). Similarmente, 𝜙 puede depender de 𝑢. Esta 
dependencia conduce a modelos no lineales. A continuación, observemos 
que (1.8) es una sola ecuación, sin embargo hay dos incógnitas, 𝑢 y 𝜙 
(regularmente la fuente 𝑓 se asume que está dada). Esto significa que se 
requiere de otra ecuación para determinar 𝑢 y 𝜙. Esta ecuación se le llama 
relación constitutiva (o ecuaciones de estado) y surgen de las suposiciones 
físicas del medio. 
Ejemplo 
(Advección) 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
22 
 
Un modelo donde el flujo es proporcional a la misma densidad, que es, 
𝜙 = 𝑐𝑢 
donde 𝑐 es una constante, es llamado un modelo de advección. Note que 𝑐 
debe tener unidades de velocidad (longitud por tiempo). En este caso la ley 
de conservación (1.8), por la ausencia de fuente (𝑓 = 0) se convierte en, 
𝒖𝒕 + 𝒄𝒖𝒙 = 𝟎 (1.9) 
La ecuación (1.9) se le llama ecuación de advección. El lector debe verificar 
que la función 
 𝒖(𝒙, 𝒕) = 𝑭(𝒙 − 𝒄𝒕) (1.10) 
es solución a (1.9) para una función diferenciable 𝐹. Tales soluciones 
(1.10) son llamadas ondas viajeras a la derecha, ya que la gráfica de 
𝐹(𝑥 − 𝑐𝑡) es sólo la gráfica de 𝐹(𝑥) desplazada a la derecha 𝑐𝑡 unidades 
espaciales. Por lo que, cuando el tiempo 𝑡 aumenta, el perfil de la onda 𝐹(𝑥) 
se mueve hacia la derecha sin distorsiones, con su forma sin cambios, a la 
velocidad 𝑐. La figura 1.4 muestra dos formas de ver una onda viajera. 
Intuitivamente, (1.9) describe lo que usualmente se conoce como advección. 
Por ejemplo, un enjambre de insectos moviéndose como una onda de 
densidad sin distorsiones representaría la advección. Otros términos 
comunes para describir esta clase de movimiento son transporte y 
convección. 
Si el flujo es una función no lineal de la densidad, esto es, 𝜙 = 𝜙(𝑢), 
entonces la ley de conservación (1.8) toma la forma 
 𝑢𝑡 + 𝜙(𝑢)𝑥 = 𝑢𝑡 + 𝜙
′(𝑢)𝑢𝑥 = 0 (1.11) 
Si 𝜙(𝑢) es no lineal en 𝑢, entonces (1.11) es un modelo de advección no lineal 
y estos modelos son más difíciles de analizar. No se estudiarán tales 
modelos en este texto. El lector puede consultar Logan (1994) para un 
tratamiento elemental de las ecuaciones no lineales. 
Ejemplo 
(Advección y decaimiento) 
Recordar de las ecuaciones diferenciales elementales que el decaimiento o 
descomposición (por ejemplo, decaimiento radiactivo) se basa en la ley 
ⅆ𝑢
ⅆ𝑡
= −𝜆𝑢, donde 𝜆 es el índice de decaimiento. De esta forma, una sustancia 
moviéndose a través de un tubo a la velocidad 𝑐 (por ejemplo, un elemento 
químico radiactivo disuelto en agua fluyendo con velocidad 𝑐) puede ser 
modelada por la ecuación de advección-decaimiento: 
 𝒖𝒕 + 𝒄𝒖𝒙 = −𝝀𝒖 (1.12) 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
23 
 
Aquí, 𝑓 =−𝜆𝑢 es el término fuente (específicamente el término de 
decaimiento) y ∅ = 𝑐𝑢 es el término del flujo en la ley de conservación (1.8). 
El problema de valor inicial puro para la ecuación de advección es 
 𝒖𝒕 + 𝒄𝒖𝒙 = 𝟎, 𝒙 ∈ ℝ, 𝒕 > 𝟎 (1.13) 
 𝒖(𝒙, 𝟎) = 𝒖𝟎(𝒙), 𝒙 ∈ ℝ (1.14) 
donde 𝑢0(𝑥) es una densidad dada, o señal. De (1.10) se sigue que la 
solución a este problema (1.13) - (1.14) es 
𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑢0(𝑥 − 𝑐𝑡) 
Así, físicamente, la densidad inicial se mueve a la derecha con una 
velocidad 𝑐. Alternativamente se puede pensar como la señal de densidad 
moviéndose a través de la familia de líneas rectas 𝜉 = 𝑥 − 𝑐𝑡 constante en el 
espacio tiempo. Estas líneas, llamadas características, son las curvas que 
llevan la señal. 
 
 
 
 
Figura 1.4. Dos vistas de una onda 
viajera: (a) instantáneas de tiempo, y 
(b) en el espacio tiempo como una 
cresta. 
 
 
Ahora se indicará como resolver una ecuación general de advección de la 
forma 
 𝒖𝒕 + 𝒄𝒖𝒙 + 𝒂𝒖 = 𝒇(𝒙, 𝒕), (1.15) 
 
Donde 𝑎 y 𝑐 son constantes y 𝑓 es una función dada. Como la ecuación de 
advección propaga señales con velocidad 𝑐, es razonable intentar resolver 
esta ecuación transformándola a una nueva, moviendo el sistema de 
coordenadas. Así, sea 𝜉 y 𝜏 nuevas variables independientes, llamadas 
coordenadas características, definidas por 
𝜉 = 𝑥 − 𝑐𝑡, 𝜏 = 𝑡 
Se piensa a 𝜉 como el movimiento de una coordenada que viaja con la señal. 
Entonces, si se denota 𝑢(𝑥, 𝑡) en las nuevas variables por 𝑈(𝜉, 𝜏) (esto 
es, 𝑈(𝜉, 𝜏)= 𝑢(𝜉+ 𝑐𝜏,𝜏), o 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑈(𝑥 − 𝑐𝑡, 𝑡)), entonces por regla de la 
cadena 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
24 
 
𝑢𝑡 = 𝑈𝜉𝜉𝑡 + 𝑈𝜏𝜏𝑡 = −𝑐𝑈𝜉 + 𝑈𝜏 
y 
𝑢𝑥 = 𝑈𝜉𝜉𝑥 + 𝑈𝜏𝜏𝑥 = 𝑈𝜉 
Así (1.15) se simplifica a 
𝑈𝜏 + 𝑎𝑈 = 𝐹(𝜉, 𝜏), 
Donde 𝐹(𝜉, 𝜏) = 𝑓(𝜉 + 𝑐𝜏, 𝜏). Observe que la EDP contiene derivadas 
respecto a una sola variable independiente y puede ser considerada como 
una EDO con la otra variable independiente como parámetro. Por lo tanto, 
podemos resolverla por los métodos de EDO. Tiene la forma de una 
ecuación lineal, y así puede ser resuelta multiplicando por el factor 
integrante ⅇ𝑎𝜏 e integrando con respecto a 𝜏. Un ejemplo que ilustra este 
procedimiento. 
Ejemplo 
Encontrar la solución general de 
𝑢𝑡 + 2𝑢𝑥 − 𝑢 = 𝑡. 
Suponga 𝜉 = 𝑥 − 2𝑡, 𝜏 = 𝑡. En estas coordenadas características la ecuación 
se transforma a 
𝑈𝜏 − 𝑈 = 𝜏. 
Multiplicando por ⅇ−𝜏 obtenemos 
𝑈𝜏ⅇ
−𝜏 − 𝑈ⅇ−𝜏 = 𝜏ⅇ−𝜏 
𝜕
𝜕𝜏
(𝑈ⅇ−𝜏) = 𝜏ⅇ−𝜏 
Integrando, 
𝑈ⅇ−𝜏 = ∫ 𝜏ⅇ−𝜏 ⅆ𝜏 = −(1 + 𝜏)ⅇ−𝜏 + 𝑔(𝜉), 
Donde 𝑔 es una función arbitraria. Transformando a las variables 𝑥𝑡 
entonces se obtiene la solución general. 
𝑢(𝑥, 𝑡) = −(1 + 𝑡) + 𝑔(𝑥 − 2𝑡)ⅇ𝑡 
La EDP de reacción-advección más general 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
25 
 
𝑢𝑡 + 𝑐𝑢𝑥 = 𝑓(𝑥, 𝑡, 𝑢) 
puede teóricamente ser resuelta haciendo la misma transformación 
 𝜉 = 𝑥 − 𝑐𝑡, 𝜏 = 𝑡 para simplificarla a una ecuación de la forma 
𝑈𝜏 = 𝐹(𝜉, 𝜏, 𝑈) 
En estas coordenadas características la EDP se simplifica a una EDO con 
solo una derivada. El punto importante es que el operador de advección 
𝜕
𝜕𝑡
+ 𝑐
𝜕
𝜕𝑥
 se simplifica a 
𝜕
𝜕𝑡
 en coordenadas características; así, cambiando las 
variables independientes es una buena estrategia para manipular las 
ecuaciones cuando se tiene un operador de advección. Esta técnica de 
solución se le conoce como método de las características. 
Un método de las características similar se puede aplicar para resolver la 
ecuación 
𝑢𝑡 + 𝑐(𝑥,𝑡)𝑢𝑥 = 𝑓(𝑥, 𝑡, 𝑢). 
En este caso se puede pensar a 𝑐(𝑥, 𝑡) como la velocidad de advección en un 
medio heterogéneo; si se reemplaza la constante 𝑐 en el problema previo 
dependiendo ahora de la localización en el medio y en el tiempo. Las 
coordenadas características estarán dadas por 𝜉 = 𝜙(𝑥, 𝑡), 𝜏 = 𝑡, donde 
𝜙(𝑥, 𝑡) = 𝐶 es la solución general de la EDO 
ⅆ𝑥
ⅆ𝑡
= 𝑐(𝑥, 𝑡) 
En estas nuevas coordenadas es fácil ver que la EDP original se transforma 
a una ecuación de la forma 
𝑈𝜏 = 𝐹(𝜉, 𝜏, 𝑈) 
donde 𝑈 = 𝑈(𝜉, 𝜏) . 
Ejemplo 
Considerar la EDP 
𝑢𝑡 + 2𝑡𝑢𝑥 = 0 
Aquí, 𝑐(𝑥, 𝑡) = 2𝑡. Poniendo 
ⅆ𝑥
ⅆ𝑡
= 2𝑡 y resolviendo da 𝑥 − 𝑡2 = 𝐶. Así 𝜉 =
𝜙(𝑥, 𝑡) = 𝑥 − 𝑡2. Las coordenadas características son 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
26 
 
𝜉 = 𝑥 − 𝑡2, 𝜏 = 𝑡, 
y con ayuda de la regla de la cadena 
𝑢𝑡 = 𝑈𝜉(−2𝑡) + 𝑈𝜏, 𝑢𝑥 = 𝑈𝜉. 
Por lo tanto, al sustituir 𝑢𝑡 = 𝑈𝜉(−2𝑡) + 𝑈𝜏, 𝑢𝑥 = 𝑈𝜉 en la ecuación 𝑢𝑡 +
2𝑡𝑢𝑥 = 0 la EDP se transforma a 𝑈𝜏 = 0. Por eso 𝑈 = 𝑔(𝜉), donde 𝑔 es una 
función arbitraria. La solución general a la EDP dada es 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑔(𝑥 − 𝑡)2. 
Obsérvese que la solución es constante a lo largo del conjunto de las curvas 
características (parábolas en el espacio- tiempo) 𝑥 − 𝑡2 = 𝐶. 
En la sección 1.4 existe un tratamiento ampliado de la advección en un 
contexto biológico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
27 
 
Ejercicios 
1. ¿Cómo cambia la ley de conservación básica si el tubo tiene un área 
de sección transversal variable 𝐴 = 𝐴(𝑥) en lugar de un área de 
sección transversal constante. 
2. Resolver el problema de valor inicial 
𝑢𝑡 + 𝑐𝑢𝑥 = 0, 𝑥 ∈ ℝ, 𝑡 > 0; 𝑢(𝑥, 0) = ⅇ
−𝑥2 , 𝑥 ∈ ℝ. 
Escoger 𝑐 = 2 y dibujar la superficie de la solución y varias 
instantáneas de tiempo. ¿Puedes ver una onda viajera? Dibuja las 
curvas características en el plano- 𝑥𝑡. 
3. Encuentra la solución general a la ecuación de advección-decaimiento 
𝑢𝑡 + 𝑐𝑢𝑥 = −𝜆𝑢 
Por transformación de coordenadas características 𝜉 = 𝑥 − 𝑐𝑡, 𝜏 = 𝑡. 
4. Mostrar que el término para el decaimiento en la ecuación de 
advección-decaimiento 𝑢𝑡 + 𝑐𝑢𝑥 = −𝜆𝑢 se puede quitar haciendo un 
cambio de variable dependiente para 𝑤 = 𝑢ⅇ𝜆𝑡 
5. Resolver el problema de valor inicial puro 
 𝑢𝑡 + 𝑥𝑡𝑢𝑥 = 0, 𝑢(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥) 
y 
𝑢𝑡 + 𝑥𝑢𝑥 = ⅇ
𝑡 , 𝑢(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥). 
 
6. Resolver el problema de valor inicial y de frontera 
𝑢𝑡 + 𝑐𝑢𝑥 = −𝜆𝑢, 𝑥, 𝑡 > 0, 
𝑢(𝑥, 0) = 0, 𝑥 > 0; 𝑢(0, 𝑡) = 𝑔(𝑡), 𝑡 > 0 
En este problema tienes que tratar los dominios 𝑥 > 𝑐𝑡 y 𝑥 < 𝑐𝑡 de 
manera diferente; la condición de frontera afecta la región solución 
𝑥 < 𝑐𝑡, y la condición inicial afecta la región 𝑥 > 𝑐𝑡. 
7. Resolver el problema de valor inicial puro 
𝑢𝑡 + 𝑢𝑥 − 3𝑢 = 𝑡, 𝑥 ∈ ℝ, 𝑡 > 0, 
𝑢(𝑥, 0) = 𝑥2, 𝑥 ∈ ℝ. 
8. Para estudiar la absorción de nutrientes en el intestino de los insectos 
se supone un modelo de su tracto digestivo como un tubo de longitud 
𝑙 y sección transversal 𝐴. Los nutrientes de la concentración 𝑛 =
𝑛(𝑥, 𝑡) fluyen a través del tracto a velocidad 𝑐, y son absorbidos a nivel 
local a una taza proporcional a √𝑛. ¿Cuál es el modelo de EDP? Si el 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
28 
 
tracto está vacío en 𝑡 = 0 y luego se introducen nutrientes a la 
concentración constante 𝑛0 en la boca ( 𝑥 = 0) para 𝑡 > 0. Resolver 
este modelo de EDP y esbozar una gráfica de la concentración de 
nutrientes al salir del tracto en (𝑥 = 𝑙) para 𝑡 > 0. ¿Físicamente, 
porque 𝑛(𝑥, 𝑡) = 0 para 𝑥 > 𝑐𝑡 es la solución? 
9. Explicar porque la función 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝐺(𝑥 + 𝑐𝑡) es llamada una onda 
viajera hacia la izquierda. ¿Cómo intentaría resolver la ecuación de 
advección 𝑢𝑡 − 𝑐𝑢𝑥 = 𝐹(𝑥, 𝑡, 𝑢)? 
10. La densidad de coches en una autopista ocupa un carril sin salida y la 
entrada es 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑡) carros por milla. Si 𝜙 = 𝜙(𝑥, 𝑡) es el flujo de 
automóviles por hora, encuentre una ley de conservación que 
relacione la densidad y el flujo. ¿Por qué podría 𝜙 = 𝛼𝑢(𝛽 − 𝑢)(𝛼, 𝛽 >
0) ser una suposición razonable? Anote la EDP no lineal resultante 
para 𝑢. 
11. Encontrar una fórmula que defina implícitamente la solución 𝑢 =
𝑢(𝑥, 𝑡) del problema de valor inicial para la ecuación de reacción-
advección. 
𝑢𝑡 + 𝑣𝑢𝑥 = −
𝛼𝑢
𝛽 + 𝑢
, 𝑥 ∈ ℝ, 𝑡 > 0, 
𝑢(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥), 𝑥 ∈ ℝ 
Aquí, 𝑣, 𝛼 y 𝛽 son constantes positivas. Mostrar a partir de una 
fórmula implícita que siempre se puede resolver para 𝑢 en términos 
de 𝑥 y 𝑡. 
12. Escribe una fórmula para la solución general de la ecuación 
𝑢𝑡 + 𝑐𝑢𝑥 = 𝑓(𝑥)𝑢. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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29 
 
1.3 Difusión 
 
Vamos de nuevo a escribir la ley de conservación básica (1.8) sin fuente 
 𝒖𝒕 +𝝓𝒙 = 𝟎 (1.16) 
Reiteramos que, 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑡) representa la densidad de una cantidad física y 
𝜙 = 𝜙(𝑥, 𝑡) representa su flujo. La ecuación (1.16) describe localmente cómo 
los cambios en la densidad están relacionados con los cambios del flujo. En 
la última sección modelamos la advección asumiendo que el flujo era 
proporcional a la densidad. Ahora queremos modelar un simple proceso de 
difusión. Construiremos la noción suponiendo que 𝑢 denota la 
concentración de alguna especie química, digamos un gas en un tubo. 
Esperamos que el movimiento aleatorio y las colisiones de las moléculas 
causen concentraciones o expansiones. Lo mismo puede ser para insectos 
en un tubo, gente congregada en una avenida, o la energía del calor en una 
barra de metal. 
Para este tipo de modelo de movimiento aleatorio se tienen dos 
observaciones: (i) el movimiento es de grandes concentraciones a 
concentraciones menores, y (ii) si el gradiente de concentración es mayor, 
mayor será el flujo. Por lo tanto, el flujo puede depender de la derivada 
respecto a 𝑥 de la densidad (la cual mide la inclinación de la curva de 
densidad). Se supone una relación lineal de la forma 
 𝝓 = −𝑫𝒖𝒙 (1.17) 
donde 𝐷 es una constante de proporcionalidad. El signo menos garantiza 
que si 𝑢𝑥 < 0, entonces 𝜙 será positivo y el flujo será, por conveniencia, a la 
derecha; si 𝑢𝑥 > 0, entonces 𝜙 será negativo y el flujo será a la izquierda. 
Decimos que el flujo es a favor del gradiente. La ecuación (1.17) es llamada 
ley de Fick, y la constante 𝐷 es llamada constante de difusión. 𝐷 se mide en 
longitud al cuadrado por unidad de tiempo. 
Cuando la ecuación constitutiva (1.17) se sustituye en la ley de conservación 
(1.16), obtenemos un modelo de ecuación simple 
 𝒖𝒕 −𝑫𝒖𝒙𝒙 = 𝟎, (1.18) 
la cual es llamada es llamada ecuación de difusión que es una ecuación 
fundamental en matemáticas aplicadas. 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
30 
 
Ejemplo: 
(Flujo de calor) 
Vamos a considerar el flujo del calor en una barra de una dimensión que 
tiene una constante de densidad 𝜌 y una constante de calor específico 𝐶. Las 
dos constantes son parámetros físicos que están en tablas de ingeniería y 
manuales de física. El calor específico es la cantidad de energía requerida 
para aumentar un grado una unidad de masa del material y está dado en 
unidades de energía por unidad de masa por grados. Podemos aplicar la 
ley de conservación básica (1.16) a la barra, con 𝑢 la densidad de energía 
dada por 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝜌𝐶𝜃(𝑥, 𝑡), donde 𝜃(𝑥, 𝑡) es la temperatura en (𝑥, 𝑡) (la 
condición de que la energía es proporcional a la temperatura es, en sí 
misma, una suposición acerca del medio). Porlo tanto, 
 𝝆𝑪𝜽𝒕 +𝝓𝒙 = 𝟎 (1.19) 
es una expresión del balance de la energía en la barra cuando no hay fuente 
presente. El flujo de la energía se supone dado por la ley de Fick con 
expresión 
 𝝓 = −𝑲𝜽𝒙, (1.20) 
donde 𝐾 es la conductividad térmica, otra constante física. En el contexto 
del flujo del calor, (1.20) es llamada ley del calor de Fourier. Esta ley, es una 
relación constitutiva basada en la evidencia empírica, es una declaración de 
que el calor fluye desde las regiones más calientes a las regiones más frías; 
dicho de otra manera, el calor fluye en el sentido del gradiente de 
temperatura. Ahora, podemos sustituir (1.20) en (1.19) para obtener una 
única ecuación de la temperatura 𝜃(𝑥, 𝑡), a saber, 
 𝜽𝒕 − 𝒌𝜽𝒙𝒙 = 𝟎, 𝒌 ≡
𝑲
𝝆𝑪
 (1.21) 
La ecuación (1.21) se conoce como la ecuación del calor; esta es la ecuación 
de difusión en el contexto del flujo del calor. La constante 𝑘 se llama la 
difusividad y es una propiedad del medio; valores de 𝑘 para diferentes 
medios (metales plásticos, etc.) se encuentran en tablas matemáticas. Note 
que 𝑘 tiene las mismas dimensiones (longitud al cuadrado por tiempo) que 
la constante de difusión. En lo sucesivo se utilizará 𝑢 en lugar de 𝜃 para la 
función de temperatura. 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
31 
 
En algunos casos la conductividad térmica 𝐾 en (1.20) puede no ser 
constante, además puede depender de 𝑥 si la barra es no homogénea; 
sobre rangos de temperatura largos, la conductividad puede depender 
además de la temperatura 𝜃. Si por ejemplo, 𝐾 = 𝐾(𝜃), entonces 
obtenemos un modelo de calor no lineal. 
 𝜌𝐶𝜃𝑡 − (𝑘(𝜃)𝜃𝑥)𝑥 = 0 
Es posible, desde luego, que la densidad y el calor específico dependan de 
la localización 𝑥 o la temperatura 𝜃. 
Ejemplo: 
(Advección-difusión) 
Si la advección y la difusión están presentes, entonces el flujo está dado por 
𝜙 = 𝑐𝑢 − 𝐷𝑢𝑥 , 
y en consecuencia, la ley (1.16) es 
𝑢𝑡 + 𝑐𝑢𝑥 − 𝐷𝑢𝑥𝑥 = 0, 
que es la ecuación de advección difusión, esta ecuación puede gobernar la 
densidad de un químico, digamos, que está siendo afectado por el 
movimiento a granel de un fluido en movimiento a una velocidad 𝑐 en la 
que se disuelve, mientras que al mismo tiempo este se difunde de acuerdo 
a la ley de Fick. Si el químico además decae a razón 𝜆, entonces se incluye 
un término fuente, y el modelo es 
𝑢𝑡 + 𝑐𝑢𝑥 − 𝐷𝑢𝑥𝑥 = −𝜆𝑢, 
que es la ecuación de advección-difusión-decaimiento. 
La ecuación de difusión es algunas veces acompañada por condiciones 
iniciales que especifican la densidad en tiempo 𝑡 = 0 en todos los puntos 
del dominio espacial, también por condiciones de frontera que especifican 
la densidad en la frontera del dominio para todo el tiempo 𝑡. Para construir 
la idea, vamos a considerar un tubo finito de longitud 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑙. Entonces 
las condiciones iniciales tienen la forma 
𝑢(𝑥, 0) = 𝑢0(𝑥), 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑙, 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
32 
 
donde 𝑢0 es la distribución de densidad inicial dada. Existen tres tipos de 
condiciones en la frontera que suelen ocurrir en problemas físicos. Si la 
densidad se especifica en la frontera 𝑥 = 0, entonces se tiene 
𝑢(0, 𝑡) = 𝑔(𝑡), 𝑡 > 0, 
donde es dada; esta condición es llamada condición de Dirichlet. Se puede 
especificar el flujo en una frontera, es decir, 
−𝐷𝑢𝑥(0, 𝑡) = ℎ(𝑡), 𝑡 > 0, 
la cual se conoce como condición de Neumann. Si ℎ(𝑡) ≡ 0, se dice que la 
frontera está aislada; si 𝑔 ó ℎ es cero, se dice que la correspondiente frontera 
es homogénea. 
Un tercer tipo de condiciones en la frontera tiene la forma (digamos en 𝑥 =
0) 
−𝐷𝑢𝑥(0, 𝑡) = −𝛽(𝑢(0, 𝑡) − 𝜓(𝑡)), 𝑡 > 0. 
En el flujo del calor en una barra, por ejemplo, esta ley expresa la ley de 
enfriamiento de Newton, la cual establece que el flujo de calor es 
proporcional a la diferencia de temperaturas entre los extremos de la barra 
y la temperatura dada 𝜓(𝑡) del ambiente; 𝛽 es la constante de 
proporcionalidad que representa el factor de la pérdida de calor. Este tipo 
de condiciones se llaman condiciones de radiación o condición de Robin. 
Parte de los requerimientos de un modelo de EDP bien planteado es que la 
EDP sea acompañada por condiciones iniciales y condiciones en la frontera 
apropiadas para que el problema matemático resultante tenga una única 
solución, así como un significado físico correcto. 
Muchos modelos de EDP tienen la propiedad de que después de un tiempo 
largo, el efecto causado por las condiciones iniciales decae siempre y la 
solución tiende a un estado de reposo 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑡), dependiendo solo de 𝑥 y 
las condiciones de frontera. En este caso, las derivadas con respecto al 
tiempo en la ecuación se anulan y 𝑢(𝑥) satisface una EDO con condiciones 
de frontera apropiadas. Un simple ejemplo está dado por la ecuación de 
difusión 𝑢𝑡 = 𝐷𝑢𝑥𝑥. La solución para el estado estacionario 𝑢 = 𝑢(𝑥) 
satisface 𝐷𝑢′′(𝑥) = 0, la cual da una densidad lineal 𝑢(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏. Las 
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33 
 
constantes 𝑎 y 𝑏 son determinadas por las condiciones de frontera dadas. El 
siguiente ejemplo es más complicado. 
Ejemplo: 
Considere un problema de valores iniciales y de frontera para la ecuación 
de difusión- decaimiento: 
𝑢𝑡 = 𝐷𝑢𝑥𝑥 − 𝑟𝑢, 0 < 𝑥 < 𝐿, 𝑡 > 0, 
𝑢(0, 𝑡) = 0, −𝐷𝑢𝑥(𝐿, 𝑡) = −1, 𝑡 > 0, 
𝑢(𝑥, 0) = 𝑔(𝑥), 0 < 𝑥 < 𝐿. 
Este modelo puede, por ejemplo, representar una difusión de población de 
peces en un canal con razón de mortalidad 𝑟. En la frontera izquierda la 
densidad de población se mantiene en 0, mientras que en la frontera 
derecha los peces son introducidos al canal a razón de 1 por unidad de área 
por unidad de tiempo. El modelo para el estado-estable es el problema de 
valor en la frontera puro 
𝐷𝑢′′ − 𝑟𝑢 = 0, 0 < 𝑥 < 𝐿, 
𝑢(0) = 0, −𝐷𝑢′(𝐿) = −1 
para 𝑢 = 𝑢(𝑥). La condición inicial es ignorada ya que esta no afecta 
posteriormente a la solución. Para resolver la ecuación diferencial 
aplicamos métodos conocidos y obtenemos 
𝑢(𝑥) = 𝑐1𝑠ⅇ𝑛ℎ (√
𝑟
𝐷
𝑥) + 𝑐2 cosh (√
𝑟
𝐷
𝑥), 
donde 𝑐1 y 𝑐2 son constantes arbitrarias. La condición de frontera 𝑢(0) = 0 
forza a 𝑐2 = 0, dando 𝑢(𝑥) = 𝑐1𝑠ⅇ𝑛ℎ (√
𝑟
𝐷
𝑥). La condición de frontera 
derecha da −𝐷√
𝑟
𝐷
𝑐1cos ℎ (√
𝑟
𝐷
𝐿) = −1, o 𝑐1 =
1
√𝑟𝐷
cos ℎ (√
𝑟
𝐷
𝐿). Por lo tanto, 
la solución del estado de equilibrio, que representa la densidad de peces en 
el canal a lo largo del tiempo, es 
 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
34 
 
𝑢(𝑥) =
𝑠ⅇ𝑛ℎ (√
𝑟
𝐷
𝑥)
√𝑟𝐷 cos ℎ (√
𝑟
𝐷
𝐿)
. 
Los problemas de valores en la frontera puros para EDO son diferentes a 
los problemas de valores iniciales en que ellos no siempre tienen solución, 
o pueden tener muchas soluciones. Esto es, no hay garantía de que el 
sistema tenga una solución de estado estacionario. Si hay un estado de 
equilibrio, este puede ser inestable y el sistema no se acercará a ese estado. 
Estas cuestiones justifican su posterior análisis, y se verán en los capítulos 
4 y 5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
35 
 
Ejercicios: 
1. El calor fluye longitudinalmente a través de una barra de metal de 
longitud 10 cm y la temperatura 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑡) satisface la ecuación de 
difusión 𝑢𝑡 = 𝑘𝑢𝑥𝑥, donde 𝑘 = 0.02𝑐𝑚
2 ∕ 𝑠. Suponga que la 
temperatura en algún tiempo fijo 𝑇 en 𝑥 = 4,6,8 cm es 580, 640 y 720 
respectivamente. Calcular 𝑢𝑥𝑥(6, 𝑇) usando unaaproximación por 
diferencias. ¿Para la temperatura en 𝑥 = 6, aumenta o disminuye en 
el siguiente instante de tiempo? Calcular la temperatura en 𝑥 = 6 en 
𝑇 + 0.5 segundos. (Recordar del cálculo que 𝑓′′(𝑎) ≈
𝑓(𝑎−ℎ)−2𝑓(𝑎)+𝑓(𝑎+ℎ)
ℎ2
 donde ℎ es un pequeño incremento) 
2. Suponga que 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑡) satisface el modelo de EDP 
𝑢𝑡 = 𝑘𝑢𝑥𝑥, 0 < 𝑥 < 𝑙, 𝑡 > 0 
𝑢(0, 𝑡) = 𝑢(𝑙, 𝑡) = 0, 𝑡 > 0 
𝑢(𝑥, 0) = 𝑢0(𝑥), 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑙 
demostrar que 
∫ 𝑢(𝑥, 𝑡)2 ⅆ𝑥
𝑙
0
≤ ∫ 𝑢0(𝑥)
2 ⅆ𝑥
𝑙
0
, 𝑡 > 0 
Sugerencia: suponga 𝐸(𝑡) = ∫ 𝑢(𝑥, 𝑡)2 ⅆ𝑥
𝑙
0
 y muestre que 𝐸′(𝑡) ≤ 0. 
¿Qué se puede decir acerca de 𝑢(𝑥, 𝑡) si 𝑢0(𝑥) = 0? 
3. Demostrar que el problema 
𝑢𝑡 = 𝑘𝑢𝑥𝑥, 0 < 𝑥 < 𝑙, 𝑡 > 0, 
𝑢(0, 𝑡) = 𝑔(𝑡), 𝑢(𝑙, 𝑡) = ℎ(𝑡), 𝑡 > 0, 
𝑢(𝑥, 0) = 𝑢0(𝑥), 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑙, 
con condiciones de frontera no homogéneas puede ser transformado 
a un problema con condiciones de frontera homogéneas. 
Sugerencia: introduce una nueva variable dependiente 𝜔 para 
sustraer de 𝑢 una función lineal de 𝑥 que satisface las condiciones de 
frontera en alguna 𝑡 fija. En la transformación del problema para 𝜔, 
observe que la EDP recoge un término fuente, por lo que usted 
realmente está negociando las condiciones de frontera por términos 
fuente. 
4. Demostrar que la ecuación de advección-difusión-decaimiento 
𝑢𝑡 = 𝐷𝑢𝑥𝑥 − 𝑐𝑢𝑥 − 𝜆𝑢 
puede ser transformada a la ecuación de difusión por una 
transformación de la forma 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
36 
 
𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑤(𝑥, 𝑡)ⅇ𝛼𝑥−𝛽𝑡 
 
solución: Tomar 𝛼 =
𝐶
𝐷
, 𝛽 = 𝜆 +
𝑐2
4𝐷
. 
5. El flujo de calor en una barra de metal con una fuente de calor 
interno se rige por el problema 
𝑢𝑡 = 𝑘𝑢𝑥𝑥 + 1, 0 < 𝑥 < 1, 𝑡 > 0, 
𝑢(0, 𝑡) = 0, 𝑢(1, 𝑡) = 1, 𝑡 > 0 
¿Cuál será la temperatura del estado estable en la barra después de 
un largo tiempo? 
Sugerencia: En el estado de equilibrio 𝑢 depende solo de 𝑥. 
6. Una barra pierde calor a través de su límite lateral a un ritmo 
proporcional a la temperatura 𝑢. La ecuación es 
𝑢𝑡 = 𝑘𝑢𝑥𝑥 − 𝑎𝑢, 0 < 𝑥 < 1, 𝑡 > 0, 
𝑢(0, 𝑡) = 1, 𝑢(1, 𝑡) = 1, 𝑡 > 0. 
Analiza como fluye el calor en la barra y a través de sus límites. 
Grafica la distribución de temperatura en el estado estacionario. 
7. Las bacterias en un medio unidimensional (un tubo con área de 
sección transversal igual a uno, longitud 𝑙, y tapado en ambos 
extremos) tienen una taza de crecimiento dada por la ley logística 
𝑟𝑢 (1 −
𝑢
𝑘
), donde 𝑟 es la constante de crecimiento, 𝑘 es la capacidad 
de carga, y 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑡) es la densidad de bacterias medida en 
bacterias por unidad de longitud. Inicialmente, la densidad está 
dada por 𝑢 = 𝑎𝑥(𝑙 − 𝑥) . Para 𝑡 > 0 las bacterias también se 
difunden con difusión constante 𝐷. Formular un problema inicial y 
de frontera para la densidad. Si esperamos mucho tiempo, ¿Cuál 
será la densidad? Usa perfiles de densidad que muestren cómo 
evoluciona la densidad. Es posible que desee considerar el caso 𝑎𝑙 <
4𝑘 y 𝑎𝑙2 > 4𝑘 por separado. 
Sugerencia: Piensa en el problema como si no hubiera difusión 
presente. 
8. Demostrar que la ecuación 𝑢𝑡 = 𝑘(𝑡)𝑢𝑥𝑥 puede ser transformada en 
la ecuación de difusión cambiando la variable independiente 𝑡 por 
𝜏 = ∫ 𝑘(𝜂) ⅆ𝜂
𝑡
0
. Mostrar que la ecuación 𝑢𝑡 = 𝑘𝑢𝑥𝑥 − 𝑏(𝑡)𝑢𝑥 puede ser 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
37 
 
transformada a la ecuación de difusión mediante un cambio en la 
variable espacial 𝜉 = 𝑥 − ∫ 𝑏(𝜂) ⅆ𝜂
𝑡
0
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
38 
 
1.4 Modelos de EDP en Biología 
 
En muchas formas los modelos matemáticos en biología son muy diferentes 
de los de las ciencias físicas y la ingeniería. En este último caso los modelos 
se basan por lo general en los principios y leyes científicas que se pueden 
expresar con precisión en términos de cantidades medidas casi 
exactamente, y el objetivo es obtener resultados cuantitativos precisos. Por 
ejemplo, no hay duda de que las leyes de Newton del movimiento o las 
ecuaciones de Maxwell de la electrodinámica podrían aplicarse a alguna 
situación física. En las ciencias de la vida, sin embargo, es realmente 
imposible modelar todas las complejidades de la interacción depredador-
presa, las acciones de la bolsa, la dinámica de crecimiento de un tumor, o la 
propagación de una enfermedad infecciosa. Por lo tanto, los modelos son 
más fenomenológicos en la naturaleza, prediciendo características sólo 
cualitativas en lugar de conducir a resultados cuantitativos detallados. Los 
sistemas biológicos son muy complejos, y muchas veces sólo intentan 
describir las burdas características, haciendo caso omiso de gran parte de 
los detalles finos, la estocasticidad, y la variabilidad natural. En esta sección 
introduciremos algunos modelos estándar de EDP en las ciencias 
biológicas. las ideas complementarán la discusión de advección y difusión 
introducidas en las dos secciones anteriores. 
Empezamos con un simple experimento mental que ilustra cómo las 
ecuaciones diferenciales parciales surgen naturalmente en la dinámica de 
una población. Imagine que queremos estudiar la dinámica de una 
población grande de insectos en un tubo cilíndrico de longitud 𝑙 y área de 
sección transversal 𝐴. (Podríamos igualmente centrarnos fácilmente en 
bacterias, células, u otro organismo, y considerar el tubo como un canal u 
otro medio unidimensional) De las ecuaciones diferenciales elementales 
recordemos que tal población es a menudo modelada por la ley de 
crecimiento, o ecuación diferencial, para la población 𝑢 = 𝑢(𝑡) de insectos 
en el tubo en el tiempo 𝑡. Como se observó en la sección 1.1, el modelo de 
Malthus es 
ⅆ𝑢(𝑡)
ⅆ𝑡
= 𝑟𝑢(𝑡), 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
39 
 
que establece que la tasa de crecimiento es proporcional a la población 
actual, donde la constante de proporcionalidad 𝑟 es la tasa de crecimiento 
intrínseca. Es fácil resolver esta ecuación de modelo simple usando 
separación de variables y obtener una fórmula para la solución: 𝑢(𝑡) =
𝑢(0)ⅇ𝑟𝑡 . Por lo tanto, el modelo conduce a un crecimiento demográfico 
exponencialmente creciente. Este modelo es razonable para las primeras 
etapas del crecimiento de la población, pero es claramente imposible que 
una población continúe en este modo de crecimiento durante largos 
períodos porque los recursos (alimentos, espacio y otros factores 
ambientales) son generalmente limitados. Cuando los recursos son 
limitados y hay competencia por esos recursos, el modelo Malthus suele ser 
reemplazado por el modelo logístico 
ⅆ𝑢(𝑡)
ⅆ𝑡
= 𝑟𝑢(𝑡) (1 −
𝑢(𝑡)
𝐾
), 
donde 𝐾 es la capacidad de carga. Como la población 𝑢(𝑡) crece y se acerca 
a 𝐾, la tasa de crecimiento se aproxima a cero y existe un límite al 
crecimiento. La solución a este modelo de ecuación es fácilmente obtenida 
por separación de variables y se representa gráficamente con el familiar 
sigmoide, o curva en forma de 𝑆. En estos dos modelos dinámicos 
elementales la población sólo depende de una variable independiente, el 
tiempo 𝑡. También, aunque se suele decir que 𝑢 es la población total, 
implícitamente se entiende que es una densidad de población, o de la 
población por unidad de volumen (en este caso, el volumen fijo 𝐴𝐿 -área 
por longitud- del tubo). 
Claramente estos modelos ignoran cómo los insectos se distribuyen 
espacialmente en el tubo. Si queremos considerar esta distribución, 
entonces la población 𝑢 no solo dependerá del tiempo sino también de una 
variable espacial 𝑥 que denota la posición en el tubo, donde 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿; esto 
es, 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑡). Con esta interpretación, 𝑢(𝑥, 𝑡) es una densidad de población 
midiendo el número de insectos en un pequeño volumen 𝐴𝛥𝑥 que se 
encuentra entre 𝑥 y 𝑥 +𝛥𝑥. En otras palabras, 𝑢(𝑥, 𝑡)𝐴𝛥𝑥 es el número de 
insectos en el pequeño volumen. En este modelo hay implícitamente dos 
hechos: hay suficientes insectos en el tubo de manera que la definición de 
una densidad local tiene sentido, y no hay variaciones en la densidad en la 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
40 
 
dirección radial. Para modelar los cambios de población, hay que 
preguntarse cómo evoluciona en el tiempo y el espacio; Por consiguiente, 
esperamos un modelo de ecuación diferencial parcial para 𝑢(𝑥, 𝑡). 
Si adoptamos un modelo de crecimiento, entonces debemos incluir 
términos (por ejemplo, que contienen derivadas parciales espaciales) que 
indican cómo los insectos se mueven en el tubo. Por ejemplo, si el 
movimiento es debido a la difusión, entonces el modelo de EDP para el 
crecimiento logístico que se puede esperar es, 
𝑢𝑡 = 𝐷𝑢𝑥𝑥 + 𝑟𝑢 (1 −
𝑢
𝐾
) , 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑡). 
Esta ecuación es llamada la ecuación de Fisher, y es uno de los modelos de 
EDP fundamentales en la biología. 
Por último, se observa que el conocimiento de la densidad de población 
𝑢(𝑥, 𝑡) permite calcular la población total en el tubo en el tiempo 𝑡 a través 
de, 
La población total de insectos en el tiempo 𝑡 = ∫ 𝑢(𝑥, 𝑡)𝐴 ⅆ𝑥
𝐿
0
. 
La discusión precedente indica cómo el análisis de la estructura espacial 
lleva a un modelo de EDP. Hay otros tipos de estructura, además de la 
estructura espacial. Si estamos interesados en la edad de los insectos, 
entonces la densidad de la población depende de la edad y de un tiempo 𝑡; 
por lo tanto, 𝑢 = 𝑢(𝑎, 𝑡), donde 𝑢(𝑎, 𝑡) ⅆ𝑎 representa el número de 
individuos en el tiempo 𝑡 entre las edades 𝑎 y 𝑎 + ⅆ𝑎. Un ejercicio 
importante en la historia de la teoría es el desarrollo de modelos que 
predicen la estructura por edad 𝑢(𝑎, 𝑡) de una población en cualquier 
momento 𝑡, si la estructura de edad inicial 𝑢(𝑎, 0) es conocida y se dan las 
tasas de natalidad y mortalidad. Estos problemas se discuten en el capítulo 
5. Otros modelos estructurados pueden incluir otras cosas o parámetros, 
como el tamaño o el peso; estos son llamados modelos fisiológicamente 
estructurados. Un modelo de la población que incluye tanto la edad 𝑎 y una 
longitud 𝑙 conduce a un modelo de EDP para una función de tres variables, 
𝑢 = 𝑢(𝑎, 𝑙, 𝑡). Así la densidad de población depende de la edad del 
organismo, su longitud, y el tiempo. Otros modelos de ecuaciones 
diferenciales parciales en las ciencias biológicas incluyen modelos para las 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
41 
 
reacciones bioquímicas y el movimiento de las especies químicas en la 
sangre, en las células, y en otros medios de comunicación. 
Existen dos modelos fundamentales de la biología para describir el 
movimiento: advección y difusión. Nos encontramos con estos procesos en 
las secciones 1.2 y 1.3. Advección es el término más común en biología, 
mientras que la convección es el término que se utiliza a menudo en 
ingeniería y otras ciencias físicas. En la vida científica, la advección se refiere 
al transporte de partículas, productos químicos, animales, o lo que sea, a 
través del movimiento del medio de soporte, por ejemplo, el viento, el agua, 
la sangre, etc. La difusión se refiere al movimiento aleatorio de las 
partículas, productos químicos, animales, o lo que sea, que causan estas 
entidades para dispersarse de altas a bajas concentraciones. Vamos a 
discutir la naturaleza aleatoria de la difusión en estos últimos párrafos. La 
Figura 1.5 compara los perfiles de tiempo de ambos procesos de advección 
y difusión, y una combinación de los dos. 
Figura 1.5. Perfiles de 
densidad espacial que 
muestran cómo una 
señal inicial se propaga 
en el tiempo bajo una 
advección, difusión, o un 
proceso de advección-
difusión. 
Un modelo de advección se obtiene de la ley de conservación derivada en 
la sección 1.2. Para reiterar, la ley básica de conservación en una dimensión 
relaciona la derivada temporal de la densidad desconocida 𝑢(𝑥, 𝑡), la 
derivada espacial del flujo desconocido 𝜙 = 𝜙(𝑥, 𝑡), y la fuente (o sumidero) 
𝑓(𝑥, 𝑡). Y viene dada por la ecuación (1.8) como 
𝒖𝒕 = −𝝓𝒙 + 𝒇. (1.22) 
 
La densidad se puede referir a la densidad de animales, productos químicos 
o alguna partícula que se propague. El flujo, una medida de la velocidad de 
flujo, es generalmente dependiente de la densidad a través de la suposición 
de una ecuación constitutiva; diferentes movimientos surgen de diferentes 
supuestos. Como hemos señalado, la advección está definida por la relación 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
42 
 
𝜙 = 𝑐𝑢, 
donde 𝑐 es la velocidad del medio llevando la densidad, y la difusión se 
define por la ley de Fick 
𝜙 = −𝐷𝑢𝑥, 
donde 𝐷 es el coeficiente de difusión. El coeficiente de difusión tiene 
dimensiones de longitud al cuadrado por tiempo, y a menudo se utiliza la 
relación 𝐷 =
𝐿2
𝑇
 para estimar el tiempo 𝑇 que se tarda una sustancia en 
difundirse en una longitud 𝐿. Si 𝑐 y 𝐷 son constantes, podemos sustituir 
estas relaciones definidas en (1.22), respectivamente, para obtener las 
ecuaciones de equilibrio fundamentales: 
𝑢𝑡 = −𝑐𝑢𝑥 + 𝑓 (ecuación de advección con fuente) 
𝑢𝑡 = 𝐷𝑢𝑥𝑥 + 𝑓 (ecuación de difusión con fuente). 
Si ambas, advección y difusión están presentes, entonces el flujo es 
𝜙 = −𝐷𝑢𝑥 + 𝑐𝑢, 
y la ley de equilibrio fundamental se convierte en 
𝑢𝑡 = 𝐷𝑢𝑥𝑥 − 𝑐𝑢𝑥 + 𝑓 (ecuación de advección-difusión con fuente). 
Fuentes y sumideros dependen del modelo. Para los modelos de población 
el término fuente 𝑓 representa la tasa de natalidad o de crecimiento, y un 
sumidero representa una tasa de mortalidad, ya sea por causas naturales o 
por la depredación. Para los problemas químicos, el término fuente / 
sumidero se llama un término de reacción y representa la tasa a la que las 
sustancias químicas se crean o se consumen por reacción química, o se 
pierden por absorción (digamos, al cruzar la frontera de una célula). Las 
fuentes son términos positivos, y los sumideros son términos negativos. 
Además, las EDP van siempre acompañadas de un dominio relevante de 
espacio y tiempo y por las condiciones iniciales y / o condiciones de 
frontera; una condición inicial señala la distribución inicial de densidad 
𝑢(𝑥, 0), y una condición de frontera establece lo que está pasando en el 
límite del dominio. En este último caso es posible especificar la densidad 𝑢, 
así mismo, podemos especificar el flujo 𝜙. Es importante notar que el flujo 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
43 
 
es diferente para los tres modelos diferentes definidos anteriormente: 
advección, difusión, advección y-difusión. 
En algunos procesos biológicos la velocidad de advección 𝑐 y la constante 
de difusión pueden depender de la ubicación en el medio, y por lo tanto 
dependerá de x, o pueden depender también de la densidad 𝑢. Esto es, 𝑐 =
𝑐(𝑥, 𝑢) y 𝐷 = 𝐷(𝑥, 𝑢). La dependencia de 𝑥 significa un medio heterogéneo 
de propagación. Por lo tanto, la ecuación de advección-difusión con una 
fuente es 
𝑢𝑡 = (𝐷𝑢𝑥)𝑥 − (𝑐𝑢)𝑥 + 𝑓, 
y los factores 𝑐 y 𝐷 no pueden ser sacados de las derivadas espaciales. 
Cuando 𝑐 o 𝐷 dependen de 𝑢, la ecuación es no lineal. 
La noción de difusión se introdujo en la sección 1.3, sobre todo en el 
contexto de la conducción de calor. Ahora se discute la relación entre la 
difusión y el movimiento al azar en los entornos biológicos. 
En química y física es fácil deducir, razonar a un nivel atómico o molecular, 
cómo se difunde una sustancia debido al movimiento aleatorio. Esta 
descripción microscópica de difusión se basa en estadísticas y el hecho de 
que los átomos o moléculas chocan aleatoriamente. Estas colisiones 
aleatorias hacen que un conjunto de moléculas pase de regionesde altas 
concentraciones a las regiones de concentraciones más bajas. Por ejemplo, 
si un gas nocivo se libera en un punto en una habitación, las moléculas que 
chocan del gas y el aire ocasionan la eventual dispersión de gas por toda la 
habitación. Este modelo estocástico molecular es la base de la teoría cinética 
de los gases, y tiene una raíz firme en las matemáticas y en la investigación 
empírica. 
En los sistemas biológicos basados en química en los que se realiza el 
seguimiento de concentraciones moleculares, se observa el mismo 
fenómeno. Por ejemplo, un producto químico, tóxico para los peces, puede 
ser objeto de un daño local en un depósito; la difusión de la sustancia 
química durante todo el depósito puede ser entendido por el modelo de 
colisión molecular. En otros sistemas biológicos, sin embargo, se observan 
los mismos efectos de ensanchamiento, pero la causa no es por colisiones 
aleatorias en una escala microscópica, sino que las interacciones son a escala 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
44 
 
macroscópica. Este efecto se ilustra por la propagación de una enfermedad 
infecciosa. Si se introducen los individuos infectados en una población 
grande de individuos susceptibles, enseguida, la infección puede 
propagarse por toda la población a través del contacto personal o por la 
respiración de partículas transportadas por el aire. Incluso en poblaciones 
agrupadas de organismos, hay una tendencia de los individuos para migrar 
de las regiones de alta densidad a las regiones de baja densidad; esta 
dispersión macroscópica es el resultado de "presiones" de población como 
la competencia por los recursos o podría, en los seres humanos, incluso 
tener alguna base psicológica. Pero la observación es la misma que en el 
modelo de colisiones moleculares- movimiento de bajas a altas 
concentraciones. 
Modelamos la difusión por la ley de Fick (o ley de Fourier de la conducción 
de calor), que establece que el flujo, o movimiento, es proporcional a la 
pendiente de la curva de concentración, es decir, 𝜙(𝑥, 𝑡) = −𝐷𝑢𝑥(𝑥, 𝑡). Por 
lo que la migración es "a favor del gradiente de concentración", lejos de las 
regiones más concentradas, y del mayor de los cambios en la concentración, 
el movimiento es más rápido. Cuando esta relación se sustituye en la ley 
básica de conservación 𝑢𝑡 = −𝜙𝑥, obtenemos la ecuación de difusión 𝑢𝑡 =
𝐷𝑢𝑥𝑥. 
Ahora queremos mostrar cómo surge este modelo de difusión de un 
argumento estocástico basado en el movimiento al azar. Sea 𝑋 una variable 
aleatoria con una función normal de densidad de probabilidad (la "curva en 
forma de campana") 
𝑁(𝑥, 𝜇, 𝜎) =
1
√2𝜋𝜎2
ⅇ
−(𝑥−𝜇)2
2𝜎2 , 
donde 𝜇 es la media, o centro de la densidad, y 𝜎 es la desviación estándar, 
una medida de la dispersión alrededor de la media. Por definición, el área 
bajo la curva normal, ∫ 𝑁(𝑥, 𝜇, 𝜎) ⅆ𝑥
𝑏
𝑎
, es la probabilidad de 𝑋 que puede 
tomar un valor entre a y b. Sorprendentemente, si tomamos la desviación 
estándar y la hacemos depender del tiempo a través de 𝜎 = √2𝐷𝑡, de modo 
que la propagación de los datos se haga más grande con el tiempo, entonces 
obtenemos la función 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
45 
 
𝑢(𝑥, 𝑡) =
1
√4𝜋𝐷𝑡
ⅇ−
(𝑥−𝜇)2
4𝐷𝑡 , 
¡Que es una solución a la ecuación de difusión! (compárese con el ejercicio 
1, sección 1.1) Esta fórmula da la solución a la ecuación de difusión 
generada por un punto fuente unitario dado inicialmente en 𝑥 = 𝜇, y se 
llama la solución fundamental a la ecuación de difusión, o la solución de 
punto fuente. Es decir, la solución de punto fuente es la fórmula para el 
tiempo cambiante, la distribución de la densidad de la difusión de una 
sustancia causada por la colocación de una cantidad unitaria de la sustancia 
en 𝑥 = 𝜇 en el tiempo 𝑡 = 0. 
No es un accidente que exista una relación tan estrecha entre la ecuación de 
difusión y las probabilidades. Veamos en una dirección diferente al afirmar 
esta relación. 
 
 
Figura 1.6. Histograma donde 𝑢(𝑥, 𝑡)ℎ representa el número de 
partículas en el intervalo (𝑥, 𝑥 + ℎ) en el tiempo t. 
 
Sea 𝑥 un punto arbitrario en el eje 𝑥. Ahora dividamos el eje en segmentos 
iguales de longitud ℎ de modo que todo el eje se componga de segmentos 
con extremos discretos ..., 𝑥 − 2ℎ, 𝑥 − ℎ, 𝑥, 𝑥 + ℎ, 𝑥 + 2ℎ, ... sea 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑡)ℎ 
el número de partículas (por ejemplo, células, organismos) en el intervalo 
(𝑥, 𝑥 + ℎ) en el tiempo 𝑡. La figura 1.6 es un esquema de un histograma 
típico que muestra la distribución del conjunto de partículas en el tiempo 𝑡. 
Supongamos ahora que en el siguiente pequeño instante de tiempo 𝑡 todas 
las partículas en cada intervalo se mueven al azar hacia la derecha o hacia 
la izquierda con la misma probabilidad de cada lado. Entonces, se puede 
calcular la distribución de partículas en el siguiente tiempo 𝑡 + 𝜏. 
Obtenemos 
Cambio en el número de partículas en (𝑥, 𝑥 + ℎ) 
= Número de partículas que se mueven por la izquierda 
+ El número de las que se mueven por la derecha 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
46 
 
– El número de las que salen a la izquierda 
– Número de las que salen a la derecha. 
Aquí, por "número" nos referimos a "promedio". En símbolos, después de 
cancelar el término ℎ común, 
𝑢(𝑥, 𝑡 + 𝜏) − 𝑢(𝑥, 𝑡) =
1
2
𝑢(𝑥 − ℎ, 𝑡) +
1
2
𝑢(𝑥 + ℎ, 𝑡) −
1
2
𝑢(𝑥, 𝑡) −
1
2
𝑢(𝑥, 𝑡). 
Esto se simplifica a 
𝑢(𝑥, 𝑡 + 𝜏) =
1
2
𝑢(𝑥 − ℎ, 𝑡) +
1
2
𝑢(𝑥 + ℎ, 𝑡). 
Esta es una ecuación diferencial que relaciona el número de partículas en 
tres intervalos adyacentes en dos momentos diferentes. Debido a que ℎ y 𝜏 
son pequeñas, podemos expandir los tres términos de esta ecuación con 
series de Taylor para obtener 
𝑢(𝑥, 𝑡) + 𝑢𝑡(𝑥, 𝑡)𝜏 + 𝑂(𝜏
2) 
=
1
2
(𝑢(𝑥, 𝑡) − 𝑢𝑥(𝑥, 𝑡)ℎ +
1
2
𝑢𝑥𝑥(𝑥, 𝑡)ℎ
2 + 𝑂(ℎ3)) 
+
1
2
(𝑢(𝑥, 𝑡) + 𝑢𝑥(𝑥, 𝑡)ℎ +
1
2
𝑢𝑥𝑥(𝑥, 𝑡)ℎ
2 + 𝑂(ℎ3)), 
dónde 𝑂(𝜏2) denota los términos restantes de la serie, todos los cuales 
tienen un factor de al menos 𝜏2, y 𝑂(ℎ3) denota los términos restantes los 
cuales tienen un factor de al menos ℎ3. Simplificando obtenemos 
𝑢𝑡(𝑥, 𝑡) =
ℎ2
2𝜏
𝑢𝑥𝑥(𝑥, 𝑡) + 𝑂(𝜏) +
1
𝜏
𝑂(ℎ3). 
Ahora tomamos el límite cuando 𝜏 → 0 y ℎ → 0 de tal manera que 
mantenemos la relación 
ℎ2
2𝜏
 igual a una constante fija 𝐷. Por lo tanto, en este 
límite especial, obtenemos 
𝑢𝑡(𝑥, 𝑡) = 𝐷𝑢𝑥𝑥(𝑥, 𝑡) 
 
que es la ecuación de difusión. (El ejercicio 10 pide esta misma deducción 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
47 
 
cuando la probabilidad de moverse a la derecha o izquierda es 𝑝 y 1 − 𝑝, 
respectivamente. Se obtiene la ecuación de difusión con el 
"desplazamiento", es decir, la ecuación de advección-difusión.) Una 
discusión adicional de la conexión entre la difusión y movimiento al azar se 
puede encontrar en Murray (2003). 
 
Las soluciones de punto-fuente a ecuaciones lineales de difusión juegan un 
papel especial en las aplicaciones y la teoría de las EDP, por lo que hacemos 
algunos comentarios adicionales y clasificamos algunas otras soluciones. 
Las soluciones de punto-fuente también son llamadas soluciones 
fundamentales, y las que también satisfacen las condiciones de contorno 
dadas se denominan funciones de Green. Vamos a demostrar que el 
conocimiento de la solución de punto-fuente nos permite resolver el 
problema de valor inicial para la ecuación de difusión por superposición. Si 
un proceso de advección o crecimiento está presente, así como de difusión, 
entonces también podemos obtener soluciones especiales que representan 
la distribución de la densidad surgida de un punto-fuente inicial. Para la 
ecuación de difusión-advección 
𝒖𝒕 = 𝑫𝒖𝒙𝒙 − 𝒄𝒖𝒙 (1.23) 
en geometría lineal, la solución de punto-fuente es 
𝒖 =
𝟏
√𝟒𝝅𝑫𝒕
𝒆−
(𝒙−𝝁−𝒄𝒕)𝟐𝟒𝑫𝒕 , (1.24) 
mientras que para la ecuación de crecimiento-difusión 
𝒖𝒕 = 𝑫𝒖𝒙𝒙 + 𝜸𝒖, (1.25) 
la solución de punto fuente es 
𝒖 =
𝟏
√𝟒𝝅𝑫𝒕
𝒆
−
(𝒙−𝝁)𝟐
𝟒𝑫𝒕+𝜸𝒕. (1.26) 
La ecuación de difusión en dos dimensiones con simetría radial, donde la 
densidad 𝑢 = 𝑢(𝑟, 𝑡) depende únicamente de la distancia r del origen y el 
tiempo, es (véase el ejercicio 12) 
𝑢𝑡 = 𝐷
1
𝑟
(𝑟𝑢𝑟)𝑟. 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
48 
 
La solución de punto-fuente es, con la unidad de fuente en el origen, 
𝑢(𝑟, 𝑡) =
1
4𝜋𝐷𝑡
ⅇ−
𝑟2
4𝐷𝑡 . 
En tres dimensiones, la ecuación de difusión con simetría esférica, donde 
𝑢 = 𝑢(𝜌, 𝑡) depende sólo de la distancia 𝜌 del origen y el tiempo, es 
𝑢𝑡 = 𝐷
1
𝜌2
(𝜌2𝑢𝜌)𝜌
. 
En este caso la solución de punto-fuente es, con la unidad de fuente en el 
origen, 
𝑢(𝜌, 𝑡) =
1
(4𝜋𝐷𝑡)3∕2
ⅇ−
𝜌2
4𝐷𝑡 . 
Una diferencia importante entre las soluciones de punto-fuente en 
geometría plana, radial, y esférica es el decaimiento, el factor de amplitud 
en función del tiempo que aparece en la parte frontal del término 
exponencial; los factores de desintegración son 
1
√𝑡
 , 
1
𝑡
 , 
1
𝑡
3
2
 respectivamente. 
Es razonable para señales decaer más rápido ya que las dimensiones 
aumentan porque hay más espacio para el material que llevan. 
Ejemplo: 
(velocidad de invasión) 
Considere un largo canal, donde una especie no autóctona de las algas es 
liberada accidentalmente en 𝑥 = 0. Después de un largo período de tiempo, 
se observa que la velocidad de la invasión biológica hacia el exterior en 
ambas direcciones desde 𝑥 = 0 es casi constante. Mostraremos que esta 
observación puede explicarse por un modelo de crecimiento de difusión. El 
modelo de crecimiento de difusión viene dado por (1.24) con una solución 
de punto-fuente dado por (1.25). Suponga que 𝑥 = 𝑥(𝑡) denota la posición 
del frente de onda, que se define por la posición en la que 𝑢 = 𝑢𝑓, donde 𝑢𝑓 
es un valor pequeño, dado de la densidad. Entonces 
1
√4𝜋𝐷𝑡
ⅇ
−
𝑥(𝑡)2
4𝐷𝑡+𝛾𝑡 = 𝑢𝑓 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
49 
 
Tomando logaritmos, 
𝛾𝑡 −
𝑥(𝑡)2
4𝐷𝑡
= ln(√4𝜋𝐷𝑡𝑢𝑓). 
Ahora hacemos una aproximación interesante e inteligente. Para grandes 
tiempos 𝑡 el lado derecho se hace grande, pero no tan grande como el 
término 𝛾𝑡 (recordar que 𝑡 es mucho mayor que ln 𝑡). Por lo tanto, los únicos 
dos términos de esta ecuación que se pueden equilibrar para un 𝑡 grande 
son los dos del lado izquierdo. Así para un largo tiempo, la posición 
aproximada del frente de invasión es 
𝑥(𝑡) ≈ √4𝛾𝐷𝑡. 
En consecuencia, la velocidad del frente se acerca a un valor constante 
√4𝛾𝐷. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
50 
 
 Ejercicios: 
1. En la ley de Fick se asume que el coeficiente de difusión 𝐷 es una 
función de la densidad 𝑢, es decir, 𝐷 = 𝐷(𝑢). En este caso demostrar 
que la ecuación de difusión sin fuente puede ser escrita como 
𝑢𝑡 = 𝐷(𝑢)𝑢𝑥𝑥 + 𝐷
′(𝑢)𝑢𝑥
2. 
2. De la ecuación de difusión sin fuente, encuentre la concentración 𝑢 =
𝑢(𝑥) para el estado estable de un químico en un tubo de longitud 𝐿 =
2 con coeficiente de difusión 𝐷 y sujeto a las condiciones de frontera 
𝑢(0) = 4 y 𝑢′(2) = 1. Explique estas condiciones en términos de 
concentraciones químicas y flujo. Bajo las mismas condiciones, ¿Cuál 
es la concentración en el estado de equilibrio si 𝐷 depende de 𝑥, 𝐷 =
(1 + 𝑥)−1? ¿Cuál es la solución del estado de equilibrio si 𝐷 depende 
de 𝑢, por ejemplo, 𝐷= 𝑢? 
3. Considerando todos los casos, encontrar la forma de soluciones del 
estado estacionario a la ecuación de difusión-advección 
𝑢𝑡 = 𝐷𝑢𝑥𝑥 − 𝑐𝑢𝑥 
y la ecuación de advección- difusión-crecimiento 
𝑢𝑡 = 𝐷𝑢𝑥𝑥 − 𝑐𝑢𝑥 + 𝑟𝑢 
4. Un químico tóxico radiactivo del medio ambiente es liberado 
continuamente en una proporción constante de 1 (miligramo por 
volumen por unidad de tiempo) en el punto medio de un canal de 
longitud L. A medida que se difunde a través del canal con difusión 
constante 𝐷 = 1 se desintegra a un ritmo 𝜆 (por unidad de tiempo). 
Los extremos del canal están conectados a grandes masas de agua 
libre de tóxicos. Establecer las ecuaciones del modelo y las 
condiciones de frontera. Encuentre la concentración del estado 
estacionario y dibujar su perfil espacial para diferentes valores de 𝐿 
y 𝜆. (Pista: dividir el problema en dos partes, a cada lado de la fuente. 
En la fuente la concentración debe ser continua, y en un pequeño 
intervalo de alrededor de la fuente, el "flujo que entra" menos el "flujo 
que sale" es igual a uno). 
5. Trabaja el problema anterior si no hay decaimiento y si la fuente se 
encuentra en 𝑥 = 𝜉, 0 < 𝜉 < 𝐿. 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
51 
 
6. Considerar la ecuación de advección-difusión en un intervalo 0 <
𝑥 < 𝐿. Mostrar que si el flujo en 𝑥 = 0 es igual al flujo en 𝑥 = 𝐿 
entonces la densidad es constante. 
7. La densidad de población del zooplancton en un lago profundo varía 
en función de la profundidad 𝑥 > 0 y el tiempo 𝑡 (𝑥 = 0 es la 
superficie). El zooplancton se difunde verticalmente con difusión 𝐷 
constante y el efecto de flotación causa que emigren hacia la 
superficie con una velocidad de advección 𝛼𝑔, donde 𝑔 es la 
aceleración debida a la gravedad. No haga caso de las tasas de 
natalidad y mortalidad. Encontrar un modelo de EDP para la 
densidad de población del zooplancton en el lago, junto con las 
condiciones de frontera apropiadas en 𝑥 = 0 y 𝑥 = +∞. Encuentra la 
densidad de población en estado estacionario para el zooplancton 
como una función de la profundidad, y esbozar su gráfica. 
8. La sacarosa en el agua tiene un coeficiente de difusión de 4.6 ×
10−6
𝑐𝑚2
𝑠
 . Estime ¿hasta qué punto una cantidad concentrada de 
sacarosa se difundiría en un día? Cierta feromona de un insecto se 
difunde en el aire con difusión constante 2.0 × 10−1
𝑐𝑚2
𝑠
. Estime el 
tiempo que le toma a la feromona difundirse a una distancia de 100 
metros. ¿Puede un mecanismo de difusión considerar la atracción 
sexual de parejas para el insecto? 
9. Demostrar que las soluciones del estado estable a la ecuación de 
difusión en la geometría lineal, en la geometría plana con simetría 
radial y en geometría espacial con simetría esférica son, 
respectivamente, 
𝑢 = 𝑎𝑥 + 𝑏, 
𝑢 = 𝑎 ln 𝑟 + 𝑏, 
𝑢 =
𝑎
𝜌
+ 𝑏, 
Aquí, a y b son constantes arbitrarias. 
10. Repita el paso de la derivación aleatoria en el caso que la 
probabilidad del movimiento de derecha a izquierda es p y 1-p 
respectivamente, en lugar de un medio en cualquier dirección. 
Muestre que bajo las definiciones apropiadas de límite cuando ℎ → 0 
y 𝜏 → 0, uno obtiene la ecuación de advección- difusión. 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
52 
 
11. Las ratas almizcleras fueron introducidas accidentalmente en 
Europa en 1905 y la invasión biológica se extendió radialmente en 
todas direcciones. Suponga que 𝑢𝑓 define una predeterminada 
magnitud de densidad de población en un círculo de radio 𝑟 = 𝑟(𝑡) 
como la propagación frontal. Use el modelo de difusión-crecimiento 
para demostrar que la velocidad del frente de onda es 
aproximadamente constante para un largo tiempo 𝑡. 
12. Deriva la ecuación de difusión radial simétrica: 𝑢𝑡 = 𝐷
1
𝑟
(𝑟𝑢𝑟)𝑟 a 
través de principios básicos usando la siguiente estrategia. Toma 
dos círculos de radio 𝑟 = 𝑎 y 𝑟 = 𝑏 y escribe la ley de conservación 
en coordenadas polares para la densidad en la región entre los dos 
círculos (recuerde que un área elemental en coordenadas polares es 
𝑟ⅆ𝑟 ⅆ𝜃 y note que el flujo radial es −𝐷𝑢𝑟). Haz lo mismo para la 
ecuación de difusión de simetríaesférica 𝑢𝑡 = 𝐷
1
𝜌2
(𝜌2𝑢𝜌)𝜌 
considerando dos esferas concéntricas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
53 
 
1.5 Vibraciones y acústica 
El movimiento de las ondas es uno de los fenómenos que más comúnmente 
ocurren en la naturaleza. Mencionamos las ondas electromagnéticas, las 
ondas del agua, las ondas de sonido y acústica, y las ondas de tensión en 
sólidos como ejemplos típicos. En esta sección comenzamos con un modelo 
simple para introducir el concepto de movimiento de las ondas y una de las 
EDP fundamentales, la ecuación de onda, que describe este tipo de 
fenómenos. El ejemplo es las pequeñas vibraciones transversales de una 
cuerda elástica flexible, por ejemplo, una cuerda de guitarra. A 
continuación, analizamos el movimiento de las ondas en el contexto de la 
acústica. 
 
Vibraciones de una cuerda 
 
Imaginemos una cuerda tensa de longitud 𝑙 atada en sus extremos. Su 
movimiento es descrito por una función 𝑢(𝑥, 𝑡) que da el desplazamiento 
vertical de cada punto 𝑥 de la cuerda en el tiempo 𝑡. Nuestro postulado 
básico es que el desplazamiento 𝑢 es pequeño. Suponemos además que el 
movimiento es en un plano y ningún elemento de la cuerda se mueve 
horizontalmente -solo verticalmente. En cada instante de tiempo se supone 
que la cuerda tiene una densidad 𝜌(𝑥, 𝑡), con dimensiones de masa por 
unidad de longitud, y la tensión de la cuerda viene dada por una función 
𝑇(𝑥, 𝑡), con dimensiones de fuerza. Por convención, 𝑇(𝑥, 𝑡) es la fuerza en el 
segmento a la izquierda de 𝑥 causada por la parte de la cuerda a la derecha 
de 𝑥, y suponemos que la tensión se dirige siempre a lo largo de la tangente 
a la curva en 𝑥. Este último supuesto implica que la cuerda no se resiste a la 
flexión. A priori, no sabemos 𝜌 o 𝑇. La Figura 1.7 muestra un segmento 
arbitrario de la cuerda entre 𝑥 = 𝑎 y 𝑥 = 𝑏. Denotamos el ángulo que la 
tangente forma con la horizontal por 𝜃(𝑥, 𝑡), y se observa que 
tan 𝜃(𝑥, 𝑡) = 𝑢𝑥(𝑥, 𝑡). 
 
 
 
 
Figura 1.7. Segmento arbitrario de la cuerda. 
 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
54 
 
Para obtener una ecuación de movimiento de la cuerda, apelamos al balance 
de la masa y la segunda ley de Newton. En primer lugar, el balance de masa 
implica que la masa del segmento en cualquier momento 𝑡 debe ser igual a 
su masa en posición de equilibrio (la cual se toma en 𝑡 = 0). En símbolos, 
esto significa 
∫ 𝜌(𝑥, 𝑡)√1 + 𝑢𝑥(𝑥, 𝑡)
2 ⅆ𝑥
𝑏
𝑎
= ∫ 𝜌0(𝑥) ⅆ𝑥,
𝑏
𝑎
 
 
donde 𝜌0 es la densidad de la cuerda en equilibrio. (Tenga en cuenta que 
√1 + 𝑢𝑥(𝑥, 𝑡)
2 ⅆ𝑥 
es un elemento de longitud de arco.) Pero esta ecuación debe ser 
verdadera para cada segmento [𝑎, 𝑏], y por lo tanto se pueden igualar los 
integrandos para obtener 
𝝆(𝒙, 𝒕)√𝟏 + 𝒖𝒙(𝒙, 𝒕)
𝟐 = 𝝆𝟎(𝒙). (1.27) 
A continuación vamos a aplicar la segunda ley de Newton, que establece 
que la razón de cambio en el tiempo, de la cantidad de movimiento total del 
segmento, debe ser igual a la fuerza externa neta. Supondremos que la única 
fuerza que actúa sobre el segmento es la tensión causada por el resto de la 
cuerda; ignoramos la gravedad y las fuerzas de amortiguación - ver los 
ejercicios 1 y 2. Debido a que no hay movimiento horizontal del segmento, 
las fuerzas horizontales deben equilibrarse, o 
𝑇(𝑏, 𝑡) cos 𝜃(𝑏, 𝑡) − 𝑇(𝑎, 𝑡) cos 𝜃(𝑎, 𝑡) = 0. 
Como esta ecuación debe ser cierta para toda 𝑎 y 𝑏, tenemos que 
𝑇(𝑥, 𝑡) cos 𝜃(𝑥, 𝑡) = 𝜏(𝑡) 
para alguna función 𝜏. Ahora, la velocidad de variación de la cantidad de 
movimiento total del segmento debe ser igual a la fuerza vertical neta. Es 
decir, 
ⅆ
ⅆ𝑡
∫ 𝜌(𝑥, 𝑡)𝑢𝑡(𝑥, 𝑡)√1 + 𝑢𝑥(𝑥, 𝑡)
2 ⅆ𝑥 = 𝑇(𝑏, 𝑡)𝑠ⅇ𝑛𝜃(𝑏, 𝑡) − 𝑇(𝑎, 𝑡)𝑠ⅇ𝑛𝜃(𝑎, 𝑡)
𝑏
𝑎
. 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
55 
 
Utilizando el resultado de la ecuación (1.27) y llevando la derivada dentro 
del signo de la integral obtenemos 
∫ 𝜌0(𝑥)𝑢𝑡𝑡(𝑥, 𝑡) ⅆ𝑥 = 𝑇(𝑏, 𝑡)𝑠ⅇ𝑛𝜃(𝑏, 𝑡) − 𝑇(𝑎, 𝑡)𝑠ⅇ𝑛𝜃(𝑎, 𝑡)
𝑏
𝑎
 
Observamos que el lado derecho de esta ecuación se puede escribir como 
𝑇(𝑏, 𝑡)𝑐𝑜𝑠𝜃(𝑏, 𝑡)[tan𝜃(𝑏, 𝑡) − tan𝜃(𝑎, 𝑡)], 
o 
𝜏(𝑡)(𝑢𝑥(𝑏, 𝑡) − 𝑢𝑥(𝑎, 𝑡)). 
Por consiguiente, 
∫ 𝜌0(𝑥)𝑢𝑡𝑡(𝑥, 𝑡) ⅆ𝑥
𝑏
𝑎
= 𝜏(𝑡)(𝑢𝑥(𝑏, 𝑡) − 𝑢𝑥(𝑎, 𝑡)). 
Por el teorema fundamental del cálculo podemos reescribir el lado derecho 
como una integral, y obtenemos 
∫ 𝜌0(𝑥)𝑢𝑡𝑡(𝑥, 𝑡) ⅆ𝑥 = 𝜏(𝑡)∫ 𝑢𝑥𝑥(𝑥, 𝑡) ⅆ𝑥
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
 
Una vez más usando la arbitrariedad del intervalo de integración (lo que 
hemos dicho es válido para cualquier segmento [a, b]), podemos deducir 
𝜌0(𝑥, 𝑡)𝑢𝑡𝑡(𝑥, 𝑡) = 𝜏(𝑡)𝑢𝑥𝑥(𝑥, 𝑡), 0 < 𝑥 < 𝐿, 𝑡 > 0. 
Como una suposición intrínseca adicional, se supone que la tensión 𝑟(𝑡) =
𝜏0 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡ⅇ, lo cual es un buen supuesto para los pequeños 
desplazamientos de la cuerda. Por lo tanto, en el marco de las suposiciones 
que hemos hecho, obtenemos la ecuación del modelo final para los 
desplazamientos transversales, a saber, 
𝝆𝟎(𝒙)𝒖𝒕𝒕 = 𝝉𝟎𝒖𝒙𝒙. (𝟏. 𝟐𝟗) 
Si introducimos la función 
𝑐0(𝑥) = √𝜏0 ∕ 𝜌0(𝑥), 
entonces podemos escribir (1.28) como 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
56 
 
𝒖𝒕𝒕 = 𝒄𝟎(𝒙)
𝟐𝒖𝒙𝒙. (1.29) 
Hay que observar que 𝑐0 tiene dimensiones de velocidad. Se llama la 
velocidad de la onda, y debemos observar que mide la velocidad presente 
de las ondas que viajan a lo largo de la cuerda. En muchas aplicaciones la 
densidad de la cuerda es una constante, y por lo tanto 𝑐0 es constante; en 
ese caso, la ecuación (1.29) se convierte en 
𝒖𝒕𝒕 = 𝒄𝟎
𝟐𝒖𝒙𝒙, (1.30) 
la cual es llamada la ecuación de onda; es una de las ecuaciones 
fundamentales en matemáticas aplicadas. Si 𝑐0 es constante, es fácil verificar 
(Ejercicio 3) que 𝑢 = 𝐹(𝑥 − 𝑐0𝑡) y 𝑢 = 𝐺(𝑥 + 𝑐0𝑡) son soluciones de la 
ecuación de onda para cualquiera de las funciones 𝐹 y 𝐺 doblemente 
diferenciables; por lo tanto, la ecuación de onda admite ambas soluciones, 
ondas-viajando a la derecha y ondas-viajando a la izquierda. De hecho, más 
adelante veremos que la solución general de la ecuación de onda es la 
superposición (suma) de las ondas viajando a la derecha e izquierda. 
Nuestra suposición inicial de que la cuerda se sujeta en sus extremos 𝑥 = 0 
y 𝑥 = 𝐿 se traduce en las condiciones de frontera 
𝒖(𝟎, 𝒕) = 𝟎, 𝒖(𝒍, 𝒕) = 𝟎, 𝒕 ≥ 𝟎. (1.31) 
Para determinar un desplazamiento único, hay que imponer condiciones 
iniciales también; es decir, señalamos tanto la posición de la cuerda y su 
velocidad en el tiempo 𝑡 = 0. Simbólicamente, 
𝒖(𝒙, 𝟎) = 𝒇(𝒙), 𝒖𝒕(𝒙, 𝟎) = 𝒈(𝒙), 𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝒍. (1.32) 
En resumen, para determinar el desplazamiento 𝑢(𝑥, 𝑡), hay que resolver el 
problema de valor en la frontera y condición inicial que consiste en la EDP 
(1.30) sujeto a las condiciones de frontera (1.31) y las condiciones iniciales 
(1.32). 
Se señala que este modelo es una teoría para desplazamientos pequeños. Se 
requiere un modelo no lineal más complicado si queremos describir 
grandes desplazamientos. 
 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
57 
 
Acústica 
La acústica es la ciencia de las señales de sonido y cómo se transmiten a 
través de un medio. Mostraremos que los pequeños desajustes o señales 
sonoras se propagan en forma de ondas, y se rigen por la ecuación de 
onda. 
Restringimos nuestra atención a las ondas sonoras en un tubo de área de 
sección transversal 𝐴, como en la figura 1.3, lleno de un gas. En una sección 
transversal fija no asumimos ninguna variación en ninguna de las variables; 
las variables de estado dependerán de 𝑥, la distancia a lo largodel tubo, y 
el tiempo 𝑡. Así, nuestro tratamiento es estrictamente unidimensional. Las 
variables de estado son la densidad de masa 𝜌 = 𝜌(𝑥, 𝑡), la velocidad 𝑣 =
𝑣(𝑥, 𝑡) y la presión 𝑝 = 𝑝(𝑥, 𝑡). Aquí, la velocidad es la velocidad presente 
de las partículas de aire, medidas por observaciones de laboratorio; la 
presión es la fuerza por unidad de área en el aire a la derecha de la sección 
en 𝑥, causada por el aire a la izquierda de la sección en 𝑥. 
El punto de partida para la obtención de las ecuaciones para la acústica es 
la ley de equilibrio básico 
𝑢𝑡 + 𝜙𝑥 = 𝑓 
Introducida en la Sección 1.2. Aquí 𝑢 es una densidad (cantidad por unidad 
de volumen), 𝜙 es el flujo (cantidad por unidad de área por unidad de 
tiempo), y 𝑓 es una fuente (cantidad por unidad de volumen por unidad de 
tiempo). En primer lugar, en el flujo de gas hay que equilibrar la masa. Por 
lo tanto, tomamos 𝑢 = 𝜌, como la densidad de masa, y 𝜙 = 𝜌𝑣, como el flujo 
de masa. No hay fuentes que originen o destruyan la masa, por lo que 𝑓 =
0. Entonces, el balance de masa se expresa por la ecuación 
𝝆𝒕 + (𝝆𝝂)𝒙 = 𝟎 (1.33) 
En segundo lugar, el impulso debe equilibrarse. Por lo tanto, tomando 𝑢 =
𝜌𝑣, que es la densidad del momento (el mismo que el flujo de masa, en 
unidades de masa por unidad de área por unidad de tiempo, o la masa 
multiplicada por la velocidad por unidad de volumen), y tomando 𝜙 =
(𝜌𝑣)𝑣, que es el flujo del momento, o la velocidad a la que el impulso fluye 
a través de una sección transversal. Pero ahora hay un término fuente 𝑓 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
58 
 
debido al gradiente de presión a través del tubo que puede crear una fuerza 
neta que puede cambiar el momento (esta es la segunda ley de Newton). 
Así que tomamos 𝑓 = −𝑝𝑥, y la ley del balance del momento es 
(𝜌𝑣)𝑡 + (𝜌𝜈
2)𝑥 = −𝑝𝑥 
observe que el lado derecho es una fuerza por unidad de volumen, que es 
lo mismo que un impulso por unidad de volumen por unidad de tiempo; 
así que es como el momento del término fuente. El término es negativo 
porque el gradiente de presión negativo debe causar movimiento hacia la 
derecha. Dejamos como ejercicio (Ejercicio 7) demostrar que la ecuación del 
balance del momento se puede escribir, usando (1.33), como 
𝝆𝒗𝒕 + 𝝆𝒗𝒗𝒙 + 𝒑𝒙 = 𝟎. (1.34) 
 
Las ecuaciones (1.33) y (1.34) son las ecuaciones que rigen el flujo de un gas 
en un tubo. Las ecuaciones son no lineales y contienen tres incógnitas, 𝜌, 
𝑣 y 𝑝. Para una tercera ecuación se asume una relación constitutiva, o 
ecuación de estado, de la forma 
𝑝 = 𝐹(𝜌), 
es decir, la presión es una función de la densidad. Vamos a suponer que 
𝐹′(𝜌) > 0 , o que la presión aumenta con la densidad. Un supuesto típico es 
𝑝 = 𝑘𝜌𝛾, donde 𝑘 > 0, 𝛾 > 0. (Si la ecuación de estado también debe 
depender de la temperatura, como en un gas ideal, entonces requeriríamos 
otra ecuación; esta ecuación sería la del balance de energía.) 
Gran parte de la ciencia acústica trata con pequeñas perturbaciones en el 
gas. Esto conduce a una aproximación simplificada, lineal de las ecuaciones 
(1.33) - (1.34). Supongamos que el gas en el tubo está en reposo, en un estado 
de ambiente constante 𝜌 = 𝜌0, 𝑣 = 0, 𝑝0 = 𝐹(𝜌0). A continuación, hacemos 
pequeñas variaciones, digamos, en un extremo, y sea 𝜌 = 𝜌0 + �̃�(𝑥, 𝑡) y 𝑣 =
�̃�(𝑥, 𝑡) la densidad resultante y la velocidad, donde �̃� y �̃�, son las pequeñas 
desviaciones de la situación ambiental. Para la presión que tenemos, por 
una expansión de Taylor, 
𝑝 = 𝐹(𝜌0 + �̃�) = 𝐹(𝜌0) + 𝐹
′(𝜌)�̃� + ⋯ = 𝑝0 + 𝑐
2�̃� + ⋯, 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
59 
 
donde 
𝑐 ≡ √𝐹′(𝜌0) 
es llamada la velocidad del sonido, y los tres puntos denotan términos que 
contienen al menos un factor �̃�2. Tenga en cuenta que 𝑐 tiene unidades de 
velocidad, ya que es la raíz cuadrada de un derivado de la presión con 
respecto a la densidad. Sustituyendo todas estas expresiones en las leyes 
del balance de la masa y del momento (1.33) - (1.34) se obtiene 
(𝜌0 + �̃�)𝑡 + ((𝜌0 + �̃�)�̃�)𝑥 = 0, 
(𝜌0 + �̃�)�̃�𝑡 + (𝜌0 + �̃�)�̃��̃�𝑥 + (𝑝0 + 𝑐
2�̃� + ⋯)𝑥 = 0. 
Ahora linealizamos estas dos ecuaciones descartando todos los productos 
de términos pequeños; la idea es que los productos de términos pequeños 
son más pequeños que los propios términos pequeños. Por lo tanto, se 
obtiene la aproximación 
�̃�𝒕 + 𝝆𝟎�̃�𝒙 = 𝟎, 𝝆𝟎�̃�𝒕 + 𝒄
𝟐�̃�𝒙 = 𝟎. (1.35) 
Estas ecuaciones linealizadas se llaman las ecuaciones de aproximación 
acústicas. Reiterando que, �̃� y �̃� son las pequeñas desviaciones del estado 
ambiental 𝜌0 y 𝑣 = 0. 
Ahora tomamos la derivada respecto a 𝑡 de la primera ecuación en (1.35) y 
la derivada respecto a 𝑥 de la segunda ecuación; tras restar los resultados 
obtenemos 
�̃�𝑡𝑡 − 𝑐
2�̃�𝑥𝑥 = 0. 
Esta es la ecuación de onda para la pequeña desviación �̃�. En forma similar, 
�̃�𝑡𝑡 − 𝑐
2�̃�𝑥𝑥 = 0. 
En otras palabras, las pequeñas perturbaciones en el gas se propagan por la 
ecuación de onda. Recordamos de la sección 1.5 que la ecuación de onda 
admite soluciones de la forma 𝐹(𝑥 − 𝑐𝑡) y 𝐺(𝑥 + 𝑐𝑡), u ondas viajeras a la 
derecha e izquierda viajando a la velocidad 𝑐. Por ejemplo, una pequeña 
densidad o velocidad de perturbación puede moverse hacia la derecha, sin 
distorsión, a la velocidad 𝑐. Perturbaciones de gran amplitud, por ejemplo 
causado por una explosión, no se propagan de esta manera, y toda la teoría 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
60 
 
no lineal incorporada en (1.33) - (1.34) debe ser aplicada. En este caso las 
ondas pueden distorsionarse, y las soluciones discontinuas, llamadas ondas 
de choque, pueden producirse. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
61 
 
Ejercicios 
1. En la derivación de la ecuación de onda (1.30) se asumió que no había 
fuerza de gravedad sobre la cuerda. ¿Cuál sería la ecuación del 
modelo si la gravedad fuera incluida? Tenga en cuenta que la 
gravedad actúa en cada punto de la cuerda y derive la ecuación 
𝑢𝑡𝑡 = 𝑐0
2𝑢𝑥𝑥 − 𝑔, 
donde g es la constante de aceleración debido a la gravedad. 
2. Repita la derivación en esta sección cuando, además, el movimiento 
vertical es retardado por una fuerza amortiguadora proporcional a la 
velocidad de la cuerda. Obtener la ecuación de onda amortiguada 
𝑢𝑡𝑡 = 𝑐0(𝑥)
2𝑢𝑥𝑥 − 𝑘𝑢𝑡 , 
donde 𝑘 es la constante de amortiguamiento. 
3. Suponga que 𝑐0 es una constante. Verifique que 𝑢 = 𝐹(𝑥 − 𝑐0𝑡) y 
𝑢 = 𝐺(𝑥 + 𝑐0𝑡) son solución de (1.30) para cualquier función 𝐹 y 𝐺 dos 
veces diferenciables. Si 𝐹(𝑥) =
1
(1+𝑥2)
 trazar el perfil de la onda en 
tiempo 
𝑢(𝑥, 𝑡) =
1
2
(𝐹(𝑥 − 𝑡) + 𝐹(𝑥 + 𝑡)). 
4. Considere el desplazamiento de una cuerda gobernada por la 
ecuación de onda 
𝑢𝑡𝑡 = 𝑐
2𝑢𝑥𝑥, 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑙, 
donde 𝑐 es una constante, y sujeta a las condiciones de frontera 
𝑢(0, 𝑡) = 0, 𝑢(𝑙, 𝑡) = 0, 𝑡 ≥ 0. 
Mostrar que para algún entero positivo 𝑛 hay una solución de la 
forma 
𝑢𝑛(𝑥, 𝑡) = cos
𝑛𝜋𝑐𝑡
𝑙
𝑠ⅇ𝑛
𝑛𝜋𝑥
𝑙
 
¿Cuál es la condición inicial? Describe el movimiento de la cuerda 
para el caso 𝑛 = 1 y 𝑛 = 2 (Esboza varias curvas para un tiempo fijo 
del perfil de la cuerda). En general para algún 𝑛, ¿Cuál es la frecuencia 
temporal de las oscilaciones representadas por estas soluciones? Estas 
frecuencias son llamadas frecuencias fundamentales y el 
desplazamiento correspondiente es llamado modo fundamental. 
¿Cómo cambia la frecuencia de la cuerda si la longitud 𝑙 también 
cambia? ¿Cómo depende la frecuencia de la tensión? Discuta sus 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
62 
 
respuestas en el contexto de las cuerdas vibrantesde una guitarra. 
Estas soluciones especiales son llamadas ondas estacionarias. 
5. La energía total de la cuerda gobernada por la ecuación (1.28) con 
condiciones de frontera (1.31) está definida por 
𝐸(𝑡) = ∫ (
1
2
𝜌0𝑢𝑡
2 +
1
2
𝜏0𝑢𝑥
2)ⅆ𝑥
𝑙
0
. 
Mostrar que la energía total es constante para todo 𝑡 ≥ 0. Sugerencia: 
Multiplicar (1.28) por 𝑢𝑡 y note que (𝑢𝑡
2)𝑡 = 2𝑢𝑡𝑢𝑡𝑡 y (𝑢𝑡𝑢𝑥)𝑥 =
𝑢𝑡𝑢𝑥𝑥 + 𝑢𝑡𝑥𝑢𝑥. Entonces mostrar que 
ⅆ
ⅆ𝑡
∫ 𝜌0𝑢𝑡
2 ⅆ𝑥
1
0
= [𝜏0𝑢𝑡𝑢𝑥]0
𝑙 −
ⅆ
ⅆ𝑡
∫ 𝜏0𝑢𝑥
2 ⅆ𝑥
𝑙
0
. 
6. Si la ecuación de estado tiene la forma 𝑝 = 𝐹(𝜌) = 𝑘𝜌𝛾, encontrar una 
expresión para la velocidad del sonido c. Usando esta ecuación de 
estado con 𝛾 = 1.4, calcular la velocidad a la que las ondas del sonido 
viajan en el aire. Tomar la densidad del aire como 0.0013 gm por cm 
cúbico. 
7. Usando la ecuación del balance de masa (1.33), demostrar que la 
ecuación del momento balanceado (𝜌𝑣)𝑡 + (𝜌𝑣
2)𝑥 = −𝑝𝑥 puede ser 
escrita en la forma (1.34) 
8. En el extremo de un tubo (𝑥 = 0) de longitud (𝑥 ≥ 0) la densidad del 
aire cambia de acuerdo a la fórmula �̃�(0, 𝑡) = 1 − cos 2𝑡 para 𝑡 ≥ 0, y 
�̃�(0, 𝑡) = 0 para 𝑡 < 0. Encontrar una solución a la ecuación de onda 
con dominio 𝑥 > 0, −∞ < 𝑡 < ∞, en la forma de una onda viajera a la 
derecha que satisface las condiciones de frontera dadas. Tomar 𝑐 = 1 
y dibujar la solución superficial. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
63 
 
1.6 Mecánica Cuántica 
Una de las ecuaciones fundamentales de la física matemática es la ecuación 
de Schrödinger, que es la ecuación básica de la mecánica cuántica. En los 
siguientes párrafos daremos una breve descripción de la ecuación de 
Schrödinger en una dimensión. 
Consideremos una partícula de masa 𝑚 que se mueve sobre el eje 𝑥 bajo la 
influencia de una fuerza continua conservativa dada por 𝐹(𝑥) que depende 
solamente de la posición 𝑥. Según el canon de la mecánica de partículas 
clásica, el movimiento 𝑥 = 𝑥(𝑡) de la partícula es gobernado por la ecuación 
dinámica 
𝒎ⅆ𝟐𝒙
ⅆ𝒕𝟐
= 𝑭(𝒙), (𝟏. 𝟑𝟔) 
que es la segunda ley del movimiento de Newton (masa por aceleración es 
igual a la fuerza). Si se conoce la posición inicial 𝑥(0) y la velocidad inicial 
ⅆ𝑥
ⅆ𝑡
, entonces se puede, en teoría, resolver el modelo de EDO (1.36) sujeto a 
las condiciones iniciales y determinar realmente el estado de la partícula, es 
decir, su posición y velocidad, para todo tiempo 𝑡 > 0. En este sentido, la 
mecánica clásica es un modelo determinista; el conocimiento del estado 
inicial determina la historia futura de la partícula. 
A principios de 1900 se descubrió que este modelo clásico, determinista de 
movimiento falla en la escala atómica. La mecánica cuántica, que es un 
modelo probabilístico, surgió a partir de la revolución de la física atómica. 
La teoría cuántica dicta que la partícula no tiene una posición definida o 
velocidad; más bien, uno postula estadística, o probabilísticamente, la 
interpretación del estado de la partícula en términos de una función de onda 
𝜓(𝑥, 𝑡). El cuadrado de la función de onda, |𝜓|2, es una densidad de 
probabilidad; Es decir, 
∫|𝜓(𝑥, 𝑡)|2 ⅆ𝑥
𝑏
𝑎
 
Se interpreta como la probabilidad de que la partícula está en el intervalo 
𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 en el tiempo 𝑡. Por lo tanto, puesto que la partícula se encuentra 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
64 
 
en algún lugar en el eje 𝑥. De la teoría de probabilidad elemental se sabe 
que la densidad de probabilidad |𝜓(𝑥, 𝑡)|2 contiene toda la información 
estadística para un problema dado (por ejemplo, la media y la varianza de 
la posición). Observa que 𝜓 es de valor complejo, y por lo tanto |𝜓|2 = 𝜓�̅�, 
donde la barra superior denota conjugación compleja. 
Así que la pregunta es cómo encontrar la función de onda. La ecuación que 
gobierna la evolución de un sistema mecánico-cuántico (el análogo de 
((1:36) para un sistema clásico) es la ecuación Schrödinger, una ecuación 
diferencial parcial de segundo orden que tiene la forma 
𝒊ℏ𝝍𝒕 = −
ℏ
𝟐𝒎
𝝍𝒙𝒙 + 𝑽(𝒙)𝝍, 𝒙 ∈ ℝ, 𝒕 > 𝟎, (𝟏. 𝟑𝟕) 
donde 𝑉 = 𝑉(𝑥) es la energía potencial, 𝑚 es la masa, y ℏ = ℎ ∕ (2𝜋), donde 
ℎ = 6.625 × 10−34𝑘𝑔𝑚2 ∕ 𝑠 es la constante de Planck. (Recuérdese que lo 
asociado con la fuerza 𝐹(𝑥) es una función potencial 𝑉(𝑥) definida por la 
ecuación 𝐹(𝑥) = −𝑉′(𝑥); Esto es, la fuerza es el gradiente negativo del 
potencial) Uno puede motivado considerar la ecuación de Schrödinger de 
momento y energía, pero nuestro objetivo aquí no es más que tener en 
cuenta la forma de la ecuación. Se remite al lector a uno de los muchos 
excelentes tratados sobre mecánica cuántica para una discusión completa. 
Un popular estudio en detalle en la literatura matemática es la ecuación de 
Schrödinger libre. 
𝝍𝒕 = 𝒊𝝍𝒙𝒙, (𝟏. 𝟑𝟖) 
donde el potencial 𝑉 se toma como cero (una partícula libre sin fuerzas que 
actúan); las constantes se toman para ser la unidad. Note que se asemeja a 
esta ecuación la ecuación de difusión, pero tiene un coeficiente complejo; 
esto hace que las soluciones de las dos ecuaciones sean bastante diferentes. 
Un método utilizado para encontrar soluciones de (1.37) (observaremos 
más adelante que este método es básico en EDP) es suponer que las 
variables se separan, es decir, la solución tiene la forma de un producto 
𝜓(𝑥, 𝑡) = 𝑦(𝑥)𝜙(𝑡). Sustituyendo esto en (1.37) se obtiene, después de la 
reordenación, 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
65 
 
𝑖ℏ𝜙′(𝑡)
𝜙(𝑡)
=
−
ℏ2
2𝑚
𝑦′′(𝑥) + 𝑉(𝑥)𝑦(𝑥)
𝑦(𝑥)
. 
Aquí, la prima denota la derivada. El lado izquierdo de esta ecuación 
depende sólo de 𝑡, y el lado derecho sólo depende de 𝑥. La única manera en 
que la igualdad puede ocurrir para todo 𝑡 y 𝑥 es si ambos lados son iguales 
a la misma constante, que llamaremos 𝐸 (para "energía"). Por lo tanto, 
obtenemos dos ecuaciones, una para 𝜙, 
ⅆ𝝓
ⅆ𝒕
= (−𝒊𝑬 ∕ ℏ)𝝓, (𝟏. 𝟑𝟗) 
y una para 𝑦, es decir, 
−
ℏ𝟐
𝟐𝒎
𝒚′′ + (𝑽(𝒙) − 𝑬)𝒚 = 𝟎. (𝟏. 𝟒𝟎) 
La solución de (1.39) se encuentra fácilmente como 
𝜙 = 𝐶ⅇ𝑥𝑝(− 𝑖𝐸𝑡 ℏ⁄ ) = 𝐶(cos(−𝐸𝑡 ℏ⁄ ) − 𝑖𝑠ⅇ𝑛 (−𝐸𝑡 ℏ)),⁄ 
Donde 𝐶 es una constante. Así, la parte temporal es oscilatoria (periódica). 
La ecuación (1.40), cuya solución 𝑦(𝑥) da la parte espacial de la función de 
onda, se denomina la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo, y es 
uno de los modelos de EDO fundamentales de la física matemática. Los 
valores de 𝐸 para los que (1.40) tiene una solución no trivial 𝑦(𝑥) con 
∫ 𝑦(𝑥)2 ⅆ𝑥 = 1
∞
−∞
 que se interpreta como los niveles de energía permisibles. 
Esto contrasta con la situación en la mecánica clásica, donde cualquier nivel 
de energía es posible. 
 
 
 
 
 
 
 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
66 
 
Ejercicios 
1. Demuestre que la ecuación diferencial ordinaria 𝑦′′ + 𝑝(𝑥)𝑦′ +
𝑞(𝑥)𝑦 = 0 puede transformarse en la ecuación de tipo de 
Schrödinger 𝑢′′ + 𝑟(𝑥)𝑢 = 0, 𝑟 = 𝑞 − 𝑝′ ∕ 2 − 𝑝2 ∕ 4, sin una 
derivada primera, por la transformación de Liouville 𝑢 =
𝑦 ⅇ𝑥𝑝 (
1
2
∫ 𝑝(𝜉) ⅆ𝜉
𝑥
𝑎
). 
2. Demuestre que ∫ |𝜓(𝑥, 𝑡)|2ⅆ𝑥 = ∫ 𝑦(𝑥)2ⅆ𝑥.
∞
−∞
∞
−∞
 
3. Si 𝑉(𝑥) =
𝑘
2
𝑥2, para un valor especial de 𝐸, la ecuación (1.40) 
admite una solución de la forma 𝑦(𝑥) = 𝐶ⅇ−𝑎𝑥
2
 para algún 𝑎 > 0 y 
alguna constante 𝐶. Determinar 𝑎 y 𝐸 , y esbozar una gráfica de la 
función de densidad probabilística |𝜓|2 en el caso 𝑘 = 𝑚 = ℏ (Use 
una calculadora para calcular 𝐶). Numéricamente calcule la 
probabilidad de que la partícula este en el intervalo [0,1]. 
4. Suponga 𝜓(𝑥, 𝑡), 𝑥 ∈ ℝ, 𝑡 > 0 es una función continua dos veces 
diferenciableque satisface (1.35), y ambas |𝜓|, |𝜓𝑥| → 0 cuando 
|𝑥| → ∞. Demuestre que 
∫|𝜓(𝑥, 𝑡)|2 ⅆ𝑥 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡ⅇ, 𝑡 > 0.
∞
−∞
 
Sugerencia: Derive respecto al tiempo del lado izquierdo, meta la 
derivada dentro de la integral; utilice la ecuación de Schrödinger y 
su conjugado complejo, y finalmente integre los términos �̅�𝑥𝑥𝜓 
por partes. 
5. Una partícula libre de masa 𝑚 está confinada en el intervalo 0 <
𝑥 < 𝜋, y 𝜓(0, 𝑡) = 𝜓(𝜋, 𝑡) = 0 para todo 𝑡. Demuestre que el 
problema asociado independiente del tiempo es 
𝑦′′ +
2𝑚𝐸
ℏ2
𝑦 = 0, 0 < 𝑥 < 𝜋; 𝑦(0) = 𝑦(𝜋) = 0. 
Demuestre que este problema tiene una solución no trivial si y sólo 
si 𝐸 es uno de los valores 𝑛2ℏ2 (2𝑚)⁄ , 𝑛 = 1,2, .... Dibuje las 
funciones de densidad de probabilidad 𝑦(𝑥)2 correspondientes a 
𝑛 = 1 = 1 y 𝑛 = 2 y calcule la probabilidad de que la partícula esté 
en el intervalo [0,0.25] en cada caso. 
 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
67 
 
1.7 Flujo del calor en tres dimensiones 
Hasta ahora, nuestros modelos de EDP han implicado una dimensión 
espacial y el tiempo. Debe quedar claro para el lector que muchos, si no la 
mayoría, de los problemas físicos ocurren en más de una dimensión 
espacial. En esta sección hemos creado un modelo de EDP para el flujo de 
calor en tres dimensiones. Las mismas ideas se transfieren a la difusión de 
productos químicos u otras cantidades biológicas. En esta sección se 
requiere que el lector revise algunos de los conceptos de cálculo 
multivariable. 
La idea es exactamente la misma que en una dimensión, esto es, al formular 
una ley integral de conservación. Sea 𝛺 una región en el espacio donde el 
calor está fluyendo, y sea 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧) la temperatura en el tiempo 𝑡 en el 
punto (𝑥, 𝑦, 𝑧) en 𝛺. Suponemos que la región es homogénea y está 
caracterizada por una constante de calor específico 𝑐 y una constante de 
densidad 𝜌. Ahora sea 𝐵 una esfera arbitraria contenida en omega. Vea la 
Figura 1.8 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.8. Bola arbitraria, o esfera 𝐵, contenida en una 
región 𝛺. 𝜕𝐵 denota la frontera de 𝐵. 
 
Vamos a aplicar un principio de equilibrio de energía para 𝐵 que requiere 
que la tasa de la cantidad total de energía de calor en 𝐵 sea igual a la 
velocidad a la que el calor fluye en 𝐵 a través de su frontera más la velocidad 
a la que la energía térmica es generada por alguna fuente en 𝐵. La cantidad 
total de calor en un pequeño elemento de volumen ⅆ𝑉 = ⅆ𝑥 ⅆ𝑦 ⅆ𝑧 es 
𝑐𝜌𝑢 ⅆ𝑉, y por lo tanto la cantidad total de energía térmica en 
𝐵 viene dada por la integral en tres dimensiones 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
68 
 
∫𝑐𝜌𝑢 ⅆ𝑉
𝐵
 
Esta integral es en algunas ocasiones escrita como una integral triple ∭ ,
𝐵
 
pero para mayor concisión adoptaremos la notación de un solo integrante. 
Suponemos que las fuentes de calor (o sumideros) están dadas por una 
función de punto 𝑓 = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡), en donde 𝑓 ⅆ𝑉 es la velocidad a la que se 
genera calor en ⅆ𝑉; por lo tanto, la velocidad a la que se genera calor en el 
conjunto 𝐵 es 
∫𝑓 ⅆ𝑉.
𝐵
 
Note que 𝑓 tiene dimensiones de energía por unidad de volumen, por 
unidad de tiempo. 
A continuación, se introduce el vector de flujo de calor 𝜙 = 𝜙(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡); su 
dirección corresponde a la dirección del flujo del calor en la posición (𝑥, 𝑦, 𝑧) 
en el tiempo 𝑡. La velocidad a la que el calor fluye a través de un elemento 
de superficie oblicua ⅆ𝐴 orientada por un vector unitario 𝑛 es 
𝜙 ⋅ 𝑛 ⅆ𝐴. 
Ver figura 1.8 
En consecuencia, la tasa neta del flujo de energía calorífica que cruza la 
frontera de 𝐵, denotado por 𝜕𝐵, es la integral de superficie 
∫ 𝜙 ⋅ 𝑛 ⅆ𝐴.
𝜕𝐵
 
De este modo, la ley de conservación, o la ley del balance de energía, es 
ⅆ
ⅆ𝒕
∫ 𝒄𝝆𝒖ⅆ𝑽
𝑩
= −∫ 𝝓 ⋅ 𝒏ⅆ𝑨
𝝏𝑩
+ ∫ 𝒇ⅆ𝑽
𝑩
. (1.41) 
El signo menos que aparece delante de la integral de flujo a la derecha es 
porque si el flujo es hacia afuera, la integral es positiva; el signo menos hará 
que la energía neta en el lado izquierdo de la ecuación disminuya, lo cual 
es correcto. Ahora usamos una de las relaciones integrales fundamentales 
del cálculo multivariable- el teorema de la divergencia. Este teorema nos 
permite volver a escribir la integral de flujo en (1.41) como una integral de 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
69 
 
volumen. El teorema de la divergencia, una versión tridimensional del 
teorema fundamental del cálculo, establece que, bajo los requisitos de 
suficiente diferenciabilidad en el campo vector 𝜙, 
∫div𝜙 ⅆ𝑉
𝐵
= ∫ 𝜙 ⋅ 𝑛 ⅆ𝐴.
𝜕𝐵
 
 
 
 
Figura 1.9. El flujo de calor a través de un elemento de 
superficie ⅆ𝐴 orientada por el vector normal unitario 𝑛 es 
 𝜙 ⋅ 𝑛 ⅆ𝐴. 
 
Recordemos que si 𝜙 = (𝜙1, 𝜙2, 𝜙3), entonces su divergencia es la función 
escalar 
div𝜙 =
𝜕𝜙1
𝜕𝑥
+
𝜕𝜙2
𝜕𝑦
+
𝜕𝜙3
𝜕𝑧
. 
Por lo tanto, podemos escribir la ecuación (1.41) como 
ⅆ
ⅆ𝑡
∫𝑐𝜌𝑢 ⅆ𝑣
𝐵
= −∫ⅆ𝑖𝑣𝜙 ⅆ𝑉
𝐵
+∫𝑓 ⅆ𝑉
𝐵
 
Ahora podemos llevar la derivada respecto al tiempo dentro de la integral 
en el lado izquierdo y finalmente reorganizar todos los términos que están 
dentro en una integral de volumen como 
∫(𝑐𝜌𝑢𝑡 + div𝜙 − 𝑓) ⅆ𝑉
𝐵
= 0. 
Esta ley de balance debe mantenerse en toda la esfera B en 𝛺, y por lo tanto 
el integrando debe desaparecer, dando la ecuación diferencial parcial 
𝒄𝝆𝒖𝒕 + 𝐝𝐢𝐯𝝓 = 𝒇 (1.42) 
Para todo 𝑡 y todo (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝛺. La ecuación (1.42) es una forma menos 
común (en oposición a la integral) de la ley de conservación. Todavía 
contiene dos incógnitas, la temperatura escalar 𝑢 y el vector del flujo de 
calor 𝜙. Una relación constitutiva puede postularse para conectar a las dos. 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
70 
 
Una de esas relaciones es la versión tridimensional de la ley de Fick, o la ley 
de conducción del calor de Fourier, que establece, en consonancia con las 
leyes de la termodinámica, que el calor fluye hacia abajo que el gradiente, o 
en símbolos, 
𝝓 = −𝑲𝐠𝐫𝐚𝐝𝒖 = −𝑲(𝒖𝒙, 𝒖𝒚, 𝒖𝒛). (1.43) 
Recordemos de cálculo que el gradiente negativo de una función apunta en 
la dirección de máxima disminución. La constante de proporcionalidad 𝐾 
es la conductividad térmica. Sustituyendo (1.43) en (1.42) y usando la 
identidad 
div𝑔𝑟𝑎ⅆ 𝑢 = 𝑢𝑥𝑥 + 𝑢𝑦𝑦 + 𝑢𝑧𝑧, 
obtenemos la ecuación del calor para la temperatura 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) en tres 
dimensiones: 
𝒄𝝆𝒖𝒕 − 𝒌(𝒖𝒙𝒙 + 𝒖𝒚𝒚 + 𝒖𝒛𝒛) = 𝒇. (1.44) 
La expresión 𝑢𝑥𝑥 + 𝑢𝑦𝑦 + 𝑢𝑧𝑧 es llamado el Laplaciano de 𝑢 y se denota por 
𝛥𝑢. Esto es, 
𝛥𝑢 = 𝑢𝑥𝑥 + 𝑢𝑦𝑦 + 𝑢𝑧𝑧. 
En algunos libros el Laplaciano de 𝑢 es denotado por 𝛻2𝑢. Finalmente, 
resumiendo, podemos escribir (1.41) como 
𝒖𝒕 − 𝒌𝜟𝒖 =
𝟏
𝒄𝝆
𝒇, (1.45) 
donde la constante 𝑘 =
𝐾
𝑐𝜌
 es llamada la difusividad. 
Por supuesto, estos cálculos se pueden hacer en dos dimensiones para 
describir el flujo de calor en el plano. El análogo bidimensional de (1.45) es 
el mismo, 
𝒖𝒕 − 𝒌𝜟𝒖 =
𝟏
𝒄𝝆
𝒇, (1.43) 
donde ahora 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑡), 𝑓 = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑡), y 𝛥𝑢 es el Laplaciano en dos 
dimensiones. 
𝛥𝑢 = 𝑢𝑥𝑥 + 𝑢𝑦𝑦. 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
71 
 
Generalmente, esperamos que la ecuación de calor tridimensional (1.45) 
vaya con condiciones auxiliares en forma de una condición de temperatura 
inicial 
𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧, 0) = 𝑢0(𝑥, 𝑦, 𝑧) ⅇ𝑛 𝛺 
y condiciones en la frontera 𝜕𝛺. 
Si el término fuente 𝑓 y las condiciones de frontera en 𝜕𝛺 son 
independientes del tiempo, entonces esperamos que el conjunto 𝛺 
eventualmente llegue a una temperatura de equilibrio 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧)que sea 
independiente del tiempo. Esto ocurriría mucho después de que los efectos 
de la condición inicial, se desintegraran. De (1.42), puesto que 𝑢𝑡 = 0, 
inferimos que esta temperatura de equilibrio satisfará la ecuación 
diferencial parcial 
−𝑘𝛥𝑢 =
1
𝑐𝜌
𝑓, 
que es la ecuación de Poisson. Si no hay fuentes, 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) ≡ 0, entonces 𝑢 =
𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧) satisface la ecuación de Laplace 
𝜟𝒖 = 𝟎 𝒆𝒏 𝜴. (1.47) 
La ecuación de Laplace, que se discute en la sección siguiente, es uno de los 
modelos más famosos en las ciencias matemáticas, y gobierna muchos 
fenómenos además de la temperatura en estado de equilibrio. 
Debido a que la ecuación de Laplace (1.47) no contiene al tiempo, esperamos 
que solo las condiciones de frontera se añadan para tener un problema 
físicamente bien planteado. Podemos establecer la temperatura en la 
frontera de 𝛺, es decir, 
𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧), (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝜕𝛺, 
que se llama una condición de Dirichlet; o podemos establecer el flujo de 
calor en el límite, es decir, 
−𝑘 grad𝑢 ⋅ 𝑛 = ℎ(𝑥, 𝑦, 𝑧), (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝜕𝛺, 
que es una condición de Neumann. Si no hay flujo de calor cruzando la 
frontera, entonces ℎ = 0, y decimos que la frontera está aislada. 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
72 
 
Ejercicios: 
1. Suponga que 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧) es un campo escalar. Verifique que 
div (𝑔𝑟𝑎ⅆ 𝑢) = 𝑢𝑥𝑥 + 𝑢𝑦𝑦 + 𝑢𝑧𝑧. 
2. ¿Cuál es la forma de la ley de conservación (1.42) si la conductividad 
térmica 𝐾en la ley de Fourier (1.43) depende de la posición, es decir, 
𝐾 = 𝐾(𝑥, 𝑦, 𝑧)? (En este caso decimos que el medio es heterogéneo). 
3. Suponga que 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧) es una solución al problema de valor en la 
frontera de Neumann 
−𝐾𝛥𝑢 = 𝑓, (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝛺, 
−Kgrad 𝑢 ⋅ 𝑛 = 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧), (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝜕𝛺, 
Donde 𝑓 y 𝑔 son funciones de 𝑥, 𝑦, 𝑧. Demuestre que 𝑓 y 𝑔 deben 
satisfacer la relación 
∫𝑓 ⅆ𝑉
𝛺
= ∫ 𝑔ⅆ𝐴
𝜕𝛺
. 
En términos de flujo de calor constante, ¿cuál es el significado físico 
de esta relación? 
4. Sea 𝑤 un campo escalar y 𝜙 un campo vectorial. Probar la identidad 
vectorial 
ⅆ𝑖𝑣 (𝑤𝜙) = 𝜙 ⋅ 𝑔𝑟𝑎ⅆ 𝑤 + 𝑤 ⅆ𝑖𝑣 𝜙. 
Integrar esta ecuación sobre 𝛺 y tomar 𝜙 = 𝑔𝑟𝑎ⅆ 𝑢, donde 𝑢 es un 
campo escalar, para probar la identidad de Green 
∫𝑤𝛥𝑢 ⅆ𝑉
𝛺
= −∫𝑔𝑟𝑎ⅆ 𝑢 ⋅ 𝑔𝑟𝑎ⅆ 𝑤
𝛺
 ⅆ𝑉 + ∫ 𝑤 𝑔𝑟𝑎ⅆ 𝑢 ⋅ 𝑛 ⅆ𝐴.
𝜕𝛺
 
5. Probar que si el problema de Dirichlet 
𝛥𝑢 = 𝜆𝑢, (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝛺, 
𝑢 = 0, (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝜕𝛺, 
Tiene una solución no trivial 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧), entonces 𝜆 debe ser 
negativo. Sugerencia: Multiplique la ecuación por 𝑢 e integre sobre 𝛺; 
use la identidad de Green del ejercicio 4. 
6. (Principio de Dirichlet) Suponga que 𝑢 satisface el problema de 
Dirichlet 
𝛥𝑢 = 0, (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝛺, 
𝑢 = 𝑓, (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝜕𝛺. 
demuestre que 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
73 
 
∫|𝑔𝑟𝑎ⅆ 𝑢|2 ⅆ𝑉
𝛺
≤ ∫ |𝑔𝑟𝑎ⅆ 𝑤|2 ⅆ𝑉
𝛺
 
Para cualquier otra función 𝑤 que satisfaga 𝑤 = 𝑓 on 𝜕𝛺. Así, la 
solución al problema de Dirichlet minimiza la "energía" 
∫|𝑔𝑟𝑎ⅆ 𝑤|2 ⅆ𝑉.
𝛺
 
Sugerencia: Suponga 𝑤 = 𝑢 + 𝑣, donde 𝑣 = 0 en 𝜕𝛺, y expanda 
∫ |𝑔𝑟𝑎ⅆ 𝑤|2 ⅆ𝑉
𝛺
 usando la identidad de Green. 
7. Si el calor se difunde y transporta en un dominio espacial con flujo 
dado por 𝜙 = −𝐾 𝑔𝑟𝑎ⅆ 𝑢 + 𝑢 ⋅ 𝑣, donde 𝑣 es la velocidad de 
advección vectorial no constante, demuestra que la ecuación de 
advección-difusión gobernante viene dada por 
𝑐𝜌𝑢𝑡 = 𝐾𝛥𝑢 − (ⅆ𝑖𝑣 𝑣)𝑢 − 𝑣 ⋅ 𝑔𝑟𝑎ⅆ 𝑢. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
74 
 
1.8 Ecuación de Laplace 
En la última sección derivamos la ecuación de Laplace: 
𝛥𝑢 = 𝑢𝑥𝑥 + 𝑢𝑦𝑦 = 0 en dos dimensiones; 
𝛥𝑢 = 𝑢𝑥𝑥 + 𝑢𝑦𝑦 + 𝑢𝑧𝑧 = 0 en tres dimensiones. 
Se observó que la ecuación de Laplace modela el flujo de calor constante en 
una región donde la temperatura se fija en la frontera. Ahora, trabajando en 
dos dimensiones, mostramos lo que la ecuación de Laplace nos dice 
físicamente. Sea (𝑥, 𝑦) un punto en la región donde el calor fluya y sea ℎ una 
distancia pequeña. Por el teorema de Taylor tenemos 
𝑢(𝑥 − ℎ, 𝑦) = 𝑢(𝑥, 𝑦) − ℎ𝑢𝑥(𝑥, 𝑦) +
1
2
ℎ2𝑢𝑥𝑥(𝑥, 𝑦) + 𝑂(ℎ
3), 
Donde 𝑂(ℎ3) indica los términos restantes (el término de error), que son al 
menos cúbicos en h. Además, 
𝑢(𝑥 + ℎ, 𝑦) = 𝑢(𝑥, 𝑦) + ℎ𝑢𝑥(𝑥, 𝑦) +
1
2
ℎ2𝑢𝑥𝑥(𝑥, 𝑦) + 𝑂(ℎ
3). 
 
Si sumamos estas dos expresiones y resolvemos para 𝑢𝑥𝑥, obtenemos 
𝑢𝑥𝑥(𝑥, 𝑦) =
𝑢(𝑥 − ℎ, 𝑦) − 2𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑢(𝑥 + ℎ, 𝑦)
ℎ2
+ 𝑂(ℎ2), 
donde 𝑂(ℎ2) denota términos que son cuadráticos en ℎ. Esta expresión en 
el lado derecho es una aproximación de cociente de diferencias para la 
segunda derivada parcial 𝑢𝑥𝑥 en (𝑥, 𝑦), y el error es proporcional a ℎ
2. 
Realizando el mismo cálculo, pero ahora incrementando 𝑦 en vez de 𝑥, 
obtenemos la aproximación 
𝑢𝑦𝑦(𝑥, 𝑦) =
𝑢(𝑥, 𝑦 − ℎ) − 2𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑢(𝑥, 𝑦 + ℎ)
ℎ2
+ 𝑂(ℎ2) 
Por lo tanto, la ecuación de Laplace en (𝑥, 𝑦) puede ser aproximada por la 
ecuación 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
75 
 
𝛥𝑢(𝑥, 𝑦) =
𝑢(𝑥 − ℎ, 𝑦) − 2𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑢(𝑥 + ℎ, 𝑦)
ℎ2
+
𝑢(𝑥, 𝑦 − ℎ) − 2𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑢(𝑥, 𝑦 + ℎ)
ℎ2
+ 𝑂(ℎ2) = 0 
Resolviendo para 𝑢(𝑥, 𝑦) da, al omitir los términos de orden pequeño, 
𝒖(𝒙, 𝒚) =
𝟏
𝟒
(𝒖(𝒙 − 𝒉, 𝒚) + 𝒖(𝒙 + 𝒉, 𝒚) + 𝒖(𝒙, 𝒚 − 𝒉) + 𝒖(𝒙, 𝒚 + 𝒉)) (𝟏. 𝟒𝟖) 
La ecuación (1.48) indica físicamente que la temperatura en un punto (𝑥, 𝑦) 
es aproximadamente (hemos omitido términos pequeños) la media de las 
temperaturas en los cuatro puntos cercanos (𝑥 − ℎ, 𝑦), (𝑥 + ℎ, 𝑦), (𝑥, 𝑦 − ℎ) 
, (𝑥, 𝑦 + ℎ). Vea la Figura 1.10. En el ejercicio 6 y en el capítulo 4 mostramos 
cómo se puede usar esta fórmula para aproximar temperaturas estables. 
También observamos que la temperatura en (𝑥, 𝑦) no puede exceder las 
temperaturas en los puntos vecinos; Por lo que un máximo no podría 
ocurrir en (𝑥, 𝑦). Del mismo modo, un mínimo no podría ocurrir en (𝑥, 𝑦). 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.10. Si 𝑢 satisface la ecuación de Laplace, 
entonces la temperatura en (𝑥, 𝑦) es 
aproximadamente el promedio de las temperaturas 
en los cuatro puntos cercanos. 
 
Esta importante interpretación física puede extenderse a un círculo. Si 
𝑢(𝑥, 𝑦) satisface la ecuación de Laplace en un punto 𝑃0: (𝑥0, 𝑦0) en una 
región, entonces la temperatura en 𝑃0 es el valor medio de la temperatura 
en cualquier círculo 𝐶𝑅(𝑃0) de radio 𝑅 centrado en 𝑃0 situado en la región; 
En símbolos, 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
76 
 
𝑢(𝑥0, 𝑦0) =
1
2𝜋𝑅
∫ 𝑢(𝑥, 𝑦) ⅆ𝑠.
𝐶𝑅(𝑃0)
 
La integral aquí es una integral de línea sobre la curva 𝐶𝑅(𝑃0). (Por 
supuesto, este resultado se generaliza a tres dimensiones: La temperatura 
de estado estacionario en un punto es la media de las temperaturas sobre la 
superficie de cualquier esfera centrada en ese punto.) 
 
Si el valor de 𝑢 en un punto es el promedio de los valores en cualquier 
círculo alrededor de ese punto, entonces el valor de 𝑢 en ese punto no puede 
exceder cada valor de 𝑢 en ningún círculo dado. Intuitivamente, esto parece 
implicar que una función 𝑢 que satisface la ecuación de Laplace en un 
dominio dado no puede tener un máximo local en un punto dentro de ese 
dominio; El máximo debe por lo tanto ocurrir en la frontera del dominio. 
De hecho, esto es cierto, y el resultado se llama el principio del máximo. 
Exponemos con precisión este resultado. 
 
Teorema (El principio del máximo) 
Suponga que 𝑢(𝑥, 𝑦) satisface la ecuación de Laplace en 𝐷, una región abierta, 
acotada, conectada en el plano; Y sea 𝑢 continua en el dominio cerrado 𝐷 ∪ 𝜕𝐷 que 
consiste en 𝐷 y su frontera. Si 𝑢 no es una función constante, entonces los valores 
máximo ymínimo de 𝑢 se alcanzan en la frontera de 𝐷 y en ninguna parte dentro 
de 𝐷. 
Este resultado es también verdadero en tres dimensiones. Es una de las 
propiedades fundamentales de las soluciones a la ecuación de Laplace. 
Muchos problemas bidimensionales que involucran la ecuación de Laplace 
están en regiones (círculos, cuñas, anillos) que se prestan a una descripción 
polar en términos de 𝑟 y 𝜃, en lugar de las coordenadas rectangulares 𝑥 e 𝑦. 
Esto significa que necesitamos una expresión para el laplaciano en términos 
de coordenadas polares; La conexión entre coordenadas polares y 
rectangulares viene dada por las fórmulas familiares 
𝑥 = 𝑟 cos 𝜃 , 𝑦 = 𝑟𝑠ⅇ𝑛𝜃, 
 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
77 
 
o inversamente 
𝑟 = √𝑥2 + 𝑦2, 𝜃 = arctan
𝑦
𝑥
. 
La regla de la cadena nos permite calcular las derivadas parciales 𝑢𝑥𝑥 y 𝑢𝑦𝑦 
en términos de derivadas con respecto a 𝑟 y 𝜃. Primero, calculamos 
𝜕𝑢
𝜕𝑥
; 
obteniendo 
𝜕𝑢
𝜕𝑥
= 𝑢𝑟𝑟𝑥 + 𝑢𝜃𝜃𝑥 = (cos 𝜃)𝑢𝑟 −
𝑠ⅇ𝑛𝜃
𝑟
𝑢𝜃 . 
 
Así, una derivada parcial respecto a 𝑥 produce la operación 
𝜕
𝜕𝑥
= cos 𝜃
𝜕
𝜕𝑟
−
𝑠ⅇ𝑛𝜃
𝑟
𝜕
𝜕𝜃
 
 
En coordenadas polares. Por consiguiente, la segunda parcial es 
(
𝜕
𝜕𝑥
)
2
= (cos 𝜃
𝜕
𝜕𝑟
−
𝑠ⅇ𝑛𝜃
𝑟
𝜕
𝜕𝜃
)
2
 
 = cos2 𝜃
𝜕2
𝜕𝑟2
−
2𝑠ⅇ𝑛𝜃 cos 𝜃
𝑟
𝜕2
𝜕𝑟𝜕𝜃
+
𝑠ⅇ𝑛2 𝜃
𝑟2
𝜕2
𝜕𝜃2
+
2𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑠ⅇ𝑛𝜃
𝑟2
𝜕
𝜕𝜃
+
𝑠ⅇ𝑛2𝜃
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
. 
El lector debe verificar este cálculo. Similarmente, se encuentra que 
(
𝜕
𝜕𝑦
)
2
= (sen 𝜃
𝜕
𝜕𝑟
+
𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑟
𝜕
𝜕𝜃
)
2
 
 
 = sen2 𝜃
𝜕2
𝜕𝑟2
+
2𝑠ⅇ𝑛𝜃 cos 𝜃
𝑟
𝜕2
𝜕𝑟𝜕𝜃
+
𝑐𝑜𝑠2 𝜃
𝑟2
𝜕2
𝜕𝜃2
−
2 𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑠ⅇ𝑛𝜃
𝑟2
𝜕
𝜕𝜃
+
𝑐𝑜𝑠2𝜃
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
. 
 
Al sumar estas dos ecuaciones hay mucha cancelación, y obtenemos 
𝛥𝑢 = 𝑢𝑟𝑟 +
1
𝑟
𝑢𝑟 +
1
𝑟2
𝑢𝜃𝜃 = 0, 
que es la ecuación de Laplace en coordenadas polares. 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
78 
 
En tres dimensiones, los problemas ocurren a menudo en regiones que 
tienen simetría cilíndrica (por ejemplo, porciones de cilindros) o simetría 
esférica (por ejemplo, porciones de esferas). Por lo tanto, es útil tener 
expresiones para el Laplaciano en coordenadas cilíndricas 𝑟, 𝜃 , 𝑧 y 
coordenadas esféricas 𝜌, 𝜃, 𝜙. Las coordenadas cilíndricas en el espacio 
están definidas por las ecuaciones 
𝑥 = 𝑟 cos 𝜃 , 𝑦 = 𝑟𝑠ⅇ𝑛𝜃, 𝑧 = 𝑧, 
que son sólo coordenadas polares más el plano añadido z. La ecuación de 
Laplace en coordenadas cilíndricas es 
𝛥𝑢 = 𝑢𝑟𝑟 +
1
𝑟
𝑢𝑟 +
1
𝑟2
𝑢𝜃𝜃 + 𝑢𝑧𝑧 = 0 
Las coordenadas esféricas (véase la figura 1.11) están relacionadas con 
coordenadas rectangulares por las fórmulas de transformación 
𝑥 = 𝜌 sin𝜙 cos 𝜃 , 𝑦 = 𝜌 sen𝜙 sen 𝜃, 𝑧 = 𝜌 cos𝜙 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.11 Coordenadas esféricas 
 
 
La ecuación de Laplace en coordenadas esféricas es 
𝛥𝑢 = 𝑢𝜌𝜌 +
2
𝜌
𝑢𝜌 +
1
𝜌2 sin𝜙
(𝑠ⅇ𝑛𝜙𝑢𝜙)𝜙
+
1
𝜌2𝑠ⅇ𝑛2𝜙
𝑢𝜃𝜃 = 0. 
Claramente, es un cálculo tedioso usando la regla de la cadena para derivar 
esta fórmula, y dejamos su verificación como un ejercicio. 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
79 
 
Cuando las simetrías están involucradas, estas expresiones para el 
Laplaciano pueden simplificarse significativamente. 
Ejemplo 
Encuentre las temperaturas estables en la región entre dos esferas 
concéntricas de radios 𝜌 = 1 y 𝜌 = 2 si la esfera interna se mantiene en cero 
grados y la esfera externa se mantiene a 10 grados. Debido a que no hay 
variación de la temperatura en las fronteras en la dirección longitudinal (𝜃) 
o en la dirección azimutal (𝜙), está claro que la temperatura constante 
depende solamente de la distancia 𝜌 desde el centro del sistema de 
coordenadas. Es decir, 𝑢 = 𝑢(𝜌). Entonces, en coordenadas esféricas, la 
ecuación de Laplace se simplifica a 
𝑢′′(𝜌) +
2
𝜌
𝑢′(𝜌) = 0. 
Esto es lo mismo que 
ⅆ
ⅆ𝜌
(𝜌2𝑢′) = 0. 
Integrando doblemente con respecto a 𝜌 obtenemos 
𝑢(𝜌) =
𝑎
𝜌
+ 𝑏, 
Donde 𝑎 y 𝑏 son las constantes de integración. Ahora, 𝑢(1) = 0 fuerza a que 
𝑏 = −𝑎, y entonces 𝑢(2) = 10 fuerza a que 𝑎 = −20. Por lo tanto, las 
temperaturas constantes varían radialmente según 
𝑢(𝜌) = 20 (1 −
1
𝜌
). 
 
 
 
 
 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
80 
 
Ejercicios 
1. En dos dimensiones suponemos que 𝑢 = 𝑢(𝑟, 𝜃) satisface la ecuación 
de Laplace 𝛥𝑢 = 0 en el disco 0 ≤ 𝑟 < 2, y en la frontera satisface 
𝑢(2, 𝜃) = 3 𝑠ⅇ𝑛 2𝜃 + 1, 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋. ¿Cuál es el valor de 𝑢 en el origen? 
¿Dónde ocurren los máximos y mínimos de 𝑢 en el dominio cerrado 
0 ≤ 𝑟 ≤ 2? 
2. La ecuación de Laplace en una dimensión es 𝑢′′(𝑥) = 0, que tiene una 
solución general 𝑢(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, donde 𝑎 y 𝑏 son constantes. 
Encuentre la distribución de temperatura en estado estacionario en 
una barra metálica de longitud 𝑙 cuyos extremos en 𝑥 = 0 y 𝑥 = 𝑙 se 
mantienen a las temperaturas 𝑇0 y 𝑇1, respectivamente. Dibuje un 
gráfico que muestre esta distribución. Supongamos que el extremo 
derecho en 𝑥 = 𝑙 está aislado; Ahora ¿cuál es la distribución de 
temperatura en estado estacionario si el extremo izquierdo se 
mantiene en 𝑇0 grados? 
3. Supongamos que una barra de metal de longitud unitaria tiene una 
conductividad variable 𝐾(𝑥) dada por 𝐾(𝑥) = 1 + 𝑥2, 0 ≤ 𝑥 ≤ 1. 
¿Cuál es la distribución de temperatura en estado estacionario 𝑢(𝑥) si 
𝑢(0) = 1 y 𝑢(1) = 4? (Tenga en cuenta que las temperaturas estables 
son modeladas por la ecuación −(𝐾(𝑥)𝑢′)′ = 0). 
4. Encuentre todas las soluciones radiales a la ecuación bidimensional 
de Laplace. Es decir, encontrar todas las soluciones de la forma 𝑢 =
𝑢(𝑟), donde 𝑟 = √𝑥2 + 𝑦2. Encuentre la distribución de temperatura 
en estado estacionario en el dominio anular 1 ≤ 𝑟 ≤ 2 si el círculo 
interno 𝑟 = 1 se mantiene a 0 grados y el círculo exterior 𝑟 = 2 se 
mantiene a 10 grados. 
5. En una región esférica tridimensional 𝐷 libre de cargas, el vector de 
campo eléctrico estático 𝐸 satisface las dos ecuaciones de Maxwell 
ⅆ𝑖𝑣 𝐸 = 0, 𝑟𝑜𝑡 𝐸 = 0 
(El campo eléctrico es producido, por ejemplo, por cargas eléctricas 
fuera de 𝐷). Sea 𝑉 = 𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧) el potencial eléctrico definido por el 
𝑔𝑟𝑎ⅆ 𝑉 = 𝐸 (revise el cálculo multivariable para ver por qué existe tal 
potencial). Demuestre que 𝛥𝑉 = 0. Es decir, el potencial del campo 
eléctrico estático satisface la ecuación de Laplace. 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
81 
 
6. Este ejercicio ilustra un procedimiento numérico importante para 
resolver la ecuación de Laplace en un rectángulo. Considere la 
ecuación de Laplace en el rectángulo 𝐷: 0 < 𝑥 < 4, 0 < 𝑦 < 3 con 
condiciones de frontera dadas en la parte inferior y superior por 
𝑢(𝑥, 0) = 0, 𝑢(𝑥, 3) = 0 para 0 ≤ 𝑥 ≤ 4 y condiciones de frontera 
dadas en los lados por 𝑢(0, 𝑦) = 2𝑦(3 − 𝑦), 𝑢(4, 𝑦) = 0 para 0 ≤ 𝑦 ≤
4. Aplique la propiedad del valor medio (1.45) con ℎ = 1 en cada uno 
de los seis puntos de la red (1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,1), (3, 2) dentro 
de 𝐷 para obtener un sistema de seis ecuaciones para las seis 
temperaturas desconocidas 𝑢(𝑖, 𝑗), 𝑖 = 1,2,3; 𝑗 = 1,2. Resolver el 
sistema para aproximar la distribución de temperatura constante y 
trazar la superficie aproximada resultante usando un paquete de 
software. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
82 
 
1.9 Clasificación de las Ecuaciones 
Diferenciales Parciales 
Una ecuación diferencial ordinaria se clasifica según su orden (la derivada 
más alta que aparece) y si es lineal o no lineal. Los modelos de EDP son 
más difíciles de clasificar. No sólo son cuestiones importantes de orden y 
linealidad, sino que la estructura de una EDP es igualmente importante. 
De hecho, la estructura de una EDP dicta qué tipo de frontera y condición 
inicial se puede imponer y, en últimainstancia, qué tipos de procesos 
físicos modela la EDP. 
¿Qué entendemos por la estructura de una EDP? Para fijar la noción, 
consideremos las ecuaciones de segundo orden. Ya hemos obtenido tres 
ecuaciones modelo 
𝑢𝑡 − 𝑘𝑢𝑥𝑥 = 0 (Ecuación de difusión) 
𝑢𝑡𝑡 − 𝑐
2𝑢𝑥𝑥 = 0 (Ecuación de onda) 
𝑢𝑥𝑥 + 𝑢𝑦𝑦 = 0 (Ecuación de Laplace) 
Las dos primeras son ecuaciones de evolución que describen cómo 
evoluciona un proceso en el tiempo; Cabe esperar que cada una de ellas 
requiera datos iniciales que den el estado del sistema en el momento 𝑡 = 0. 
El tercero es una ecuación de equilibrio en la que el tiempo no es un 
problema -es de esperar que las condiciones de frontera sean apropiadas. 
Además, sospechamos que las soluciones de estas tres ecuaciones se 
comportarían de manera diferente. La difusión tiende a difuminar las 
señales, mientras que las ondas tienden a propagarse con cierta coherencia; 
Las soluciones a la ecuación de Laplace son de estado estacionario y no 
varían en el tiempo en absoluto. Por lo tanto, si clasificáramos físicamente 
estas tres ecuaciones, las llamaríamos difusivas, ondulatorias y estáticas, 
respectivamente. 
En general, consideremos una ecuación diferencial de segundo orden de la 
forma 
𝑨𝒖𝒙𝒙 +𝑩𝒖𝒙𝒕 + 𝑪𝒖𝒕𝒕 + 𝑭(𝒙, 𝒕, 𝒖, 𝒖𝒙, 𝒖𝒕) = 𝟎, (1.52) 
Donde 𝐴, 𝐵 y 𝐶 son constantes. Obsérvese que las derivadas de segundo 
orden se supone que aparecen de forma lineal o de primer grado; La 
expresión 𝐿𝑢 ≡ 𝐴𝑢𝑥𝑥 + 𝐵𝑢𝑥𝑡 + 𝐶𝑢𝑡𝑡 se llama la parte principal de la 
ecuación, y es en esta parte en la que basamos la clasificación. Obsérvese 
que hemos utilizado las variables independientes 𝑥 y 𝑡; Si el problema 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
83 
 
involucra sólo variables espaciales, reemplazaremos 𝑡 por 𝑦. La clasificación 
se basa en el signo de la cantidad 
𝐷 ≡ 𝐵2 − 4𝐴𝐶, 
que se llama el discriminante. Si 𝑫 > 𝟎, decimos que (1.52) es hiperbólica; 
Si 𝑫 < 𝟎, decimos que (1.52) es elíptica; Si 𝑫 = 𝟎, decimos que (1.52) es 
parabólica. Bajo esta clasificación, la ecuación de difusión es parabólica, la 
ecuación de onda es hiperbólica y la ecuación de Laplace es elíptica. Esta 
terminología viene de la clasificación familiar de curvas planas; Por 
ejemplo, 𝐴𝑥2 + 𝐶𝑡2 = 1, donde 𝐴, 𝐶 > 0, 𝐵 = 0 (y así 𝐷 < 0) se representa 
como una elipse en el plano 𝑥𝑡. Similarmente, 𝐴𝑥2 − 𝐶𝑡2 = 1 representa una 
hipérbola, y así sucesivamente. De esta forma resulta que, todas las 
ecuaciones parabólicas son de tipo difusión, todas las ecuaciones 
hiperbólicas son ondulatorias, y todas las ecuaciones elípticas son estáticas. 
Más adelante mostraremos por qué esto es cierto. 
 
Si 𝐴, 𝐵 y 𝐶 no son constantes, sino más bien funciones de las variables 
independientes 𝑥 y 𝑡, entonces el discriminante 𝐷 depende de 𝑥 y 𝑡. 
Hacemos las mismas definiciones en este caso, pero ahora el signo de 𝐷 
puede cambiar, dependiendo del dominio. Los problemas que cambian de 
tipo de una región a otra pueden ser difíciles, y no los consideramos en este 
texto. También es posible la clasificación de los sistemas de EDP, así como 
la clasificación de las EDP con la parte principal no lineal donde los 
coeficientes 𝐴, 𝐵 y 𝐶 dependen de la solución 𝑢 en sí misma. El lector será 
referido a un tratamiento más avanzado para una discusión de estos 
asuntos. 
Ahora mostramos que la parte principal Lu en la ecuación (1.52) puede ser 
simplificada para cada uno de los tres tipos introduciendo un nuevo 
conjunto de variables independientes. Esta estrategia de búsqueda de un 
cambio de variables que simplifica un problema es común en las ecuaciones 
diferenciales. Examinamos el caso donde 𝐴, 𝐵 y 𝐶 son constantes, y 
buscamos una transformación lineal 
𝜉 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑡, 𝜏 = 𝑐𝑥 + ⅆ𝑡 
Que simplifica 𝐿𝑢. Aquí 𝜉 y 𝜏 son nuevas variables independientes, y 𝑎, 𝑏,𝑐 
y ⅆ deben ser determinadas. Se supone que 𝑎ⅆ − 𝑏𝑐 ≠ 0, de manera que la 
transformación es invertible, es decir, podemos resolver para 𝑥 y 𝑡 en 
términos de 𝜉 y 𝜏. La función dependiente 𝑢 en las nuevas variables será 
denotada por 𝑈; Es decir, 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑈(𝑎𝑥 + 𝑏𝑡, 𝑐𝑥 + ⅆ𝑡). Entonces, por la 
regla de la cadena para las derivadas, 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
84 
 
𝑢𝑥 = 𝑈𝜉𝜉𝑥 + 𝑈𝜏𝜏𝑥 = 𝑎𝑈𝜉 + 𝑐𝑈𝜏, 
𝑢𝑡 = 𝑈𝜉𝜉𝑡 + 𝑈𝜏𝜏𝑡 = 𝑏𝑈𝜉 + ⅆ𝑈𝜏. 
 
Para obtener la segunda parcial se requiere otra aplicación de la regla de la 
cadena. Tenemos 
𝑢𝑥𝑥 =
𝜕
𝜕𝑥
(𝑎𝑈𝜉 + 𝑐𝑈𝜏) 
 = 𝑎(𝑎𝑈𝜉𝜉 + 𝑐𝑈𝜉𝜏) + 𝑐(𝑎𝑈𝜉𝜏 + 𝑐𝑈𝜏𝜏) 
 = 𝑎2𝑈𝜉𝜉 + 2𝑎𝑐𝑈𝜉𝜏 + 𝑐
2𝑈𝜏𝜏. 
 
Las otras dos segundas derivadas parciales se calculan de manera similar, 
y obtenemos 
𝑢𝑡𝑡 = 𝑏
2𝑈𝜉𝜉 + 2𝑏 ⅆ𝑈𝜉𝜏 + ⅆ
2𝑈𝜏𝜏, 
𝑢𝑥𝑡 = 𝑎𝑏𝑈𝜉𝜉 + (𝑎ⅆ + 𝑐𝑏)𝑈𝜉𝜏 + 𝑐 ⅆ𝑈𝜏𝜏 
Sustituyendo estas cantidades en la parte principal y simplificando 
términos, obtenemos 
𝑨𝒖𝒙𝒙 +𝑩𝒖𝒙𝒕 + 𝑪𝒖𝒕𝒕 = (𝑨𝒂
𝟐 +𝑩𝒂𝒃+ 𝑪𝒃𝟐)𝑼𝝃𝝃 
 +(𝟐𝒂𝒄𝑨 + 𝑩(𝒂ⅆ + 𝒃𝒄) + 𝟐𝑪𝒃ⅆ)𝑼𝝃𝝉 
 +(𝑨𝒄𝟐 +𝑩𝒄ⅆ + 𝒄ⅆ𝟐)𝑼𝝉𝝉. (1.53) 
Ahora podemos seleccionar 𝑎, 𝑏, 𝑐, ⅆ para que algunas de las segundas 
parciales de las nuevas variables desaparezcan. Este proceso debe 
manejarse de manera diferente dependiendo del signo del discriminante 𝐷. 
 
Caso hiperbólico, 𝑫 > 𝟎 
Tenemos cierta flexibilidad, así que elijamos 𝑎 = 𝑐 = 1. A continuación, los 
coeficientes de 𝑈𝜉𝜉 y 𝑈𝜏𝜏, los cuales tienen la misma forma, se convierten en 
expresiones cuadráticas en 𝑏 y ⅆ, respectivamente, y podemos obligar a los 
coeficientes a desaparecer mediante la elección 
𝒃 =
−𝑩 + √𝑫
𝟐𝑪
, ⅆ =
−𝑩− √𝑫
𝟐𝑪
. (𝟏. 𝟓𝟒) 
Aquí hemos utilizado la fórmula cuadrática. El coeficiente restante, el de 
𝑈𝜉𝜏, es distinto de cero (lo dejamos como un ejercicio). En resumen, la 
transformación 
𝝃 = 𝒙 + (
−𝑩 + √𝑫
𝟐𝑪
)𝒕, 𝝉 = 𝒙 + (
−𝑩 − √𝑫
𝟐𝑪
) 𝒕 (𝟏. 𝟓𝟓) 
Transforma la Ecuación Diferencial Parcial (1.52) en una ecuación más 
simple de la forma 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
85 
 
𝑈𝜉𝜏 + 𝐺(𝜉, 𝜏, 𝑈, 𝑈𝜉 , 𝑈𝜏) = 0, 
donde sólo aparece la segunda derivada parcial mezclada. Por lo tanto, 
existe una simplificación significativa sobre (1.55), donde se producen todas 
las segundas derivadas parciales. 
Esta última ecuación se denomina forma canónica de una ecuación 
hiperbólica, y las coordenadas 𝜉 y 𝜏 definidas por (1.55) se denominan 
coordenadas características. La transformación a estas coordenadas es casi 
siempre la estrategia preferida para las Ecuaciones Diferenciales Parciales 
hiperbólicas. 
Finalmente, sí 𝐶 = 0, entonces (1.54) no es válida; en este caso se selecciona 
𝑏 = ⅆ = 1 y 
𝑎 =
−𝐵 + √𝐷
2𝐴
, 𝑐 =
−𝐵 − √𝐷
2𝐴
. 
 
Caso parabólico, 𝑫 = 𝟎 
Ahora las ecuaciones (1.54) dan 𝑏 = ⅆ, y la transformación resultante 𝜉 =
𝑥 + 𝑏𝑡, 𝜏 = 𝑥 + 𝑏𝑡 no es invertible. Así que debemos proceder de manera 
diferente. Observe que si elegimos 𝑎 = 𝑐 = 1, ⅆ = (−𝐵)/((2𝐶) ), y 𝑏 = 0, 
entonces los coeficientes de 𝑈𝜏𝜏 y 𝑈𝜉𝜏 en (1.53) desaparecen (¡otro ejercicio!). 
Por lo tanto, la transformación 
𝜉 = 𝑥, 𝜏 = 𝑥 −
𝐵
2𝐶
𝑡 
transforma la ecuación (1.52) a 
𝑈𝜉𝜉 +𝐻(𝜉, 𝜏, 𝑈, 𝑈𝜉 , 𝑈𝜏) = 0, 
Donde sólo aparece una doble parcial, y ésta es la forma canónica en el caso 
parabólico. Observe su semejanza con la ecuación de calor. 
Caso elíptico, 𝐷 < 0 
Ahora 𝑏 y ⅆ en (1.54) son números complejos conjugados, es decir, ⅆ = �̅�. 
Al seleccionar 𝑎 = 𝑐 = 1, se obtiene una transformación compleja 
𝜉 = 𝑥 + 𝑏𝑡, 𝜏 = 𝑥 + �̅�𝑡. 
Pero entonces, una transformación real puede ser encontrada tomando 
variables reales 
𝛼 =
1
2
(𝜉 + 𝜏), 𝛽 =
12𝑖
(𝜉 − 𝜏). 
Es un ejercicio para demostrar que esto transforma (1.49) en la ecuación 
𝑈𝛼𝛼 + 𝑈𝛽𝛽 + 𝐾(𝛼, 𝛽, 𝑈, 𝑈𝛼 , 𝑈𝛽) = 0, 
Donde están presentes ambas parciales dobles y la parcial mixta está 
ausente; La última ecuación es la forma canónica para las ecuaciones 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
86 
 
elípticas. Reconocemos la combinación de las segundas derivadas parciales 
como el operador Laplaciano. 
Generalmente, las coordenadas características son útiles sólo para 
ecuaciones hiperbólicas, y no desempeñan un papel particularmente 
importante en las ecuaciones elípticas y parabólicas. Las ecuaciones de 
primer orden, como una ecuación de reacción-advección, se clasifican como 
hiperbólicas porque propagan señales como la ecuación de onda. Las 
ecuaciones lineales homogéneas de segundo orden con coeficientes 
constantes también se clasifican a veces por su relación de dispersión 𝜔 =
𝜔(𝑘) (véase el Ejercicio 10, Sección 1.1). Si 𝑤(𝑘) es compleja, la EDP se llama 
difusiva, y si 𝜔(𝑘) es real y 𝜔′′(𝑘) ≠ 0, la EDP se llama dispersiva. La 
ecuación de difusión es difusiva; La ecuación de onda no es ni difusiva ni 
dispersiva. El término dispersivo significa que la velocidad 𝜔(𝑘)/𝑘 de una 
onda plana 𝑢 = 𝐴ⅇ𝑖(𝑘𝑥−𝜔(𝑘)𝑡) viajando depende del número de onda 𝑘. Así, 
las ondas de diferentes longitudes de onda viajan a diferentes velocidades 
y, por lo tanto, "se dispersan". 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
87 
 
Ejercicios 
1. Clasificar la EDP 
𝑢𝑥𝑥 + 2𝑘𝑢𝑥𝑡 + 𝑘
2𝑢𝑡𝑡 = 0, 𝑘 ≠ 0. 
Encontrar una transformación 𝜉 = 𝑥 + 𝑏𝑡, 𝜏 = 𝑥 + ⅆ𝑡 de las variables 
independientes que transforme la ecuación en una ecuación más 
simple de la forma 𝑈𝜉𝜉. Hallar la solución a la ecuación dada en 
términos de dos funciones arbitrarias. 
2. Encontrar la solución de la EDP 
2𝑢𝑥𝑥 − 4𝑢𝑥𝑡 + 𝑢𝑥 = 0 
en términos de dos funciones arbitrarias. Sugerencia: Hacer una 
transformación. 
3. Clasificar la EDP 
𝑥𝑢𝑥𝑥 − 4𝑢𝑥𝑡 = 0 
en la región 𝑥 > 0. Obsérvese que la EDP tiene coeficientes variables. 
Resuelve la ecuación haciendo el cambio no lineal de variables 𝜉 = 𝑡,
𝜏 = 𝑡 + 4 ln 𝑥. La solución es 
𝑢 = ⅇ−𝑡∕4𝑓(𝑡 + 4 ln 𝑥) + 𝑔(𝑡), 
donde 𝑓 y 𝑔 son funciones arbitrarias. 
4. Demostrar que la ecuación 
𝑢𝑡𝑡 − 𝑐
2𝑢𝑥𝑥 + 𝑎𝑢𝑡 + 𝑏𝑢𝑥 + ⅆ𝑢 = 𝑓(𝑥, 𝑡) 
puede transformarse en una ecuación de la forma 
𝑤𝜉𝜏 + 𝑘𝑤 = 𝑔(𝜉, 𝜏), 𝑤 = 𝑤(𝜉, 𝜏) 
haciendo primero la transformación 𝜉 = 𝑥 − 𝑐𝑡, 𝜏 = 𝑥 + 𝑐𝑡 y luego 
haciendo 𝑢 = 𝑤ⅇ𝛼𝜉+𝛽𝜏 para alguna elección de 𝛼, 𝛽. 
5. Clasificar la EDP 
𝑢𝑥𝑥 − 6𝑢𝑥𝑦 + 12𝑢𝑦𝑦 = 0. 
Encuentre una transformación de variables independientes que la 
cambie a la ecuación de Laplace. 
6. Clasificar la EDP 
𝑥2𝑢𝑥𝑥 + 2𝑥𝑢𝑥𝑡 + 𝑢𝑡𝑡 = 𝑢𝑡 
y encontrar la solución general usando la transformación 𝜉 = 𝑥ⅇ−𝑡 ,
𝜏 = 𝑡. 
7. Demuestre que la ecuación de difusión es difusiva y la ecuación de 
onda no es difusiva ni dispersiva. (Véase el ejercicio 10, sección 1.1). 
 
 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
88 
 
Capítulo 2 
Ecuaciones diferenciales parciales en 
dominios no acotados 
 
 
2.1 Problema de Cauchy para la Ecuación del 
Calor 
 
En este capítulo investigamos problemas en dominios espaciales no 
acotados. Comenzamos con la ecuación de calor, o ecuación de difusión, en 
la recta real. Es decir, consideramos el problema de valor inicial 
𝒖𝒕 = 𝒌𝒖𝒙𝒙, 𝒙 ∈ ℝ, 𝒕 > 𝟎, (𝟐. 𝟏) 
𝒖(𝒙, 𝟎) = 𝝓(𝒙), 𝒙 ∈ ℝ. (𝟐. 𝟐) 
Físicamente, este problema es un modelo de flujo de calor en una barra 
infinitamente larga donde se establece la temperatura inicial 𝜙(𝑥). En un 
contexto químico o biológico, la ecuación regula las variaciones de 
densidad bajo un proceso de difusión. Observe que no hay fronteras en el 
problema, por lo que no establecemos condiciones de contorno 
explícitamente. Sin embargo, para problemas en dominios infinitos, las 
condiciones en el infinito son a veces declaradas explícitamente o 
entendidas. Tal condición podría requerir límites de la solución o algún tipo 
de decaimiento de la solución a cero cuando 𝑥 → ±∞. En matemáticas, un 
problema de valor inicial puro como (2.1) - (2.2) es a menudo llamado un 
problema de Cauchy. 
La obtención de la solución de (2.1) - (2.2) se realiza en dos etapas. Primero 
resolveremos el problema para una función escalonada especial 𝜙(𝑥), y 
entonces construiremos la solución a (2.1) - (2.2) usando esa solución 
especial. Así que, primero vamos a considerar el problema 
𝒘𝒕 = 𝒌𝒘𝒙𝒙, 𝒙 ∈ ℝ, 𝒕 > 𝟎, (𝟐. 𝟑) 
𝒘(𝒙, 𝟎) = 𝟎, 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒙 < 𝟎; 𝒘(𝒙, 𝟎) = 𝒖𝟎 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒙 > 𝟎, (𝟐. 𝟒) 
donde hemos tomado la condición inicial para ser una función escalonada 
con salto 𝑢0. 
Motivamos nuestra aproximación a la solución de (2.3) - (2.4) con una idea 
simple a partir del tema del análisis dimensional. El análisis dimensional se 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
89 
 
refiere al estudio de las unidades (segundos, metros, kilogramos, etc.) y las 
dimensiones (tiempo, longitud, masa, etc.) de las cantidades en un 
problema y cómo se relacionan entre sí. Las ecuaciones deben ser 
coherentes dimensionalmente (no se pueden añadir manzanas a las 
naranjas), y se pueden extraer conclusiones importantes de este hecho. La 
piedra angular en el análisis dimensional es el resultado que se denomina 
teorema pi. El teorema pi garantiza que siempre que exista una ley física 
que relaciona las cantidades dimensionadas 𝑞1, … , 𝑞𝑚. Por una cantidad 
adimensional queremos decir una en la que todas las dimensiones 
(longitud, tiempo, masa, etc.) se anulan. Como un simple ejemplo tomar la 
ley 
ℎ = −
1
2
𝑔𝑡2 + 𝑣𝑡 
que da la altura h de un objeto en el tiempo 𝑡 cuando se lanza hacia arriba 
con la velocidad inicial 𝑣; La constante 𝑔 es la aceleración debida a la 
gravedad. Aquí las cantidades dimensionadas son ℎ, 𝑡, 𝑣 y 𝑔, con 
dimensiones de longitud, tiempo, longitud por tiempo y longitud por 
tiempo-cuadrado. Esta ley puede ser reorganizada y escrita como 
ℎ
𝑣𝑡
= −
1
2
(
𝑔𝑡
𝑣
) + 1 
En términos de las dos magnitudes adimensionales 
𝜋1 ≡
ℎ
𝜈𝑡
 𝑦 𝜋2 ≡
𝑔𝑡
𝑣
. 
Por ejemplo, ℎ es una longitud y 𝑣𝑡, una velocidad por tiempo dada en 
longitud sobre tiempo por tiempo, que es también una longitud; Así 𝜋1, o ℎ 
dividido por 𝑣𝑡, no tiene dimensiones. De forma similar, 𝜋2 es 
adimensional. Una ley en variables dimensionadas siempre puede ser 
reformulada en cantidades adimensionales. Así que la ley física se puede 
escribir como 𝜋1 = −
1
2
𝜋2 + 1. 
Utilizamos un razonamiento similar para obtener la forma de la solución 
del problema de valor inicial (2.3) - (2.4). Primero enumeramos todas las 
variables y constantes en el problema: 𝑥, 𝑡, 𝑤, 𝑢0, 𝑘. Éstas tienen dimensiones 
longitud, tiempo, grados, grados y longitud al cuadrado por tiempo, 
respectivamente. Observamos que 𝑤 ∕ 𝑢0 es una cantidad adimensional 
(grados divididos por grados); La única cantidad adimensional 
independiente en el problema es 𝑥 ∕ √4𝑘𝑡 (el "4" se incluye por 
conveniencia). Por lo tanto, esperamos que la solución pueda ser escrita 
como una combinación de estas variables adimensionales, o 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
90 
 
𝑤
𝑢0
= 𝑓 (
𝑥
√4𝑘𝑡
) 
Para alguna función 𝑓 a determinar. De hecho, este es el caso. Así que 
sustituyamos 
𝑤 = 𝑓(𝑧), 𝑧 =
𝑥
√4𝑘𝑡
 
en la EDP (2.3). Hemos tomado 𝑢0 = 1 por simplicidad. La regla de la 
cadena nos permite calcular las derivadas parciales como 
𝑤𝑡 = 𝑓
′(𝑧)𝑧𝑡 = −
1
2
𝑥
√4𝑘𝑡3
𝑓′(𝑧), 
𝑤𝑥 = 𝑓
′(𝑧)𝑧𝑥 =
1
√4𝑘𝑡
𝑓′(𝑧), 
𝑤𝑥𝑥 =
𝜕
𝜕𝑥
𝑤𝑥 =
1
4𝑘𝑡
𝑓′′(𝑧). 
Sustituyendo estas cantidades en (2.3) se obtiene, después de algunas 
simplificaciones, unaecuación diferencial ordinaria, 
𝑓′′(𝑧) + 2𝑧𝑓′(𝑧) = 0, 
para 𝑓(𝑧). Esta ecuación se resuelve fácilmente multiplicando por el factor 
de integración ⅇ𝑧
2
 e integrando para obtener 
𝑓′(𝑧) = 𝑐1ⅇ
−𝑧2 , 
donde 𝑐1 es una constante de integración. Integrando de 0 a 𝑧 obtenemos 
𝑓(𝑧) = 𝑐1∫ ⅇ
−𝑟2 ⅆ𝑟
𝑧
0
+ 𝑐2, 
donde 𝑐2 es otra constante de integración. Por lo tanto, hemos determinado 
soluciones de (2.3) de la forma 
𝑤(𝑥, 𝑡) = 𝑐1∫ ⅇ
−𝑟2 ⅆ𝑟
𝑥
√4𝑘𝑡
0
+ 𝑐2. 
A continuación se aplica la condición inicial (2.4) (con 𝑢0 = 1) para 
determinar las constantes 𝑐1 y 𝑐2. Para un 𝑥 < 0 fijo tomamos el límite 
cuando 𝑡 → 0 para obtener 
0 = 𝑤(𝑥, 0) = 𝑐1∫ −ⅇ
−𝑟2 ⅆ𝑟
−∞
0
+ 𝐶2. 
Para un 𝑥 > 0 fijo tomamos el límite cuando 𝑡 → 0 para obtener 
1 = 𝑤(𝑥, 0) = 𝑐1∫ ⅇ
−𝑟2 ⅆ𝑟
∞
0
+ 𝑐2. 
Recordando que 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
91 
 
∫ ⅇ−𝑟
2
ⅆ𝑟
∞
0
=
√𝜋
2
, 
Podemos resolver las últimas dos ecuaciones para obtener 𝑐1 =
1
√𝜋
, 𝑐2 =
1
2
. 
Por lo tanto, la solución a (2.3)-(2.4) con 𝑢0 = 1 es 
𝒘(𝒙, 𝒕) =
𝟏
𝟐
+
𝟏
√𝝅
∫ 𝒆−𝒓
𝟐
ⅆ𝒓
𝒙
√𝟒𝒌𝒕
𝟎
. (𝟐. 𝟓) 
Esta solución bien puede ser escrita como 
𝒘(𝒙, 𝒕) =
𝟏
𝟐
(𝟏 + 𝒆𝒓𝒇 (
𝒙
√𝟒𝒌𝒕
)) (𝟐. 𝟔) 
En función de una función especial llamada función "erf", definida por 
ⅇ𝑟𝑓(𝑧) =
2
√𝜋
∫ ⅇ−𝑟
2
ⅆ𝑟.
𝑧
0
 
La figura 2.1 muestra un gráfico de varias instantáneas de tiempo de la 
solución (2.6). 
 
 
 
 
Figura 2.1 Perfiles de temperatura para diferentes 
tiempos cuando la temperatura inicial es una 
función escalonada. 
 
 
 
Ahora usaremos (2.5) y un argumento físico para deducir una solución al 
problema de Cauchy (2.1) - (2.2). Más adelante, en la sección 2.7, 
presentamos un argumento analítico basado en las transformadas de 
Fourier. Hacemos algunas observaciones. En primer lugar, si una función 
𝑤 satisface la ecuación del calor, también lo hace 𝑤𝑥, la derivada parcial de 
esa función con respecto a x. Esto es fácil de ver porque 
0 = (𝑤𝑡 − 𝑘𝑤𝑥𝑥)𝑥 = (𝑤𝑥)𝑡 − 𝑘(𝑤𝑥)𝑥𝑥. 
Por lo tanto, dado que 𝑤(𝑥, 𝑡) resuelve la ecuación de calor, la función 
𝐺(𝑥, 𝑡) ≡ 𝑤𝑥(𝑥, 𝑡) 
resuelve la ecuación de calor. Por diferenciación directa encontramos que 
𝑮(𝒙, 𝒕) =
𝟏
√𝟒𝝅𝒌𝒕
𝒆−
𝒙𝟐
𝟒𝒌𝒕. (𝟐. 𝟕) 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
92 
 
La función 𝐺 se llama núcleo del calor o solución fundamental a la ecuación 
de calor; El lector notará que para cada 𝑡 > 0 se representa como una curva 
en forma de campana (véase el Ejercicio 1, Sección 1.1), y el área bajo la 
curva para cada 𝑡 < 0 es uno; es decir, 
∫ 𝐺(𝑥, 𝑡) ⅆ𝑥
∞
−∞
= 1, 𝑡 > 0. 
𝐺(𝑥, 𝑡) es la superficie de temperatura que resulta de una fuente de calor 
unitaria inicial, es decir, inyectando una cantidad unitaria de calor en 
𝑥 = 0 en el tiempo 𝑡 = 0. Observamos además que el desplazamiento del 
perfil de temperatura de nuevo conduce a una solución a la ecuación de 
calor. Por tanto, 𝐺(𝑥 − 𝑦, 𝑡), que es la superficie de temperatura causada por 
una fuente de calor unitaria inicial en 𝑦, resuelve la ecuación de calor para 
cualquier 𝑦 fijo, pero arbitrario. Si 𝜙(𝑦), en lugar de la unidad, es la 
magnitud de la fuente en 𝑦, entonces 𝜙(𝑦)𝐺(𝑥 − 𝑦, 𝑡) da la superficie de 
temperatura resultante; El área bajo un perfil de temperatura es ahora 𝜙(𝑦), 
donde 𝑦 es la ubicación de la fuente. Ahora, consideremos la función de 
temperatura inicial 𝜙 en (2.2) como una fuente de distribución continua 
𝜙(𝑦) para cada 𝑦 ∈ ℝ. Entonces, superponiendo todos los efectos 
𝜙(𝑦)𝐺(𝑥 − 𝑦, 𝑡) para todo 𝑦, se obtiene el efecto total de todas estas fuentes 
aisladas; es decir, 
𝒖(𝒙, 𝒕) = ∫ 𝝓(𝒚)𝑮(𝒙 − 𝒚, 𝒕) ⅆ𝒚
∞
−∞
 
 = ∫ 𝝓(𝒚)
𝟏
√𝟒𝝅𝒌𝒕
𝒆−
(𝒙−𝒚)𝟐
𝟒𝒌𝒕 ⅆ𝒚 (𝟐. 𝟖)
∞
−∞
 
es una solución al problema de Cauchy (2.1) - (2.2) para una suposición 
razonable en la condición inicial 𝜙. Más precisamente, si 𝜙 es una función 
continua acotada, entonces 𝑢(𝑥, 𝑡) dada por (2.8) es una solución a la 
ecuación de calor y 𝑢(𝑥, 𝑡) → 𝜙(𝑥) cuando 𝑡 → 0+. Si 𝜙 es sólo continua por 
partes (es decir, si tiene muchas discontinuidades de salto, pero finitas, en 
cualquier intervalo acotado [𝑎, 𝑏] en ℝ), entonces 𝑢(𝑥, 𝑡) todavía resuelve 
(2.1), pero cuando 𝑡 → 0+ la solución se aproxima al valor promedio del 
límite por la izquierda y derecha en un punto de discontinuidad de 𝜙; En 
símbolos, 𝑢(𝑥, 𝑡) →
1
2
(𝜙(𝑥−) + 𝜙(𝑥+)) cuando 𝑡 → 0+. (En la Sección 3.3 se 
da una definición precisa de la continuidad por trozos) 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
93 
 
Esta discusión del problema de Cauchy para la ecuación del calor ha sido 
intuitiva, y es una base para entender por qué la solución tiene la forma que 
hace. 
Hay otra manera de escribir la solución (2.8) al problema de Cauchy (2.1) - 
(2.2). Si cambiamos variables en la integral usando la sustitución 
𝑟 =
(𝑥−𝑦)
√4𝑘𝑡
, entonces ⅆ𝑟 =
−ⅆ𝑦
√4𝑘𝑡
, y (2.8) se convierte en 
𝒖(𝒙, 𝒕) =
𝟏
√𝝅
∫ 𝒆−𝒓
𝟐
𝝓(𝒙 − 𝒓√𝟒𝒌𝒕)ⅆ𝒓
∞
−∞
. (𝟐. 𝟗) 
Esta fórmula se denomina representación integral de Poisson. 
Hacemos varias observaciones. En primer lugar, la solución (2.8) o (2.9) del 
problema de Cauchy es una representación integral; Aunque la fórmula no 
es complicada, para la mayoría de las condiciones iniciales 𝜙(𝑥) la 
integración no puede realizarse analíticamente. Por lo tanto, la evaluación 
numérica o informática de la integral será requerida en última instancia si 
se desean perfiles de temperatura. Además, observe que la temperatura 
𝑢(𝑥, 𝑡) es distinta de cero para cada 𝑥 real, incluso si 𝜙 es cero fuera de un 
pequeño intervalo alrededor del origen. Así, una señal propagada por la 
ecuación del calor, o difusión, viaja infinitamente rápido; De acuerdo con 
este modelo, si los olores se difunden, un oso olerá instantáneamente una 
lata recién abierta de atún a diez millas de distancia. A continuación, 
aunque no lo probemos, la solución dada por (2.8) es muy suave; Esto es, 𝑢 
es infinitivamente diferenciable tanto en 𝑥 como en 𝑡 en el dominio 𝑡 > 0; 
Esto es cierto incluso si 𝜙 es continua a trozos. Las señales iniciales 
propagadas por la ecuación de calor se suavizan inmediatamente. 
Finalmente, observamos que el núcleo de calor 𝐺(𝑥, 𝑡) definido en (2.7) 
también se denomina función de Green para el problema de Cauchy. En 
general, la función de Green para un problema es la responsable del 
sistema, o el efecto, causado por un punto fuente. En el flujo de calor sobre 
la recta real, 𝐺(𝑥, 𝑡) es la respuesta, es decir, la temperatura superficial 
causada por una unidad, del punto fuente de calor dado del sistema en 
𝑥 = 0, 𝑡 = 0. Algunas de las referencias discuten la construcción de las 
funciones de Green para una variedad de problemas. Debido al papel 
básico que desempeña esta función en los problemas de difusión, 𝐺(𝑥, 𝑡) 
también se denomina solución fundamental a la ecuación del calor. El lector 
puede consultar la Sección 1.4 para una discusión del origen de la solución 
fundamental de una discusión de probabilidad. 
 
 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
94 
 
Ejercicios 
1. Resolver el problema de Cauchy (2.1)-(2.2) para las siguientes 
condiciones iniciales. 
(a) 𝜙(𝑥) = 1 𝑠𝑖 |𝑥| < 1 𝑦 𝜙(𝑥) = 0 𝑠𝑖 |𝑥| > 1. 
(b) 𝜙(𝑥) = ⅇ−𝑥, 𝑥 > 0; 𝜙(𝑥) = 0, 𝑥 < 0. 
Escribe las soluciones en términos de la función erf. En (b) 
completar el cuadrado con respecto a 𝑦 en el exponente de ⅇ para 
obtener una forma agradable. 
2. Si |𝜙(𝑥)| ≤ 𝑀 para toda 𝑥, donde 𝑀 es una constante positiva, 
demuestre que la solución 𝑢 para el problema de Cauchy (2.1)- 
(2.2) satisface |𝑢(𝑥, 𝑡)| ≤ 𝑀 para toda 𝑥 y 𝑡 > 0. 
Sugerencia: Use el hecho del cálculoque el valor absoluto de una 
integral es menor o igual a la integral del valor absoluto: |∫ 𝑓| ≤
∫ |𝑓|. 
3. Considere el problema (2.3)-(2.4) con 𝑢0 = 1. Para algún 𝑥 = 𝑥0 
fijo, ¿Cuál es la temperatura aproximada 𝑤(𝑥0, 𝑡) para 𝑡 muy 
grande? Sugerencia: Expandir el integrando en la fórmula de la 
solución en una serie de potencias e integrar término a término. 
4. Demuestre que si 𝑢(𝑥, 𝑡) y 𝑣(𝑥, 𝑡) son dos soluciones cualquieras a 
la ecuación del calor (2.1), entonces 𝑤(𝑥, 𝑦, 𝑡) = 𝑢(𝑥, 𝑡)𝑣(𝑦, 𝑡) es 
solución a la ecuación del calor en dos dimensiones 𝑤𝑡 =
𝑘(𝑤𝑥𝑥 + 𝑤𝑦𝑦). ¿Puede conjeturar la solución al problema de 
Cauchy en dos dimensiones 
𝑤𝑡 = 𝑘(𝑤𝑥𝑥 +𝑤𝑦𝑦), (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ
2, 𝑡 > 0, 
𝑤(𝑥, 𝑦, 0) = 𝜓(𝑥, 𝑦), (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 ? 
5. Suponga que la temperatura inicial en el problema de Cauchy 
(2.1)-(2.2) está dada por 𝜙(𝑥) = ⅇ−|𝑥+2| + ⅇ−|𝑥−2| con 𝑘 = 1. Use la 
operación de integración numérica en un paquete algebraico por 
computadora para dibujar el perfil de temperatura en varios 
intervalos de tiempo para ilustrar como fluye el calor en este 
sistema. Muestre el perfil de temperatura en un único conjunto de 
ejes coordenados. 
6. Verifique que 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
95 
 
∫ 𝐺(𝑥, 𝑡)ⅆ𝑥 = 1, 𝑡 > 0.
∞
−∞
 
Sugerencia: Cambio de variables como en la integral de Poisson. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
96 
 
2.2 El Problema de Cauchy para la Ecuación de 
Onda 
La ecuación de onda unidimensional es 
𝒖𝒕𝒕 − 𝒄
𝟐𝒖𝒙𝒙 = 𝟎 (𝟐. 𝟏𝟎) 
Observamos en la sección 1.5 que esta modela la amplitud de las ondas 
en una cuerda y las señales de pequeña amplitud en acústica. También 
surge en la propagación de ondas electromagnéticas, en las vibraciones 
mecánicas de los medios elásticos, así como en otros problemas. Es una 
ecuación hiperbólica y es una de las tres ecuaciones fundamentales en 
las EDPs (junto con la ecuación de difusión y la ecuación de Laplace). 
Bajo la transformación de variables (a coordenadas características) 
𝜉 = 𝑥 − 𝑐𝑡, 𝜏 = 𝑥 + 𝑐𝑡, 
La ecuación de onda se transforma en la forma canónica 
𝑈𝜏𝜉 = 0, 𝑈 = 𝑈(𝜉, 𝜏), 
que puede ser integrada dos veces para obtener la solución general 
𝑈(𝜉, 𝜏) = 𝐹(𝜉) + 𝐺(𝜏), 
Donde 𝐹 y 𝐺 son funciones arbitrarias. Así, la solución general a (2.10) es 
𝒖(𝒙, 𝒕) = 𝑭(𝒙 − 𝒄𝒕) + 𝑮(𝒙 + 𝒄𝒕). (𝟐. 𝟏𝟏) 
Por lo tanto, las soluciones de la ecuación de onda son la superposición 
(suma) de las ondas de desplazamiento a la derecha y hacia la izquierda 
que se mueven a la velocidad 𝑐. 
El problema de Cauchy para la ecuación de onda es 
𝒖𝒕𝒕 − 𝒄
𝟐𝒖𝒙𝒙 = 𝟎, 𝒙 ∈ ℝ, 𝒕 > 𝟎, (𝟐. 𝟏𝟐) 
𝒖(𝒙, 𝟎) = 𝒇(𝒙), 𝒖𝒕(𝒙, 𝟎) = 𝒈(𝒙), 𝒙 ∈ ℝ. (𝟐. 𝟏𝟑) 
Aquí, 𝑓 define el desplazamiento inicial de una cuerda infinita, y 𝑔 
define su velocidad inicial. La ecuación es de segundo orden en 𝑡, por lo 
que tanto la posición como la velocidad deben especificarse inicialmente. 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
97 
 
Existe una fórmula analítica simple para la solución del problema de 
Cauchy (2.12) - (2.13). Se llama la fórmula D' Alembert, y es dada por 
𝒖(𝒙, 𝒕) =
𝟏
𝟐
(𝒇(𝒙 − 𝒄𝒕) + 𝒇(𝒙 + 𝒄𝒕)) +
𝟏
𝟐𝒄
∫ 𝒈(𝒔)ⅆ𝒔.
𝒙+𝒄𝒕
𝒙−𝒄𝒕
 (𝟐. 𝟏𝟒) 
Si 𝑓′′ y 𝑔′ son continuas, entonces es sencillo realizar cálculos diferenciales 
utilizando la fórmula de Leibniz, para verificar que esta fórmula resuelve 
(2.12) - (2.13). La fórmula puede derivarse (ver Ejercicio 1) determinando 
las dos funciones F y G en (2.11) usando los datos iniciales (2.13) 
Mucha comprensión del comportamiento de las soluciones viene de 
examinar casos especiales en los que la velocidad inicial es cero y el 
desplazamiento inicial es una curva en forma de campana. Específicamente, 
consideramos el problema (con 𝑐 = 2) 
𝑢𝑡𝑡 − 4𝑢𝑥𝑥 = 0, 𝑥 ∈ ℝ, 𝑡 > 0, 
𝑢(𝑥, 0) = ⅇ−𝑥
2
, 𝑢𝑡(𝑥, 0) = 0, 𝑥 ∈ ℝ. 
La solución exacta es, por la fórmula de D' Alembert, 
𝑢(𝑥, 𝑡) =
1
2
(ⅇ−(𝑥−2𝑡)
2
+ ⅇ−(𝑥+2𝑡)
2
). 
La superficie de la solución o los perfiles de onda se pueden graficar 
fácilmente usando un paquete de álgebra de computadora. La Figura 2.2 
muestra la superficie de la solución; Observe cómo la señal inicial se divide 
en dos señales más pequeñas y las que viajan en direcciones opuestas a una 
velocidad 𝑐 = 2. En los ejercicios se pide al lector que examine el caso donde 
𝑓 = 0 y 𝑔 ≠ 0; Este es el caso donde el desplazamiento inicial es cero y se le 
da a la cuerda una velocidad inicial, o impulso, por ejemplo, golpeando la 
cuerda con un objeto. 
Un examen minucioso de la fórmula de D' Alembert revela una propiedad 
fundamental de la ecuación de onda. Si la perturbación inicial se soporta en 
algún intervalo 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 (esto significa que es cero fuera de ese intervalo, 
por lo que la señal se encuentra sólo en 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏), entonces la señal es 
siempre cero fuera de la región delimitada por las dos rectas 𝑥 + 𝑐𝑡 = 𝑎 y 
𝑥 − 𝑐𝑡 = 𝑏. Véase la Figura 2.3. Esta región se denomina región de influencia 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
98 
 
del intervalo [𝑎, 𝑏]. Una señal inicial en [𝑎, 𝑏] nunca puede afectar la 
solución fuera de esta región. Las líneas 𝑥 + 𝑐𝑡 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡ⅇ son trayectorias 
en el espacio-tiempo a lo largo de las cuales las señales se propagan a la 
velocidad −𝑐; Las líneas 𝑥 − 𝑐𝑡 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡ⅇ son trayectorias en espacio-
tiempo a lo largo de las cuales se propagan las señales con velocidad 𝑐. Estas 
dos familias de líneas se denominan características negativas y positivas, 
respectivamente. Si el intervalo [𝑎, 𝑏] se reduce a un punto, entonces la 
región de influencia se reduce a un cono, que se llama el cono de la luz. 
Observando la situación a la inversa, podemos preguntar qué datos 
iniciales pueden afectar la solución en un punto (𝑥0, 𝑡0). De la fórmula d' 
Alembert, sólo los valores iniciales en el intervalo [𝑥0 − 𝑐𝑡0, 𝑥0 + 𝑐𝑡0] 
afectarán a la solución en (𝑥0, 𝑡0). Este intervalo se llama el dominio de la 
dependencia, y se encuentra trazando las características que emanan del 
punto (𝑥0, 𝑡0) hacia atrás en el tiempo en el eje de las 𝑥. 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.2. La superficie de la solución. 
 
En resumen, hay puntos importantes a tener en cuenta con respecto a las 
curvas características. En primer lugar, son curvas que llevan las señales 
hacia adelante en el espacio-tiempo con velocidad 𝑐 y - 𝑐. En segundo lugar, 
definen un sistema de coordenadas especial 𝜉 = 𝑥 − 𝑐𝑡, 𝜏 = 𝑥 + 𝑐𝑡 bajo el 
cual la ecuación de onda 𝑢𝑡𝑡 − 𝑐
2𝑢𝑥𝑥 = 0 se reduce a la forma canónica 
simple 𝑈𝜉𝜏 = 0. En problemas hiperbólicos siempre hay un conjunto de 
curvas características que desempeñan estos roles. Incluso las EDP de 
primer orden, que son en realidad onduladas, tienen una familia de tales 
curvas que transportan señales y proporcionan un sistema de coordenadas 
distinguido donde el problema se simplifica (recuerde los ejemplos en la 
sección 1.2). 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
99 
 
 
 
 
Figura 2.3. Región de influencia y dominio 
 de influencia. 
 
Finalmente, señalamos de nuevo las importantes diferencias entre los 
problemas parabólicos e hiperbólicos. Las ecuaciones hiperbólicas, u 
ondulatorias, propagan señales a una velocidad finita a lo largo de las 
características; Hay coherencia en la forma de onda a medida que se 
propaga, y por lo tanto la información es retenida. Las ecuaciones 
parabólicas o de difusión propagan señales a velocidad infinita; debido a 
que las señales se difunden o se difuminan, hay una pérdida gradual de 
información. Una buena manera de entender cómo las diferentesecuaciones propagan la información es determinar cómo una señal se 
propaga en un caso especial. Por ejemplo, supongamos que la señal inicial 
es una función gaussiana o una curva en forma de campana ⅇ−𝑥
2
. Piense en 
esta señal como un paquete de información. La ecuación de convección 𝑢𝑡 +
𝑐𝑢𝑥 = 0, que es una ecuación similar a una onda, propaga esta señal vía 
𝑢(𝑥, 𝑡) = ⅇ−(𝑥−𝑐𝑡)
2
. 
Es decir, se mueve a la velocidad 𝑐 sin distorsión. La ecuación de onda 
𝑢𝑡𝑡 = 𝑐
2𝑢𝑥𝑥 se mueve a través de 
𝑢(𝑥, 𝑡) = 0.5(ⅇ−(𝑥−𝑐𝑡)
2
+ ⅇ−(𝑥+𝑐𝑡)
2
). 
Así la señal se rompe en dos pedazos, y se propagan en direcciones 
opuestas a la velocidad c. La ecuación de difusión 𝑢𝑡 = 𝑘𝑢𝑥𝑥 propaga la 
señal a través de 
𝑢(𝑥, 𝑡) =
1
√1 + 4𝑘𝑡
ⅇ
−𝑥2
(1+4𝑘𝑡) 
Así que la señal permanece en el mismo lugar, pero se extiende y disminuye 
en amplitud. Cualquier información en la señal se pierde. 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
100 
 
Ejercicios 
1. Deduzca la fórmula de d´Alembert (2.14) para determinar las dos 
funciones arbitrarias 𝐹 y 𝐺 en la solución general (2.11) usando las 
condiciones iniciales (2.13). 
2. Calcular la solución exacta al problema de Cauchy cuando 𝑐 = 2, el 
desplazamiento inicial es 𝑓(𝑥) = 0, y la velocidad inicial es 𝑔(𝑥) =
1 (1 + 0.25𝑥2)⁄ . Trazar la superficie de la solución y discutir el efecto 
de dar a una cuerda en reposo un impulso inicial. Contraste la 
solución con el caso cuando 𝑓 ≠ 0 y 𝑔 = 0. 
3. Resolver el problema de la señal saliente 
𝑢𝑡𝑡 − 𝑐
2𝑢𝑥𝑥 = 0, 𝑥 > 0, −∞ < 𝑡 < ∞; 
𝑢𝑥(0, 𝑡) = 𝑠(𝑡), −∞ < 𝑡 < ∞, 
donde 𝑠(𝑡) es una señal conocida. Sugerencia: Analízalo para una 
onda que viaja a la derecha. 
4. La ecuación de onda en tres dimensiones es 
𝑢𝑡𝑡 − 𝑐
2𝛥𝑢 = 0, 
donde 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧) y 𝛥 es el operador Laplaciano. Para las ondas con 
simetría esférica, 𝑢 = 𝑢(𝜌, 𝑡), donde 𝜌 = √𝑥𝑧 + 𝑦2 + 𝑧2. En este caso 
especial el Laplaciano está dado por (Sección 1.8) 𝛥𝑢 = 𝑢𝜌𝜌 +
2
𝜌
𝑢𝜌. 
Introduciendo un cambio para la variable independiente 𝑈 = 𝜌𝑢, 
demuestre que la solución general para la ecuación de onda con 
simetría esférica 
𝑢𝑡𝑡 = 𝑐
2 (𝑢𝜌𝜌 +
2
𝜌
𝑢𝜌) 
 es 
𝑢 =
1
𝜌
(𝐹(𝜌 − 𝑐𝑡) + 𝐺(𝜌 + 𝑐𝑡)). 
 ¿Por qué piensas que la onda 𝑢 = 𝐹(𝜌 − 𝑐𝑡) ∕ 𝜌 decae en amplitud? 
5. Solucionar el problema de Cauchy 
𝑢𝑡𝑡 − 𝑐
2𝑢𝑥𝑥 = 0, 𝑥 ∈ ℝ, 𝑡 > 0, 
𝑢(𝑥, 0) = ⅇ−|𝑥|, 𝑢𝑡(𝑥, 0) = cos 𝑥, 𝑥 ∈ ℝ. 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
101 
 
Use un programa de álgebra computacional para graficar el perfil de 
onda en 𝑡 = 1,2,3. Tome 𝑐 = 1. 
6. En la Sección 1.7 se mostro que cualquier solución a la ecuación de 
Laplace tiene la propiedad de que su valor en un punto es 
aproximadamente el promedio de los cuatro puntos más cercanos que 
rodean al punto. ¿Se puede enunciar algo acerca de las solucionesde 
la ecuación de onda? Considere cualquier paralelogramo hecho por 
rectas características (cuyos lados son rectas características positivas 
y negativas) y sen 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 los vértices. Muestre que cualquier 
solución de la ecuación de onda satisface la relación 
𝑢(𝐴) + 𝑢(𝐶) = 𝑢(𝐵) + 𝑢(𝐷). 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.4. Paralelogramo característico. 
 
7. Suponga 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑡) es solución a la ecuación de onda; demuestre que 
𝑣 = 𝑣(𝑥, 𝑡) definida por 
𝑣(𝑥, 𝑡) =
𝑐
√4𝜋𝑘𝑡
∫ 𝑢(𝑠, 𝑥)ⅇ−𝑠
2𝑐2 (4𝑘𝑡)⁄ ⅆ𝑠.
∞
−∞
 
es solución a la ecuación del calor. 
 
 
 
 
 
 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
102 
 
2.3 problemas mal planteados 
 
En las dos últimas secciones resolvimos el problema de Cauchy, o 
problema de valor inicial puro, para la ecuación de calor y para la 
ecuación de onda. Ahora establezcamos un problema similar para la 
ecuación de Laplace. De inmediato el lector debe ser escéptico porque la 
ecuación de Laplace es una ecuación de equilibrio elíptico que no implica 
tiempo; Esperamos condiciones de frontera en lugar de condiciones 
iniciales. Sin embargo, consideremos la ecuación bidimensional de 
Laplace en el plano de la mitad superior 𝑦 > 0 y hacemos 𝑢 y su 
derivada 𝑢𝑦 a lo largo de 𝑦 = 0, o el eje 𝑥. Es decir, consideremos el 
problema 
𝒖𝒙𝒙 + 𝒖𝒚𝒚 = 𝟎, 𝒙 ∈ ℝ, 𝒚 > 𝟎, (𝟐. 𝟏𝟓) 
𝒖(𝒙, 𝟎) = 𝒇(𝒙), 𝒖𝒚(𝒙, 𝟎) = 𝒈(𝒙), 𝒙 ∈ ℝ. (𝟐. 𝟏𝟔) 
Observe la similitud con el problema de valor inicial para la ecuación de 
onda (2.12) - (2.13); pero aquí estamos usando 𝑦 en lugar de 𝑡, y la 
ecuación es elíptica en lugar de hiperbólica. Obsérvese también que 
(2.15) - (2.16) no es un problema de Dirichlet ni un problema de 
Neumann porque tanto 𝑢 como 𝑢𝑦 se especifican a lo largo del límite 𝑦 =
0. 
 
Analicemos este problema cuidadosamente en un caso especial. 
Supongamos primero que 
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) = 0. 
Entonces es claro que una solución (la única solución) a (2.15) - (2.16) es 
la solución cero 𝑢(𝑥, 𝑦) ≡ 0 para todo 𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 > 0. Luego cambiemos 
las condiciones a lo largo de la frontera tomando 
𝑓(𝑥) =
1
𝑛
cos 𝑛𝑥 , 𝑔(𝑥) = 0, 𝑥 ∈ ℝ. 
Entonces, como se puede comprobar fácilmente, la solución a (2.15) - 
(2.16) es 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
103 
 
𝑢(𝑥, 𝑦) =
1
𝑛
cos 𝑛𝑥 cosh𝑛𝑦. 
Supongamos que 𝑛 es grande; entonces hemos cambiado la condición de 
frontera 𝑢(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥) sólo por una pequeña cantidad. Sin embargo, la 
solución ha cambiado de cero a una cantidad grande; por ejemplo, a lo 
largo de la recta 𝑥 = 0 , la solución es 
𝑢(0, 𝑦) =
cosh𝑛𝑦
𝑛
→ +∞ 𝑐𝑢𝑎𝑛ⅆ𝑜 𝑦 → ∞. 
En consecuencia, en este ejemplo, un pequeño cambio de los datos en el 
límite produjo un gran cambio en la solución. Este comportamiento es 
perturbador, porque en un problema físico esperamos que la solución 
dependa continuamente de los datos de los límites, un pequeño cambio 
de los datos en los límites debería producir un pequeño cambio en la 
solución. Después de todo, queremos estar seguros de la exactitud de 
nuestra solución, incluso si conseguimos que los datos de los límites sean 
sólo aproximadamente correctos. Esta última propiedad de la 
dependencia continua de los datos se llama estabilidad y el problema 
(2.15)-(2.16) no la tiene. Así, el problema de Cauchy para la ecuación de 
Laplace (2.15) - (2.16) no es un problema bien planteado. De hecho, 
puesto que la ecuación de Laplace modela flujo de calor constante, 
parece físicamente razonable que sólo necesitamos especificar la 
temperatura 𝑢(𝑥, 0) a lo largo de la frontera para poder resolver el 
problema, o especificar el flujo 𝑢𝑦(𝑥 ⋅ 0), pero no tanto como en (2.16). 
El término bien planteado en EDPs tiene un significado técnico. Decimos 
que un problema de valor en la frontera, un problema de valor inicial, o 
un problema de valor en la frontera e inicial está bien planteado si (i) 
tiene una solución, (ii) la solución es única, y (iii) la solución depende 
continuamente de la solución inicial y / o datos en la frontera 
(estabilidad). Resolver estas tres preguntas para los diversos modelos 
EDPs ocupa gran parte de la teoría de los EDPs. 
Ahora que hemos demostrado que el problema de Cauchy para la 
ecuación de Laplace no es estable, el lector puede ser escéptico acerca de 
otros problemas como el problema de Cauchy para la ecuación de calor. 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
104 
 
Podemos observar fácilmente que las soluciones a este problema tienen 
la propiedad de estabilidad. Con este fin, considere los dos problemas 
𝑢𝑡 = 𝑘𝑢𝑥𝑥 , 𝑥 ∈ ℝ, 𝑡 > 0, 
𝑢(𝑥, 0) = 𝜙(𝑥), 𝑥 ∈ ℝ, 
y 
𝑣𝑡 = 𝑘𝑣𝑥𝑥, 𝑥 ∈ ℝ, 𝑡 > 0, 
𝑣(𝑥, 0) = 𝜓(𝑥), 𝑥 ∈ ℝ, 
donde 𝜙 y 𝜓 son funciones continuas y acotadas y cercanas en el 
sentido de que |𝜙(𝑥) − 𝜓(𝑥)| ≤ 𝛿 para todo 𝑥 , donde 𝛿 es un número 
pequeño. Quisiéramos mostrar que las correspondientes soluciones 
𝑢(𝑥, 𝑡) y𝑣(𝑥, 𝑡) son cercanas. Definamos 𝑤(𝑥, 𝑡) = 𝑢(𝑥, 𝑡) − 𝑣(𝑥, 𝑡) y 
observamos que 𝑤 satisface el problema de Cauchy 
𝑤𝑡 = 𝑘𝑤𝑥𝑥 , 𝑥 ∈ ℝ, 𝑡 > 0, 
𝑤(𝑥, 0) = 𝜙(𝑥) − 𝜓(𝑥), 𝑥 ∈ ℝ. 
La fórmula solución (2.8) da 
𝑤(𝑥, 𝑡) = ∫(𝜙(𝑦) − 𝜓(𝑦))𝐺(𝑥 − 𝑦, 𝑡) ⅆ𝑦.
∞
−∞
 
Por lo tanto, para cada 𝑡 > 0, 
|𝑢(𝑥, 𝑡) − 𝑣(𝑥, 𝑡)| ≤ ∫|𝜙(𝑦) − 𝜓(𝑦)||𝐺(𝑥 − 𝑦, 𝑡)| ⅆ𝑦
∞
−∞
 
≤ ∫ 𝛿𝐺(𝑥 − 𝑦, 𝑡) ⅆ𝑦
∞
−∞
= 𝛿, 
Como ∫ 𝐺(𝑥 − 𝑦, 𝑡) ⅆ𝑦 = 1 . Por lo tanto, en el sentido que se ha interpretado 
anteriormente, la cercanía de los datos iniciales implica la cercanía de la 
solución. 
 
 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
105 
 
Ejercicios 
1. Demuestre que el problema de Cauchy para la ecuación de difusión 
hacia atrás, 
𝑢𝑡 + 𝑢𝑥𝑥 = 0, 𝑥 ∈ ℝ, 𝑡 > 0, 
𝑢(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥), 𝑥 ∈ ℝ, 
es inestable al considerar las soluciones 
𝑢(𝑥, 𝑡) = 1 +
1
𝑛
ⅇ𝑛
2𝑡𝑠ⅇ𝑛 𝑛𝑥 
para 𝑛 grande. 
2. Suponga 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑦). ¿Es el problema 
𝑢𝑥𝑦 = 0, 0 < 𝑥, 𝑦 < 1, 
en el cuadrado unitario, donde el valor de 𝑢 está dado en la frontera 
del cuadrado, un problema bien planteado? Discutirlo. 
3. Considerar los dos problemas de Cauchy para la ecuación de onda 
con información inicial diferente: 
𝑢𝑡𝑡
𝑖 = 𝑐2𝑢𝑥𝑥
𝑖 , 𝑥 ∈ ℝ, 0 < 𝑡 < 𝑇, 
𝑢𝑖(𝑥, 0) = 𝑓𝑖(𝑥), 𝑢𝑡
𝑖(𝑥, 0) = 𝑔𝑖(𝑥), 𝑥 ∈ ℝ, 
para 𝑖 = 1,2, donde 𝑓1, 𝑓2, 𝑔1, y 𝑔2 son funciones dadas (El 
superíndice es un índice no un exponente). Si para toda 𝑥 ∈ ℝ 
tenemos: 
|𝑓1(𝑥) − 𝑓2(𝑥)| ≤ 𝛿1, |𝑔
1(𝑥) − 𝑔2(𝑥)| ≤ 𝛿2, 
Demuestre que |𝑢1(𝑥, 𝑡) − 𝑢2(𝑥, 𝑡)| ≤ 𝛿1 + 𝛿2𝑇 para todo 𝑥 ∈ ℝ, 0 < 𝑡 < 𝑇. 
¿Qué significa esto en lo que respecta a la estabilidad? 
 
 
 
 
 
 
 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
106 
 
2.4 Dominios Semi-Infinitos 
En las secciones 2.1 y 2.2 resolvimos la ecuación de calor y la ecuación de 
onda, respectivamente, en el dominio −∞ < 𝑥 < ∞ . Ahora estudiamos 
estos problemas cuando el dominio es semi-infinito, es decir, en el 
intervalo 0 < 𝑥 < ∞. Esto significa que hay un límite en el problema, en 
𝑥 = 0, y se espera que sea necesario imponer una condición de frontera 
allí. Por ejemplo, para determinar cómo evoluciona la distribución de la 
temperatura en una barra semi-infinita, se debe conocer inicialmente la 
temperatura en la barra, así como la temperatura en 𝑥 = 0 . 
Por lo tanto, consideraremos el problema de valor inicial y de frontera 
para la ecuación de calor 
𝒖𝒕 = 𝒌𝒖𝒙𝒙, 𝒙 > 𝟎, 𝒕 > 𝟎, (𝟐. 𝟏𝟕) 
𝒖(𝟎, 𝒕) = 𝟎, 𝒕 > 𝟎, (𝟐. 𝟏𝟖) 
𝒖(𝒙, 𝟎) = 𝝓(𝒙), 𝒙 > 𝟎, (𝟐. 𝟏𝟗) 
Donde hemos especificado la temperatura para ser cero en 𝑥 = 0 para 
todo tiempo. Para resolver este problema usamos el método de reflexión 
a través de la frontera. La idea es extender el problema (2.17) - (2.19) a 
todo el eje real extendiendo los datos iniciales 𝜙 a una función impar 𝜓 
definida por 
𝜓(𝑥) = 𝜙(𝑥) 𝑠𝑖 𝑥 > 0; 𝜓(𝑥) = −𝜙(−𝑥) 𝑠𝑖 𝑥 < 0; 𝜓(0) = 0. 
Entonces solucionamos el problema extendido por la fórmula (2.8) y 
luego restringimos esa solución al eje real positivo, que será entonces la 
solución a (2.17) - (2.19). La figura 2.5 muestra los datos iniciales para el 
problema extendido y un perfil de solución impar resultante 𝑣(𝑥, 𝑡). 
Físicamente, estamos uniendo una barra ocupando el espacio -∞ < 𝑥 <
0 y dándole una temperatura inicial igual a la temperatura negativa de 
la barra original. 
Por lo tanto, consideremos el problema de Cauchy 
𝒗𝒕 = 𝒌𝒗𝒙𝒙, 𝒙 ∈ ℝ, 𝒕 > 𝟎, (𝟐. 𝟐𝟎) 
𝒗(𝒙, 𝟎) = 𝝍(𝒙), 𝒙 ∈ ℝ, (𝟐. 𝟐𝟏) 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
107 
 
 
 
 
 
Figura 2.5. Los datos iniciales 𝜓(𝑥) y el 
perfil de solución para el problema impar, 
extendido. 
 
Donde 𝜓 es la extensión impar de la función 𝜙 como se ha definido 
anteriormente. Por la fórmula (2.8) la solución a (2.20) - (2.21) está dada 
por 
𝑣(𝑥, 𝑡) = ∫ 𝐺(𝑥 − 𝑦, 𝑡)𝜓(𝑦) ⅆ𝑦.
∞
−∞
 
Fraccionando esta integral en dos partes, 𝑦 < 0 y 𝑦 > 0, obtenemos 
𝑣(𝑥, 𝑡) = ∫𝐺(𝑥 − 𝑦, 𝑡)𝜓(𝑦) ⅆ𝑦 + ∫ 𝐺(𝑥 − 𝑦, 𝑡)𝜓(𝑦) ⅆ𝑦
∞
0
0
−∞
 
= − ∫𝐺(𝑥 − 𝑦, 𝑡)𝜙(−𝑦) ⅆ𝑦 + ∫ 𝐺(𝑥 − 𝑦, 𝑡)𝜙(𝑦) ⅆ𝑦
∞
0
0
−∞
 
= −∫ 𝐺(𝑥 + 𝑦, 𝑡)𝜙(𝑦) ⅆ𝑦
∞
0
+∫ 𝐺(𝑥 − 𝑦, 𝑡)𝜙(𝑦) ⅆ𝑦
∞
0
 
= ∫[𝐺(𝑥 − 𝑦, 𝑡) − 𝐺(𝑥 + 𝑦, 𝑡)]𝜙(𝑦) ⅆ𝑦
∞
0
. 
Restringimos esta solución a 𝑥 > 0, y por lo tanto la solución a (2.17) - 
(2.19) es 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
108 
 
𝑢(𝑥, 𝑡) = ∫[𝐺(𝑥 − 𝑦, 𝑡) − 𝐺(𝑥 + 𝑦, 𝑡)]𝜙(𝑦) ⅆ𝑦
∞
0
. 
La ecuación de onda en un dominio semi-infinito se puede resolver de la 
misma manera. Consideremos el problema de las vibraciones 
transversales de una cuerda ocupando 𝑥 > 0 cuando el extremo en x = 0 
se mantiene fijo. El problema de valor en la frontera inicial es 
𝒖𝒕𝒕 = 𝒄
𝟐𝒖𝒙𝒙, 𝒙 > 𝟎, 𝒕 > 𝟎, (𝟐. 𝟐𝟐) 
𝒖(𝟎, 𝒕) = 𝟎, 𝒕 > 𝟎, (𝟐. 𝟐𝟑) 
𝒖(𝒙, 𝟎) = 𝒇(𝒙), 𝒖𝒕(𝒙, 𝟎) = 𝒈(𝒙), 𝒙 > 𝟎. (𝟐. 𝟐𝟒) 
Para 𝑥 > 𝑐𝑡 (es decir, delante de la señal principal de la frontera) el 
intervalo de dependencia está en (0,∞), donde se dan los datos iniciales; 
por lo tanto, en este dominio, la solución está dada por la fórmula de 
d'Alembert: 
𝒖(𝒙, 𝒕) =
𝟏
𝟐
(𝒇(𝒙 − 𝒄𝒕) + 𝒇(𝒙 + 𝒄𝒕)) +
𝟏
𝟐𝒄
∫ 𝒈(𝒔)ⅆ𝒔
𝒙+𝒄𝒕
𝒙−𝒄𝒕
, 𝒙 > 𝒄𝒕. (𝟐. 𝟐𝟓) 
Los datos dados a lo largo de la frontera 𝑥 = 0 no pueden afectar a la 
solución en la región 𝑥 > 𝑐𝑡, ya que las señales viajan hacia fuera de la 
frontera a la velocidad 𝑐. Véase la Figura 2.6. 
Para resolver el problema en la región 0 < 𝑥 < 𝑐𝑡 procedemos como lo 
hicimos con la ecuación de calor y extendemos los datos iniciales 𝑓 y 𝑔 a 
funciones impares en todo el eje real. Por lo tanto, consideremos el 
problema 
𝒗𝒕𝒕 = 𝒄
𝟐𝒗𝒙𝒙, 𝒙 ∈ ℝ, 𝒕 > 𝟎, (𝟐. 𝟐𝟔) 
𝒗(𝟎, 𝒕) = 𝟎, 𝒕 > 𝟎, (𝟐. 𝟐𝟕) 
𝒗(𝒙, 𝟎) = 𝑭(𝒙), 𝒗𝒕(𝒙, 𝟎) = 𝑮(𝒙), 𝒙 ∈ ℝ, (𝟐. 𝟐𝟖) 
donde 
𝐹(𝑥) = 𝑓(𝑥), 𝑥 > 0; 𝐹(0) = 0; 𝐹(𝑥) = −𝑓(−𝑥), 𝑥 < 0, 
y 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
109 
 
𝐺(𝑥) = 𝑔(𝑥), 𝑥 > 0; 𝐺(0) = 0; 𝐺(𝑥) = −𝑔(−𝑥), 𝑥 < 0. 
Por la fórmula de d´Alembert la solución a (2.26)-(2.28) es 
𝑣(𝑥, 𝑡) =
1
2
(𝐹(𝑥 − 𝑐𝑡) + 𝐹(𝑥 + 𝑐𝑡)) +
1
2𝑐
∫ 𝐺(𝑠) ⅆ𝑠
𝑥+𝑐𝑡
𝑥−𝑐𝑡
. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.6 Dominio Espacio-tiempo 𝑥, 𝑡 > 0 donde se define el 
problema (2.22) - (2.24). La región 𝑥 > 𝑐𝑡 sólo está afectada 
por los datos iniciales 𝑓 y 𝑔 y puede encontrarse mediante la 
fórmula de d'Alembert. 
 
 
 
En la región 𝑥 < 𝑐𝑡 esto se hace (ya que 𝑥 − 𝑐𝑡 < 0) 
𝑣(𝑥, 𝑡) =
1
2
(−𝑓(−𝑥 + 𝑐𝑡) + 𝑓(𝑥 + 𝑐𝑡)) +
1
2𝑐
∫−𝑔(−𝑠) ⅆ𝑠 +
1
2𝑐
∫ 𝑔(𝑠) ⅆ𝑠
𝑥+𝑐𝑡
0
0
𝑥−𝑐𝑡
. 
En la variable de integración 𝑠 en la primera integral se sustituye por −𝑠, 
entonces las dos integrales se pueden combinar, y podemos escribir 
𝒖(𝒙, 𝒕) = 𝒗(𝒙, 𝒕) =
𝟏
𝟐
(𝒇(𝒙 + 𝒄𝒕) − 𝒇(𝒄𝒕 − 𝒙)) +
𝟏
𝟐𝒄
∫ 𝒈(𝒔)ⅆ𝒔
𝒄𝒕+𝒙
𝒄𝒕−𝒙
, 𝟎 < 𝒙 < 𝒄𝒕. 
 
2.29 
Así pues, la solución al problema de valor en la frontera y condición inicial 
(2.22) - (2.24) viene dada por las dos fórmulas (2.25) y (2.29), dependiendo 
de 𝑥 > 𝑐𝑡 o 𝑥 < 𝑐𝑡. 
¿Por qué este método de reflexión funciona para la ecuación de calor y la 
ecuación de onda? Para reiterar, las soluciones a los problemas de Cauchy 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
110 
 
para estas dos ecuaciones son funciones impares si los datos iniciales sonimpares. Y la restricción de una solución impar al eje real positivo es la 
solución al problema inicial de valor en la frontera dado. Si este 
razonamiento intuitivo deja al lector perplejo, entonces se puede comprobar 
analíticamente que las soluciones que hemos obtenido mediante este 
método de reflexión son, de hecho, soluciones a los problemas dados. 
Si la condición de frontera (2.18) a lo largo de 𝑥 = 0 en el problema del flujo 
de calor (2.17) - (2.19) es reemplazada por una condición de Neumann 
𝑢𝑥(0, 𝑡) = 0, 𝑡 > 0, 
Entonces el problema se puede resolver extendiendo los datos iniciales a 
una función par. Lo mismo es cierto para la ecuación de onda. Dejamos 
estos cálculos como ejercicios. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
111 
 
Ejercicios 
1. Solucionar el problema 
𝑢𝑡 = 𝑘𝑢𝑥𝑥 , 𝑥 > 0, 𝑡 > 0, 
𝑢𝑥(0, 𝑡) = 0, 𝑡 > 0, 
𝑢(𝑥, 0) = 𝜙(𝑥), 𝑥 > 0, 
Con una condición de frontera aislada extendiendo 𝜙 a todo el eje real 
como una función par. La solución es 
𝑢(𝑥, 𝑦) = ∫[𝐺(𝑥 − 𝑦, 𝑡) + 𝐺(𝑥 + 𝑦, 𝑡)]𝜙(𝑦)ⅆ𝑦.
∞
0
 
2. Encontrar una fórmula para la solución al problema 
𝑢𝑡 = 𝑘𝑢𝑥𝑥 , 𝑥 > 0, 𝑡 > 0, 
𝑢(0, 𝑡) = 0, 𝑡 > 0, 
𝑢(𝑥, 0) = 1, 𝑥 > 0. 
Esbozar una gráfica de varios perfiles de la solución con 𝑘 = 0.5. 
3. Encontrar la solución al problema 
𝑢𝑡𝑡 = 𝑐
2𝑢𝑥𝑥, 𝑥 > 0, 𝑡 > 0, 
𝑢(0, 𝑡) = 0, 𝑡 > 0, 
𝑢(𝑥, 0) = 𝑥ⅇ−𝑥, 𝑢𝑡(𝑥, 0) = 0, 𝑥 > 0. 
Elegir 𝑐 = 0.5 y trazar varios intervalos de tiempo de la solución 
superficial para observar la reflexión de la onda en la frontera. 
4. Solucionar el problema 
𝑢𝑡 = 𝑘𝑢𝑥𝑥 , 𝑥 > 0, 𝑡 > 0, 
𝑢(0, 𝑡) = 1, 𝑡 > 0, 
𝑢(𝑥, 0) = 0, 𝑥 > 0. 
 Sugerencia: Transformar el problema a uno de la forma (2.17) −
 (2.19) y usar el Ejercicio 2. 
5. En este ejercicio usamos el argumento de Lord Kelvin dado a 
mediados de 1860 para estimar la edad de la tierra usando una 
medición del gradiente geotérmico en la superficie. El gradiente 
geotérmico es la temperatura del gradiente 𝑢𝑥 medido en la superficie 
de la tierra. Para obtener la estimación, trate a la tierra como plana con 
𝑥 > 0 midiendo la profundidad de la superficie en 𝑥 = 0. Asuma que 
la difusividad es 𝑘 = 0.007 𝑐𝑚2 por segundo, la temperatura inicial 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
112 
 
era 7000 grados Fahrenheit (roca fundida), y asuma la temperatura de 
la atmosfera circundante como si siempre fuera 0 grados. Use el valor 
para el gradiente geotérmico corriente de 3.7 × 10−4 grados por cm. 
Después de determinar la edad aproximada, ¿se estima el porcentaje 
del calor original que se ha perdido hasta el día de hoy? Comente la 
exactitud del argumento de Kelvin. 
6. Un puñado huevos de insectos se encuentra a una profundidad de 𝑥1 
cm debajo de la superficie. Si la superficie está sujeta a variaciones de 
temperatura periódicas de 𝑇0 + 𝐴 cos 𝜔𝑡 durante un largo tiempo, 
¿Cuál es la variación de temperatura experimentada por el puñado de 
huevos? Sugerencia: Encontrar un complejo, una onda plana solución 
de la ecuación de difusión de la forma 𝑢 = 𝑇0 + 𝐴ⅇ
𝑖(𝛾𝑥−𝜔𝑡) y determine 
𝛾 en términos de 𝜔 y la difusividad 𝑘 del suelo; tomar la parte real. 
En la profundidad 𝑥1 encontrar el desplazamiento de fase de la 
temperatura y la amplitud del factor de atenuación. Graficar la 
amplitud de la variación de temperatura contra la profundidad. 
Tomar 𝑇0 = 30, 𝐴 = 15 grados Celsius, 𝑘 = 0.004 𝑐𝑚
2 por segundo, 
y 𝜔 = 2𝜋 por día, y graficar la variación de temperatura en la 
superficie y a una profundidad de 3 cm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
113 
 
2.5 Fuentes y Principio de Duhamel 
¿Cómo proceder si la EDP contiene un término fuente? Por ejemplo, 
considere el problema del flujo de calor 
𝒖𝒕 = 𝒌𝒖𝒙𝒙 + 𝒇(𝒙, 𝒕), 𝒙 ∈ ℝ, 𝒕 > 𝟎, (𝟐. 𝟑𝟎) 
𝒖(𝒙, 𝟎) = 𝟎, 𝒙 ∈ ℝ, (𝟐. 𝟑𝟏) 
Donde 𝑓 es una fuente de calor dada. La clave para el análisis de este 
problema se puede descubrir examinando una ecuación diferencial 
ordinaria con un término fuente. Por ejemplo, considere el problema de 
valor inicial 
𝒚′(𝒕) + 𝒂𝒚 = 𝑭(𝒕), 𝒕 > 𝟎; 𝒚(𝟎) = 𝟎. (𝟐. 𝟑𝟐) 
 
Multiplicando por el factor integrante ⅇ𝑎𝑡 hacemos que el lado izquierdo 
sea una derivada total, y obtenemos 
ⅆ
ⅆ𝑡
(ⅇ𝑎𝑡𝑦) = ⅇ𝑎𝑡𝐹(𝑡) 
La integración de 0 a 𝑡 entonces da 
ⅇ𝑎𝑡𝑦(𝑡) = ∫ⅇ𝑎𝜏𝐹(𝜏) ⅆ𝜏,
𝑡
0
 
lo cual puede ser escrito como 
𝒚(𝒕) = ∫𝒆−𝒂(𝒕−𝝉)𝑭(𝝉)ⅆ𝝉 (𝟐. 𝟑𝟑)
𝒕
𝟎
 
Ahora consideremos otro problema, donde ponemos el término fuente 
como condición inicial. Sea 𝑤 = 𝑤(𝑡; 𝜏) la solución al problema 
𝑤′(𝑡; 𝜏) + 𝑎𝑤(𝑡; 𝜏) = 0, 𝑡 > 0; 𝑤(0; 𝜏) = 𝐹(𝜏), 
Donde se ha introducido un nuevo parámetro 𝜏. Es fácil ver que la solución 
a este problema es 
𝑤(𝑡; 𝜏) = 𝐹(𝜏)ⅇ−𝑎𝑡 . 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
114 
 
Así, la solución de (2.32), al problema con una fuente, es la integral de la 
solución 𝑤(𝑡; 𝜏) (con 𝑡 reemplazada por 𝑡 − 𝜏) del problema homogéneo 
asociado donde la fuente está incluida como condición inicial. 
El hecho de que una solución particular de una ecuación lineal pueda 
deducirse de la solución de la ecuación homogénea se llama principio de 
Duhamel. Para EDP, enunciamos el principio de la siguiente manera: 
Principio de Duhamel para EDO. 
La solución al problema 
𝑦′(𝑡) + 𝑎𝑦 = 𝐹(𝑡), 𝑡 > 0; 𝑦(0) = 0. 
Está dada por 
𝑦(𝑡) = ∫𝑤(𝑡 − 𝜏, 𝜏 ) ⅆ𝜏,
𝑡
0
 
donde 𝑤 = 𝑤(𝑡; 𝜏) resuelve el problema homogéneo. 
𝑤′(𝑡; 𝜏) + 𝑎𝑤(𝑡; 𝜏) = 0, 𝑡 > 0; 𝑤(0; 𝜏) = 𝐹(𝜏). 
El mismo tipo de resultado es verdadero para EDP de segundo orden; El 
lector puede recordar que el método de variación de parámetros utiliza las 
soluciones homogéneas para construir una solución particular. Ver el 
Apéndice para la fórmula. 
Ahora vamos a extrapolar esta idea y aplicarla al problema del flujo de calor 
(2.30) - (2.31). Si el principio de Duhamel es válido en este caso, entonces la 
solución de (2.30) - (2.31) debe ser 
𝑢(𝑥, 𝑡) = ∫𝑤(𝑥, 𝑡 − 𝜏, 𝜏) ⅆ𝜏
𝑡
0
 
donde 𝑤 = 𝑤(𝑥, 𝑡; 𝜏) resuelve el problema homogéneo 
𝒘𝒕 = 𝒌𝒘𝒙𝒙, 𝒙 ∈ ℝ, 𝒕 > 𝟎, (𝟐. 𝟑𝟒) 
𝒘(𝒙, 𝟎; 𝝉) = 𝒇(𝒙, 𝝉), 𝒙 ∈ ℝ. (𝟐. 𝟑𝟓) 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
115 
 
De hecho, podemos escribir la fórmula explícita; Por (2.8) la solución a (2.34) 
- (2.35) es 
𝑤(𝑥, 𝑡; 𝜏) = ∫ 𝐺(𝑥 − 𝑦, 𝑡)𝑓(𝑦, 𝜏) ⅆ𝑦,
∞
−∞
 
Donde 𝐺 es el kernel del calor. Por lo tanto, la solución a (2.30)-(2.31) debe 
estar dada por 
𝑢(𝑥, 𝑡) = ∫ 
𝑡
0
∫ 𝐺(𝑥 − 𝑦, 𝑡 − 𝜏)𝑓(𝑦, 𝜏) ⅆ𝑦ⅆ𝜏.
∞
−∞
 
De hecho, se puede verificar que este es el caso. Observe de nuevo que 𝜏 
está siendo considerado como un parámetro en la discusión anterior. 
No es demasiado sorprendente que la solución resultara ser una integral. 
La EDP (2.30) tiene la forma 𝐻𝑢 = 𝑓, donde 𝐻 =
𝜕
𝜕𝑡
− 𝑘
𝜕2
𝜕𝑡2
 es un operador 
diferencial. Si escribimos formalmente 𝑢 = 𝐻−1𝑓 (Como se podía hacer en 
la teoría de matrices si 𝐻 era una matriz y 𝑢 y 𝑓 vectores) como podríamos 
esperar 𝐻−1, la inversa de 𝐻, es un operador integral, ya que la integración 
y la diferenciación son procesos inversos. 
Podemos ahora escribir la fórmula para la solución del problema 
𝒖𝒕 = 𝒌𝒖𝒙𝒙 + 𝒇(𝒙, 𝒕), 𝒙 ∈ ℝ, 𝒕 > 𝟎, (𝟐. 𝟑𝟔) 
𝒖(𝒙, 𝟎) = 𝝓(𝒙), 𝒙 ∈ ℝ, (𝟐. 𝟑𝟕) 
donde la condición inicial ya no es cero. Por linealidad, la solución a (2.36) 
- (2.37) es la suma de las soluciones a los dosproblemas 
𝒖𝒕 = 𝒌𝒖𝒙𝒙, 𝒙 ∈ ℝ, 𝒕 > 𝟎, (𝟐. 𝟑𝟖) 
𝒖(𝒙, 𝟎) = 𝝓(𝒙), 𝒙 ∈ ℝ, (𝟐. 𝟑𝟗) 
y 
𝒖𝒕 = 𝒌𝒖𝒙𝒙 + 𝒇(𝒙, 𝒕), 𝒙 ∈ ℝ, 𝒕 > 𝟎, (𝟐. 𝟒𝟎) 
𝒖(𝒙, 𝟎) = 𝟎, 𝒙 ∈ ℝ. (𝟐. 𝟒𝟏) 
Por lo tanto, la solución a (2.36) - (2.37) es 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
116 
 
𝒖(𝒙, 𝒕) = ∫ 𝑮(𝒙 − 𝒚, 𝒕)𝝓(𝒚)ⅆ𝒚
∞
−∞
+∫ 
𝒕
𝟎
∫ 𝑮(𝒙 − 𝒚, 𝒕 − 𝝉)𝒇(𝒚, 𝝉) ⅆ𝒚ⅆ𝝉. (𝟐. 𝟒𝟐)
∞
−∞
 
Esta es la fórmula de variación de parámetros para el problema (2.36) - (2.37), 
que es el análogo de (2.33) para la EDO (2.32) 
El principio de Duhamel también puede aplicarse a la ecuación de onda. La 
solución al problema 
𝒖𝒕𝒕 − 𝒄
𝟐𝒖𝒙𝒙 = 𝒇(𝒙, 𝒕), 𝒙 ∈ ℝ, 𝒕 > 𝟎, (𝟐. 𝟒𝟑) 
𝒖(𝒙, 𝟎) = 𝒖𝒕(𝒙, 𝟎) = 𝟎, 𝒙 ∈ ℝ, (𝟐. 𝟒𝟒) 
es 
𝑢(𝑥, 𝑡) = ∫𝑤(𝑥, 𝑡 − 𝜏, 𝜏) ⅆ𝜏,
𝑡
0
 
donde 𝑤 = 𝑤(𝑥, 𝑡; 𝜏) es la solución a 
𝑤𝑡𝑡 − 𝑐
2𝑤𝑥𝑥 = 0, 𝑥 ∈ ℝ, 𝑡 > 0 
𝑤(𝑥, 0; 𝜏) = 0, 𝑤𝑡(𝑥, 0; 𝜏) = 𝑓(𝑥, 𝜏), 𝑥 ∈ ℝ. 
Ponemos el término fuente 𝑓 en la condición inicial para 𝑤𝑡 en lugar de 𝑤 
porque 𝑓, así como 𝑤𝑡, es una aceleración; Tenga en cuenta que el 
desplazamiento 𝑢 es una integral de tiempo de 𝑤, por lo que 𝑤 debe ser una 
velocidad, haciendo que 𝑤𝑡 sea una aceleración. 
De la fórmula de d´Alembert 
𝑤(𝑥, 𝑡; 𝜏) =
1
2𝑐
∫ 𝑓(𝑠, 𝜏) ⅆ𝑠,
𝑥+𝑐𝑡
𝑥−𝑐𝑡
 
Y por tanto por el principio de Duhamel la solución a (2.43) - (2.44) está 
dada por la fórmula 
𝒖(𝒙, 𝒕) =
𝟏
𝟐𝒄
 ∫ 
𝒕
𝟎
∫ 𝒇(𝒔, 𝝉)ⅆ𝒔ⅆ𝝉. (𝟐. 𝟒𝟓)
𝒙+𝒄(𝒕−𝝉)
𝒙−𝒄(𝒕−𝝉)
 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
117 
 
Los términos fuente también surgen en la EDP cuando los problemas se 
transforman para homogeneizar las condiciones de frontera. Por ejemplo, 
considere el problema de difusión 
𝒖𝒕 = 𝒌𝒖𝒙𝒙, 𝒙 > 𝟎, 𝒕 > 𝟎, (𝟐. 𝟒𝟔) 
𝒖(𝒙, 𝟎) = 𝝓(𝒙), 𝒙 > 𝟎, (𝟐. 𝟒𝟕) 
𝒖(𝟎, 𝒕) = 𝒈(𝒕), 𝒕 > 𝟎. (𝟐. 𝟒𝟖) 
Resolvimos este problema en la última sección cuando 𝑔(𝑡) = 0. Así 
intentemos transformar el problema en uno donde la condición de frontera 
es cero. Para ello, 𝑣(𝑥, 𝑡) = 𝑢(𝑥, 𝑡) − 𝑔(𝑡) o 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑣(𝑥, 𝑡) + 𝑔(𝑡); 
entonces la sustitución en (2.46) - (2.48) da 
𝒗𝒕 = 𝒌𝒗𝒙𝒙 − 𝒈
′(𝒕), 𝒙 > 𝟎, 𝒕 > 𝟎, (𝟐. 𝟒𝟗) 
𝒗(𝒙, 𝟎) = 𝝍(𝒙) ≡ 𝝓(𝒙) − 𝒈(𝟎), 𝒙 > 𝟎, (𝟐. 𝟓𝟎) 
𝒗(𝟎, 𝒕) = 𝟎, 𝒕 > 𝟎. (𝟐. 𝟓𝟏) 
Por lo tanto, la transformación de la variable dependiente ha cambiado el 
problema en uno con una condición de frontera homogénea, pero se pagó 
un precio - se introdujo una no homogeneidad, o término fuente -𝑔′(𝑡) en 
la EDP. En general, siempre podemos homogeneizar las condiciones de 
frontera en un problema lineal, pero el resultado es un EDP no homogéneo; 
Por lo que las condiciones de frontera no homogéneas se pueden negociar 
para EDP no homogéneas. 
Podemos resolver (2.49) - (2.51) para 𝑣(𝑥, 𝑡) formulando el principio de 
Duhamel. Sin embargo, en la Sección 2.5 observaremos que los métodos de 
transformación de Laplace también pueden aplicarse para encontrar la 
solución. 
 
 
 
 
 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
118 
 
Ejercicios 
1. Escribir una fórmula para la solución al problema 
𝑢𝑡𝑡 − 𝑐
2𝑢𝑥𝑥 = 𝑠ⅇ𝑛 𝑥, 𝑥 ∈ ℝ, 𝑡 > 0, 
𝑢(𝑥, 0) = 𝑢𝑡(𝑥, 0) = 0, 𝑥 ∈ ℝ. 
Graficar la superficie de la solución cuando 𝑐 = 1. 
2. Escribir una fórmula para la solución al problema 
𝑢𝑡 − 𝑘𝑢𝑥𝑥 = 𝑠ⅇ𝑛 𝑥, 𝑥 ∈ ℝ, 𝑡 > 0, 
𝑢(𝑥, 0) = 0, 𝑥 ∈ ℝ. 
3. Usando el principio de Duhamel, encontrar una fórmula para la 
solución al problema de valor inicial para la ecuación de convección 
𝑢𝑡 + 𝑐𝑢𝑥 = 𝑓(𝑥, 𝑡), 𝑥 ∈ ℝ, 𝑡 > 0; 𝑢(𝑥, 0) = 0, 𝑥 ∈ ℝ. 
Sugerencia: Mira el problema 
𝑤𝜏(𝑥, 𝑡; 𝜏) + 𝑐𝑤𝑥(𝑥, 𝑡; 𝜏) = 0, 𝑥 ∈ ℝ, 𝑡 > 0; 𝑤(𝑥, 0; 𝜏) = 𝑓(𝑥, 𝜏), 𝑥 ∈ ℝ. 
Soluciona el problema 
𝑢𝑡 + 2𝑢𝑥 = 𝑥ⅇ
−𝑡 , 𝑥 ∈ ℝ, 𝑡 > 0; 𝑢(𝑥, 0) = 0, 𝑥 ∈ ℝ. 
4. Formular el principio de Duhamel y solucionar el problema de valor 
inicial en la frontera 
𝑢𝑡 = 𝑘𝑢𝑥𝑥 + 𝑓(𝑥, 𝑡), 𝑥 > 0, 𝑡 > 0, 
𝑢(𝑥, 0) = 0, 𝑥 > 0, 
𝑢(0, 𝑡) = 0, 𝑡 > 0. 
La solución es 
𝑢(𝑥, 𝑡) = ∫ ∫(𝐺(𝑥 − 𝑦, 𝑡 − 𝜏) − 𝐺(𝑥 + 𝑦, 𝑡 − 𝜏))𝑓(𝑦, 𝜏) ⅆ𝑦 ⅆ𝜏.
∞
0
𝑡
0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
119 
 
2.6 Transformadas de Laplace 
Las transformadas de Laplace se encuentran por primera vez en las 
ecuaciones diferenciales elementales como una técnica para resolver 
ecuaciones diferenciales ordinarias de coeficientes constantes; Las 
transformadas de Laplace convierten una EDO en un problema de 
álgebra. Las ideas fácilmente se extienden a EDP, donde la operación de 
transformada de Laplace convierte una EDP a EDO. 
Sea 𝑢 = 𝑢(𝑡) una función continua por partes en 𝑡 ≥ 0 que no crece 
demasiado rápido; Por ejemplo, supongamos que 𝑢 es de orden 
exponencial, lo que significa que |𝑢(𝑡)| ≤ 𝑐ⅇ𝑎𝑡 para 𝑡 suficientemente 
grande, donde 𝑎, 𝑐 > 0. Entonces la transformada de Laplace de 𝑢 se define 
por 
(𝓛𝒖)(𝒔) ≡ 𝑼(𝒔) = ∫ 𝒖(𝒕)𝒆−𝒔𝒕 ⅆ𝒕. (𝟐. 𝟓𝟐)
∞
𝟎
 
La transformada de Laplace es un ejemplo de transformación integral; 
Toma una función dada 𝑢(𝑡) en el dominio del tiempo y la convierte en 
una nueva función 𝑈(𝑠), en el denominado dominio de transformación. 
𝑈 y 𝑠 se denominan variables de transformación. La transformación es 
lineal en que ℒ(𝑐1𝑢 + 𝑐2𝑣) = 𝑐1ℒ𝑢 + 𝑐2ℒ𝑣, donde 𝑐1 y 𝑐2 son constantes. 
Si se conoce la transformada 𝑈(𝑠), entonces 𝑢(𝑡) se denomina 
transformada inversa de 𝑈(𝑠) y escribimos ℒ−1𝑈 = 𝑢. Los pares de 
transformadas de Laplace y sus inversas se tabulan en libros de tablas, y 
muchos paquetes de software contienen órdenes que producen parejas 
de transformación. Al final de este texto se da una breve tabla. En el 
sistema de álgebra computarizada Maple, el comando 
Laplace (sin (t), t, s); 
Devuelve 
1
1 + 𝑠2
 , 
Que es la transformación de Laplace para el seno de 𝑡. Para obtener la 
transformación inversa use 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
120 
 
invlaplace (1/(1+s^2), s, t); 
que devuelve 
sin t 
La importancia de la transformada de Laplace, al igual que otras 
transformaciones, es que cambia operaciones con derivadas a 
operaciones de multiplicación en el dominio de transformación. De 
hecho, tenemos 
(𝓛𝒖′)(𝒔) = 𝒔𝑼(𝒔) − 𝒖(𝟎), (𝟐. 𝟓𝟑) 
(𝓛𝒖′′)(𝒔) = 𝒔𝟐𝑼(𝒔) − 𝒔𝒖(𝟎) − 𝒖′(𝟎). (𝟐. 𝟓𝟒) 
Las fórmulas (2.53) y (2.54) se obtienen fácilmente usando integración 
por partes, y son las fórmulas operacionales básicas para resolver 
ecuaciones diferenciales. 
Ejemplo 
Resolver el problema de valor inicial 
𝑢′′ + 𝑢 = 0, 𝑡 > 0; 𝑢(0) = 0, 𝑢′(0) = 1. 
Tomando transformadas de Laplace de ambos lados de la ecuación 
diferencial y usando (2.54) da 
𝑠2𝑈(𝑠) − 1 + 𝑈(𝑠) = 0, 
o 
𝑈(𝑠) =
1
1 + 𝑠2
 
Así, la ecuación diferencial ordinaria se ha transformado en una ecuación 
algebraica, y hemos resuelto el problema en el dominio de transformación. 
Para recuperar 𝑢(𝑡) de su transformación, podemos buscar la transformada 
inversa en la tabla de las transformadas de Laplace o usar un programa de 
álgebra computacional para encontrar 
𝑢(𝑡) = sin 𝑡, 
que es la solución. 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
121En resumen, tomando la transformada de Laplace de una ecuación 
diferencial ordinaria para 𝑢(𝑡) resulta en una ecuación algebraica para 𝑈(𝑠) 
en el dominio transformado. Resolvemos la ecuación algebraica para 𝑈(𝑠) 
y luego recuperamos 𝑢(𝑡) por inversión. La misma estrategia se aplica a las 
ecuaciones diferenciales parciales donde lo desconocido es una función de 
dos variables, por ejemplo 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑡). Ahora transformamos en 𝑡, como 
antes, siendo la variable 𝑥 un parámetro no afectado por la transformación. 
En particular, definimos la transformada de Laplace de 𝑢(𝑥, 𝑡) por 
(𝓛𝒖)(𝒙, 𝒔) ≡ 𝑼(𝒙, 𝒔) = ∫𝒖(𝒙, 𝒕)𝒆−𝒔𝒕 ⅆ𝒕. 
∞
𝟎
 (𝟐. 𝟓𝟓) 
Entonces las derivadas del tiempo se transforman como en (2.53) y (2.54); 
por ejemplo, 
(ℒ𝑢𝑡)(𝑥, 𝑠) = 𝑠𝑈(𝑥, 𝑠) − 𝑢(𝑥, 0). 
Por otro lado, las derivadas espaciales no se ven afectadas; por ejemplo, 
(ℒ𝑢𝑥)(𝑥, 𝑠) = ∫
𝜕
𝜕𝑥
𝑢(𝑥, 𝑡)ⅇ−𝑠𝑡 ⅆ𝑡 =
𝜕
𝜕𝑥
∫ 𝑢(𝑥, 𝑡)ⅇ−𝑠𝑡 ⅆ𝑡 = 𝑈𝑥(𝑥, 𝑠).
∞
0
∞
0
 
Por lo tanto, al tomar transformadas de Laplace, una EDP en 𝑥 y 𝑡 se reduce 
a una ecuación diferencial ordinaria en 𝑥; Todas las 𝑡-derivadas se 
convierten en multiplicación en el dominio de transformación. 
Ejemplo 
Utilice transformadas de Laplace para resolver el siguiente problema de 
valor inicial y de frontera asociado con la ecuación de difusión. Sea 𝑢 =
𝑢(𝑥, 𝑡) la concentración de contaminante químico disuelto en un fluido en 
el dominio semi-infinito 𝑥 > 0. Inicialmente, suponga que el dominio está 
libre de contaminación. Para tiempos 𝑡 > 0 imponemos una concentración 
unitaria constante de un contaminante en el límite 𝑥 = 0, y nos 
preguntamos cómo este contaminante se difunde en la región. Asumiendo 
una unidad de difusión constante, el modelo matemático es 
𝑢𝑡 − 𝑢𝑥𝑥 = 0, 𝑥 > 0, 𝑡 > 0, 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
122 
 
𝑢(𝑥, 0) = 0, 𝑥 > 0, 
𝑢(0, 𝑡) = 1, 𝑡 > 0; 𝑢(𝑥, 𝑡) 𝑎𝑐𝑜𝑡𝑎ⅆ𝑜. 
Tomando la transformada de Laplace de ambos lados de la EDP da 
𝑠𝑈(𝑥, 𝑠) − 𝑈𝑥𝑥(𝑥, 𝑠) = 0. 
Ésta es una ecuación diferencial ordinaria con 𝑥 como variable 
independiente, y la solución es 
𝑈(𝑥, 𝑠) = 𝑎(𝑠)ⅇ−√𝑠𝑥 + 𝑏(𝑠)ⅇ√𝑠𝑥. 
Debido a que queremos soluciones acotadas, debemos establecer 𝑏(𝑠) = 0. 
Entonces 
𝑈(𝑥, 𝑠) = 𝑎(𝑠)ⅇ−√𝑠𝑥. 
Ahora tomamos transformada de Laplace de la condición de frontera para 
obtener 𝑈(0, 𝑠) =
1
𝑠
, donde hemos utilizado ℒ(1) =
1
𝑠
. Por lo tanto, 𝑎(𝑠) =
1
𝑠
, 
y la solución en el dominio de transformación es 
𝑈(𝑥, 𝑠) =
1
𝑠
ⅇ−√𝑠𝑥. 
Consultando la tabla o un programa de álgebra computacional, 
encontramos que la solución es 
𝑢(𝑥, 𝑡) = ⅇ𝑟𝑓𝑐 (
𝑥
√4𝑡
), 
donde erfc es la función definida por la formula 
ⅇ𝑟𝑓𝑐(𝑦) = 1 −
2
√𝜋
∫ⅇ−𝑟
2
ⅆ𝑟
𝑦
0
. 
Observe que ⅇ𝑟𝑓𝑐(𝑦) = 1 − erf (y). 
En ambos ejemplos anteriores pudimos recuperar una función de su 
transformada de Laplace buscando el par de transformación en una tabla o 
encontrándolo en un paquete de software. Uno podría preguntar, en 
general, cómo determinar 𝑢(𝑡) a partir del conocimiento de su 
transformación 𝑈(𝑠). Nos alejaría dar una discusión completa. Sin embargo, 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
123 
 
podemos indicar la fórmula general utilizada para calcular la transformada 
inversa, es decir, para calcular 𝑢(𝑡) a partir de su transformada 𝑈(𝑠). La 
fórmula de inversión es 
𝑢(𝑡) = (ℒ−𝑈)(𝑡) =
1
2𝜋𝑖
∫ 𝑈(𝑠)ⅇ𝑠𝑡 ⅆ𝑠.
𝑎+𝑖∞
𝑎−𝑖∞
 
La integral en esta fórmula es una integral de contorno compleja tomada 
sobre la línea recta infinita (llamada trayectoria de Bromwich) en el plano 
complejo de 𝑎 − 𝑖∞ a 𝑎 + 𝑖∞. El número 𝑎 es cualquier número real para el 
cual el camino de Bromwich resultante está a la derecha de cualquier 
Singularidad (polos, puntos singulares esenciales, o puntos de rama y 
cortes) de la función 𝑈(𝑠). Una discusión completa de la fórmula de 
inversión se puede encontrar en las referencias. 
Otro resultado útil en los cálculos es el teorema de la convolución. 
Teorema 
Supongamos que 𝑢 y 𝜈 son continuas a trozos en 𝑡 ≥ 0 y de orden 
exponencial. Entonces 
ℒ(𝑢 ∗ 𝑣)(𝑠) = 𝑈(𝑠)𝑉(𝑠), 
donde 
(𝑢 ∗ 𝑣)(𝑡) ≡ ∫𝑢(𝑡 − 𝜏)𝑣(𝜏) ⅆ𝜏
𝑡
0
 
es la convolución de 𝑢 y 𝜈, y 𝑈 = ℒ𝑢, 𝑉 = ℒ𝑣. 
Observamos que la transformada de Laplace es aditiva, pero no es 
multiplicativa. Es decir, la transformada de Laplace de un producto no es 
el producto de las transformadas de Laplace. El teorema de la convolución 
nos dice que al tomar la transformada de la transformada de Laplace de un 
producto obtenemos, a saber, la convolución. 
 
 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
124 
 
Ejemplo 
En el modelo de transporte de contaminantes en el último ejemplo 
cambiemos la condición de frontera a una función de tiempo y 
consideremos 
𝑢𝑡 − 𝑢𝑥𝑥 = 0, 𝑥 > 0, 𝑡 > 0, 
𝑢(𝑥, 0) = 0, 𝑥 > 0, 
𝑢(0, 𝑡) = 𝑓(𝑡), 𝑡 > 0; 𝑢(𝑥, 𝑡) 𝑎𝑐𝑜𝑡𝑎ⅆ𝑎. 
Tomando transformadas de Laplace de ambos lados de la EDP da, como en 
el ejemplo, 
𝑠𝑈(𝑥, 𝑠) − 𝑈𝑥𝑥(𝑥, 𝑠) = 0, 
que tiene solución 
𝑈(𝑥, 𝑠) = 𝑎(𝑠)ⅇ−√𝑠𝑥. 
Ahora tomamos una transformada de Laplace a la condición de frontera 
para obtener 𝑈(0, 𝑠) = 𝐹(𝑠). Por lo tanto, 𝑎(𝑠) = 𝐹(𝑠) y la solución en el 
dominio de transformación es 
𝑈(𝑥, 𝑠) = 𝐹(𝑠)ⅇ−√𝑠𝑥. 
Consultando una tabla o Maple, encontramos que 
ℒ−1(ⅇ−√𝑠𝑥) =
𝑥
√4𝜋𝑡3
ⅇ−𝑥
2∕4𝑡 . 
Por lo tanto, podemos usar el teorema de convolución para escribir la 
solución como 
𝑢(𝑥, 𝑡) = ∫ 
𝑡
0
𝑥
√4𝜋(𝑡 − 𝜏)3
ⅇ−𝑥
2∕(4(𝑡−𝜏))𝑓(𝜏) ⅆ𝜏. 
□ 
Contenido en el programa de software de Maple hay un paquete (el paquete 
de transformación integral) que puede ser adaptado para resolver EDP 
usando transformadas de Laplace. Discutimos este procedimiento en la 
Sección 2.8. 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
125 
 
Una referencia muy completa para la transformada de Laplace que incluye 
una extensa tabla, teoría y aplicaciones es Churchill (1958). Una breve tabla 
aparece en la parte posterior de este texto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
126 
 
Ejercicios 
1. Resolver el siguiente problema usando transformada de Laplace. 
𝑢𝑡𝑡 = 𝑐
2𝑢𝑥𝑥 − 𝑔, 𝑥 > 0, 𝑡 > 0, 
𝑢(0, 𝑡) = 0, 𝑡 > 0, 
𝑢(𝑥, 0) = 𝑢𝑡(𝑥, 0) = 0, 𝑥 > 0. 
La solución muestra lo que sucede con un cable que cae sobre una 
mesa que se quita repentinamente. Dibuja algunas instantáneas de 
tiempo de la solución. 
2. En el cuarto cuadrante 𝑥, 𝑦 > 0, donde la temperatura es inicialmente 
cero, el calor fluye sólo en la dirección 𝑦; A lo largo del borde 𝑦 = 0 el 
calor es conveccionado a lo largo del eje 𝑥, y la temperatura es 
constante 1 en el punto 𝑥 = 𝑦 = 0. El problema del valor en la frontera 
para la temperatura 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑡) es 
𝑢𝑡 = 𝑢𝑦𝑦 , 𝑥, 𝑡, 𝑦 > 0, 
𝑢(𝑥, 𝑦, 0) = 0, 𝑥, 𝑦 > 0, 
𝑢(0,0, 𝑡) = 1, 𝑡 > 0, 
𝑢𝑡(𝑥, 0, 𝑡) + 𝑢𝑥(𝑥, 0, 𝑡) = 0, 𝑥, 𝑡 > 0. 
 
Encontrar una solución acotada a este problema usando 
transformadas de Laplace. 
3. Demuestre que ℒ (∫ 𝑓(𝜏) ⅆ𝜏
𝑡
0
) = 𝐹(𝑠) ∕ 𝑠. 
4. Demuestre que ℒ(𝐻(𝑡 − 𝑎)𝑓(𝑡 − 𝑎)) = ⅇ−𝑎𝑠𝐹(𝑠), donde 𝐻 es la 
función escalón unitaria definida por 𝐻(𝑥) = 0 para 𝑥 < 0, y 𝐻(𝑥) =
1 para 𝑥 ≥ 0. 
5. Un recipiente muy profundo de líquido está aislado en sus lados. 
Inicialmente, su temperatura es constante 𝑢0 grados, y para 𝑡 > 0 el 
calor irradia desde su superficie superior expuesta de acuerdo con la 
ley de enfriamiento de Newton (ver Sección 1.3). La temperatura del 
aire es cero grados. Formular un problema de valor en la frontera y 
de valor inicial para la temperatura del líquido, y encontrar una 
fórmula para la temperatura a varias profundidades en varios 
momentos. Utilice 𝜌 = 𝑐 = 𝐾 = 𝛽 = 1 y utilice un paquetede álgebra 
de computadora para graficar algunos perfiles de temperatura. 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
127 
 
6. Deduzca la solución 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝐻(𝑡 − 𝑥 ∕ 𝑐)𝑔(𝑡 − 𝑥 ∕ 𝑐) para el 
problema 
𝑢𝑡𝑡 = 𝑐
2𝑢𝑥𝑥, 𝑥, 𝑡 > 0, 
𝑢(𝑥, 0) = 𝑢𝑡(𝑥, 0) = 0, 𝑥 > 0, 
𝑢(0, 𝑡) = 𝑔(𝑡), 𝑡 > 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
128 
 
2.7 Transformadas de Fourier 
La transformada de Fourier es otro operador integral con propiedades 
similares a la transformada de Laplace en que las derivadas se convierten 
en operaciones de multiplicación en el dominio de transformación. Así, 
la transformada de Fourier, como Laplace, es útil como herramienta 
computacional para resolver ecuaciones diferenciales. En EDP la 
transformada de Laplace se aplica generalmente a la variable del tiempo; 
La transformada de Fourier se aplica generalmente a la variable espacial 
cuando varía sobre (−∞,∞). 
Comencemos primero con funciones de una variable. La transformada 
de Fourier de una función 𝑢 = 𝑢(𝑥), 𝑥 ∈ ℝ , está definida por la ecuación 
(F𝑢)(𝜉) ≡ �̂�(𝜉) = ∫ 𝑢(𝑥)ⅇ𝑖𝜉𝑥 ⅆ𝑥
∞
−∞
. 
Si 𝑢 es absolutamente integrable, es decir, ∫ |𝑢| ⅆ𝑥 < ∞
∞
−∞
, entonces puede 
demostrarse que �̂� existe. Sin embargo, en la teoría de las transformadas 
de Fourier, es común trabajar con un conjunto de funciones más 
pequeño; Las integrales involucradas son integrales impropias, por lo 
que las funciones deben decaer lo suficientemente rápido para que 
existan las integrales. Definimos 𝑆 como el conjunto de funciones 
rápidamente decrecientes en ℝ que tienen derivadas continuas de todos 
los órdenes; las funciones rápidamente decrecientes son funciones que, 
junto con todas sus derivadas, disminuyen a cero cuando 𝑥 → ±∞ más 
rápido que cualquier función de potencia (funciones como 
1
𝑥2
 y 
1
𝑥6
). La 
función exp (−𝑥2) que define la curva en forma de campana es una 
función que disminuye rápidamente. Más técnicamente, si el conjunto 
de funciones que tienen derivadas continuas de todos los órdenes en ℝ 
se denotan por 𝐶∞, entonces 
𝑆 = {𝑢 ∈ 𝐶∞: |
ⅆ𝑘𝑢
ⅆ𝑥𝑘
| ≤ 𝑀
1
|𝑥|𝑁
 𝑐𝑢𝑎𝑛ⅆ𝑜 |𝑥| → ∞,
𝑘 = 0,1,2,… ; 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜ⅆ𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 ⅇ𝑛𝑡ⅇ𝑟𝑜𝑠 𝑁}. 
El conjunto 𝑆 se llama la clase de funciones de Schwartz, y uno puede 
demostrar que si 𝑢 ∈ 𝑆, entonces �̂� ∈ 𝑆, y viceversa. Así que 𝑆 es un conjunto 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
129 
 
cerrado bajo la transformación de Fourier, lo que hace que sea un buen 
conjunto con el que trabajar. 
Hay una observación importante acerca de la notación. No existe una 
convención estándar sobre cómo definir la transformada de Fourier (2.56); 
Algunos ponen un factor de 1
(2𝜋)
 o 
1
√2𝜋
 frente a la integral, y algunos tienen 
una potencia negativa en el exponencial, o incluso un factor de 2𝜋. Uno 
debe ser consciente de estas variaciones al consultar otras fuentes. 
Una propiedad básica de la transformada de Fourier es que la 𝑘-ésima 
derivada 𝑢(𝑘) (𝑘 = 0,1,2, … ) se transforma en una expresión algebraica. Es 
decir, 
 
(F𝒖(𝒌))(𝝃) = (−𝒊𝝃)𝒌�̂�(𝝃) (𝟐. 𝟓𝟕) 
Confirmando nuestro comentario de que las derivadas se transforman en 
multiplicación (por un factor de (−𝑖𝜉)𝑘). Esta fórmula se demuestra 
fácilmente mediante la integración por partes (como para la transformada 
de Laplace); Todos los términos de frontera generados en la integración por 
partes son cero, ya que 𝑢 y todas sus derivadas espaciales se desvanecen en 
±∞. Para funciones de dos variables, digamos 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑡), la variable 𝑡 actúa 
como parámetro, y definimos 
(F 𝑢)(𝜉, 𝑡)≡ �̂�(𝜉, 𝑡)= ∫ 𝑢(𝑥, 𝑡)ⅇ𝑖𝜉𝑥ⅆ𝑥∞
−∞
. 
Entonces, bajo la transformación de Fourier, las derivadas de 𝑥 se 
convierten en multiplicación, y las derivadas de 𝑡 permanecen no afectados; 
por ejemplo, 
(F 𝑢𝑥)(𝜉, 𝑡)= (−𝑖𝜉)�̂�(𝜉, 𝑡), 
(F 𝑢𝑥𝑥)(𝜉, 𝑡)= (−𝑖𝜉)
2
�̂�(𝜉, 𝑡), 
(F 𝑢𝑡)(𝜉, 𝑡)= �̂�𝑡(𝜉, 𝑡). 
Resolver una ecuación diferencial para 𝑢 implica transformar primero el 
problema en el dominio de transformación y luego resolver para �̂�. 
Entonces uno se enfrenta con el problema de la inversión, o el problema de 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
130 
 
determinar la 𝑢 para el cual F 𝑢 = �̂�. Otra característica agradable de la 
transformada de Fourier es la forma simple de la fórmula de la inversión, o 
la transformación inversa. Esto es 
(F −𝟏�̂�)(𝒙) ≡ 𝒖(𝒙) = 𝟏
𝟐𝝅
∫ �̂�(𝝃)𝒆−𝒊𝝃𝒙 ⅆ𝝃
∞
−∞
. (𝟐. 𝟓𝟖) 
Este resultado se llama teorema integral de Fourier; Dicta cómo regresar del 
dominio de transformación. 
Algunas transformaciones de Fourier se pueden calcular directamente; 
Muchas requieren integrales complejas de contorno. En el ejemplo siguiente 
calculamos la transformada de la función gaussiana 𝑢(𝑥) = ⅇ−𝑎𝑥
2
, 𝑎 > 0, 
usando una técnica de ecuaciones diferenciales. 
Ejemplo 
Queremos calcular �̂�, donde 
�̃�(𝜉) = ∫ ⅇ−𝑎𝑥
2
ⅇ𝑖𝜉𝑥 ⅆ𝑥
∞
−∞
. 
Diferenciando con respecto a 𝜉 y luego la integrando por partes da 
�̂�′(𝜉) = 𝑖 ∫ 𝑥ⅇ−𝑎𝑥ⅇ𝑖𝜉𝑥 ⅆ𝑥 =
∞
−∞
 
−𝑖
2𝑎
∫
ⅆ
ⅆ𝑥
ⅇ−𝑎𝑥
2
ⅇ𝑖𝜉𝑥 ⅆ𝑥 =
∞
−∞
 
−
𝜉
2𝑎
�̂�(𝜉). 
Por lo tanto, tenemos una ecuación diferencial �̂�′ = −
𝜉
2𝑎
�̂� para �̂�. 
Separando variables e integrando obtenemos la solución general. 
�̂�(𝜉) = 𝐶ⅇ−𝜉
2∕(4𝑎). 
La constante 𝐶 se puede determinar notando que 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
131 
 
�̂�(0) = ∫ ⅇ−𝑎𝑥
2
ⅆ𝑥
∞
−∞
= √
𝜋
𝑎
. 
En consecuencia, tenemos 
F (𝒆−𝒂𝒙𝟐)= √𝝅
𝒂
𝒆−𝝃
𝟐
∕(𝟒𝒂). (𝟐.𝟓𝟗) 
Así pues, la transformada de Fourier de una función gaussiana es en sí 
misma una Gaussiana; de igual forma, la transformación inversa de una 
Gaussiana es una Gaussiana. 
Una relación de convolución también es válida para las transformadas de 
Fourier. Si 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑆, entonces definimos su convolución, que está en 𝑆, por 
(𝑢 ∗ 𝑣)(𝑥) = ∫ 𝑢(𝑥 − 𝑦)𝑣(𝑦) ⅆ𝑦.
∞
−∞
 
Entonces tenemos el siguiente teorema de convolución: 
Teorema 
Si 𝑢 y 𝑣 ∈ 𝑆, entonces 
F(𝑢 ∗ 𝑣)(𝜉) = �̂�(𝜉)�̂�(𝜉). 
Por el teorema integral de Fourier se sigue inmediatamente que 
(𝑢 ∗ 𝑣)(𝑥) = F −1 (�̂�(𝜉)�̂�(𝜉)). 
Esta fórmula establece que la transformación inversa de un producto es una 
convolución; Esta es una relación útil para resolver ecuaciones 
diferenciales. 
Ejemplo 
Sea 𝑓 ∈ 𝑆 y determine 𝑢 para el cual 
𝑢′′ − 𝑢 = 𝑓(𝑥), 𝑥 ∈ ℝ. 
Tomando la transformación de ambos lados obtenemos 
(−𝑖𝜉)2�̂� − �̂� = 𝑓,̂ 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
132 
 
o 
�̂�(𝜉) = −
1
1 + 𝜉2
𝑓(𝜉). 
En el dominio transformado la solución es un producto de 
transformaciones, por lo que aplicamos el teorema de convolución. De los 
ejercicios 2 y 3 tenemos 
F (
1
2
ⅇ−|𝑥|) =
1
1+𝜉2
. 
Por lo tanto, 
𝑢(𝑥) = −
1
2
ⅇ−|𝑥| ∗ 𝑓(𝑥) = −
1
2
∫ 
∞
−∞
ⅇ−|𝑥−𝑦|𝑓(𝑦)ⅆ𝑦. 
La estrategia en aplicar métodos de transformación para resolver 
ecuaciones diferenciales es proceder formalmente, haciendo alguna 
suposición que se requiera para obtener una respuesta; Por ejemplo, 
supongamos que todos los datos están en 𝑆. Cuando se obtiene una 
solución, se puede intentar verificar que es realmente una solución al 
problema. A menudo se puede demostrar que la solución obtenida se 
mantiene en condiciones menos severas de las requeridas en la aplicación 
del método de transformación. 
Ahora aplicamos el método de transformada de Fourier al problema de 
Cauchy para la ecuación de calor. Derivaremos la misma fórmula de 
solución (2.8) que obtuvimos en la Sección 2.1 por un método diferente. 
Ejemplo 
Utilizar transformadas de Fourier para resolver el problema de valor inicial 
puro para la ecuación de calor: 
𝒖𝒕 − 𝒌𝒖𝒙𝒙 = 𝟎,𝒙 ∈ ℝ, 𝒕 > 𝟎; 𝒖(𝒙, 𝟎) = 𝒇(𝒙), 𝒙 ∈ ℝ. (𝟐. 𝟔𝟎) 
De nuevo asumimos que 𝑓 ∈ 𝑆. Tomando transformadas de Fourier de la 
EDP da 
�̂�𝑡 = −𝜉
2𝑘�̂�, 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
133 
 
Que es una ecuación diferencial ordinaria en 𝑡 para �̂�(𝜉, 𝑡), con 𝜉 como 
parámetro. Su solución es 
�̂�(𝜉, 𝑡) = 𝐶ⅇ−𝜉
2𝑘𝑡 . 
Pero la condición inicial da �̂�(𝜉, 0) = 𝑓(𝜉), y así 𝐶 = 𝑓(𝜉). Por lo tanto, 
�̂�(𝜉, 𝑡) = ⅇ−𝜉
2𝑘𝑡𝑓(𝜉). 
Reemplazando 𝑎 por 1 ∕ (4𝑘𝑡) en la formula (2.59) obtenemos 
F (
1
√4𝜋𝑘𝑡
ⅇ−𝑥
2∕(4𝑘𝑡)) = ⅇ−𝜉
2𝑘𝑡 . 
Así, por el teorema de convolución tenemos 
𝒖(𝒙, 𝒕) = ∫ 
𝟏
√𝟒𝝅𝒌𝒕
𝒆−(𝒙−𝒚)
𝟐 (𝟒𝒌𝒕)⁄ 𝒇(𝒚)ⅆ𝒚. (𝟐. 𝟔𝟏)
∞
−∞
 
Esta solución se obtuvo del supuesto de que 𝑓 está en la clase de funciones 
de Schwartz. Pero ahora que lo tenemos, podemos intentar mostrar que es 
una solución bajo restricciones más suaves en 𝑓. Por ejemplo, se puede 
probar que (2.61) es una solución a (2.60) si 𝑓 es una función continua, 
acotada en ℝ. 
Ejemplo 
Ahora trabajamos un problema que implica la ecuación de Laplace en el 
semi-plano superior. Considerar 
𝑢𝑥𝑥 + 𝑢𝑦𝑦 = 0, 𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 > 0; 𝑢(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥), 𝑥 ∈ ℝ. 
También añadimos la condición de que la solución 𝑢 permanezca acotada 
cuando 𝑦 → ∞. Este ejemplo es similar al último ejemplo. Tomando la 
transformada (en 𝑥 con 𝑦 como parámetro) de la EDP, obtenemos 
�̂�𝑦𝑦 − 𝜉
2�̂� = 0, 
que tiene solución general 
�̂�(𝜉, 𝑦) = 𝑎(𝜉)ⅇ−𝜉𝑦 + 𝑏(𝜉)ⅇ𝜉𝑦 . 
La condición de frontera en 𝑢 fuerza a que 𝑏(𝜉) = 0 si 𝜉 > 0 y 𝑎(𝜉) = 0 
si 𝜉 < 0. Así que tomamos 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
134 
 
�̂�(𝜉, 𝑦) = 𝑐(𝜉)ⅇ−|𝜉|𝑦 . 
Al aplicar transformadas de Fourier a la condición de frontera, obtenemos 
𝑐(𝜉) = 𝑓(𝜉). Por lo tanto, la solución en el dominio de transformación es 
�̂�(𝜉, 𝑦) = ⅇ−|𝜉|𝑦𝑓(𝜉). 
Por lo tanto, usando el teorema de convolución y el Ejercicio 2, obtenemos 
la solución 
𝑢(𝑥, 𝑦) =
𝑦
𝜋
1
𝑥2+𝑦2
∗ 𝑓 =
𝑦
𝜋
 ∫ 
∞
−∞
𝑓(𝜏) ⅆ𝜏
(𝑥−𝜏)2+𝑦2
▫ 
□ 
Una excelente introducción a las transformadas de Fourier se puede 
encontrar en Strichartz (1994) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
135 
 
Ejercicios 
1. Encontrar la convolución de las funciones 𝑓(𝑥) = 𝑥 y 𝑔(𝑥) = ⅇ−𝑥
2
. 
2. Demostrar que la transformada inversa de Fourier de ⅇ−𝑎|𝜉|, 𝑎 > 0, es 
𝑎
𝜋
1
𝑥2 + 𝑎2
. 
3. Verificar las siguientes propiedades de la transformada de Fourier: 
(a) (Fu)(𝜉) = 2𝜋(F −1u) (−𝜉). 
(b) F(ⅇ𝑖𝑎𝑥𝑢)(𝜉) = �̂�(𝜉 + 𝑎). 
(c) F(𝑢(𝑥 + 𝑎)) = ⅇ−𝑖𝑎𝜉�̂�(𝜉). 
La fórmula (a) indica que si una transformada es conocida, también 
lo es su inversa, y viceversa. 
4. Encontrar la transformada de Fourier de la función 𝑢 definida por 
𝑢(𝑥) = ⅇ−𝑎𝑥 si 𝑥 > 0, y 𝑢(𝑥) = 0 si 𝑥 ≤ 0. 
5. Calcular F (𝑥ⅇ−𝑎𝑥2). 
6. Resolver el siguiente problema de valor inicial para la ecuación del 
calor no homogénea: 
𝑢𝑡 = 𝑢𝑥𝑥 + 𝐹(𝑥, 𝑡), 𝑥 ∈ ℝ, 𝑡 > 0 𝑢(𝑥, 0) = 0, 𝑥 ∈ ℝ. 
7. Encuentre una fórmula para la solución al siguiente problema de 
valor inicial para la ecuación de Schrödinger libre: 
𝑢𝑡 = 𝑖𝑢𝑥𝑥, 𝑥 ∈ ℝ, 𝑡 > 0; 𝑢(𝑥, 0) = ⅇ
−𝑥2 , 𝑥 ∈ ℝ. 
8. Encuentre una solución acotada al problema de Neumann 
𝑢𝑥𝑥 + 𝑢𝑦𝑦 = 0, 𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 > 0, 
𝑢𝑦(𝑥, 0) = 𝑔(𝑥), 𝑥 ∈ ℝ. 
Sugerencia: Suponga 𝑣 = 𝑢𝑦 y reduzca el problema a uno de Dirichlet. 
La solución es 
𝑢(𝑥, 𝑦) =
1
2𝜋
∫ 𝑔(𝑥 − 𝜉) ln(𝑦2 + 𝜉2) ⅆ𝜉 + 𝐶.
∞
−∞
 
9. Resolver el problema de valor inicial 
𝑢𝑥𝑥 + 𝑢𝑦𝑦 = 0, 𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 > 0, 
𝑢(𝑥, 0) = 1, |𝑥| ≤ 𝑙; 𝑢(𝑥, 0) = 0, |𝑥| > 𝑙 
donde 𝑏 > 0 es una constante. 
10. Use integración por partes para verificar (asumir 𝑢 ∈ 𝑆 ) 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
136 
 
(F 𝑢𝑥)( 𝜉, 𝜏)=(−𝑖𝜉) �̂�(𝜉, 𝜏), 
(F 𝑢𝑥𝑥)( 𝜉, 𝜏)= (−𝑖𝜉)
2
�̂�(𝜉, 𝑡). 
11. Sea 𝑢(𝑥) una onda cuadrada, es decir, 𝑢(𝑥) = 1 si |𝑥| ≤ 𝑎 y 𝑢(𝑥) = 0 
si |𝑥| > 𝑎. 
Demostrar que 
(F 𝑢)( 𝜉)= 2 𝑠ⅇ𝑛 𝑎𝜉
𝜉
. 
12. Resolver el problema de Cauchy para la siguiente ecuación de 
difusión convección usando transformada de Fourier: 
𝑢𝑡 = 𝐷𝑢𝑥𝑥 − 𝑐𝑢𝑥, 𝑥 ∈ ℝ, 𝑡 > 0; 𝑢(𝑥, 0) = 𝜙(𝑥), 𝑥 ∈ ℝ. 
13. Este ejercicio explora el papel del término 𝑢𝑥𝑥𝑥 (llamado término de 
dispersión) en una EDP examinando la ecuación 
𝑢𝑡 + 𝑢𝑥𝑥𝑥 = 0. 
Esta ecuación se denomina a veces la ecuación lineal de Korteweg-de 
Vries (KdV). 
(a) ¿Qué relación entre 𝜔 y 𝑘 tendría que mantenerse si existe una 
solución de la forma 
𝑢(𝑥, 𝑡) = ⅇ𝑖(𝑘𝑥−𝜔𝑡)? 
¿Cómo se ven estas soluciones y cómo depende su velocidad de 𝑘? 
¿Qué significa su conclusión, cualitativamente? (Recuerde que las 
partes real e imaginaria de una solución compleja a una ecuación 
lineal son soluciones reales). 
(b) Utilice la transformada de Fourier para resolver el problema de 
Cauchy para la ecuación lineal de KdV y escriba su respuesta en 
términos de la función Airy definida por 
𝐴𝑖(𝑥) =
1
2𝜋
∫ cos(𝑧3 ∕ 3 + 𝑥𝑧)ⅆ𝑧.
∞
−∞
 
(c) Tomar la exponencial Gaussiana (exp(-𝑥2)) como la condición 
inicial en el problema de Cauchy y encuentre el perfil de la 
solución cuando 𝑡 = 1. (Tanto Maple como Mathematica conocen 
la función Airy). 
14. Utilizar las transformadas de Fourier para deducir la solución de 
d´Alembert (2.14) al problema de Cauchy para la ecuación de onda 
(2.12) - (2.13) cuando la velocidad inicial es cero, es decir, 𝑔(𝑥) ≡ 0. 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
137 
 
2.8 Solución de EDPs Usando Sistemas de 
Álgebra de computadora 
Muchos sistemas de álgebra computarizada (CAS) contienen comandos 
simples que devuelven la solución general de ciertas clases de EDP o una 
solución gráfica a un problema de tipo Cauchy. En esta sección 
ilustramos algunos de estos comandos con Maple. Los comandos 
similares forman parte de Mathematica. Hay muchos manuales que 
describen estos sistemas de álgebra computacional. El lector debe 
reconocer que el campo completo de cálculos simbólicos para EDP está 
avanzando a un ritmo rápido, y por lo tanto el material de esta sección 
puede llegar a ser obsoleto rápidamente porque versiones más recientes 
de estos programas incorporan los desarrollos más recientes. El 
practicante debe tener cuidado al usar paquetes de software; La lección 
es que uno no puede seguir ciegamente sin aplicar algún conocimiento 
básico de las EDP. 
El comando básico en Maple es pdsolve, que tiene la sintaxis 
Pdsolve(PDE,var) 
Donde PDE es la ecuación diferencial parcial y var es la variable 
dependiente. El programa pdsolve devuelve la solución general, en 
términos de funciones arbitrarias, para un gran número de ecuaciones 
diferenciales parciales. 
Por ejemplo, para definir la ecuación de onda, en el indicador de 
comandos escribimos 
PDE:=diff(u(x,t),t,t)-c^2∗diff(u(x,t),x,x)=0; 
Maple devuelve una declaración impresa de la EDP. Entonces para 
solucionarlo, tecleamos 
Sol:=pdsolve(PDE,u(x,t)); 
y Maple nos devuelve la solución general 
Sol:=u(x,t)=_F1(tc+x)+_F2(tc-x) 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
138 
 
donde _F1 y _F2 son la notación de Maple para dos funciones arbitrarias. 
Si queremos que la solución general, este en términos de funciones 
arbitrarias, entonces un CAS puede ahorrar mucho tiempo. Pero el lector 
debe tener en cuenta que no siempre estamos interesados en la solución 
general de un EDP. Más a menudo, buscamos una solución particular 
que satisfaga las condiciones iniciales y de frontera. En este caso, la 
solución general puede ser de ayuda si podemos evaluar las funciones 
arbitrarias usando las condiciones auxiliares; Pero a menudo esta 
estrategia falla. Además, muchas EDP (por ejemplo, la ecuación de calor) 
no tienen una solución general que tenga una forma concisa como la de 
la ecuaciónde onda y pdsolve no puede resolver estos tipos de 
ecuaciones. 
El conocimiento de la solución general a una EDP de primer orden es útil 
porque utilizamos la condición de frontera o los datos iniciales para 
especificar la función arbitraria que aparece en la solución general. 
Ejemplo 
Considere 
𝑢𝑡 + 2𝑢𝑥 = −3𝑢, 𝑥 ∈ ℝ, 𝑡 > 0; 𝑢(𝑥, 0) =
1
1 + 𝑥2
, 𝑥 ∈ ℝ. 
Esta ecuación modela la advección y el decaimiento de una sustancia 
química en un dominio infinito. La solución general es 
𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑔(2𝑡 − 𝑥)ⅇ−3𝑥∕2, 
que se encuentra en el comando Maple 
pdsolve(diff(u(x,t),t)+2∗diff(u(x,t),x) 
=-3∗u(x,t); 
Ahora usamos los datos iniciales para determinar la función arbitraria 
g. Por supuesto, podemos usar el CAS para realizar este cálculo para 
nosotros, pero a menudo es más sencillo hacerlo a mano. El ajuste 𝑡 = 0 
en la solución general da 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
139 
 
𝑔(−𝑥)ⅇ−3𝑥∕3 =
1
1 + 𝑥2
. 
Así 
𝑔(𝑥) = ⅇ−3𝑥∕3
1
1 + 𝑥2
 
y la solución es 
𝑢(𝑥, 𝑡) = ⅇ−3(2𝑡−𝑥)∕3
1
1 + (2𝑡 − 𝑥)2
ⅇ−3𝑥∕2 =
ⅇ−3𝑡
1 + 4𝑡2 − 4𝑡𝑥 + 𝑥2
. 
Esta solución se puede representar gráficamente en −3 < 𝑥 < 3, 0 < 𝑡 < 1.5 
usando el comando plot de Maple 
Plot3d(u(x,t),x=-3..3,t=0..1.5); 
La superficie de la solución se muestra en la Figura 2.7. 
□ 
 
 
 
 
Figura2.7 La superficie de la solución 𝑢(𝑥, 𝑡) =
ⅇ−3𝑡 (1 + 4𝑡2 − 4𝑡𝑥 + 𝑥2)⁄ . 
Usar un sistema de álgebra computarizada como Maple no es la única 
manera de usar computadoras para resolver EDPs. El lector debe recordar 
de un curso elemental en Ecuaciones Diferenciales Ordinarias que hay 
métodos discretos para resolver numéricamente las ecuaciones 
diferenciales ordinarias (el método de Euler, el método de Runge-Kutta, 
etc.). Métodos similares, basados en aproximaciones de cociente diferencial 
de las derivadas parciales, pueden desarrollarse para ecuaciones 
diferenciales parciales. Introduciremos algunos de estos métodos en la 
Sección 4.8. En la actualidad, se puede afirmar que es más común en la 
ciencia real y en problemas de ingeniería resolver EDP utilizando métodos 
numéricos (diferencias finitas, elementos finitos, etc) en lugar de utilizar 
métodos exactos de CAS. Los algoritmos numéricos altamente eficientes se 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
140 
 
pueden escribir en FORTRAN, C ++ o Matlab, que es una parte primordial 
de las rutinas de FORTRAN. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
141 
 
Ejercicios 
1. Use pdsolve en Maple, o el comando apropiado en otro sistema, para 
encontrar la solución general de las siguientes EDP: 
(a) 𝑢𝑡𝑡 − 5𝑢 = 0. 
(b) 𝑢𝑡𝑡 − 𝑢𝑥𝑡 − 6𝑢𝑥𝑥 = 0. 
(c) 𝑢𝑡 +
1
1+𝑥2
𝑢𝑥 + 𝑢 = 0. 
(d) 𝑢𝑥𝑡 + 𝑢𝑥 = 𝑥𝑡ⅇ
−𝑡 . 
2. Use pdsolve para encontrar la solución general a la EDP 
𝑢𝑡 + 𝑥𝑢𝑥 = −𝑠ⅇ𝑛 𝑥 
Encontrar la solución que satisface la condición de frontera 𝑢(1, 𝑡) =
ⅇ−𝑡
2
. 
3. Use pdsolve para encontrar la solución general a 𝑢𝑡 + 𝑢𝑥 = 𝑢
2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
142 
 
Capítulo 3 Expansiones Ortogonales 
 
3.1 El método de Fourier 
La técnica básica para resolver EDP en un dominio acotado es el método de 
Fourier, llamado así por Joseph Fourier (1768-1830). En esta sección 
tomamos una perspectiva del siglo XIX y hacemos algunos comentarios 
sobre el origen del método. Nuestra discusión motivará uno de los temas 
fundamentales en análisis y en EDP, a saber, las expansiones ortogonales. 
Para fijar la noción consideremos el flujo de calor en una barra finita de 
longitud 𝜋 y unidad de difusividad (𝑘 = 1), donde los extremos se 
mantienen en cero grados. Elegimos 𝜋 como la longitud para hacer que las 
constantes salgan más simples al final. De las secciones anteriores sabemos 
que la temperatura 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑡)en la barra debe satisfacer las ecuaciones del 
modelo 
𝒖𝒕 = 𝒖𝒙𝒙, 𝟎 < 𝒙 < 𝝅; 𝒕 > 𝟎, (𝟑. 𝟏) 
𝒖(𝟎, 𝒕) = 𝒖(𝝅, 𝒕), 𝒕 > 𝟎, (𝟑. 𝟐) 
Consistente en la ecuación de calor y las condiciones de frontera. Es fácil 
comprobar que para cualquier número entero positivo 𝑛 una solución a (3.1) 
- (3.2) está dada por 
𝑢𝑛(𝑥, 𝑡) = ⅇ
−𝑛2𝑡𝑠ⅇ𝑛 𝑛𝑥. 
Estas soluciones satisfacen claramente las condiciones iniciales 
𝑢𝑛(𝑥, 0) = 𝑠ⅇ𝑛 𝑛𝑥. 
Que dan perfiles de temperatura en 𝑡 = 0. 
Pero ¿Qué pasa si el perfil de temperatura inicial no es 𝑠ⅇ𝑛 𝑛𝑥, sino más bien 
una función arbitrariamente dada 𝑓(𝑥)? Es decir, ¿Cuál es la solución a (3.1) 
y (3.2) aumentada por la condición inicial 
𝒖(𝒙, 𝟎) = 𝒇(𝒙), 𝟎 < 𝒙 < 𝝅? (𝟑. 𝟑) 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
143 
 
Fourier argumento que la solución 𝑢(𝑥, 𝑡) a (3.1)-(3.3) podía ser tomada 
como una combinación lineal infinita de las 𝑢𝑛(𝑥, 𝑡), esto es, 
𝒖(𝒙, 𝒕) = ∑ 
∞
𝒏=𝟏
𝒂𝒏𝒆
−𝒏𝟐𝒕𝒔𝒆𝒏𝒏𝒙 (𝟑. 𝟒) 
Para una elección apropiada de las constantes 𝑎𝑛. Para satisfacer la 
condición inicial, (3.3) se requeriría que 
𝒖(𝒙, 𝟎) = 𝒇(𝒙) = ∑ 
∞
𝒏=𝟏
𝒂𝒏𝒔𝒆𝒏𝒏𝒙, (𝟑. 𝟓) 
Es decir, la función de temperatura inicial 𝑓(𝑥)tendría que tener una 
representación en función de las funciones periódicas 𝑠ⅇ𝑛 𝑥, 𝑠ⅇ𝑛 2𝑥, 
𝑠ⅇ𝑛 3𝑥,....Para determinar las 𝑎𝑛 se podría proceder formalmente y 
multiplicar ambos lados de (3.5) por 𝑠ⅇ𝑛 𝑚𝑥, para un cierto índice fijo pero 
arbitrario 𝑚, y entonces integrando de 𝑥 = 0 a 𝑥 = 𝜋 nos da 
∫ 
𝜋
0
𝑓(𝑥)𝑠ⅇ𝑛 𝑚𝑥 ⅆ𝑥 = ∫ ∑ 𝑎𝑛𝑠ⅇ𝑛 𝑛𝑥 𝑠ⅇ𝑛𝑚𝑥 ⅆ𝑥.
∞
𝑛=1
𝜋
0
 
Ahora bien, si intercambiamos el orden de integración (advertimos al lector 
que esto no siempre es una operación válida), obtenemos 
∫ 𝑓(𝑥)𝑠ⅇ𝑛 𝑚𝑥 ⅆ𝑥 = ∑𝑎𝑛
∞
𝑛=1
∫ 𝑠ⅇ𝑛 𝑛𝑥 𝑠ⅇ𝑛 𝑚𝑥 ⅆ𝑥.
𝜋
𝑜
𝜋
0
 
Ahora observamos que la serie infinita converge a un solo término. Esto se 
debe a la fórmula de integración 
∫ 𝒔𝒆𝒏 𝒏𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝒎𝒙 ⅆ𝒙 = 𝟎, 𝒏 ≠ 𝒎. (𝟑. 𝟔)
𝝅
𝟎
 
Así, el único término que sobrevive en la serie infinita es aquel en el que el 
índice de sumación 𝑛 coincide con 𝑚, el índice fijo. Entonces conseguimos 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
144 
 
∫𝑓(𝑥)𝑠ⅇ𝑛 𝑚𝑥 ⅆ𝑥
𝜋
0
= 𝑎𝑚∫ 𝑠ⅇ𝑛
2
𝜋
0
 𝑚𝑥 ⅆ𝑥 =
𝜋
2
𝑎𝑚. 
Pero 𝑚 es un índice arbitrario, por lo que hemos demostrado que los 
coeficientes de (3.4) están dados por 
𝒂𝒏 =
𝟐
𝝅
∫ 𝒇(𝒙)𝒔𝒆𝒏 𝒏𝒙 ⅆ𝒙, 𝒏 = 𝟏, 𝟐,… (𝟑. 𝟕)
𝝅
𝟎
 
Por lo tanto, en un sentido formal (un cálculo formal en matemáticas se 
puede hacer sin un rigor completo) la solución al problema del flujo de calor 
(3.1) - (3.3) viene dada por (3.4), donde los coeficientes 𝑎𝑛 están dados por 
(3.7). De hecho, se puede verificar que esta es una solución razonable para 
las distribuciones de temperatura inicial 𝑓(𝑥). 
Lo que acabamos de describir es el método de Fourier; Es decir, se resuelve 
un problema general de valor en la frontera y condición inicial 
superponiendo las soluciones al problema de valor en la frontera puro y 
luego eligiendo las constantes de modo que también se satisfaga la 
condición inicial. Una clave para el cálculo fue que las funciones 𝑠ⅇ𝑛 𝑛𝑥 
satisfacían una relación como (3.6), que se denomina condición de 
ortogonalidad. Nos permitió calcular fácilmente los coeficientes de la serie 
(3.5). La serie infinita (3.5) para 𝑓(𝑥) en términos de las funciones 
ortogonales 𝑠ⅇ𝑛 𝑛𝑥 se denomina expansión ortogonal o serie de Fourier. 
Más adelante vamos a examinar estas ideas en detalle. 
En otra nota histórica, este cálculo era problemático en el tiempo de Fourier, 
a principios del siglo XIX. Conceptos como la convergencia de series no 
fueron bien entendidos. L. Euler,D. Bernoulli y d'Alembert, todos los cuales 
habían abordado problemas similares a mediados de los años 1700 con 
respecto a la ecuación de onda y las cuerdas vibrantes, se habían 
preguntado acerca de la posibilidad de expandir una función no periódica 
en términos de funciones periódicas como senos y cosenos. Fue L. Dirichlet 
quien en 1829 estableció condiciones bajo las cuales tales representaciones 
en serie son válidas. 
 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
145 
 
Consideremos el problema de valor en la frontera y de valor inicial para la 
ecuación de onda 
𝑢𝑡𝑡 = 𝑐
2𝑢𝑥𝑥, 0 < 𝑥 < 𝜋, 𝑡 > 0, (3.8) 
𝑢(0, 𝑡) = 𝑢(𝜋, 𝑡) = 0, 𝑡 > 0, (3.9) 
𝑢(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥), 𝑢𝑡(𝑥, 0) = 0, 0 < 𝑥 < (3.10) 
En un dominio espacial acotado. Utilizar el conjunto fundamental de 
soluciones 
𝑢𝑛(𝑥, 𝑡) = cos 𝑛𝑐𝑡 𝑠ⅇ𝑛 𝑛𝑥, 𝑛 = 1,2,… , 
el cual satisface (3.8)-(3.9), para determinar una solución formal de (3.8)-
(3.10). Encuentre la solución si las condiciones iniciales se cambian a 
𝑢(𝑥, 0) = 0, 𝑢𝑡(𝑥, 0) = 𝑔(𝑥), 0 < 𝑥 < 𝜋. 
Obsérvese que estos cálculos equivalen a traducir una onda arbitraria en 
sus modos fundamentales. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
146 
 
3.2 Expansiones Ortogonales 
El lector está familiarizado con la noción de expandir una función dada 𝑓(𝑥) 
en una serie infinita de funciones más simples. Por ejemplo, si 𝑓 tiene 
infinitas derivadas en 𝑥 = 0, entonces su serie de Taylor sobre 𝑥 = 0 es 
𝑓(𝑥) = ∑𝑎𝑛𝑥
𝑛
∞
𝑛=0
, 
donde las 𝑎𝑛, son los coeficientes de Taylor, que están dados por 
𝑎𝑛 = 𝑓
(𝑛)(0) ∕ 𝑛! . Por ejemplo, la serie de Taylor para la función 
exponencial es 
ⅇ𝑥 = 1 + 𝑥 +
1
2!
𝑥2 +
1
3!
𝑥3 +⋯. 
Otro tipo de series son las series de Fourier; Si 𝑓 es definida e integrable en 
el intervalo [−𝜋, 𝜋], entonces su serie de Fourier es una serie infinita de la 
forma 
𝒂𝟎
𝟐
+∑ (𝒂𝒏 𝐜𝐨𝐬𝒏𝒙 + 𝒃𝒏 𝒔𝒆𝒏 𝒏𝒙), (𝟑. 𝟏𝟏)
∞
𝒏=𝟏
 
donde los coeficientes se calculan por las fórmulas 
𝑎𝑛 =
1
𝜋
∫ 𝑓(𝑥) cos 𝑛𝑥 ⅆ𝑥, 𝑛 = 0,1,2… ,
𝜋
−𝜋
 
𝑏𝑛 =
1
𝜋
∫ 𝑓(𝑥)𝑠ⅇ𝑛 𝑛𝑥 ⅆ𝑥, 𝑛 = 1,2… .
𝜋
−𝜋
 
En el caso de la serie de Taylor se utiliza el conjunto de funciones de 
potencia 1, 𝑥, 𝑥2, …para la base de la expansión y en la serie de Fourier se 
usan las funciones trigonométricas 1, 𝑐𝑜𝑠𝑥, cos 2𝑥,… , 𝑠ⅇ𝑛 𝑥, 𝑠ⅇ𝑛 2𝑥,…como 
base de la expansión. Cada expansión tiene sus ventajas. Aprendemos en el 
cálculo que unos cuantos términos de la serie de Taylor pueden 
proporcionar una buena aproximación para 𝑓 localmente cerca de 𝑥 = 0. 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
147 
 
Los primeros términos de una serie de Fourier pueden, por otra parte, 
proporcionar una buena aproximación global para señales periódicas. 
En esta sección queremos entender la idea subyacente de una expansión de 
Fourier al permitir que las funciones de base sean cualquier conjunto de 
funciones con una propiedad de ortogonalidad. El resultado será una teoría 
general que incorpora la serie de Fourier como un caso especial. La 
ortogonalidad es una noción que tiene sus orígenes en el análisis vectorial; 
recordamos que un conjunto de vectores ⅇ1, ⅇ2,... serán mutuamente 
perpendiculares si su correspondiente producto punto se hace cero, es 
decir, ⅇ𝑖 ⋅ ⅇ𝑗 = 0 para todo 𝑖 ≠ 𝑗. Ortogonal es otra palabra para 
perpendicular, pero tiene significado en ajustes más generales, como con 
respecto a conjuntos de funciones. Para fijar la noción definamos el conjunto 
de funciones 𝐿2 ≡ 𝐿2[𝑎, 𝑏] que consiste de todas las funciones de valor real 
𝑓 definidas en el intervalo para las cuales 
∫|𝑓(𝑥)|2 ⅆ𝑥
𝑏
𝑎
< ∞. 
Cuando esta propiedad se mantiene, decimos que f es cuadrado integrable1 y 
escribimos 𝑓 ∈ 𝐿2[𝑎, 𝑏]. En este conjunto de funciones definimos el así 
llamado producto escalar, que es una generalización del producto punto 
para vectores. Si 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐿2, entonces el producto escalar de 𝑓 y 𝑔 es un 
número real, denotado por (𝑓, 𝑔), y está definido por 
(𝑓, 𝑔) = ∫𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) ⅆ𝑥
𝑏
𝑎
. 
Es fácil ver, por las propiedades de las integrales, que el producto escalar 
de las funciones satisface las mismas propiedades del producto punto de 
vectores: 
(𝑓, 𝑔) = (𝑔, 𝑓) 𝑐𝑜𝑛𝑚𝑢𝑡𝑎𝑡𝑖𝑣𝑖ⅆ𝑎ⅆ, 
 
1 La integral aquí es, apropiadamente, la integral de Lebesgue estudiada en cursos de análisis avanzados 
en lugar de la integral de Riemann, que se estudia en el cálculo elemental, sin embargo, no habrá ningún 
daño en interpretar las integrales en este texto como integrales de Riemann ya que todas las Funciones 
que examinaremos serán Riemann integrables (y por lo tanto Lebesgue integrables). 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
148 
 
(𝑓, 𝑔 + ℎ) = (𝑓, 𝑔) + (𝑓, ℎ) 𝑎ⅆ𝑖𝑡𝑖𝑣𝑖ⅆ𝑎ⅆ, 
(𝑓, 𝛼𝑔) = 𝛼(𝑓, 𝑔), 𝛼 ∈ ℝ ℎ𝑜𝑚𝑜𝑔ⅇ𝑛ⅇ𝑖ⅆ𝑎ⅆ. 
También introducimos la idea de longitud, o medida, en el conjunto 𝐿2[𝑎, 𝑏]. 
Si 𝑓 ∈ 𝐿2[𝑎, 𝑏], entonces definimos la norma de 𝑓 como el número real no 
negativo 
‖𝑓‖ ≡ √(𝑓, 𝑓) = √∫|𝑓(𝑥)|2 ⅆ𝑥
𝑏
𝑎
. 
Observe que esta definición es exactamente análoga a la definición de la 
longitud de un vector en el espacio euclidiano. 
Ejemplo 
Sea 𝑓(𝑥) = 𝑥3 y 𝑔(𝑥) = 1 + 𝑥 en el intervalo [0,1]. Entonces el producto 
escalar es 
(𝑓, 𝑔) = ∫𝑥3(1 + 𝑥)ⅆ𝑥
1
0
=
9
20
. 
La norma, o el tamaño, de 𝑓se mide por 
‖𝑓‖ = ∫(𝑥3)2 ⅆ𝑥
1
0
= √
1
7
. 
Observe que la norma es la raíz cuadrada del área bajo la gráfica del 
cuadrado de la función dada. 
□ 
Decimos que un conjunto de funciones 𝑓1, 𝑓2, 𝑓3, … en 𝐿
2[𝑎, 𝑏] es ortogonal si 
(𝑓𝑖 , 𝑓𝑗) = 0 para 𝑖 ≠ 𝑗. Por ejemplo, el conjunto 
1, cos 𝑥 , cos 2𝑥 ,… , 𝑠ⅇ𝑛 𝑥, 𝑠ⅇ𝑛 2𝑥,… es ortogonal en [−𝜋, 𝜋] porque si 
integramos el producto de cualquiera de estos dos en el intervalo [−𝜋, 𝜋] 
obtenemos cero. El lector debe verificar esta afirmación usando fórmulas de 
un libro de cálculo. Para otro ejemplo, observamos en la última sección que 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
149 
 
∫ 𝑠ⅇ𝑛 𝑚𝑥 𝑠ⅇ𝑛 𝑛𝑥 ⅆ𝑥 = 0, 𝑛 ≠ 𝑚.
𝜋
0
 
Así, el conjunto de funciones 𝑠ⅇ𝑛 𝑥, 𝑠ⅇ𝑛 2𝑥,… es ortogonal en el intervalo 
[0, 𝜋]. El lector debe comprobar que las funciones de potencia 1, 𝑥, 𝑥2, … que 
aparecen en la serie de Taylor no forman un conjunto ortogonal en ningún 
intervalo [𝑎, 𝑏]. Observamos que las funciones pueden normalizarse de la 
misma manera que un vector puede convertirse en un vector unitario, es 
decir dividiéndolo por su norma. Para funciones dividimos por la norma. 
Si 𝑓 ∈ 𝐿2[𝑎, 𝑏], entonces la función 𝑔 definida por 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) ∕ ‖𝑓‖ tiene 
norma unitaria. Si cada función en un conjunto ortogonal de funciones tiene 
una norma unitaria, entonces el conjunto se llama ortonormal. Así, los 
conjuntos ortonormales de funciones siempre se pueden convertir en 
conjuntos ortonormales. 
Ejemplo 
El conjunto de funciones 
𝑠ⅇ𝑛 
𝑛𝜋𝑥
𝑙
, 𝑛 = 1,2,…, 
Es ortogonal en el intervalo [0, 𝑙], y ‖𝑠ⅇ𝑛 
𝑛𝜋𝑥
𝑙
‖
2
= 𝑙 2⁄ . Por lo tanto, las 
funciones 
√
2
𝑙
𝑠ⅇ𝑛 
𝑛𝜋𝑥
𝑙
 
forman un conjunto ortonormal de funciones en [0, 𝑙]. 
La pregunta que hacemos es la siguiente. ¿Podemos expandir una función 
arbitraria 𝑓 ∈ 𝐿2 en una serie de funciones ortogonales dadas 𝑓1, 𝑓2, …? Es 
decir, ¿podemos escribir 
𝒇(𝒙) = ∑𝒄𝒏𝒇𝒏(𝒙) (𝟑. 𝟏𝟐)
∞
𝒏=𝟏
 
para algún conjunto de constantes 𝑐𝑛, y en qué sentido podemos interpretar 
la expansión? Aquí, intuitivamente, podemos pensar en 𝑓 como una señal 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
150 
 
y 𝑓1, 𝑓2… como modos fundamentales. Entonces, ¿podemos romper unaseñal en modos fundamentales? Observe que esta es la misma pregunta que 
le hicimos específicamente en la última sección con respecto a la factibilidad 
de expandir una temperatura inicial arbitraria dada 𝑓(𝑥) en una serie de 
senos. Por cierto, para la conveniencia de la notación, a veces omitiremos la 
dependencia explícita de las funciones en 𝑥 y escribimos simplemente 𝑓 en 
lugar de 𝑓(𝑥). En algunos casos, cuando 𝑓 representa una señal, 
pensaremos en 𝑥 como tiempo. 
Cuando escribimos una serie como (3.12), una pregunta natural es: "¿Qué 
se entiende por convergencia de la serie infinita?" Hay varias respuestas 
posibles a esta pregunta, dependiendo de cómo medimos el error. Para 
formular algunas de estas respuestas vamos a definir lo que queremos decir 
con el error en una aproximación a N-términos 𝑠𝑁(𝑥) ≡ ∑ 𝑐𝑛𝑓𝑛(𝑥)
𝑁
𝑛=1 para 
𝑓(𝑥). Por un lado, para el error puntual 𝐸𝑁(𝑥) nos referimos a la expresión 
𝐸𝑁(𝑥) ≡ 𝑓(𝑥) − 𝑠𝑁(𝑥) ≡ 𝑓(𝑥) −∑𝑐𝑛𝑓𝑛(𝑥).
𝑁
𝑛=1
 
Así, para un número fijo 𝑁 (dando el número de términos), 𝐸𝑁(𝑥) es una 
función cuyo valor da el error en cada punto 𝑥. Por otro lado, podemos 
definir un error integrado; El número ⅇ𝑁 definido por 
ⅇ𝑁 ≡
∫
 
 
 
 
|𝑓(𝑥) − 𝑠𝑁(𝑥)|
2 ⅆ𝑥 ≡∫|𝑓(𝑥) −∑𝑐𝑛𝑓𝑛(𝑥)
𝑁
𝑛=1
|
2
𝑏
𝑎
 ⅆ𝑥
𝑏
𝑎
 
se denomina error cuadrático medio en la aproximación. Obsérvese que ⅇ𝑁 es 
sólo el cuadrado del error puntual, integrado en el intervalo [𝑎, 𝑏]. Así, el 
error cuadrático medio es un tipo de promedio sobre todos los errores 
puntuales. 
Cada una de estas expresiones de error conduce a una definición de 
convergencia. 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
151 
 
Si para cada 𝑥 fijo en [𝑎, 𝑏] tenemos 𝑙𝑖𝑚𝑁→∞𝐸𝑁(𝑥) = 0, entonces decimos 
que la serie infinita (3.12) converge puntualmente a 𝑓 en el intervalo [𝑎, 𝑏]; 
En este caso, para cada 𝑥 fija la serie es una serie numérica que converge al 
valor numérico 𝑓(𝑥), en esa 𝑥; Convergencia puntual significa que el error 
va a cero en cada punto. Este es el tipo de convergencia que un estudiante 
de cálculo encuentra por primera vez. Decimos que la serie infinita (3.12) 
converge a 𝑓 en el sentido medio-cuadrático si 
𝑙𝑖𝑚
𝑁→∞
ⅇ𝑁 = 0. 
La convergencia medio-cuadrática también se llama convergencia en 𝐿2[𝑎, 𝑏]. 
Requiere que el error puntual integrado al cuadrado vaya a cero a medida 
que se toman más y más términos. En los cursos avanzados se demuestra 
que la convergencia puntual no implica una convergencia medio-
cuadrática, y viceversa. 
Existe una definición más fuerte de convergencia, llamada convergencia 
uniforme, que implica tanto la convergencia media-cuadrática como la 
convergencia puntual. Decimos que la serie (3.12) converge uniformemente 
a 𝑓(𝑥) en [𝑎, 𝑏] si para cualquier tolerancia dada 𝜀 > 0, podemos encontrar 
un número N (que representa el número de términos) para el cual |𝐸𝑁(𝑥)| <
𝜀 para toda 𝑥 en [𝑎, 𝑏]. Es decir, el error se puede hacer uniformemente 
pequeño en todo el intervalo eligiendo el número de términos lo 
suficientemente grande. Aquí, en convergencia uniforme, N (el número de 
términos) depende solamente de la tolerancia 𝜀 y no de dónde se toma el 
error en el intervalo. 
El principiante puede no apreciar las diferencias sutiles en la convergencia 
y se pregunta por qué hemos definido tres tipos (en realidad, hay otros). 
Baste decir que el error no puede ir a cero de una manera puntual o 
uniforme, pero eso no significa que la aproximación no sea útil; Una forma 
más débil de convergencia, como media-cuadrática, puede ser todo lo que 
se requiere. 
El criterio de convergencia medio-cuadrática se puede escribir simplemente 
en términos de la norma de una función. La serie (3.12) converge a 𝑓 en el 
sentido de la media-cuadrática si y sólo si 𝑙𝑖𝑚
𝑁→∞
‖𝐸𝑁‖ = 0. Por cierto, todas 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
152 
 
las definiciones anteriores son válidas independientemente de si las 
funciones 𝑓𝑛(𝑥) son ortogonales mutuamente. 
Supongamos ahora que (3.12) se cumple en el sentido de convergencia 
media-cuadrática donde 𝑓 es una función dada en 𝐿2 y 𝑓𝑛 es una secuencia 
ortogonal dada en 𝐿2. ¿Cómo podemos calcular los coeficientes 𝑐𝑛? La 
demostración aquí es una reminiscencia de la que se da en la sección 3.1, 
donde mostramos cómo calcular los coeficientes en una serie de senos. La 
ortogonalidad es crucial. Supondremos en este argumento que la serie en 
(3.12) puede ser integrada término por término (puede ser demostrado). Si 
multiplicamos ambos lados de (3.12) por 𝑓𝑚 e integramos sobre el intervalo 
[𝑎, 𝑏], obtenemos, usando la notación del producto interior, 
(𝑓, 𝑓𝑚) = ∫∑𝑐𝑛𝑓𝑛(𝑥)𝑓𝑚(𝑥)
∞
𝑛=1
𝑏
𝑎
ⅆ𝑥 
=∑𝑐𝑛
∞
𝑛=1
(𝑓𝑛, 𝑓𝑚) 
= 𝑐𝑚(𝑓𝑚, 𝑓𝑚) = 𝑐𝑚‖𝑓𝑚‖
2. 
Tenga en cuenta que la suma infinita se colapsó a un solo término debido a 
la ortogonalidad de las 𝑓𝑛. Así que las 𝑐𝑛 (cambiar el subíndice 𝑚 a n) están 
dadas por 
𝒄𝒏 =
𝟏
‖𝒇𝒏‖
𝟐
(𝒇, 𝒇𝒏), 𝒏 = 𝟏, 𝟐,… (𝟑. 𝟏𝟑) 
Por lo tanto, si (3.12) se mantiene en el sentido medio-cuadrático, entonces 
los coeficientes 𝑐𝑛 están dados por la fórmula (3.13). Los 𝑐𝑛 se llaman 
coeficientes de Fourier, y cuando los coeficientes se calculan de esta manera, 
la serie ortogonal (3.12) se denomina serie de Fourier generalizada para 𝑓. 
Si la expansión en serie (3.12) es válida en el sentido medio-cuadrático y las 
𝑓𝑛 son ortonormales, entonces los coeficientes de Fourier (3.13) son dados 
simplemente por 
𝒄𝒏 = (𝒇, 𝒇𝒏), (𝒇𝒏 𝒐𝒓𝒕𝒐𝒏𝒐𝒓𝒎𝒂𝒍). (𝟑. 𝟏𝟒) 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
153 
 
Hay otra propiedad útil de los coeficientes de Fourier. Si 𝑓(𝑥) es una 
función dada y 𝑓1, … , 𝑓𝑁 es un conjunto ortonormal de funciones, podemos 
preguntar cómo se puede aproximar 𝑓 por una combinación lineal de las 𝑓𝑛. 
Si 𝑎𝑛 es cualquier otra secuencia de coeficientes, entonces 
‖𝑓 −∑𝑐𝑛𝑓𝑛
𝑁
𝑛=1
‖
2
≤ ‖𝑓 −∑𝑎𝑛𝑓𝑛
𝑁
𝑛=1
‖
2
. (3.15) 
Es decir, el error medio-cuadrático se minimiza para la aproximación con 
los coeficientes de Fourier 𝑐𝑛 dados por (3.14). 
La demostración de (3.15) es directa usando la definición de la norma y las 
propiedades del producto interno. Tenemos 
‖𝑓 −∑𝑎𝑛𝑓𝑛
𝑁
𝑛=1
‖
2
= (𝑓 −∑𝑎𝑛𝑓𝑛
𝑁
𝑛=1
, 𝑓 −∑𝑎𝑛𝑓𝑛
𝑁
𝑛=1
 ) 
= (𝑓, 𝑓) − 2∑𝑎𝑛(𝑓, 𝑓𝑛
𝑁
𝑛=1
) +∑𝑎𝑛
2
𝑁
𝑛=1
 
= (𝑓, 𝑓) − 2∑𝑎𝑛𝑐𝑛 + 
𝑁
𝑛=1
∑𝑎𝑛
2
𝑁
𝑛=1
+∑𝑐𝑛
2 − 
𝑁
𝑛=1
∑𝑐𝑛
2
𝑁
𝑛=1
 
= (𝑓, 𝑓) −∑𝑐𝑛
2
𝑁
𝑛=1
+∑(𝑎𝑛 − 𝑐𝑛)
2
𝑁
𝑛=1
 
= ‖𝑓 −∑𝑐𝑛𝑓𝑛
𝑁
𝑛=1
‖
2
+∑(𝑎𝑛 − 𝑐𝑛)
2
𝑁
𝑛=1
. 
Como el segundo término de la derecha es no negativo, (3.15) es válido. Si 
los 𝑓𝑛 no son ortonormales, y simplemente ortogonales, entonces el mismo 
resultado es verdadero con los 𝑐𝑛 dados por (3.13). 
En la última línea de la prueba hemos usado el hecho que 
‖𝑓 −∑𝑐𝑛𝑓𝑛
𝑁
𝑛=1
‖
2
= ‖𝑓‖2 −∑𝑐𝑛
2
𝑁
𝑛=1
, 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
154 
 
que el lector debe verificar. Pero esta igualdad conduce a otra interesante 
desigualdad. Dado que el lado izquierdo no es negativo, tenemos 
∑𝑐𝑛
2
𝑁
𝑛=1
≤ ‖𝑓‖2. 
Esta desigualdad es válida para cada 𝑁, y así 
∑𝑐𝑛
2
∞
𝑛=1
≤ ‖𝑓‖2, 
Que es la desigualdad de Bessel. Esto demuestra que la serie de coeficientes 
cuadrados de Fourier converge, y así 𝑐𝑛 → 0 cuando 𝑛 → ∞. Así que los 
coeficientes de Fourier se hacen más pequeños y más pequeños. 
Ejemplo 
Tenga en cuenta que el conjunto de funciones 
𝑠ⅇ𝑛 𝑛𝑥 
forma un conjunto ortogonal de funciones en [0, 𝜋]. Encuentre la mejor 
aproximación de la función 𝑓(𝑥) = 8𝑥(𝜋 − 𝑥)ⅇ−𝑥
2
 de la forma 
𝑐1 𝑠ⅇ𝑛 𝑥 + 𝑐2 𝑠ⅇ𝑛 2𝑥 + 𝑐3 𝑠ⅇ𝑛 3𝑥 + 𝑐4 𝑠ⅇ𝑛 4𝑥 + 𝑐5 𝑠ⅇ𝑛 5𝑥. 
Sabemos que los 𝑐𝑛son los coeficientes de Fourier dados por (3.13): 
𝑐𝑛 =
(𝑓, 𝑠ⅇ𝑛 𝑛𝑥)
‖𝑠ⅇ𝑛 𝑛𝑥‖2
=
2
𝜋
∫𝑓(𝑥) 𝑠ⅇ𝑛 𝑛𝑥 ⅆ𝑥.
𝜋
0
 
Usando una calculadora (T1-86) obtenemos 
𝑐1 = 3.708, 𝑐2 = 4.040, 𝑐3 = 2.230, 𝑐4 = 0.798, 𝑐5 = 0.295. 
El lector debe trazar 𝑓(𝑥) y la aproximación de Fourier en el intervalo [0, 𝜋] 
para ver cuánto difieren los dos. 
Si los 𝑓𝑛 forman un conjunto ortonormal y formamos la serie de Fourier 
generalizada (3.12) con 𝑐𝑛 los coeficientes de Fourier dados por (3.14), ¿la 
serie converge automáticamente a 𝑓 en un sentido u otro? La respuesta a la 
pregunta es sí, en el sentido medio-cuadrático, siempre que la secuencia 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
155 
 
ortonormal 𝑓𝑛 sea completa. Se dice que un sistema ortonormal 𝑓𝑛 es 
completo si (𝑓, 𝑓𝑛) = 0 para toda 𝑛 implica que 𝑓 ≡ 0. Así, una secuencia 
ortonormal 𝑓𝑛 es completa si la única función que tiene todos sus 
coeficientes de Fourier desaparece es la función cero. A veces es difícil 
demostrar la completes, y por lo general sólo se indicará si una determinada 
secuencia ortonormal es completa. En los tratamientos avanzados se 
muestra que la completitud es equivalente a la propiedad de que cualquier 
función 𝑓 ∈ 𝐿2 puede ser expandida en una serie de Fourier generalizada 
(3.12), donde las 𝑐𝑛 son los coeficientes de Fourier y que la serie converge a 
𝑓 en el sentido medio-cuadrático. Además, se puede demostrar que la 
completes es equivalente a la igualdad estricta de la desigualdad de Bessel, 
es decir, 𝑓𝑛 es completa si y sólo si para cada 𝑓 ∈ 𝐿
2, 
∑𝑐𝑛
2 = ‖𝑓‖2.
∞
𝑛=1
 
Esta ecuación se llama igualdad de Parseval. Los resultados de 
convergencia puntual, o incluso los resultados uniformes de convergencia 
uniforme, son más difíciles de obtener. 
Podemos ampliar aún más la interpretación modal de la serie de Fourier 
generalizada. Podemos pensar en 𝑓 como una señal y el conjunto 
ortonormal 𝑓𝑛 como modos fundamentales. Los coeficientes de Fourier 𝑐𝑛 
determina la contribución del modo n-ésimo, y la serie de Fourier 
generalizada es la descomposición de la señal en modos fundamentales. La 
secuencia de coeficientes cuadrados, 𝑐1
2, 𝑐2
2, 𝑐3
2, …, se llama espectro de energía, 
y 𝑐𝑛
2 se llama energía del modo n-ésimo; Por la igualdad de Parseval, la 
energía total en la señal es ‖𝑓‖2. 
 
 
 
 
 
 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
156 
 
Ejercicios 
1. Usando una tabla de integrales o un paquete de álgebra 
computacional, verifique que el conjunto de funciones 1, cos 𝑥, 
cos 2𝑥, ... forme un conjunto ortogonal en el intervalo [0, 𝜋]. A 
continuación verifique que el conjunto de funciones 𝑐𝑜𝑠(𝑛𝜋𝑥 ∕ 𝑙), 𝑛 =
0,1,2…,forman un conjunto ortogonal en el intervalo [0, 𝑙]. Si 
𝑓(𝑥) = ∑ 𝑐𝑛 cos (𝑛𝜋𝑥 ∕ 𝑙)
∞
𝑛=0
 
en la media cuadrática de [0, 𝑙], ¿cuáles son las fórmulas para las 𝑐𝑛? 
2. (Ortogonalización de Gram-Schmidt) Sabemos por álgebra lineal 
elemental que cualquier conjunto de vectores linealmente 
independientes puede convertirse en un conjunto de vectores 
ortogonales por el proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt. El 
mismo proceso funciona para funciones en 𝐿2[𝑎, 𝑏]. Sea 𝑓1, 𝑓2, 𝑓3, …un 
conjunto independiente de funciones en 𝐿2. Defina la secuencia 𝑔𝑛 por 
𝑔1 = 𝑓1, 𝑔2 = 𝑓2 −
(𝑓2,𝑔1)
‖𝑔1‖
2
𝑔1, 𝑔3 = 𝑓3 −
(𝑓3,𝑔2)
‖𝑔2‖
2
𝑔2 −
(𝑓3𝑔1)
‖𝑔1‖
2
𝑔1,... Muestre 
que 𝑔𝑛 es una secuencia ortogonal. 
3. Las funciones 1, 𝑥, 𝑥2, 𝑥3 son funciones independientes en el intervalo 
[-1,1]. Use el Ejercicio 2 para generar una secuencia de cuatro 
polinomios ortogonales en [-1,1]. Denote los polinomios por 
𝑃0(𝑥),…, 𝑃3(𝑥) (Se llaman polinomios de Legendre). Encontrar una 
aproximación de ⅇ𝑥 en [-1,1] de la forma 
ⅇ𝑥 ≈ 𝑐0𝑃0(𝑥) + 𝑐1𝑃1(𝑥) + 𝑐2𝑃2(𝑥) + 𝑐3𝑃3(𝑥) 
que es mejor en el sentido medio-cuadrático, y la gráfica ⅇ𝑥 y la 
aproximación en un conjunto de ejes de coordenadas. ¿Cuál es el error 
puntual? ¿Cuál es el error máximo puntual sobre [-1,1]. ¿Cuál es el 
error cuadrático medio? 
4. ¿Para que potencias de 𝑟 es cuadrado integrable la función 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑟 
en 𝐿2[0,1]? ¿En 𝐿2[0,∞]? 
5. Suponga que 𝑓 es definida e integrable en [0, 𝑙]. La expansión 
ortogonal 
∑𝑏𝑛
∞
𝑛=1
𝑠ⅇ𝑛
𝑛𝜋𝑥
𝑙
, 𝑏𝑛 =
2
𝑙
∫ 
𝑙
0
𝑓(𝑥)𝑠ⅇ𝑛
𝑛𝜋𝑥
𝑙
ⅆ𝑥, 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
157 
 
es llamada la serie seno de Fourier para 𝑓 en [0, 𝑙]. Encontrar la serie 
seno de Fourier para 𝑓(𝑥) = cos 𝑥 en [0, 𝜋 2⁄ ]. ¿Cuál es la serie seno de 
Fourier de 𝑓(𝑥) = 𝑠ⅇ𝑛 𝑥 en [0, 𝜋]? 
6. (Funciones de Hermite) Considere la ecuación diferencial 
−𝑦′′ + 𝑥2𝑦 = 𝐸𝑦, 𝑥 ∈ ℝ, 𝐸 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡ⅇ, (3.16) 
y las funciones 
𝐻𝑛(𝑥) = (−1)
𝑛ⅇ𝑥
2 ⅆ𝑛
ⅆ𝑥𝑛
ⅇ−𝑥
2
, 𝑛 = 0,1,2, … 
(a) Encontrar 𝐻0(𝑥),… , 𝐻4(𝑥). ¿Por qué es 𝐻𝑛(𝑥) siempre un 
polinomio? (Estos son llamados Polinomios de Hermite.) 
(b) Verifique que 𝑣𝑛(𝑥) = 𝐻𝑛(𝑥)ⅇ
−𝑥2∕2 es solución de (3.16) cuando 
𝐸 = 2𝑛 + 1. Sugerencia: Necesitas demostrar que 𝐻𝑛
′ = 2𝑛𝐻𝑛−1. 
(c) Demostrar que ∫ 𝑣𝑛𝑣𝑚ⅆ𝑥 = 0, 𝑚 ≠ 𝑛
∞
−∞
, y por lo tanto las 𝑣𝑛 son 
ortogonales en el intervalo (−∞,∞). Sugerencia: Use el hecho que 
tanto 𝑣𝑛 y 𝑣𝑚 satisfacen (3.16) para 𝐸 apropiado. 
(d) Si una función 𝑓(𝑥) puede ser representada por 𝑓(𝑥) =
∑ 𝑐𝑛𝑣𝑛(𝑥)
∞
𝑛=0 , ¿Cómo haría para encontrar las 𝑐𝑛? Asuma 
convergencia uniforme. Tome 𝑓(𝑥) = 1
√1 + 𝑥2
⁄ y usa una 
calculadora para encontrar 𝑐0,…, 𝑐4. 
(e) La ecuación diferencial (3.16) es una ecuación de Schrödinger 
independiente del tiempo (ver Sección 1.5). Así 𝐸 = 2𝑛 + 1 puede 
ser interpretado como la energía asociada con la densidad de 
probabilidad 𝑣𝑛(𝑥)
2, apropiadamente normalizado así que 
∫ 𝑣𝑛
2 ⅆ𝑥 = 1. Bosquejar la densidad probabilidad normalizada 
para 𝑛 = 0,1,2. 
7. (Las Ondas de Haar) en este ejercicio exploramos las propiedades de 
un sistema ortonormal completo en (−∞,∞) llamado las olas de Haar. 
Sea 𝜙 una función tal que 𝜙(𝑥) = 1 para 𝑥 ∈ [0,1) y 𝜙(𝑥) = 0 en caso 
contrario. Sea 𝜓(𝑥) = 𝜙(2𝑥) − 𝜙(2𝑥 − 1). Entonces las ondas de Haar 
son las funciones 
𝜓𝑚𝑛(𝑥) = 2
𝑚 2⁄ 𝜓(2𝑚𝑥 − 𝑛), 
para 𝑚,𝑛 = 0,±1,±2,…, Bosquejar una gráfica de 𝜓(𝑥), y entonces 
bosquejar una gráfica de 𝜓𝑚𝑛(𝑥) para 𝑚,𝑛 = 0,±1,±2. ¿Cuál es la 
gráfica de 𝜓𝑚𝑛(𝑥)? Si 𝑓 es cuadrado integrable y 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
158 
 
𝑓(𝑥) = ∑ ∑ 𝑐𝑚𝑛𝜓𝑚𝑛(𝑥),
∞
𝑛=−∞
∞
𝑚=−∞
 
encontrar una fórmula simple para los coeficientes 𝑐𝑚𝑛. 
8. Para 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐿2[𝑎, 𝑏], probar la desigualdad de Cauchy-Schwartz 
|(𝑓, 𝑔)| ≤ ‖𝑓‖‖𝑔‖. 
Sugerencia: Proceda como sigue. Defina 𝑞(𝑡) = (𝑓 + 𝑡𝑔, 𝑓 + 𝑡𝑔) Para 
cualquier número real 𝑡. Utilizando las reglas del producto escalar, 
expandir esta expresión y obtener un polinomio cuadrático en 𝑡; 
Porque 𝑞(𝑡) ≥ 0 (¿por qué?), El polinomio cuadrático puede tener 
como máximo una raíz real. Mira el discriminante del polinomio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
159 
 
3.3 Serie clásica de Fourier 
En la última sección presentamos la idea de representar una función dada 
𝑓(𝑥) en términos de una serie infinita de funciones ortogonales 𝑓𝑛(𝑥). Ahora 
queremos enfocar esos conceptos en un conjunto especial de funciones 
ortogonales donde las 𝑓𝑛 son dadas por senos y cosenos. La serie resultante 
se llama una serie de Fourier (clásica). Tales series fueron introducidas por 
Joseph Fourier a principios de 1800. Las series clásicas de Fourier son un 
caso especial de las series ortogonales discutidas en la última sección. 
Usaremos generalmente el adjetivo "clásico". 
La ecuación (3.11) es un ejemplo de una serie de Fourier sobre el intervalo 
[−𝜋, 𝜋]. Trabajaremos en un intervalo arbitrario simétrico [−𝑙. 𝑙]sobre el 
origen. Si 𝑓 es una función integrable en [−𝑙. 𝑙], entonces su serie de Fourier 
es 
𝒂𝟎
𝟐
+∑(𝒂𝒏𝒄𝒐𝒔
𝒏𝝅𝒙
𝒍
+ 𝒃𝒏𝒔𝒆𝒏
𝒏𝝅𝒙
𝒍
), (𝟑. 𝟏𝟕)
∞
𝒏=𝟏
 
donde los coeficientes de Fourier 𝑎𝑛 y 𝑏𝑛 están dados por las fórmulas 
𝒂𝒏 =
𝟏
𝒍
∫𝒇(𝒙)𝒄𝒐𝒔
𝒍
−𝒍
𝒏𝝅𝒙
𝒍
ⅆ𝒙, 𝒏 = 𝟎, 𝟏, 𝟐,…, (𝟑. 𝟏𝟖) 
𝒃𝒏 =
𝟏
𝒍
∫𝒇(𝒙)𝒔𝒆𝒏
𝒍
−𝒍
𝒏𝝅𝒙
𝒍
ⅆ𝒙, 𝒏 = 𝟏, 𝟐,…, (𝟑. 𝟏𝟗) 
Aquí, el conjunto de funciones 
𝟏
𝟐
, 𝒄𝒐𝒔
𝒏𝝅𝒙
𝒍
, 𝒔𝒆𝒏
𝒏𝝅𝒙
𝒍
, 𝒏 = 𝟏, 𝟐, 𝟑,…, (𝟑. 𝟐𝟎) 
Son ortogonales en el intervalo [−𝑙. 𝑙]; están desempeñando el papel de las 
𝑓𝑛(𝑥) en la fórmula (3.12), y las 𝑎𝑛 y 𝑏𝑛 desempeñan el papel de los 
coeficientes 𝑐𝑛. En los textos más avanzados se muestra que el conjunto de 
funciones (3.20) es completo, y por lo tanto la serie de Fourier (3.17) 
converge en el sentido medio-cuadrático a 𝑓 cuando 𝑓 ∈ 𝐿2[−𝑙, 𝑙]. 
 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
160 
 
Ejemplo 
Sea 𝑓(𝑥) = 𝑥 para −𝑙 ≤ 𝑥 ≤ 𝑙. Entonces los coeficientes de Fourier son 
fácilmente calculados por 
𝑎𝑛 =
1
𝑙
∫𝑥𝑐𝑜𝑠
𝑙
−𝑙
𝑛𝜋𝑥
𝑙
ⅆ𝑥 = 0, 𝑛 = 0,1,2, …, 
𝑏𝑛 =
1
𝑙
∫𝑥𝑠ⅇ𝑛
𝑙
−𝑙
𝑛𝜋𝑥
𝑙
ⅆ𝑥 =
2𝑙
𝑛𝜋
(−1)𝑛+1, 𝑛 = 1,2,…, 
Así que la serie de Fourier para 𝑓 es 
2𝑙
𝜋
(𝑠ⅇ𝑛
𝜋𝑥
𝑙
−
1
2
𝑠ⅇ𝑛
2𝜋𝑥
𝑙
+
1
3
𝑠ⅇ𝑛
3𝜋𝑥
𝑙
− ⋯). 
Hacemos dos observaciones. En primer lugar, en 𝑥 = ±𝑙 la serie converge 
claramente a cero y, por tanto, no converge a 𝑓(𝑥) en estos dos puntos. Así 
que la serie no converge puntualmente a 𝑓(𝑥) en el intervalo [−𝑙, 𝑙]. Sin 
embargo, converge puntualmente a 𝑓(𝑥) = 𝑥 en (−𝑙, 𝑙). En segundo lugar, 
la serie derivada, obtenida diferenciando término por término, no converge 
en absoluto, mucho menos a la derivada 𝑓′(𝑥) = 1. Así que la serie no 
puede ser diferenciada término por término. Sabemos que la serie converge 
a 𝑓 en el sentido medio-cuadrático. □ 
Para la serie de Fourier (3.17) definimos el n-ésimo armónico a ser 
𝑎𝑛𝑐𝑜𝑠
𝑛𝜋𝑥
𝑙
+ 𝑠ⅇ𝑛
𝑛𝜋𝑥
𝑙
. 
Observe que cada armónica en la serie tiene una frecuencia más alta (y por 
lo tanto más oscilaciones) que la armónica precedente. El espectro de 
frecuencia de la serie es la secuencia de números 𝛾𝑛 definida por 
𝛾0 =
|𝑎0|
√2
, 𝛾𝑛 = √𝑎𝑛
2 + 𝑏𝑛
2 (𝑛 ≥ 1). 
El espectro de frecuencia es una medida de la contribución de los diversos 
armónicos en la descomposición de 𝑓. Los números 𝛾𝑛
2, 𝑛 ≥ 0 forman el 
espectro energético. Se invita al lector a demostrar que la fórmula de Parseval 
toma la forma 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
161 
 
𝑎0
2
2
+∑(𝑎𝑛
2 + 𝑏𝑛
2) =
1
𝑙
‖𝑓‖2.
∞
𝑛=1
 
El espectro de frecuencia para 𝑓(𝑥) = 𝑥 en el último ejemplo es 𝛾0 = 0, 𝛾𝑛 =
2𝑙 ∕ (𝑛𝜋), 𝑛 ≥ 1. A menudo se grafica, como en la figura 3.1, para mostrar 
visualmente la contribución de cada armónico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.1. El espectro de frecuencia para la función 
𝑓(𝑥) = 𝑥 en [−𝜋, 𝜋]. 
 
Una serie de Fourier se simplifica considerablemente si 𝑓 es una función par 
o impar. Primero observe que 𝑠ⅇ𝑛
𝑛𝜋𝑥
𝑙
 es una función impar y 𝑐𝑜𝑠
𝑛𝜋𝑥
𝑙
 es una 
función par; además, una función par, es a veces una función impar. Por lo 
tanto, si 𝑓 es una función par, entonces el producto 𝑓(𝑥)𝑠ⅇ𝑛
𝑛𝜋𝑥
𝑙
 , que es el 
integrando en la expresión para 𝑏𝑛 en (3.19), es una función impar; Por lo 
que todos los coeficientes 𝑏𝑛 son cero porque una función impar integrada 
en un intervalo simétrico alrededor del origen es cero. Por lo tanto, si 𝑓 es 
una función par, entonces su serie de Fourier se reduce a una serie de la 
forma 
𝑎0
2
+∑𝑎𝑛 cos
𝑛𝜋𝑥
𝑙
.
∞
𝑛=1
 
Similarmente, si 𝑓 es una función impar, entonces los coeficientes 𝑎𝑛 en 
(3.18) desaparecen y la serie de Fourier se reduce a 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
162 
 
∑𝑏𝑛
∞
𝑛=1
𝑠ⅇ𝑛
𝑛𝜋𝑥
𝑙
. 
Este hecho se ilustra en el último ejemplo, donde encontramos la serie de 
Fourier para 𝑓(𝑥) = 𝑥, una función impar. 
Hemos comentado anteriormente que las series de Fourier son una valiosa 
herramienta en procesamiento de señales y almacenamiento de datos. 
Exploremos esta idea con más detalle. Para esta discusión es útil pensar en 
la variable 𝑥 como representación del tiempo. Observamos que la serie de 
Fourier (3.17), aunque computada sólo en el intervalo [−𝑙, 𝑙], es una función 
2𝑙-periódica porque los senos y cosenos son 2𝑙-periódicos2. Así, repite sus 
valores en cada intervalo de longitud 2𝑙. Por lo tanto, si 𝑓 se define en todo 
ℝ y es 2𝑙-periódico, podemos representarlo por su serie de Fourier en todo 
ℝ. Por lo tanto, si f es una señal dada o un conjunto de datos 2𝑙-periódico 
en el tiempo (digamos una señal de un circuito eléctrico, un 
electrocardiograma o una señal extraterrestre), entonces podríamos 
digitalizar la señal y guardarla almacenando los coeficientes de Fourier o 
algún subconjunto finito de ellos, el conocimiento de esos coeficientes nos 
permitiría reproducir la señal vía (3.17) - (3.19). 
Ejemplo 
Consideremos la señal 2-periódica mostrada en la Figura 3.2, que se llama 
onda triangular. Analíticamente está dada por 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1 si −1 < 𝑥 ≤ 0; 
𝑓(𝑥) = 1 − 𝑥 si 0 < 𝑥 ≤ 1; y de otro modo 2-periódico. Calculamos su serie 
de Fourier. Aquí, 𝑓 es una función par, y así 𝑏𝑛 = 0 para todo 𝑛. Los 
coeficientes 𝑎𝑛 están dados por 
𝑎𝑛 = ∫𝑓(𝑥) cos 𝑛𝜋𝑥 ⅆ𝑥 = ∫(𝑥 + 1)𝑐𝑜𝑠𝑛𝜋𝑥 ⅆ𝑥 + ∫(1 − 𝑥)𝑐𝑜𝑠𝑛𝜋𝑥 ⅆ𝑥
1
0
0
−1
1
−1
 
 
2 Recordemos que una función 𝑓 es 𝑃-periódica, o periódica de período 𝑃, si se repite en cada intervalo 
de longitud 𝑃; Es decir, 𝑓(𝑥 + 𝑃) = 𝑓(𝑥) para toda 𝑥. 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
163 
 
Cuando 𝑛 = 0, fácilmente obtenemos 𝑎0 = 1. Para 𝑛 ≥ 1 podemos calcular 
𝑎𝑛 a mano (usando integración por partes), usando una calculadora, o 
usando un paquete de algebra por computadora. Los siguientes cinco 
coeficientes son 
𝑎1 = 0.405, 𝑎2 = 0, 𝑎3 = 0.045, 𝑎4 = 0, 𝑎5 = 0.016. 
Por lo tanto, una aproximación de Fourier de cuatro términos a la onda 
triangular es 
𝑓(𝑥) ≈ 0.5 + 0.405 cos 𝜋𝑥 + 0.045 𝑐𝑜𝑠3𝜋𝑥 + 0.016 𝑐𝑜𝑠5𝜋𝑥. 
La figura 3.2 muestra un gráfico de 𝑓 y su aproximación. De la última 
sección sabemos que esta aproximación es la mejor, en el sentido medio-
cuadrático. 
 Figura 3.2. Una onda triangular 
 
 
 
 
Figura 3.3. Gráfico de la onda cuadrada 2𝜋-periódica. 
 
Finalmente, hacemos breves comentarios sobre la convergencia de series de 
Fourier. Ya hemos observado que si 𝑓 es cuadrado integrable, entonces la 
convergencia media-cuadrática es automática. Para obtener resultados de 
convergencia puntual, deben hacerse algunas suposiciones adicionales con 
respecto a la suavidad de 𝑓. Nuestra suposición es que la gráfica de 𝑓 está 
formada por un número finito de piezas suaves, no necesariamente 
continuas; Esto cubrirá la mayoría de las funciones interesantes 
encontradas en la ciencia y la ingeniería. Una función 𝑓 es continua por 
partes en [𝑎, 𝑏] si es continua excepto posiblemente en un número finito de 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
164 
 
puntos en [𝑎, 𝑏] donde tiene discontinuidades de salto simples, 𝑓 tiene una 
discontinuidad de salto simple en 𝑥 = 𝑐 si ambos límites unilaterales de 
𝑓(𝑥) existen y son finitos en 𝑐. La función puede o no ser definida en una 
discontinuidad de salto. Se dice que 𝑓 es suave a trozos en [𝑎, 𝑏] si ambas 𝑓 
y 𝑓′ son continuas por partes en [𝑎, 𝑏], y decimos que 𝑓 es suave por partes 
en (−∞,∞) si es suave por partes en cada subintervalos limitado [𝑎, 𝑏] de la 
recta real. Entonces elteorema básico de convergencia puntual es el 
siguiente: 
Teorema 
Si 𝒇 es suave por partes en [−𝒍, 𝒍] o de lo contrario 𝟐𝒍 −periódica, entonces 
su serie de Fourier (3.17) converge puntualmente para toda 𝒙 ∈ ℝ al valor 
𝒇(𝒙) si 𝒇 es continua en 𝒙, y al valor promedio de sus límites izquierdo y 
derecho en 𝒙, es decir 
𝟏
𝟐
(𝒇(𝒙 −) + 𝒇(𝒙 +)), si 𝒇 es discontinua en 𝒙. 
Para obtener resultados de convergencia más fuertes, como la convergencia 
uniforme, se requieren condiciones de suavidad adicionales en 𝑓. 
Obsérvese que la continuidad de 𝑓 no es suficiente para garantizar la 
convergencia puntual; Por increíble que parezca, ¡hay funciones continuas 
cuya serie de Fourier diverge en cada punto! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
165 
 
Ejercicios 
1. Encuentre la serie de Fourier para la onda cuadrada 2𝜋-periódica 
mostrada en la Figura 3.3. Trace una aproximación de dos términos, 
cuatro términos y seis términos. 
2. Encuentre la serie de Fourier para 𝑓(𝑥) = 𝑥2 en [−𝜋, 𝜋]. Dibuje una 
gráfica de la función definida en todo ℝ a la que converge la serie de 
Fourier. ¿Es la convergencia punto a punto? Utilice la serie de Fourier 
para mostrar que 
𝜋2
12
= 1 −
1
4
+
1
9
−
1
16
+⋯. 
Grafique el espectro de frecuencias. 
3. Considere la función (señal) definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1 para −2𝜋 <
𝑥 ≤ 0 y además 4𝜋 periódica. Dibuje una gráfica de la señal y 
encuentre su serie de Fourier. Encuentre y grafique el espectro de 
frecuencias. ¿A qué valor converge la serie de Fourier en 𝑥 = 0? ¿En 
𝑥 = 2𝜋? ¿En 𝑥 = 𝜋? Representa gráficamente la suma de los cuatro 
primeros armónicos y observa cuán bien se aproxima a 𝑓. 
4. Demuestre que la serie de Fourier para 𝑓(𝑥) = cos 𝑎𝑥 en [−𝜋, 𝜋], 
donde 𝑎 no es un entero, es 
cos 𝑎𝑥 =
2𝑎 𝑠ⅇ𝑛 𝑎𝜋
𝜋
(
1
2𝑎2
+∑(−1)𝑛
cos 𝑛𝑥
𝑎2 − 𝑛2
∞
𝑛=1
). 
demostrar 
csc 𝑎𝜋 =
1
𝑎𝜋
+
2𝑎
𝜋
∑(−1)𝑛
1
𝑛2 − 𝑎2
.
∞
𝑛=1
 
5. Suponga 𝑓(𝑥) = −
1
2
 en −𝜋 < 𝑥 ≤ 0 y 𝑓(𝑥) =
1
2
 en 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋. 
Demostrar que la serie de Fourier para 𝑓 es 
∑
2
(2𝑛 − 1)𝜋
𝑠ⅇ𝑛 (2𝑛 − 1)𝑥.
∞
𝑛=1
 
Si 𝑠𝑁(𝑥) denota la suma de los primeros 𝑁- términos, realizar una 
gráfica de 𝑠1(𝑥), 𝑠3(𝑥), 𝑠7(𝑥), y 𝑠10(𝑥) y comparar con 𝑓(𝑥). Obsérvese 
que las aproximaciones sobrepasan 𝑓(𝑥) en una vecindad de 𝑥 = 0, y 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
166 
 
la superación no se mejora independientemente de cuántos términos 
se tomen en la aproximación. Este comportamiento excesivo de la 
serie de Fourier cerca de una discontinuidad se llama fenómeno de 
Gibbs. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
167 
 
3.4 Problemas de Sturm-Liouville 
Volvamos a la idea básica de Fourier que discutimos en la Sección 3.1. 
Pudimos representar la solución del problema del valor inicial y de frontera 
 
𝒖𝒕 = 𝒖𝒙𝒙, 𝟎 < 𝒙 < 𝝅; 𝒕 > 𝟎, (𝟑. 𝟐𝟏) 
𝒖(𝟎, 𝒕) = 𝒖(𝝅, 𝒕) = 𝟎, 𝒕 > 𝟎, (𝟑. 𝟐𝟐) 
𝒖(𝒙, 𝟎) = 𝒇(𝒙), 𝟎 < 𝒙 < 𝝅, (𝟑. 𝟐𝟑) 
como 
𝒖(𝒙, 𝒕) = ∑ 
∞
𝒏=𝟏
𝒄𝒏𝒆
−𝒏𝟐𝒕𝒔𝒆𝒏𝒏𝒙 (𝟑. 𝟐𝟒) 
Para las constantes 𝑐𝑛 convenientemente elegidas. Observamos que esta 
solución es una expansión en términos de funciones ortogonales 𝑠ⅇ𝑛 𝑛𝑥. 
Recordamos de la Sección 3.1 que la ortogonalidad era esencial en el cálculo 
de la 𝑐𝑛 de la condición inicial. ¿Cómo sabemos que este conjunto particular 
de funciones ortogonales es la opción apropiada para este problema? 
Al responder a esta pregunta, describimos ahora uno de los métodos 
fundamentales, denominado método de Fourier o separación de variables, para 
resolver EDP en dominios acotados. Observaremos que cada EDP conduce 
de manera natural a un problema de valor en la frontera para una EDO 
cuyas soluciones son las funciones ortogonales apropiadas para el 
problema; Esto significa que la solución a la EDP puede representarse en 
términos de esas funciones ortogonales. 
Limitamos nuestra atención a (3.21) - (3.22). El método de separación de 
variables consiste en buscar soluciones con la forma de productos, es decir, 
𝒖(𝒙, 𝒕) = 𝒚(𝒙)𝒈(𝒕). (𝟑. 𝟐𝟓) 
Sustituyendo esto en la EDP (3.21) y la condición de frontera (3.22), 
obtenemos 
𝑦(𝑥)𝑔′(𝑡) = 𝑦′′(𝑥)𝑔(𝑡), 𝑦(0)𝑔(𝑡) = 0, 𝑦(𝜋)𝑔(𝑡) = 0, 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
168 
 
lo cual puede ser escrito como 
𝑔′(𝑡)
𝑔(𝑡)
=
𝑦′′(𝑥)
𝑦(𝑥)
= −𝜆, 𝑦(0) = 𝑦(𝜋) = 0. 
Aquí, −𝜆 es una constante desconocida (podemos establecer 𝑔′ ∕ 𝑔 y 𝑦′′ 𝑦⁄ 
igual a una constante común porque la única manera en que una función 
de 𝑡 puede igualarse a una función de 𝑥 para todo 𝑡 y 𝑥 es si ambas son 
iguales a una constante); el signo menos en 𝜆 es por conveniencia. Por lo 
tanto, obtenemos una ecuación diferencial ordinaria para 𝑔, es decir, 
𝑔′(𝑡) = −𝜆𝑔(𝑡), 
y obtenemos un problema de valor en la frontera para 𝑦, a saber, 
−𝒚′′(𝒙) = 𝝀𝒚(𝒙), 𝟎 < 𝒙 < 𝝅, (𝟑. 𝟐𝟔) 
𝒚(𝟎) = 𝟎, 𝒚(𝝅) = 𝟎. (𝟑. 𝟐𝟕) 
Por lo tanto, el problema de EDP se separó en dos problemas de EDO, para 
𝑔(𝑡) y 𝑦(𝑥). Podemos resolver fácilmente el 𝑔-problema; tiene una 
solución 
𝑔(𝑡) = ⅇ−𝜆𝑡 . 
Como resulta (nuestro objetivo es discutir esto en detalle), el problema de 
valor en la frontera (3.26) - (3.27) para 𝑦 tendrá una solución sólo cuando la 
constante 𝜆 asume los valores especiales 𝜆 = 𝜆𝑛 = 𝑛2, 𝑛 = 1,2,…. Las 
soluciones correspondientes son 𝑦 = 𝑦𝑛(𝑥) = 𝑠ⅇ𝑛 𝑛𝑥, 𝑛 = 1,2,…. Entonces 
tendremos 𝑔 = 𝑔𝑛(𝑡) = ⅇ
−𝑛2𝑡 , 𝑛 = 1,2,…. Así habremos construido 
infinidad de soluciones 
𝑢 = 𝑢𝑛(𝑥, 𝑡) = 𝑔𝑛(𝑡)𝑦𝑛(𝑥) = ⅇ
−𝑛2𝑡𝑠ⅇ𝑛 𝑛𝑥. 
que satisfacen la EDP (3.21) y las condiciones de frontera (3.22). Ahora 
podemos ver claramente donde surgen los términos de la solución (3.24). 
Las funciones ortogonales 𝑠ⅇ𝑛 𝑛𝑥 vienen de la solución de la ecuación 
diferencial ordinaria del problema de valor en la frontera (3.26) - (3.27) para 
𝑦. 
Lo que acabamos de describir brevemente es el método de separación de 
variables, y el procedimiento puede ser imitado en un gran número de 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
169 
 
modelos de EDP. Cada uno dará lugar a un problema de valor en la frontera 
para una EDO que tiene infinitas soluciones que forman un sistema 
ortogonal. En esta sección centraremos la atención sobre el problema del 
valor en la frontera de las EDO, guardando una discusión completa del 
método de separación de variables al capítulo 4. 
Cuando separamos variables, es decir, asumimos (3.25), para una ecuación 
de la forma 
𝑢𝑡 = (𝑝(𝑥)𝑢𝑥)𝑥 − 𝑞(𝑥)𝑢, 𝑎 < 𝑥 < 𝑏, 𝑡 > 0 
(aquí 𝑎 y 𝑏 son finitas), obtenemos una EDO para 𝑦 = 𝑦(𝑥) de la forma 
−(𝒑(𝒙)𝒚′)′ + 𝒒(𝒙)𝒚 = 𝝀𝒚, 𝒂 < 𝒙 < 𝒃, (𝟑. 𝟐𝟖) 
donde 𝜆 es alguna constante (ver Ejercicio 1). Esta EDO es llamada una 
ecuación diferencial de Sturm- Liouville. Las condiciones de frontera en la 
EDP generalmente conducirán a condiciones de contorno en 𝑦(𝑥) de la 
forma 
𝜶𝟏𝒚(𝒂) + 𝜶𝟐𝒚
′(𝒂) = 𝟎, (𝟑. 𝟐𝟗) 
𝜷𝟏 𝒚(𝒃) + 𝜷𝟐𝒚
′(𝒃) = 𝟎. (𝟑. 𝟑𝟎) 
Aquí las constantes 𝛼1 y 𝛼2 no son ambas cero, y las constantes 𝛽1 y 𝛽2 no 
son ambas cero (es decir, la condición de frontera en un punto final no se 
colapsa). Dos casos especiales de las condiciones de frontera (3.29)-(3.30) 
son 
𝒚(𝒂) = 𝟎, 𝒚(𝒃) = 𝟎 (Condición de Dirichlet) (3.31) 
y 
𝒚′(𝒂) = 𝟎, 𝒚′(𝒃) = 𝟎 (Condición de Neumann). (3.32) 
Si 𝑝, 𝑝′ y 𝑞 son funciones continuasen el intervalo [𝑎, 𝑏] y 𝑝 distinta de cero 
en [𝑎, 𝑏], entonces la EDO del problema de valor en la frontera (3.28)-(3.30) 
es llamado un problema regular de Sturm-Liouville (PSL). De lo contrario se 
llama singular. Problemas singulares suelen surgir cuando el intervalo [ 
𝑎, 𝑏 ] es infinito o cuando 𝑝(𝑥0) = 0 para algún 𝑥0 ∈ [𝑎, 𝑏]. Los PSL se 
nombran según J.C.F. Sturm y J. Liouville, que estudiaron tales problemas 
a mediados de la década de 1830. 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
170 
 
Un PSL regular no tendrá una solución para cada valor de la constante 𝜆. 
(Claramente, la función cero 𝑦(𝑥) ≡ 0 es siempre una solución trivial, pero 
eso no nos interesa). Un valor de 𝜆 para el cual hay una solución no trivial 
a (3.28)-(3.30) es llamada un valor propio, y la correspondiente solución es 
llamada una función propia; observe que cualquier múltiplo constante de 
una función propia da otra función propia (no independiente). El hecho 
interesante acerca de los PSL regulares es que tienen un número infinito de 
valores propios, y los valores propios correspondientes forman un conjunto 
completo, ortogonal, que hace posible expansiones ortogonales. Esta es una 
idea clave en matemáticas aplicadas. 
Antes de introducir algunos hechos generales para PSL, estudiamos 
algunos ejemplos. 
Ejemplo 
El PSL 
−𝒚′′(𝒙) = 𝝀𝒚(𝒙), 𝟎 < 𝒙 < 𝝅, (𝟑. 𝟑𝟑) 
𝒚(𝟎) = 𝟎, 𝒚(𝝅) = 𝟎, (𝟑. 𝟑𝟒) 
tiene valores propios 𝜆 = 𝜆𝑛 = 𝑛
2 y correspondientes funciones propias 𝑦 =
𝑦𝑛(𝑥) = 𝑠ⅇ𝑛 𝑛𝑥, 𝑛 = 1,2,…. Así (3.33)-(3.34) tiene solución 𝑦 = 𝑠ⅇ𝑛 𝑥 
cuando 𝜆 = 1, 𝑦 = 𝑠ⅇ𝑛 2𝑥 cuando 𝜆 = 4 y así. Una forma de encontrar los 
valores propios y las funciones propias es ir por casos argumentando por 
separado considerando 𝜆 = 0, 𝜆 > 0, y 𝜆 < 0. Más adelante veremos que 𝜆 
no puede ser un número complejo. Examinamos distintos casos porque la 
solución a (3.33) tiene una forma diferente dependiendo del signo de 
𝜆. Si 𝜆 = 0 , entonces la EDO (3.33) tiene la forma 𝑦′′ = 0 , cuya solución 
general es la función lineal 𝑦(𝑥) = 𝐴𝑥 + 𝐵 . Pero 𝑦(0) = 0 implica que 𝐵 =
0 y 𝑦(𝜋) = 0 implica que 𝐴 = 0 . Así, obtenemos sólo la solución trivial en 
este caso y así 𝜆 = 0 no es un valor propio. Si 𝜆 < 0 , digamos por definición 
𝜆 = −𝑘2 , entonces la EDO (3.33) tiene la forma 𝑦′′ − 𝑘2𝑦 = 0 ; Esto tiene 
una solución general consistente en exponenciales, 
𝑦(𝑥) = 𝐴ⅇ𝑘𝑥 + 𝐵ⅇ−𝑘𝑥. 
Las condiciones de frontera obligan a 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
171 
 
𝑦(0) = 𝐴 + 𝐵 = 0, 
𝑦(𝜋) = 𝐴ⅇ𝑘𝜋 + 𝐵ⅇ−𝑘𝜋 = 0. 
Es fácil ver que estas dos ecuaciones para 𝐴 y 𝐵 obligan a 𝐴 = 𝐵 = 0, y por 
tanto obtenemos únicamente la solución trivial en este caso. Es decir, no hay 
valores propios negativos. Finalmente, vamos a considerar el caso 𝜆 > 0, o 
𝜆 = 𝑘2. Entonces la EDO (3.33) toma la forma 
𝑦′′ + 𝑘2𝑦 = 0, 
que tiene soluciones que se construyen con senos y cosenos. Es decir, 
𝑦(𝑥) = 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑥 + 𝐵𝑠ⅇ𝑛 𝑘𝑥. 
Primero, 𝑦(0) = 0 obliga a que 𝐴 = 0 . Así 𝑦(𝑥) = 𝐵𝑠ⅇ𝑛 𝑘𝑥 . La condición de 
frontera derecha produce 
𝑦(𝜋) = 𝐵𝑠ⅇ𝑛 𝑘𝜋 = 0. 
Pero ahora no estamos obligados a tomar 𝐵 = 0 ; Más bien, podemos elegir 
𝑘 para hacer que esta ecuación se mantenga. Claramente, como la función 
seno se hace cero en múltiplos de 𝜋 , podemos elegir 𝑘 = 𝑛 , un entero no 
nulo (ya hemos considerado el caso cuando 𝑘 = 0 ), o 
𝜆 = 𝜆𝑛 = 𝑛
2, 𝑛 = 1,2,…. 
Las correspondientes soluciones, o funciones propias, son 
𝑦 = 𝑦𝑛(𝑥) = 𝑠ⅇ𝑛 𝑛𝑥, 𝑛 = 1,2,…. 
Aquí hemos seleccionado arbitrariamente la constante 𝐵 = 1 para cada 
función propia; Siempre podemos multiplicar funciones propias por una 
constante para obtener otra función propia (no independiente). Por lo tanto, 
con frecuencia uno ve las funciones escritas como, por ejemplo, 𝑦𝑛(𝑥) =
 𝐵𝑛 𝑠ⅇ𝑛 𝑛𝑥, donde se elige una constante diferente para cada función propia. 
Algunas veces las constantes 𝐵𝑛 se eligen para normalizar las funciones 
propias, es decir, para forzar a que ‖𝑦𝑛‖ = 1. Como veremos más adelante, 
no importa cómo elegimos las 𝐵𝑛 en este punto, porque se terminará 
tomando una combinación lineal arbitraria de las funciones propias. □ 
Podemos siempre argumentar por casos como en el ejemplo anterior para 
determinar los valores propios y las funciones propias. Este cálculo puede 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
172 
 
ser tedioso, por lo que será ventajoso tener algunos resultados generales 
que nos permitan rechazar ciertos casos de inmediato, sin un cálculo 
detallado. Discutimos estos asuntos en la secuela. Por el momento, 
declaramos, sin prueba, el resultado central de los problemas de Sturm-
Liouville. 
Teorema 
El problema regular de Sturm-Liouville (3.28)-(3.30) tiene infinitos valores 
propios 𝜆𝑛, = 1,2,…. Los valores propios son reales, y lim 
𝑛→∞
|𝜆𝑛| = +∞. Las 
correspondientes funciones propias para distintos valores propios son 
ortogonales, y el conjunto de todas las funciones propias 𝑦𝑛(𝑥) es completo 
en el sentido de que cada función cuadrático-integrable 𝑓 sobre [𝑎, 𝑏] puede 
ser expandida como 
𝑓(𝑥) = ∑ 𝑐𝑛𝑦𝑛(𝑥)
∞
𝑛=1
 
en el sentido medio-cuadrático. 
No es particularmente fácil probar la existencia de los valores propios 
(véase, por ejemplo, Birkhoff y Rota [1965]). Pero es fácil demostrar la 
ortogonalidad. Con este fin, sean 𝜆1 y 𝜆2 valores propios distintos con las 
correspondientes funciones propias 𝑦1(𝑥) e 𝑦2(𝑥) . Esto significa 
−(𝑝𝑦1
′)′ + 𝑞𝑦1 = 𝜆1𝑦1, 
−(𝑝𝑦2
′)′ + 𝑞𝑦2 = 𝜆2𝑦2. 
Multiplicando la primera ecuación por 𝑦2, la segunda por 𝑦1, restando, y 
entonces integrando el resultado sobre el intervalo [ 𝑎, 𝑏], obtenemos 
(𝜆1 − 𝜆2)∫ 
𝑏
𝑎
𝑦1𝑦2 ⅆ𝑥 = ∫[−𝑦2(𝑝𝑦1
′)′ + 𝑦1(𝑝𝑦2
′ )′] ⅆ𝑥.
𝑏
𝑎
 
La integral de la derecha puede calcularse notando que el integrando es una 
derivada exacta; es decir., 
ⅆ
ⅆ𝒙
[𝒑(𝒚𝟏𝒚𝟐
′ − 𝒚𝟐𝒚𝟏
′ )] = −𝒚𝟐(𝒑𝒚𝟏
′ )′ + 𝒚𝟏(𝒑𝒚𝟐
′ )′ (𝟑. 𝟑𝟓) 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
173 
 
(ver Ejercicio 5). Entonces se puede aplicar el teorema fundamental del 
cálculo, y obtenemos 
(𝜆1 − 𝜆2)∫ 
𝑏
𝑎
𝑦1𝑦2 ⅆ𝑥 = [𝑝(𝑦1𝑦2
′ − 𝑦2𝑦1
′) ]𝑎
𝑏 . 
Para las condiciones de frontera simples de Dirichlet o Neumann (3.31) y 
(3.32), respectivamente, está claro que el lado derecho es cero, ya que ambas 
funciones propias satisfacen las condiciones de contorno. Para las 
condiciones de frontera generales (3.29) - (3.30) el lado derecho también es 
cero, y dejamos esta verificación al lector. Por lo tanto, 
∫𝑦1𝑦2 ⅆ𝑥
𝑏
𝑎
= 0, 
Lo que significa que 𝑦1 y 𝑦2 son funciones ortogonales. 
Hemos dicho anteriormente que los valores propios de los PSL regulares no 
pueden ser complejos. Demostramos este hecho para los PSL especiales 
(una ecuación del tipo de Schrödinger) con condiciones de frontera de 
Dirichlet 
−𝒚′′ + 𝒒(𝒙)𝒚 = 𝝀𝒚, 𝒂 < 𝒙 < 𝒃, (𝟑. 𝟑𝟔) 
𝒚(𝒂) = 𝒚(𝒃) = 𝟎. (𝟑. 𝟑𝟕) 
Sea 𝜆 un valor propio y 𝑦(𝑥) una función propia correspondiente. Hagamos 
que una barra superior denote conjugación compleja. Entonces, tomando el 
complejo conjugado de la EDO (3.36) da 
−�̅�´´ + 𝑞(𝑥)�̅� = �̅��̅�. 
Aquí, por supuesto, asumimos que 𝑞 es una función de valor real. Entonces 
multiplicamos (3.36) por �̅�, y multiplicamos la última ecuación por 𝑦; 
Restando los resultados e integrando luego el resultado 
−∫[𝑦′′�̅� − �̅�´´𝑦]
𝑏
𝑎
 ⅆ𝑥 = (𝜆 − �̅�)∫ 
𝑏
𝑎
𝑦�̅� ⅆ𝑥. 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
174 
 
Usando la identidad (3.35), podemos demostrar que la integral en el lado 
izquierdo es cero: 
∫[𝑦′′�̅� − �̅�´´𝑦]
𝑏
𝑎
 ⅆ𝑥 = (𝑦′�̅� − �̅�´𝑦)|𝑎𝑏 = 0. 
Aquí hemos utilizado el hecho de que �̅�(𝑎) = �̅�(𝑏) = 0, que viene de tomar 
el conjugado complejo de las condiciones de frontera. Por lo tanto, hemos 
demostrado que 
(𝜆 − �̅�)∫𝑦�̅� ⅆ𝑥 = 0.
𝑏
𝑎
 
Debido a que la integral es positiva (el integrando 𝑦�̅�=|𝑦|2 es positivo), 
debemos tener 𝜆 = �̅�. Un número que es igual a su conjugado complejo es 
real, y así 𝜆 es real. 
Dejamos como un ejercicio demostrar que los valores propios para el PSL 
general (3.28) - (3.30) son reales. 
Otra pregunta se refiere al signo (positivo o negativo) de los valores 
propios. El siguiente tipo de argumento de energía a veces es útil para mostrar 
que los valores propios son de un signo. Trabajamos con (3.36) - (3.37). Si 
multiplicamos la EDO (3.36) por 𝑦 e integramos, obtenemos 
−∫𝑦𝑦′′ ⅆ𝑥
𝑏
𝑎
+ ∫𝑞𝑦2 ⅆ𝑥
𝑏
𝑎
= 𝜆∫𝑦2
𝑏
𝑎
 ⅆ𝑥. 
La primera integral puede ser integrada por partes, y obtenemos 
−𝑦𝑦′|𝑎
𝑏 +∫𝑦′
2
ⅆ𝑥
𝑏
𝑎
+∫𝑞𝑦2 ⅆ𝑥
𝑏
𝑎
= 𝜆∫𝑦2 ⅆ𝑥
𝑏
𝑎
. 
Bajo las condiciones de frontera de Dirichlet (3.37) vemos que los términos 
de frontera en la última ecuación son cero. Por lo tanto 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
175 
 
∫𝑦′
2
ⅆ𝑥
𝑏
𝑎
+∫𝑞𝑦2 ⅆ𝑥
𝑏
𝑎
= 𝜆∫𝑦2 ⅆ𝑥
𝑏
𝑎
. 
Si 𝑞 es positivo, entonces la segunda integral en el lado izquierdo es 
positiva. Por lo tanto 𝜆 debe ser positivo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
176 
 
Ejercicios 
1. Demostrar que la sustitución de 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑔(𝑡)𝑦(𝑥) en la EDP 
𝑢𝑡 = (𝑝(𝑥)𝑢𝑥)𝑥 − 𝑞(𝑥)𝑢, 𝑎 < 𝑥 < 𝑏, 𝑡 > 0, 
conduce al par de ecuaciones diferenciales 
𝑔′ = −𝜆𝑔, −(𝑝(𝑥)𝑦′)
,
+ 𝑞(𝑥)𝑦 = 𝜆𝑦, 
donde 𝜆 es alguna constante. 
2. Demostrar que el PSL 
−𝑦′′(𝑥) = 𝜆𝑦(𝑥), 0 < 𝑥 < 𝑙, 
𝑦(0) = 0, 𝑦(𝑙) = 0, 
tiene valores propios 𝜆𝑛 = 𝑛
2𝜋2 ∕ 𝑙2 y correspondientes funciones 
propias 𝑦𝑛(𝑥) = 𝑠ⅇ𝑛 (𝑛𝜋𝑥 ∕ 𝑙), 𝑛 = 1,2,…. 
3. Demostrar que el PSL 
−𝑦′′(𝑥) = 𝜆𝑦(𝑥), 0 < 𝑥 < 𝑙, 
𝑦′(0) = 0, 𝑦(𝑙) = 0, 
con condiciones de frontera mixtas de Dirichlet y Neumann tiene 
valores propios 
𝜆𝑛 = (
(1 + 2𝑛)𝜋
2𝑙
)
2
 
y correspondientes funciones propias 
𝑦𝑛(𝑥) = cos
(1 + 2𝑛)𝜋𝑥
2𝑙
 
para 𝑛 = 0,1,2,…. 
4. Encuentre los valores y funciones propias para el siguiente problema 
con condiciones de frontera periódicas: 
−𝑦′′(𝑥) = 𝜆𝑦(𝑥), 0 < 𝑥 < 𝑙, 
𝑦(0) = 𝑦(𝑙), 𝑦′(0) = 𝑦′(𝑙). 
5. Verificar la ecuación (3.35). 
6. Considere el PSL 
−𝑦′′ = 𝜆𝑦, 0 < 𝑥 < 1; 𝑦(0) + 𝑦′(0) = 0, 𝑦(1) = 0. 
¿Es 𝜆 un valor propio? ¿Hay valores propios negativos? Demuestre 
que hay infinitos valores propios positivos encontrando una ecuación 
cuyas raíces son esos valores propios, y muestre gráficamente que hay 
infinitas raíces. 
7. Demuestre que el PSL 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
177 
 
−𝑦′′ = 𝜆𝑦, 0 < 𝑥 < 2; 𝑦(0) + 2𝑦′(0) = 0, 3𝑦(2) + 2𝑦′(2) = 0, 
tiene exactamente un valor propio negativo. ¿Es cero un valor propio? 
¿Cuántos valores propios positivos hay? 
8. Para el PSL 
−𝑦′′ = 𝜆𝑦, 0 < 𝑥 < 𝑙; 𝑦(0) − 𝑎𝑦′(0) = 0, 𝑦(𝑙) + 𝑏𝑦′(𝑙) = 0, 
demostrar que 𝜆 = 0 es un valor propio si y solamente si 𝑎 + 𝑏 = −𝑙. 
9. Considere el PSL 
−(𝑥2𝑦′)′ = 𝜆𝑦, 1 < 𝑥 < 𝜋, 𝑦(1) = 𝑦(𝜋) = 0. 
Utilice un argumento de energía como se presenta en el texto para 
mostrar que cualquier valor propio debe ser no negativo. Encuentre 
los valores propios y funciones propias. 
10. ¿Qué puedes decir sobre el signo de los valores propios para el PSL? 
−𝑦′′ + 𝑥𝑦 = −𝜆𝑦, 0 < 𝑥 < 1, 𝑦(0) = 𝑦(1) = 0. 
Utilice un paquete de álgebra de computadora para encontrar los 
valores propios y funciones propias. Sugerencia: Busque la ecuación 
diferencial de Airy. 
11. Considere el PSL regular 
−𝑦′′ + 𝑞(𝑥)𝑦 = 𝜆𝑦, 0 < 𝑥 < 𝑙, 
𝑦(0) = 𝑦(𝑙) = 0, 
donde 𝑞(𝑥) > 0 en [0, 𝑙]. Demostrar que si 𝜆 y 𝑦 son un valor propio y 
una función propia, respectivamente, entonces 
𝜆 =
∫ (𝑦′
2
+ 𝑞𝑦2) ⅆ𝑥
𝑙
0
‖𝑦‖2
. 
¿Es 𝜆 > 0? ¿Puede ser 𝑦(𝑥) = constante una función propia? 
12. ¿Puede haber dos funciones propias independientes que 
correspondan a un solo valor propio para un PSL regular? Piense en 
esta ecuación para el PSL dada en el Ejercicio 11. ¿Qué pasa con el 
problema dado en el ejercicio 4? 
13. Encontrar los valores propios y las funciones propias para el 
problema singular 
−𝑦′′ + 𝑥2𝑦 = 𝜆𝑦, 𝑥 ∈ ℝ; 𝑦 ∈ 𝐿2(ℝ). 
Ver el Ejercicio 6 en la Sección 3.2. 
 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
178 
 
Capítulo 4 
Ecuaciones diferenciales parciales en 
dominios acotados 
 
 
4.1 Separación de variables 
La técnica estándar para resolver EDP en dominios acotados se llama 
separación de variables (o el método de expansiones de funciones propias, 
o el método de Fourier). Como ya hemos señalado en la sección 3.4, la idea 
es suponer que la función desconocida 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑡) (asumimos que las 
variables independientes son 𝑥 y 𝑡) en un problema de valor inicial y de 
frontera se puede escribir como un producto de una función de 𝑥 y una 
función de 𝑡, es decir; 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑦(𝑥)𝑔(𝑡). Así, las variables se separan. Si el 
método tiene éxito, cuando este producto se sustituye en la EDP, la EDP se 
separa en dos EDO, una para 𝑦(𝑥) y otra para 𝑔(𝑡). La sustitución del 
producto en las condiciones de frontera conduce a condiciones de frontera 
en 𝑦(𝑥). Por lo tanto, nos quedamos con un problema de valor en la frontera 
para una EDO para 𝑦(𝑥) y una EDO para 𝑔(𝑡). Cuando resolvamos para 
𝑦(𝑥) y 𝑔(𝑡), tendremos una solución del producto 𝑢(𝑥, 𝑡) de EDP que 
satisface las condiciones de frontera. Como resulta, el problema de valor en 
la frontera para 𝑦(𝑥) es un problema de Sturm-Liouville y, de hecho, tendrá 
infinitas soluciones; En consecuencia, tendremos infinidad de soluciones 
del producto 𝑢1(𝑥, 𝑡), 𝑢2(𝑥, 𝑡),... que satisfagan las condiciones de frontera. 
Uno puede superponer estas soluciones, o sumarlas de una manera 
especial, para determinar una solución de la EDP y sus condiciones de 
frontera que también satisface las condiciones iniciales. En otras palabras, 
formamos la serie 
𝑐1𝑢1(𝑥, 𝑡) + 𝑐2𝑢2(𝑥, 𝑡) + ⋯ 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
179 
 
y elegimos las constantes de modo que la combinación satisfaga también las 
condiciones iniciales. Así que el resultado del cálculo es una representación 
en serie finita de la solución al problema del valor inicial y de frontera. 
En esta sección se realiza una presentación detallada del método de Fourier. 
Aplicamos el procedimiento al problema de valor inicial y de frontera para 
la ecuación de calor: 
𝒖𝒕 = 𝒌𝒖𝒙𝒙, 𝟎 < 𝒙 < 𝒍, 𝒕 > 𝟎, (𝟒. 𝟏) 
𝒖(𝟎, 𝒕) = 𝟎, 𝒖(𝒍, 𝒕) = 𝟎, 𝒕 > 𝟎, (𝟒. 𝟐) 
𝒖(𝒙, 𝟎) = 𝒇(𝒙), 𝟎 < 𝒙 < 𝒍. (𝟒. 𝟑) 
Para trabajar con el método de separación de variables, las condiciones de 
frontera deben ser homogéneas. 
El primer paso es asumir una solución de la forma 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑦(𝑥)𝑔(𝑡) y 
sustituir en la EDP (4.1) y en las condiciones de frontera (4.2). La sustitución 
en la EDP obtenemos 
𝑦(𝑥)𝑔′(𝑡) = 𝑘𝑦′′(𝑥)𝑔(𝑡), 
o, al dividir por 𝑘𝑦𝑔, 
𝑔′(𝑡)
𝑘𝑔(𝑡)
=
𝑦′′(𝑥)
𝑦(𝑥)
. 
Observe que las variables en las ecuaciones han sido separadas -el lado 
izquierdo es una función de 𝑡, y el lado derecho es una función de 𝑥. Ahora 
bien, ¿Cuándo las funciones de 𝑡 pueden ser iguales a una función de 𝑥 
para todo 𝑥 ∈ (0, 𝑙) y todo 𝑡 > 0? Sólo si las dos funciones son iguales a la 
misma constante, que llamamos −𝜆. Es decir, debemos tener 
𝑔′(𝑡)
𝑘𝑔(𝑡)
= −𝜆,
𝑦′′(𝑥)
𝑦(𝑥)
= −𝜆. 
Por lo tanto, tenemos dos EDO, para 𝑔 y 𝑦: 
𝑔′(𝑡) = −𝜆𝑘𝑔(𝑡), −𝑦′′(𝑥) = 𝜆𝑦(𝑥). 
La constante −𝜆, llamada la constantede separación, todavía no se conoce. 
Colocar un signo menos en la constante no significa que sea negativo; 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
180 
 
Hemos elegido el signo menos para obligar a que la EDO para 𝑦 esté en la 
forma estándar de Sturm-Liouville (ver Sección 3.4); Por la misma razón, 
hemos incluido la constante 𝑘 con la ecuación 𝑔(𝑡). A continuación 
sustituimos 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑦(𝑥)𝑔(𝑡) en las condiciones de frontera (4.2) para 
obtener. 
𝑦(0)𝑔(𝑡) = 0, 𝑦(𝑙)𝑔(𝑡) = 0. 
Excluyendo la posibilidad sin interés de que 𝑔(𝑡) = 0, obtenemos 𝑦(0) = 0 
y 𝑦(𝑙) = 0 . Por lo tanto, nos llevan al problema de valor en la frontera 
−𝒚′′(𝒙) = 𝝀𝒚(𝒙), 𝟎 < 𝒙 < 𝒍, (𝟒. 𝟒) 
𝒚(𝟎) = 𝟎, 𝒚(𝒍) = 𝟎. (𝟒. 𝟓) 
Este es un problema de Sturm-Liouville para y, y ahora reconocemos la 
constante de separación como una valor propio. 
El siguiente paso es resolver la EDO para 𝑔(𝑡) y el problema de Sturm-
Liouville para 𝑦(𝑥). La ecuación 𝑔 puede ser resuelta fácilmente (es la 
ecuación para el decaimiento exponencial) para obtener 
𝑔′(𝑡) = −𝜆𝑘𝑔(𝑡) ⇒ 𝑔(𝑡) = 𝐶ⅇ−𝜆𝑘𝑡 . 
El problema de Sturm-Liouville (4.4) - (4.5) ya se ha resuelto en la Sección 
3.4, Ejercicio 2. Los valores propios son 
𝜆 = 𝜆𝑛 =
𝑛2𝜋2
𝑙2
, 𝑛 = 1,2,… , (4.6) 
y las funciones propias correspondientes son 
𝒚𝒏(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏 
𝒏𝝅𝒙
𝒍
, 𝒏 = 𝟏, 𝟐,…. (𝟒. 𝟕) 
Para reiterar, los valores propios son los valores de 𝜆 para los cuales el 
problema (4.4) - (4.5) tiene una solución no trivial; Las funciones propias 
son las correspondientes a soluciones no triviales. 
Ahora podemos juntar los resultados anteriores. Hemos construido 
infinidad de soluciones de productos de la EDP (4.1) que tienen la forma 
𝑢𝑛(𝑥, 𝑡) = 𝑐𝑛ⅇ
−𝑛2𝜋2𝑘𝑡∕𝑙2𝑠ⅇ𝑛 
𝑛𝜋𝑥
𝑙
, 𝑛 = 1,2, . . ., 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
181 
 
Donde 𝜆 = 𝜆𝑛 ha sido sustituido en la fórmula por 𝑔(𝑡) y las constantes 
arbitrarias 𝑐𝑛 dependiendo de 𝑛 se han colocado delante de la expresión. 
Estas soluciones de producto también cumplen claramente las condiciones 
de frontera (4.2), pero no satisfacen la condición inicial dada (4.3). Así que 
el siguiente paso es determinar las constantes 𝑐𝑛 de tal manera que la 
combinación lineal 
𝒖(𝒙, 𝒕) = ∑𝒄𝒏𝒆
−𝒏𝟐𝝅𝟐𝒌𝒕∕𝒍𝟐𝒔𝒆𝒏 
𝒏𝝅𝒙
𝒍
. (𝟒. 𝟖)
∞
𝒏=𝟏
 
satisface la condición inicial (4.3). Por lo tanto, requerimos 
𝑢(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥) = ∑𝑐𝑛𝑠ⅇ𝑛 
𝑛𝜋𝑥
𝑙
.
∞
𝑛=1
 
Pero el lado derecho es sólo la serie de seno de Fourier de la función 𝑓(𝑥) 
en el intervalo (0, 𝑙). Por lo tanto, los coeficientes 𝑐𝑛 son los coeficientes de 
Fourier dados por (véase la sección 3.3) 
𝒄𝒏 =
𝟐
𝒍
∫𝒇(𝒙)𝒔𝒆𝒏 
𝒏𝝅𝒙
𝒍
ⅆ𝒙, 𝒏 = 𝟏, 𝟐,…. (𝟒. 𝟗)
𝒍
𝟎
 
Por lo tanto, hemos obtenido una solución a (4.1) - (4.3) dada por la serie 
infinita (4.8) donde los coeficientes 𝑐𝑛 están dados por (4.9). Si la función 𝑓 
es complicada, entonces no se puede encontrar una fórmula simple para los 
números 𝑐𝑛, y debemos recurrir a la integración numérica para determinar 
estas constantes. 
La sustitución de la expresión de los 𝑐𝑛 en la fórmula de solución (4.8) nos 
permite escribir la solución como 
𝑢(𝑥, 𝑡) =∑(
2
𝑙
∫𝑓(𝜉)𝑠ⅇ𝑛 
𝑛𝜋𝜉
𝑙
ⅆ𝜉
𝑙
0
)
∞
𝑛=1
ⅇ−𝑛
2𝜋2𝑘𝑡∕𝑙2𝑠ⅇ𝑛 
𝑛𝜋𝑥
𝑙
 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
182 
 
=∫(
2
𝑙
∑ⅇ−𝑛
2𝜋2𝑘𝑡∕𝑙2𝑠ⅇ𝑛 
𝑛𝜋𝜉
𝑙
∞
𝑛=1
𝑠ⅇ𝑛
𝑛𝜋𝑥
𝑙
)𝑓(𝜉) ⅆ𝜉
𝑙
0
 
≡ ∫𝑔(𝑥, 𝜉, 𝑡)𝑓(𝜉)ⅆ𝜉
𝑙
0
 
Esta fórmula muestra muy bien la solución como un operador integral que 
actúa sobre la función 𝑓. 
Varios comentarios están en orden. En primer lugar, la solución que 
obtuvimos es, de hecho, una solución para 0 < 𝑥 < 𝑙 y 𝑡 > 0, y satisface las 
condiciones de frontera, ya que sólo las restricciones suaves sobre la 
distribución de temperatura inicial 𝑓(𝑥) (por ejemplo, 𝑓 es una función 
suave por partes en 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑙 .Se requieren condiciones más severas en 𝑓 si 
se desea probar que la superficie de la solución obtenida es continua en 0 ≤
𝑥 ≤ 𝑙, 𝑡 ≥ 0. La justificación y la verificación pueden encontrarse en textos 
más avanzados sobre las Ecuaciones Diferenciales Parciales. En segundo 
lugar, se puede demostrar que la solución que obtenemos es la única 
solución al problema. A continuación, para que el método de separación de 
variables sea exitoso, la EDP y las condiciones de frontera deben ser lineales 
y homogéneas. No se espera que el método funcione para ecuaciones no 
lineales. Si nos enfrentamos a un problema que tiene condiciones de 
frontera no homogéneas, entonces ese problema debe ser transformado en 
uno con condiciones homogéneas; como hemos observado anteriormente, 
que la transformación lleva a un término fuente en la EDP. Más adelante 
aprenderemos cómo tratar con las fuentes. Finalmente, una vez que se 
encuentra una representación en serie infinita para la solución, la obra no 
termina si queremos perfiles de temperatura. Generalmente, no podemos 
sumar una serie infinita, y por lo tanto tomamos a menudo los primeros 
términos como una aproximación. Dichas aproximaciones se ilustran en un 
ejemplo a continuación en los ejercicios. 
El procedimiento de separación de variables descrito anteriormente puede 
ser imitado para un gran número de problemas. Ahora ilustramos el 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
183 
 
método para la ecuación de onda, pero con menos detalle. Considere el 
problema 
𝒖𝒕𝒕 = 𝒄
𝟐𝒖𝒙𝒙, 𝟎 < 𝒙 < 𝒍, 𝒕 > 𝟎, (𝟒. 𝟏𝟎) 
𝒖(𝟎, 𝒕) = 𝟎, 𝒖(𝒍, 𝒕), 𝒕 > 𝟎, (𝟒. 𝟏𝟏) 
𝒖(𝒙, 𝒐) = 𝑭(𝒙), 𝒖𝒕(𝒙, 𝟎) = 𝑮(𝒙), 𝟎 < 𝒙 < 𝒍. (𝟒. 𝟏𝟐) 
Suponiendo que 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑦(𝑥)𝑔(𝑡) y sustituyendo en la EDP (4.10) 
obtenemos 
𝑦(𝑥)𝑔′′(𝑡) = 𝑐2𝑦′′(𝑥)𝑔(𝑡), 
o, al dividir por 𝑐2𝑦𝑔, 
𝑔′′(𝑡)
𝑐2𝑔(𝑡)
=
𝑦′′(𝑥)
𝑦(𝑥)
. 
Estableciendo cada término igual a una constante −𝜆 , obtenemos las dos 
EDO. 
𝑔′′(𝑡) + 𝑐2𝜆𝑔(𝑡) = 0, −𝑦′′(𝑥) = 𝜆𝑦(𝑥). 
Luego sustituimos 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑦(𝑥)𝑔(𝑡) en las condiciones de frontera (4.11) 
para obtener 
𝑦(0)𝑔(𝑡) = 0, 𝑦(𝑙)𝑔(𝑡) = 0, 
lo que da 𝑦(0) = 0 y 𝑦(𝑙) = 0. Por lo tanto, nos lleva al problema de valor 
en la frontera 
−𝑦′′(𝑥) = 𝜆𝑦(𝑥), 0 < 𝑥 < 𝑙; 𝑦(0) = 0, 𝑦(𝑙) = 0. 
Este es el problema de Sturm-Liouville para 𝑦, y es exactamente el mismo 
que en el ejemplo de flujo de calor anterior. Los valores propios y funciones 
propias son (ver (4.6) - (4.7)) 
𝝀𝒏 =
𝒏𝟐𝝅𝟐
𝒍
, 𝒚𝒏(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏
𝒏𝝅𝒙
𝒍
, 𝒏 = 𝟏, 𝟐,…. (𝟒. 𝟏𝟑) 
Resolviendo la EDO para 𝑔(𝑡), 
𝑔(𝑡) = 𝐶𝑠ⅇ𝑛
𝑛𝜋𝑐𝑡
𝑙
+ 𝐷𝑐𝑜𝑠
𝑛𝜋𝑐𝑡
𝑙
. 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
184 
 
Por lo tanto, hemos construido infinidad de soluciones de productos de la 
EDP (4.10) que tienen la forma 
𝑢𝑛(𝑥, 𝑡) = (𝑐𝑛𝑠ⅇ𝑛
𝑛𝜋𝑐𝑡
𝑙
+ ⅆ𝑛𝑐𝑜𝑠
𝑛𝜋𝑐𝑡
𝑙
) 𝑠ⅇ𝑛
𝑛𝜋𝑥
𝑙
, 𝑛 = 1,2,…, 
Donde hemos reemplazado las constantes arbitrarias 𝐶 y 𝐷 por constantes 
arbitrarias 𝑐𝑛 y ⅆ𝑛 dependiendo de 𝑛. Estas soluciones de producto 𝑢𝑛(𝑥, 𝑡) 
representan modos de vibraciones. La parte temporal es periódica en el 
tiempo con período 2𝜋𝑙 ∕ (𝑛𝑐𝜋); La parte espacial es una "onda estacionaria" 
con frecuencia 𝑛𝜋 ∕ 𝑙. Estas soluciones de producto también satisfacen las 
condiciones de frontera (4.11) pero no satisfacen las condiciones iniciales 
dadas (4.12). Así que formamos la combinación lineal 
𝒖(𝒙, 𝒕) =∑(𝒄𝒏𝒔𝒆𝒏
𝒏𝝅𝒄𝒕
𝒍
+ ⅆ𝒏𝒄𝒐𝒔
𝒏𝝅𝒄𝒕
𝒍
) 𝒔𝒆𝒏
∞
𝒏=𝟏
𝒏𝝅𝒙
𝒍
 (𝟒. 𝟏𝟒) 
y seleccionamos las constantes 𝑐𝑛 y ⅆ𝑛 de tal manera que las condiciones 
iniciales se mantengan. Por lo tanto, requerimos 
𝑢(𝑥, 0) = 𝐹(𝑥)= ∑ⅆ𝑛𝑠ⅇ𝑛
∞
𝑛=1
𝑛𝜋𝑥
𝑙
. 
El lado derecho es la serie de seno de Fourier de la función 𝐹(𝑥) en el 
intervalo (0, 𝑙). Por lo tanto, los coeficientes ⅆ𝑛 son los coeficientes de 
Fourier dados por 
ⅆ𝑛 =
2
𝑙
∫𝐹(𝑥)𝑠ⅇ𝑛
𝑛𝜋𝑥
𝑙
ⅆ𝑥, 𝑛 = 1,2,…. (4.15)
𝑙
0
 
Para aplicar la otra condición inicial 𝑢𝑡(𝑥, 0) = 𝐺(𝑥) necesitamos calcular la 
derivada temporal de 𝑢(𝑥, 𝑡). Obtendremos 
𝑢𝑡(𝑥, 𝑡) = ∑
𝑛𝑐𝜋
𝑙
(𝑐𝑛𝑐𝑜𝑠
𝑛𝜋𝑐𝑡
𝑙
− ⅆ𝑛𝑠ⅇ𝑛
𝑛𝜋𝑐𝑡
𝑙
) 𝑠ⅇ𝑛
𝑛𝜋𝑥
𝑙
.
∞
𝑛=1
 
Así 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
185 
 
𝑢𝑡(𝑥, 0) = 𝐺(𝑥) = ∑
𝑛𝑐𝜋
𝑙
𝑐𝑛𝑠ⅇ𝑛
𝑛𝜋𝑥
𝑙
∞
𝑛=1
. 
De nuevo, el lado derecho es la serie de seno de Fourier de 𝐺 en (0, 𝑙), por 
lo que los coeficientes del 𝑠ⅇ𝑛
𝑛𝜋𝑥
𝑙
, que son 
𝑛𝑐𝜋
𝑙
𝑐𝑛, son los coeficientes de 
Fourier; es decir, 
𝑛𝑐𝜋
𝑙
𝑐𝑛 =
2
𝑙
∫𝐺(𝑥)𝑠ⅇ𝑛
𝑛𝜋𝑥
𝑙
ⅆ𝑥, 𝑛 = 1,2,… ,
1
0
 
o 
𝒄𝒏 =
𝟐
𝒏𝒄𝝅
∫𝑮(𝒙)𝒔𝒆𝒏
𝒏𝝅𝒙
𝒍
𝒍
𝒐
ⅆ𝒙, 𝒏 = 𝟏, 𝟐,…. (𝟒. 𝟏𝟔) 
Por lo tanto, la solución del problema del valor inicial y de frontera viene 
dada por la serie infinita (4.14) donde los coeficientes están dados por (4.15) 
y (4.16). 
Los paquetes de álgebra de computadora pueden ser de gran ayuda en el 
desarrollo de las fórmulas encontradas por el método de separación de 
variables para obtener superficies de solución aproximadas. 
Ejemplo 
Considere el siguiente problema de valor inicial y de frontera para la 
ecuación del calor: 
𝑢𝑡 = 𝑢𝑥𝑥, 0 < 𝑥 < 1; 𝑡 > 0, 
𝑢(0, 𝑡) = 𝑢(1, 𝑡) = 0, 𝑡 > 0, 
𝑢(𝑥, 0) = 10𝑥3(1 − 𝑥), 0 < 𝑥 < 1. 
La solución está dada por las fórmulas (4.8) y (4.9). En Maple la siguiente 
secuencia de comandos define las funciones 𝑓(𝑥), calcula los coeficientes de 
Fourier 𝑐𝑛, y luego encuentra los primeros seis términos de una solución 
aproximada. Aquí 𝑘 = 1 y 𝑙 = 1. 
 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
186 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.1. La superficie de la temperatura. 
 
 
f: =x → 10∗x^3∗ (1 − 𝑥); 
coef: =n → 2∗int(f(x) ∗sin (n∗Pi∗x), x=0..1); 
c: =seq(coef(n), n=1..6); 
u: =(x,t) → sum(c[n] ∗sin(n∗Pi∗x) 
*exp(-n^2∗Pi^2∗t), n=1..6); 
La superficie aproximada de la solución se puede trazar para 0 ≤ 𝑡 ≤ 0.1 a 
través del comando 
Plot3d(u(x,t),x=0..1,t=0..0.1); 
La superficie de la temperatura se muestra en la Figura 4.1. El perfil de 
temperatura inicial 𝑓(𝑥) y el perfil de temperatura en 𝑡 = 0.1 se muestran 
en la Figura 4.2, que fue generada por los comandos 
pl:=plot(f(x),x=0..1): 
p2:=plot(u(x,0.1),x=0..1): 
display([p1,p2]); 
Estos gráficos muestran cómo la barra se enfría. □ 
 
 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
187 
 
 
 
 
 
Figura 4.2. Perfil de temperatura en 𝑡 = 0 y 𝑡 = 0.1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
188 
 
Ejercicios 
1. En el problema del flujo de calor (4.1) - (4.3) tomar 𝑘 = 1, 𝑙 = 𝜋 y 
𝑓(𝑥) = 0 si 0 < 𝑥 < 𝜋 ∕ 2, 𝑓(𝑥) = 1 si 𝜋 ∕ 2 < 𝑥 < 𝜋. Encuentre una 
representación en serie infinita de la solución. Utilice los primeros 
cuatro términos de la serie para obtener una solución aproximada y, 
en el mismo conjunto de ejes de coordenadas, bosqueje varias 
instantáneas de tiempo de la distribución de temperatura aproximada 
en la barra para mostrar cómo se enfría la barra. Estima el error en 
estas distribuciones aproximadas. 
2. En el problema de la vibración (4.10) - (4.12) tomar 𝑐 = 1, 𝑙 = 𝜋, y 
𝐹(𝑥) = 𝑥 si 0 < 𝑥 < 𝜋 ∕ 2 , y 𝐹(𝑥) = 𝜋 − 𝑥, si 𝜋 ∕ 2 < 𝑥 < 𝜋 y tomar 
𝐺(𝑥) ≡ 0. Encontrar una representación en serie infinita de la 
solución. Utilice los primeros cuatro términos de la serie para obtener 
una solución aproximada y, en el mismo conjunto de ejes de 
coordenadas, bosqueje varias instantáneas de tiempo de la onda. 
¿Puede estimar el error en estas formas aproximadas de onda? 
3. Considere el problema de valor en la frontera puro para la ecuación 
de Laplace dado por 
𝑢𝑥𝑥 + 𝑢𝑦𝑦 = 0, 0 < 𝑥 < 𝑙, 0 < 𝑦 < 1, 
𝑢(0, 𝑦) = 0, 𝑢(𝑙, 𝑦) = 0, 0 < 𝑦 < 1, 
𝑢(𝑥, 0) = 𝐹(𝑥), 𝑢(𝑥, 1) = 𝐺(𝑥), 0 < 𝑥 < 𝑙. 
Utilice el método de separación de variables para encontrar una 
representación en serie infinita de la solución a este problema. Aquí, 
tome 𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝜙(𝑥)𝜓(𝑦) e identifique un problema de Sturm-
Liouville para 𝜙(𝑥); Proceda como en el texto. 
4. El problema de valor inicial y en la frontera para la ecuación de onda 
amortiguada, 
𝑢𝑡𝑡 + 𝑘𝑢𝑡 = 𝑐
2𝑢𝑥𝑥, 0 < 𝑥 < 1, 𝑡 > 0, 
𝑢(0, 𝑡) = 0, 𝑢(1, 𝑡) = 0, 𝑡 > 0, 
𝑢(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥), 𝑢𝑡(𝑥, 0) = 0, 0 < 𝑥 < 1, 
gobierna el desplazamiento de una cuerda sumergida en un fluido. 
La cuerda tiene una longitud unitaria y está fijada en sus extremos; 
Su desplazamiento inicial es 𝑓, y no tiene velocidad inicial. La 
constante 𝑘 es la constante de amortiguación. Utilizar la separación 
de variables para encontrar la solución en el caso 𝑘 < 2𝜋𝑐. 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
189 
 
4.2 Condiciones de flujo y radiación 
En la última sección resolvimos el problema del valor límite inicial para la 
ecuación de calor: 
𝑢𝑡 = 𝑘𝑢𝑥𝑥, 0 < 𝑥 < 𝑙, 𝑡 > 0, 
𝑢(0, 𝑡) = 𝑢(𝑙, 𝑡) = 0, 𝑡 > 0, 
𝑢(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥), 0 < 𝑥 < 𝑙. 
Las condiciones de frontera en este problema, donde hemos fijado la 
temperatura a cero en los extremos de la barra, son ejemplos de condiciones 
de Dirichlet, o punto fijo. Ahora queremos considerar otros dos tipos de 
condiciones de frontera; La primera es una condición de Neumann, o flujo, 
y la segunda es una condición de Robin o radiación. Una condición de flujo 
de tipo aislante en, por ejemplo, 𝑥 = 0 es una condición en la derivada de la 
forma 𝑢𝑥(0, 𝑡) = 0, 𝑡 > 0 ; Debido a que el flujo es proporcional al gradiente 
de temperatura (la ley de flujo de calor de Fourier indica el flujo = −𝐾𝑢𝑥 , 
donde 𝐾 es la conductividad, ver Sección 1.4), la condición de aislamiento 
requiere que ningún flujo de calor atraviese la frontera 𝑥 = 0 . Una 
condición de radiación, por otra parte, es una especificación de cómo el 
calor irradia desde el extremo de la barra, por ejemplo en 𝑥 = 0 , en su 
entorno, o cómo el extremo absorbe el calor de su entorno. Las condiciones 
de radiación lineal y homogénea toman la forma −𝐾𝑢𝑥(0, 𝑡) + 𝑏𝑢(0, 𝑡) = 0,
𝑡 > 0, donde 𝑏 es una constante. Si 𝑏 > 0 , entonces el flujo de calor es 
negativo, lo que significa que el calor fluye desde la barra hacia su entorno 
(radiación); Si 𝑏 < 0 , entonces el flujo es positivo, y el calor fluye hacia la 
barra (absorción). Un problema típico en la conducción de calor puede tener 
una combinación de Dirichlet, aislamiento y condiciones de frontera de 
radiación. En otros contextos físicos, por ejemplo, el transporte de 
contaminantes, la difusión biológica, estos tres tipos de condiciones de 
frontera también juegan un papel importante. 
El método de las expansiones de la función propia se aplica a problemas 
con estos diferentes tipos de condiciones de frontera homogéneas. La 
técnica es exactamente la misma que en la última sección; El único cambio 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
190 
 
será la forma de las condiciones de frontera en el problema de Sturm-
Liouville que obtenemos al separar las variables. 
Ejemplo 
Consideremos el problema de la difusión 
𝒖𝒕 = 𝒌𝒖𝒙𝒙, 𝟎 < 𝒙 < 𝒍, 𝒕 > 𝟎, (𝟒. 𝟏𝟕) 
𝒖𝒙(𝟎, 𝒕) = 𝟎, 𝒖(𝒍, 𝒕) = 𝟎, 𝒕 > 𝟎, (𝟒. 𝟏𝟖) 
𝒖(𝒙, 𝟎) = 𝒇(𝒙), 𝟎 < 𝒙 < 𝒍, (𝟒. 𝟏𝟗) 
Donde el extremo izquierdo está aislado y el extremo derecho esta fijo. 
Suponemos que 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑦(𝑥)𝑔(𝑡) y lo sustituimos en el EDP para obtener, 
exactamente como en la Sección 4.1, 
𝑔′(𝑡)
𝑘𝑔(𝑡)=
𝑦′′(𝑥)
𝑦(𝑥)
= −𝜆, 
Donde – 𝜆 es la constante de separación. Esto origina las dos EDO 
𝑦′(0)𝑔(𝑡) = 0, 𝑦(𝑙)𝑔(𝑡) = 0. 
Ya que no queremos que 𝑔(𝑡) sea cero, nos vemos obligados a tomar 𝑦′(0) =
0 y 𝑦(𝑙) = 0 . Por lo tanto, hemos obtenido el problema de Sturm-Liouville 
−𝑦′′ = 𝜆𝑦, 0 < 𝑥 < 𝑙; 𝑦′(0) = 0, 𝑦(𝑙) = 0. 
Resolvimos este problema en la Sección 3.4 para obtener valores propios y 
funciones propias dadas por (el lector debe revisar ese cálculo) 
𝜆𝑛 = (
2𝑛 + 1
2
)
2 𝜋2
𝑙2
, 𝑦𝑛(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠
(2𝑛 + 1)𝜋𝑥
2𝑙
, 𝑛 = 0,1,2…. 
Por los resultados en la sección 3.4 sabemos que las funciones propias 𝑦𝑛(𝑥) 
son ortogonales en 0 < 𝑥 < 𝑙 , lo que significa que 
∫𝑐𝑜𝑠
(2𝑛 + 1)𝜋𝑥
2𝑙
𝑐𝑜𝑠
(2𝑚 + 1)𝜋𝑥
2𝑙
ⅆ𝑥 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑚 ≠ 𝑛.
𝑙
0
 
La solución de la ecuación para el tiempo para 𝑔(𝑡) es 
𝑔(𝑡) = 𝑐ⅇ−𝜆𝑡 , 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
191 
 
y puesto que hay infinitos valores de 𝜆 , tenemos infinidad de tales 
soluciones, 
𝑔𝑛(𝑡) = 𝑐𝑛ⅇ
−𝜆𝑛𝑘𝑡 . 
Resumiendo, hemos obtenido infinidad de soluciones de producto de la 
forma 
𝑐𝑛ⅇ
−𝜆𝑛𝑘𝑡𝑐𝑜𝑠
(2𝑛 + 1)𝜋𝑥
2𝑙
, 𝑛 = 0,1,2…. 
Estas funciones resolverán la EDP (4.17) y las condiciones de frontera (4.18). 
Ahora los superponemos para formar 
𝒖(𝒙, 𝒕) =∑𝒄𝒏𝒆
−𝝀𝒏𝒌𝒕𝒄𝒐𝒔
(𝟐𝒏 + 𝟏)𝝅𝒙
𝟐𝒍
, (𝟒. 𝟐𝟎)
∞
𝒏=𝟎
 
y seleccionamos adecuadamente los coeficientes 𝑐𝑛 tales que 𝑢 satisface la 
condición inicial (4.19). Con este fin tenemos 
𝑢(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥) =∑𝑐𝑛𝑐𝑜𝑠
(2𝑛 + 1)𝜋𝑥
2𝑙
.
∞
𝑛=0
 
Esta ecuación es una expansión de la función 𝑓(𝑥) en términos de las 
funciones propias 𝑦𝑛(𝑥). Sabemos por la Sección 3.2 que los coeficientes 𝑐𝑛 
están dados por la fórmula 
𝑐𝑛 =
1
‖𝑦𝑛‖
2
∫𝑓(𝑥)𝑐𝑜𝑠
𝑙
0
(2𝑛 + 1)𝜋𝑥
2𝑙
ⅆ𝑥, 𝑛 = 0,1,2…. 
Una integración directa (ya sea a mano o utilizando un paquete de álgebra 
computacional) da 
‖𝑦𝑛‖
2 = ∫𝑐𝑜𝑠2
𝑙
0
(2𝑛 + 1)𝜋𝑥
2𝑙
ⅆ𝑥 =
1
2
, 𝑛 = 0,1,2…. 
Por consiguiente, la solución de (4.17) - (4.19) viene dada por (4.20), donde 
los coeficientes 𝑐𝑛 están dados por 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
192 
 
𝑐𝑛 =
2
𝑙
∫𝑓(𝑥)𝑐𝑜𝑠
𝑙
0
(2𝑛 + 1)𝜋𝑥
2𝑙
ⅆ𝑥, 𝑛 = 0,1,2…. 
□ 
Ilustramos cómo resolver un problema de radiación con una condición de 
frontera. 
Ejemplo 
Considere el problema de difusión 
𝒖𝒕 = 𝒌𝒖𝒙𝒙, 𝟎 < 𝒙 < 𝟏, 𝒕 > 𝟎, (𝟒. 𝟐𝟏) 
𝒖 (𝟎, 𝒕) = 𝟎, 𝒖(𝟏, 𝒕) + 𝒖𝒙(𝟏, 𝒕) = 𝟎, 𝒕 > 𝟎, (𝟒. 𝟐𝟐) 
𝒖(𝒙, 𝟎) = 𝒇(𝒙), 𝟎 < 𝒙 < 𝟏, (𝟒. 𝟐𝟑) 
Donde el extremo izquierdo es fijo y el extremo derecho satisface una 
condición de radiación. El método de separación de variables dicta asumir 
que 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑦(𝑥)𝑔(𝑡) . Sustituyendo esto en la EDP, obtenemos, 
exactamente como arriba, 
𝑔′(𝑡)
𝑘𝑔(𝑡)
=
𝑦′′(𝑥)
𝑦(𝑥)
= −𝜆, 
Donde – 𝜆 es la constante de separación. Esto da las dos EDO 
𝑔′(𝑡) = −𝜆𝑘𝑔(𝑡), −𝑦′′(𝑥) = 𝜆𝑦(𝑥). 
Sustituyendo el producto 𝑢 = 𝑦𝑔 en las condiciones de frontera dadas 
𝑦(0)𝑔(𝑡) = 0, 𝑦(1)𝑔(𝑡) + 𝑦′(1)𝑔(𝑡) = 0. 
Desde 𝑔(𝑡) ≠ 0 , estamos obligados a tomar 𝑦(0) = 0 y 𝑦(1) + 𝑦′(1) = 0 , 
y nos quedamos con el problema de Sturm-Liouville 
−𝑦′′ = 𝜆𝑦, 0 < 𝑥 < 1; 𝑦(0) = 0, 𝑦(1) + 𝑦′(1) = 0. 
Ahora determinamos los valores propios, es decir, los valores de 𝜆 para los 
cuales este problema tiene una solución no trivial. En el caso 𝜆 = 0 la 
solución de la EDO es 𝑦(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏 ; Las dos condiciones de frontera 
obligan a 𝑚 = 𝑏 = 0 , por lo que cero no es un valor propio. Para demostrar 
que no hay valores propios negativos, discutimos como en la Sección 3.4, 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
193 
 
usando un argumento de energía. Multiplicamos la EDO por 𝑦(𝑥) e 
integramos de 0 a 1 para obtener 
∫−𝑦𝑦′′ⅆ𝑥 = 𝜆∫𝑦2ⅆ𝑥.
1
0
1
0
 
En el lado izquierdo integramos por partes para obtener 
−(𝑦(𝑥)𝑦′(𝑥)) |0
1 +∫𝑦′
2
ⅆ𝑥 =
1
0
𝜆∫𝑦2ⅆ𝑥.
1
0
 
Debido a que los integrandos son positivos, la integral a la derecha es 
positiva y la integral a la izquierda es positiva. El término de frontera es no 
negativo ya que 
−(𝑦(𝑥)𝑦′(𝑥)) |0
1 = −𝑦(1)𝑦′(1) + 𝑦(0)𝑦′(0) = 𝑦(1)2 ≥ 0. 
Por lo tanto, 𝜆 no puede ser negativo. 
Para 𝜆 > 0 la solución a la ecuación diferencial ordinaria es 𝑦(𝑥) =
𝐴𝑐𝑜𝑠√𝜆𝑥 + 𝐵𝑠ⅇ𝑛√𝜆𝑥. La condición de frontera 𝑦(0) = 0 obliga a que 𝐴 = 0, 
y la condición de frontera 𝑦(1) + 𝑦′(1) = 0 obliga a que la condición 
𝑠ⅇ𝑛√𝜆 + √𝜆𝑐𝑜𝑠√𝜆 = 0, 
o 
√𝜆 = −𝑡𝑎𝑛√𝜆. 
Esta ecuación, donde la variable 𝜆 está fija en una función trigonométrica, 
no puede ser resuelta analíticamente. Pero las gráficas de las funciones √𝜆 
y −𝑡𝑎𝑛√𝜆 frente a 𝜆 (ver figura 4.3) muestran que la ecuación tiene infinitas 
soluciones positivas 𝜆1, 𝜆2, …, representadas por los puntos de intersección 
de los dos gráficos. 
Estos valores 𝜆𝑛 son los valores propios para el problema de Sturm-
Liouville, y las funciones propias correspondientes son 
𝑦𝑛 = 𝑠ⅇ𝑛√𝜆𝑛𝑥, 𝑛 = 1,2,…. 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
194 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.3. Gráfica representativa de los valores propios 
del problema de Sturm-Liouville. 
 
Utilizando un rutinario programa de resolución de álgebra computacional 
(por ejemplo, fsolve en Maple) obtenemos los tres primeros valores 
propios: 𝜆1 = 4.115858, 𝜆2 = 24.13934, 𝜆3 = 63.65911. Por los resultados 
de las secciones 3.4 sabemos que las funciones propias 𝑦𝑛(𝑥) son 
ortogonales en 0 < 𝑥 < 1, lo que significa que 
∫𝑠ⅇ𝑛√𝜆𝑛𝑥𝑠ⅇ𝑛√𝜆𝑚𝑥ⅆ𝑥 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑚 ≠ 𝑛
1
0
 
La solución a la ecuación para el tiempo es 
𝑔(𝑡) = 𝑐ⅇ−𝜆𝑘𝑡 , 
 
y puesto que hay infinitos valores para 𝜆, tenemos infinidad de tales 
soluciones, 
𝑔𝑛(𝑡) = 𝑐𝑛ⅇ
−𝜆𝑛𝑘𝑡 . 
Resumiendo, hemos obtenido infinidad de soluciones de producto de la 
forma 
𝑐𝑛ⅇ
−𝜆𝑛𝑘𝑡𝑠ⅇ𝑛√𝜆𝑛𝑥, 𝑛 = 1,2,…. 
Estas funciones resolverán la EDP (4.21) y las condiciones de frontera (4.22). 
Ahora superponemos estas formas 
𝒖(𝒙, 𝒕) = ∑𝒄𝒏𝒆
−𝝀𝒏𝒌𝒕𝒔𝒆𝒏√𝝀𝒏𝒙, (𝟒. 𝟐𝟒)
∞
𝒏=𝟏
 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
195 
 
y seleccionamos los coeficientes 𝑐𝑛 tales que 𝑢 satisface la condición inicial 
(4.23). Tenemos 
𝑢(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥) = ∑𝑐𝑛𝑠ⅇ𝑛√𝜆𝑛𝑥.
∞
𝑛=1
 
Esta ecuación es una expansión de la función 𝑓(𝑥) en términos de las 
funciones propias 𝑦𝑛(𝑥). Sabemos de la Sección 3.2 que los coeficientes 𝑐𝑛 
están dados por la formula 
𝑐𝑛 =
1
‖𝑦𝑛‖
2
∫𝑓(𝑥)𝑠ⅇ𝑛
1
0
√𝜆𝑛𝑥ⅆ𝑥, 𝑛 = 1,2…, 
o 
𝒄𝒏 =
𝟏
∫ 𝒔𝒆𝒏𝟐
𝟏
𝟎
√𝝀𝒏𝒙ⅆ𝒙
 ∫𝒇(𝒙)𝒔𝒆𝒏√𝝀𝒏𝒙ⅆ𝒙, 𝒏 = 𝟏, 𝟐,…. (𝟒. 𝟐𝟓)
𝟏
𝟎
 
Por consiguiente, la solución de (4.21) - (4.23) viene dada por (4.24), donde 
los coeficientes 𝑐𝑛 están dados por (4.25). □ 
Los sistemas de álgebra computacional pueden ser extremadamente útiles 
para obtener soluciones aproximadas y sus gráficos. Usamos Maple para 
calcular una aproximación de tres términos a la solución en el último 
ejemplo en el caso 𝑘 = 0.1 y la temperatura inicial es 𝑓(𝑥) = 10𝑥(1 − 𝑥). 
Como se ha indicado anteriormente, el primer valor propio 1am1 puede 
determinarse mediante la sintaxis 
1am1:=fsolve({sqrt (z)+tan(sqrt(z))=0},{z},1..5): 
Esto da 1am1 = 4,115858. En el comando fsolve la expresión 1..5 
da un rango de valores donde se encuentra una solución conocida. Se 
pueden obtener valores propios adicionales de una manera similar. Los tres 
primeros valores propios son 
1am1=4.115858, 1am2=24.13934, 1am3=63.65911. 
El coeficiente 𝑐1 se calcula vía 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
196 
 
c1:=int(10 ∗x ∗(1-x) ∗sin(sqrt(1am1) ∗x),x=0..1/int(sin(sqrt(1am1) ∗x)^2, x=0..1); 
Los coeficientes 𝑐2 y 𝑐3 son calculados de forma similar usando lam2 y lam3. 
Obtenemos 
c1=2.13285, c2=1.040488, c3=-0.219788. 
Entonces una solución aproximada de tres términos es 
𝑢(𝑥, 𝑡) ≈ 2.13285ⅇ−4.115858𝑡𝑠ⅇ𝑛√4 ⋅ 115858𝑥
+ 1.040488ⅇ−24.13934𝑡𝑠ⅇ𝑛√24 ⋅ 13934𝑥
− 0.219788ⅇ−63.65911𝑡𝑠ⅇ𝑛√63.65911𝑥. 
La superficie aproximada de la solución se representa gráficamente en la 
figura 4.4. Observe que no coincide exactamente con la condición inicial 𝑥 =
1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
197 
 
 Ejercicios 
1. Encuentre una representación en serie infinita para la solución al 
problema de onda 
𝑢𝑡𝑡 = 𝑐
2𝑢𝑥𝑥, 0 < 𝑥 < 𝑙, 𝑡 > 0, 
𝑢(0, 𝑡) = 𝑢𝑥(𝑙, 𝑡) = 0, 𝑡 > 0, 
𝑢(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥), 𝑢𝑡(𝑥, 0) = 0, 0 < 𝑥 < 𝑙. 
Interpretar este problema en el contexto de las ondas en una cuerda. 
2. Encuentre una representación en serie infinita para la solución del 
problema de equilibrio 
𝑢𝑥𝑥 + 𝑢𝑦𝑦 = 0, 0 < 𝑥 < 𝑎, 0 < 𝑦 < 𝑏, 
𝑢𝑥(0, 𝑦) = 𝑢𝑥(𝑎, 𝑦) = 0, 0 < 𝑦 < 𝑏, 
𝑢(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥), 𝑢(𝑥, 𝑏) = 0, 0 < 𝑥 < 𝑎. 
Interprete este problema en el contexto del flujo constante de calor. 
3. Encuentre una representación en serie infinita para la solución al 
problema de absorción de calor-radiación 
𝑢𝑡 = 𝑢𝑥𝑥, 0 < 𝑥 < 1, 𝑡 > 0, 
𝑢𝑥(0, 𝑡) − 𝑎0𝑢(0, 𝑡) = 0, 𝑢𝑥(1, 𝑡) + 𝑎1𝑢(1, 𝑡) = 0, 𝑡 > 0, 
𝑢(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥), 0 < 𝑥 < 1, 
donde 𝑎0 < 0, 𝑎1 > 0, y 𝑎0 + 𝑎1 > −𝑎0𝑎1. Indique por qué hay 
radiación en 𝑥 = 1, absorción en 𝑥 = 0, y la radiación excede en gran 
medida la absorción. Elija 𝑎0 = −0.25 y 𝑎1 = 4 y encuentre los 
primeros cuatro valores propios; Si 𝑓(𝑥) = 𝑥(1 − 𝑥), encuentre una 
solución aproximada al problema y represente gráficamente la 
superficie aproximada de la solución. 
4. Consideremos un gran anillo tubular circular de circunferencia 2𝑙 que 
contiene una sustancia química de concentración 𝑐(𝑥, 𝑡) disuelta en 
agua. Sea 𝑥 el parámetro de longitud de arco con 0 < 𝑥 < 2𝑙. Vea la 
Figura 4.5. Si la concentración del producto químico es dada 
inicialmente por 𝑐0(𝑥), entonces 𝑐(𝑥, 𝑡) satisface el problema de valor 
en la frontera y de valor inicial. 
𝑐𝑡 = 𝐷𝑐𝑥𝑥, 0 < 𝑥 < 2𝑙, 𝑡 > 0, 
𝑐(0, 𝑡) = 𝑐(2𝑙, 𝑡), 𝑐𝑥(0, 𝑡) = 𝑐𝑥(2𝑙, 𝑡), 𝑡 > 0, 
𝑐(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥), 0 < 𝑥 < 2𝑙. 
Estas condiciones de frontera se denominan condiciones de frontera 
periódicas, y 𝐷 es la constante de difusión. Aplicar el método de 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
198 
 
separación de variables y demostrar que el problema de Sturm-
Liouville asociado tiene valores propios 𝜆𝑛 = (𝑛𝜋 ∕ 𝑙)
2 para 𝑛 =
0,1,2,… y funciones propias 𝑦0(𝑥) = 1, 𝑦𝑛(𝑥) = 𝐴𝑛𝑐𝑜𝑠(𝑛𝜋𝑥 ∕ 𝑙)
2 para 
𝑛 = 0,1,2,…Demuestre que la concentración está dada por 
𝑐(𝑥, 𝑡) =
𝐴0
2
+∑(𝐴𝑛𝑐𝑜𝑠(𝑛𝜋𝑥 ∕ 𝑙) + 𝐵𝑛𝑠ⅇ𝑛(𝑛𝜋𝑥 ∕ 𝑙)ⅇ
−𝑛2𝜋2𝐷𝑡∕𝑙2
 
)
∞
𝑛=0
 
Y encontrar fórmulas para las 𝐴𝑛 y 𝐵𝑛. 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.5. Anillo circular. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
199 
 
4.3 Ecuación de Laplace 
Ahora investigamos algunos problemas asociados con la ecuación de 
Laplace en un dominio acotado. En las dos primeras secciones de este 
capítulo hemos presentado un método general, el método de Fourier, para 
resolver la ecuación de Laplace sobre rectángulos. Ahora examinamos 
dominios circulares. Además, estudiaremos algunas propiedades generales 
de las funciones armónicas (es decir, las soluciones a 𝛥𝑢 = 0) tanto en dos 
como en tres dimensiones. 
Supongamos que conocemos la temperatura en el límite de una placa 
laminar circular de radio 𝑅. ¿Podemos encontrar la temperatura de 
equilibrio dentro de la placa? Ahora vamos a encontrar una fórmula 
especialmente agradable para la solución a este problema. 
Cuando la región de interés es un círculo, podríamos conjeturar que las 
coordenadas polares son más apropiadas que las coordenadas 
rectangulares, así que formulemos el problema del flujo de calor en estado 
estacionario en coordenadas polares 𝑟, 𝜃, donde 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 y 𝑦 = 𝑟𝑠ⅇ𝑛𝜃. 
Entonces una placa circular de radio 𝑅 puede representarse simplemente 
como 𝑟 ≤ 𝑅 con 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋. La temperatura desconocida dentro de la placa 
es 𝑢 = 𝑢(𝑟, 𝜃), y la temperatura dada en la frontera de la placa es 𝑢(𝑅, 𝜃) =
𝑓(𝜃), donde 𝑓 es una función conocida. Sabemos de discusiones anteriores 
(Sección 1.8) que 𝑢 debe satisfacer la ecuación de Laplace 𝛥𝑢 = 0 dentro de 
la placa. Por lo tanto, al representar el Laplaciano 𝛥 en coordenadas polares 
(ver Sección 1.8), tenemos el siguiente problema de valor en la frontera para 
𝑢(𝑟, 𝜃): 
𝒖𝒓𝒓 +
𝟏
𝒓
𝒖𝒓 +
𝟏
𝒓𝟐
𝒖𝜽𝜽 = 𝟎, 𝟎 ≤ 𝒓 < 𝑹, 𝟎 ≤ 𝜽 ≤ 𝟐𝝅, (𝟒. 𝟐𝟔) 
𝒖(𝑹,𝜽) = 𝒇(𝜽), 𝟎 ≤ 𝜽 ≤ 𝟐𝝅. (𝟒. 𝟐𝟕) 
Implícitas son las condiciones de frontera periódicas 
𝒖(𝒓, 𝟎) = 𝒖(𝒓, 𝟐𝝅), 𝒖𝜽(𝒓, 𝟎) = 𝒖𝜽(𝒓, 𝟐𝝅). (𝟒. 𝟐𝟖) 
El método de separación de variables funciona de la misma manera que en 
coordenadas rectangulares. Asumimos la solución de producto 𝑢(𝑟, 𝜃) =
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
200 
 
𝑦(𝑟)𝑔(𝜃) y la sustituimos en la EDP y las condiciones de frontera. Cuando 
la expresión se sustituye en la EDP (4.26), obtenemos 
𝑦′′(𝑟)𝑔(𝜃) +
1
𝑟
𝑦′(𝑟)𝑔(𝜃) +
1
𝑟2
𝑦(𝑟)𝑔′′(𝜃) = 0. 
Esto puede escribirse 
−
𝑟2 + 𝑟𝑦′(𝑟)
𝑦(𝑟)
=
𝑔′′(𝜃)
𝑔(𝜃)
= −𝜆, 
Donde −𝜆 es la constante de separación. Por lo tanto, obtenemos dos 
ecuaciones diferenciales ordinarias para 𝑦 y 𝑔, a saber, 
𝑟2𝑦′′(𝑟) + 𝑟𝑦′(𝑟) = 𝜆𝑦(𝑟), 𝑔′′(0) = −𝜆𝑔(𝜃). 
Las condiciones de frontera periódicas obligan a 𝑔(0) = 𝑔(2𝜋) y 𝑔′(0) =
𝑔′(2𝜋). Por lo tanto, tenemos el siguiente problema para 𝑔(𝜃): 
𝒈′′(𝜽) = −𝝀𝒈(𝜽); 𝒈(𝟎) = 𝒈(𝟐𝝅), 𝒈′(𝟎) = 𝒈′(𝟐𝝅). (𝟒. 𝟐𝟗) 
Las condiciones de frontera, que se llaman periódicas, no son del tipo que 
definimos para un problema de Sturm-Liouville. Pero muchos de los 
mismos resultados son verdaderos. 
En primer lugar, está claro que 𝜆 = 0 es un valor propio con función propia 
correspondiente 𝑔0(𝑟) = 1. Además, no hay valores propios negativos; Si 𝜆 
es negativo, entonces la EDO tiene soluciones exponenciales, y las 
soluciones exponenciales no pueden satisfacer las condiciones de 
periodicidad (o podría usarse un argumento de energía). Por lo tanto, 
supongamos 𝜆 = 𝑝2 > 0. La ecuación diferencial para 𝑔 tiene una solución 
general 
𝑔(𝜃) = 𝑎𝑐𝑜𝑠𝑝𝜃 + 𝑏𝑠ⅇ𝑛𝑝𝜃. 
Las condiciones de frontera obligan a 
(𝑐𝑜𝑠2𝜋𝑝 − 1)𝑎 + (𝑠ⅇ𝑛2𝜋𝑝)𝑏 = 0, 
(𝑠ⅇ𝑛2𝜋𝑝)𝑎 + (1 − 𝑐𝑜𝑠2𝜋𝑝)𝑏 = 0. 
Este es un sistema de dos ecuaciones lineales homogéneas para 𝑎 y 𝑏. A 
partir de un resultado básico en álgebra matricial, sabemos que tiene una 
solución no trivial si el determinante de los coeficientes es cero, es decir, 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
201 
 
(𝑐𝑜𝑠2𝜋𝑝 − 1)(1 − 𝑐𝑜𝑠2𝜋𝑝) − 𝑠ⅇ𝑛22𝜋𝑝 = 0, 
o simplificando, 
𝑐𝑜𝑠2𝜋𝑝 = 1. 
Esto significa que 𝑝 = √𝜆 debe ser un entero positivo, es decir, 
𝜆 = 𝜆𝑛 = 𝑛
2, 𝑛 = 1,2,…. 
Junto con 𝜆0 = 0, estos son los valores propios del problema (4.29). Las 
funciones propias son 
𝑔0(𝜃) = 1, 𝑔𝑛(𝜃) = 𝑎𝑛𝑐𝑜𝑠𝑛𝜃 + 𝑏𝑛𝑠ⅇ𝑛𝑛𝜃, 𝑛 = 1,2,…. 
Ahora resolvamos la 𝑦-ecuación. Por supuesto, queremos soluciones 
acotadas. Para 𝜆 = 0 la única solución acotada es 𝑦0(𝑟) = 1 (la otra solución 
en este caso es ln 𝑟, que es no acotada). Para 𝜆 = 𝑛2 la ecuación es 
𝑟2𝑦′′(𝑟) + 𝑟𝑦′(𝑟) − 𝑛2𝑦(𝑟) = 0, 
Que es una ecuación de Cauchy-Euler (véase el Apéndice) con solución 
general 
𝒚𝒏(𝒓) = 𝒄𝒏𝒓
−𝒏 + ⅆ𝒏𝒓
𝒏. (𝟒. 𝟑𝟎) 
Podemos establecer 𝑐𝑛 porque nuevamente buscamos soluciones acotadaspara 0 ≤ 𝑟 ≤ 𝑅. Así, colocando ⅆ𝑛 = 1 para toda 𝑛, tenemos 
𝑦𝑛(𝑟) = 𝑟
𝑛, 𝑛 = 1,2,…. 
En resumen, hemos construido soluciones del problema de valor en la 
frontera de la forma 𝑢0(𝑟, 𝜃) = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡ⅇ =
𝑎0
2
, 𝑢 = 𝑢𝑛(𝑟, 𝜃) =
𝑟𝑛(𝑎𝑛 cos 𝑛𝜃 + 𝑏𝑛𝑠ⅇ𝑛 𝑛𝜃), 𝑛 = 1,2,…. Ahora, para satisfacer la condición 
de frontera en 𝑟 = 𝑅 formamos la combinación lineal 
𝒖(𝒓, 𝜽) =
𝒂𝟎
𝟐
+∑𝒓𝒏(𝒂𝒏 𝐜𝐨𝐬 𝒏𝜽 + 𝒃𝒏𝒔𝒆𝒏 𝒏𝜽). (𝟒. 𝟑𝟏)
∞
𝒏=𝟏
 
La condición de frontera 𝑢(𝑅, 𝜃) = 𝑓(𝜃) produce entonces 
𝑓(𝜃) =
𝑎0
2
+∑𝑅𝑛(𝑎𝑛 cos 𝑛𝜃 + 𝑏𝑛𝑠ⅇ𝑛 𝑛𝜃),
∞
𝑛=1
 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
202 
 
Que es la serie de Fourier de rango completo para 𝑓(𝜃) (véase la sección 
3.3). Por lo tanto, los coeficientes están dados por 
𝒂𝒏 =
𝟏
𝝅𝑹𝒏
∫ 𝒇(𝜽) 𝐜𝐨𝐬𝒏𝜽 ⅆ𝜽, 𝒏 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, … , (𝟒. 𝟑𝟐)
𝟐𝝅
𝟎
 
𝒃𝒏 =
𝟏
𝝅𝑹𝒏
∫ 𝒇(𝜽)𝒔𝒆𝒏 𝒏𝜽 ⅆ𝜽, 𝒏 = 𝟏, 𝟐,…. (𝟒. 𝟑𝟑)
𝟐𝝅
𝟎
 
Así, la solución al problema de valor en la frontera (4.26) - (4.28) viene dada 
por (4.31) con los coeficientes dados por (4.32) - (4.33). 
Como resultado, esta solución en serie puede manipularse para obtener una 
fórmula sencilla, denominada fórmula integral de Poisson. Sustituimos los 
coeficientes indicados en las fórmulas (4.32) y (4.33) (después de cambiar la 
variable de integración ficticia de 𝜃 a 𝜙) en la fórmula de solución (4.31) 
para obtener 
𝑢(𝑟, 𝜃) =
1
2𝜋
∫
 
 
 
𝑓(𝜙)ⅆ𝜙
2𝜋
0
+∑
𝑟𝑛
𝜋𝑅𝑛
∫ 𝑓(𝜙)(cos 𝑛𝜙 cos 𝑛𝜃 + 𝑠ⅇ𝑛 𝑛𝜙 𝑠ⅇ𝑛 𝑛𝜃)ⅆ𝜙
2𝜋
0
∞
𝑛=1
 
=
1
2𝜋
∫ 𝑓(𝜙)(1 + 2∑(
𝑟
𝑅
)
𝑛
cos 𝑛(𝜃 − 𝜙)
∞
𝑛=1
)ⅆ𝜙.
2𝜋
0
 
Pero la suma infinita en el integrando se puede determinar exactamente 
como sigue. Recordando la identidad 𝑐𝑜𝑠𝛼 =
1
2
(ⅇ𝑖𝛼 + ⅇ−𝑖𝛼), podemos 
escribir 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
203 
 
1 + 2∑(
𝑟
𝑅
)
𝑛
∞
𝑛=1
cos 𝑛(𝜃 − 𝜙)
= 1 +∑(
𝑟
𝑅
)
𝑛
ⅇ𝑖𝑛(𝜃−𝜙)
∞
𝑛=1
+∑ 
∞
𝑛=1
 (
𝑟
𝑅
)
𝑛
ⅇ−𝑖𝑛(𝜃−𝜙). 
Pero cada serie en el lado derecho es una serie geométrica, y sabemos del 
cálculo que 
∑𝑧𝑛
∞
𝑛=1
=
𝑧
1 − 𝑧
, 𝑠𝑖ⅇ𝑚𝑝𝑟ⅇ 𝑞𝑢ⅇ |𝑧| < 1. 
Usando este resultado, obtenemos 
1 +∑(
𝑟
𝑅
)
𝑛
∞
𝑛=1
cos 𝑛(𝜃 − 𝜙) = 1 +
𝑟ⅇ𝑖(𝜃−𝜙)
𝑅 − 𝑟ⅇ𝑖(𝜃−𝜙)
+
𝑟ⅇ−𝑖(𝜃−𝜙)
𝑅 − 𝑟ⅇ−𝑖(𝜃−𝜙)
=
𝑅2 − 𝑟2
𝑅2 + 𝑟2 − 2𝑟𝑅𝑐𝑜𝑠(𝜃 − 𝜙)
. 
Así que tenemos la fórmula 
𝒖(𝒓, 𝜽) =
𝟏
𝟐𝝅
∫
(𝑹𝟐 − 𝒓𝟐)𝒇(𝝓)
𝑹𝟐 + 𝒓𝟐 − 𝟐𝒓𝑹𝒄𝒐𝒔(𝜽 − 𝝓)
𝟐𝝅
𝟎
ⅆ𝝓, (𝟒. 𝟑𝟒) 
Que es la fórmula integral de Poisson para la solución al problema de Dirichlet 
(4.26) - (4.27). 
Hemos visto en la última sección y en la discusión anterior cómo usar la 
separación de variables para derivar soluciones a la ecuación bidimensional 
de Laplace en dominios acotados especiales: rectángulos y círculos. El 
cálculo es similar para las porciones de círculos (cuñas) y para dominios 
anulares. Para otros tipos de dominios se utilizan otros métodos. 
El método más común para resolver la ecuación de Laplace en cualquier 
dominio acotado es usar un método numérico o un método informático. Por 
ejemplo, en el método de las diferencias finitas (ver el Ejercicio 6 en la 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
204 
 
Sección 1.8) las derivadas se aproximan por cocientes de diferencia, y la 
solución 𝑢(𝑥, 𝑦) se determina en puntos discretos la región enmallada. Hay 
otro método popular, el método del elemento finito, que vuelve a producir 
la solución en puntos discretos. El método de diferencias finitas se discute 
más adelante en la Sección 4.8. Los estudiantes familiarizados con la teoría 
de variable compleja recordarán que algunos dominios pueden ser 
mapeados de acuerdo a un dominio simple donde la ecuación de Laplace 
puede ser resuelta; Las transformaciones conformes conservan soluciones a 
la ecuación de Laplace, por lo que este método puede dar como resultado 
una solución de forma cerrada, es decir, una fórmula, para la respuesta. La 
mayoría de los textos elementales sobre el análisis complejo discuten este 
método (véase, por ejemplo, Churchill (1960)). 
Aquí, queremos introducir algunas de las propiedades básicas de las 
soluciones a la ecuación de Laplace en dominios acotados. Muchos de los 
resultados se derivan del teorema de la divergencia, que establece que 
∫ⅆ𝒊𝒗𝝓ⅆ𝑽 = ∫ 𝝓 ⋅ 𝒏ⅆ𝑨.
𝝏𝜴
𝜴
 (𝟒. 𝟑𝟓) 
El teorema de la divergencia es una versión del teorema fundamental del 
cálculo en tres dimensiones: convierte la integral de las derivadas, una 
divergencia, en una integral sobre la frontera. Recordamos del cálculo 
elemental que la divergencia mide el flujo de salida local por unidad de 
volumen de un campo vectorial 𝜙, de modo que el teorema de la 
divergencia indica que el flujo neto por unidad de volumen en una región 
𝛺 debe ser igual al flujo a través de la frontera 𝜕𝛺 de esa región. Recordemos 
que la integral de la derecha es una integral de flujo a través de la superficie 
orientada por el vector normal unitario hacia fuera 𝑛. Aquí estamos 
tomando una interpretación de flujo de fluido al hablar de flujo de salida, 
pero la interpretación es válida para cualquier campo vectorial derivable. 
Tomamos siempre 𝛺 por ser una región agradable con un límite suave o con 
una frontera compuesta de muchas pero finitas secciones suaves. Hay 
algunos dominios patológicos en los cuales el teorema de la divergencia no 
se aplica, pero no los consideraremos. Además, asumimos siempre que las 
funciones implicadas en nuestra discusión son suficientemente suaves para 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
205 
 
que los teoremas se apliquen. Por ejemplo, las funciones deben tener dos 
derivadas parciales continuas que se extienden continuamente hasta la 
frontera. 
Dos identidades integrales importantes, llamadas identidades de Green, 
derivan del teorema de la divergencia. Para derivar estas identidades 
también necesitamos la identidad vectorial 
ⅆ𝑖𝑣(𝑢𝜙) = 𝑢 ⅆ𝑖𝑣𝜙 + 𝜙 ⋅ 𝑔𝑟𝑎ⅆ 𝑢. 
(Véase el ejercicio 4, sección 1.7). Integrando esta identidad sobre el 
volumen 𝛺 y usando el teorema de la divergencia da 
∫𝑢𝜙 ⋅ 𝑛 ⅆ𝐴
𝜕𝛺
= ∫𝑢 div𝜙 ⅆ𝑉
𝛺
+ ∫𝜙 ⋅ grad𝑢 ⅆ𝑉
𝛺
. 
El ajuste 𝜙 = grad 𝑣 para una función escalar 𝑣 da entonces 
∫𝒖𝐠𝐫𝐚𝐝𝒗 ⋅ 𝒏ⅆ𝑨
𝝏𝜴
= ∫𝒖𝜟𝒗ⅆ𝑽 + ∫𝒈𝒓𝒂ⅆ 𝝂 ⋅ 𝒈𝒓𝒂ⅆ 𝒖 ⅆ𝑽. (𝟒. 𝟑𝟔)
𝜴
𝜴
 
Aquí hemos utilizado el hecho de que ⅆ𝑖𝑣(𝑔𝑟𝑎ⅆ 𝑢) = 𝛥𝑢.. En particular, si 
fijamos 𝑣 = 𝑢, obtenemos 
∫ 𝒖 𝒈𝒓𝒂ⅆ 𝒖 ⋅ 𝒏ⅆ𝑨 = ∫ 𝒖𝜟𝒖 ⅆ𝑽 +
𝜴𝝏𝜴
 ∫ 𝒈𝒓𝒂ⅆ 𝒖 ⋅ 𝒈𝒓𝒂ⅆ 𝒖 ⅆ𝑽,
𝜴
 (𝟒. 𝟑𝟕) 
Y esta es la primera identidad de Green. Para obtener la segunda identidad de 
Green, intercambiamos 𝑣 y 𝑢 en la ecuación (4.36) y restamos ese resultado 
de (4.36) para obtener 
∫𝒖𝜟𝒗ⅆ𝑽
𝜴
= ∫𝒗𝜟𝒖ⅆ𝑽
𝜴
+ ∫(𝒖𝐠𝐫𝐚𝐝𝒗 − 𝒗𝐠𝐫𝐚𝐝𝒖) ⋅ 𝒏ⅆ𝑨
𝝏𝜴
. (𝟒. 𝟑𝟖) 
Esta es la segunda identidad de Green; Puede considerarse como una fórmula 
de integración por partes para el Laplaciano 𝛥; Note como el Laplaciano es 
tomado de 𝑣 y puesto en 𝑢 y eso produce un término de frontera. 
Vamos a mostrar cómo usar las identidades de Green para probar hechos 
interesantes sobre los problemas que involucran la ecuación de Laplace. 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
206 
 
Mostramos que las soluciones al problema de Dirichlet en ℝ3 son únicas (es, 
por supuesto, la misma prueba en ℝ2). Por lo tanto, considere el problema 
𝛥𝑢 = 0, ⅇ𝑛 𝛺, 
𝑢 = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧), ⅇ𝑛 𝜕𝛺. 
A modo de contradicción, supongamos que hay dos soluciones 𝑢 y 𝑣. 
Entonces fácilmente se sigue que la diferencia 𝑤 ≡ 𝑢 − 𝜈 debe satisfacer el 
problema 
𝛥𝑤 = 0, ⅇ𝑛 𝛺, 
𝑤 = 0, ⅇ𝑛 𝜕𝛺. 
Ahora multiplicamos esta EDP por 𝑤 e integramos sobre la región 𝛺 
obtenemos 
∫𝑤𝛥𝑤 ⅆ𝑉
𝛺
= 0. 
Pero ahora podemos usar la primera identidad de Green (4.37) obteniendo∫𝑤 𝑔𝑟𝑎ⅆ 𝑤 ⋅ 𝑛 ⅆ𝐴
𝜕𝛺
− ∫𝑔𝑟𝑎ⅆ 𝑤 ⋅ 𝑔𝑟𝑎ⅆ 𝑤
𝛺
 ⅆ𝑉 = 0. 
La primera integral a la izquierda es cero porque 𝑤 = 0 en la frontera. Por 
lo tanto 
∫𝑔𝑟𝑎ⅆ 𝑤
𝛺
⋅ 𝑔𝑟𝑎ⅆ 𝑤 ⅆ𝑉 = 0. 
Puesto que el integrando nunca es negativo, debemos tener 𝑔𝑟𝑎ⅆ 𝑤 = 0, o 
𝑤= constante en 𝛺. Puesto que 𝑤 es continua y es cero en la frontera, la 
constante debe ser cero, y así 𝑤 = 0 en 𝛺 ∪ 𝜕𝛺. Esto significa que 𝑢 = 𝑣 en 
𝛺 ∪ 𝜕𝛺. Así que no puede haber dos soluciones. El lector debe reconocer la 
demostración anterior como un "argumento de energía" del tipo 
introducido en la Sección 3.4 para los Problemas de Sturm-Liouville. 
Otra propiedad interesante de las funciones armónicas que satisfacen 
condiciones de frontera de tipo Dirichlet es que minimizan la integral de 
energía 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
207 
 
𝐸(𝑤) ≡ ∫𝑔𝑟𝑎ⅆ 𝑤 ⋅ 𝑔𝑟𝑎ⅆ 𝑤 ⅆ𝑉.
𝛺
 
En electrostática, por ejemplo, donde 𝑤 es el potencial de campo eléctrico, 
la energía 𝐸 es la energía almacenada en el campo electrostático. Este 
principio se llama principio de Dirichlet: Supongamos que 𝑢 satisface 
𝛥𝑢 = 0 ⅇ𝑛 𝛺; 𝑢 = 𝑓 ⅇ𝑛 𝜕𝛺. 
Entonces 𝐸(𝑢) ≤ 𝐸(𝑤) para toda 𝑤 satisfaciendo 𝑤 = 𝑓 en la 𝜕𝛺. En otras 
palabras, de todas las funciones que satisfacen la condición de contorno, la 
solución a la ecuación de Laplace es la que minimiza la energía. 
No es difícil probar el principio de Dirichlet. Sea 𝑤 = 𝑢 + 𝑣 donde 𝑣 = 0 en 
la frontera 𝜕𝛺. Entonces 
𝐸(𝑤) = 𝐸(𝑢 + 𝑣) 
= ∫𝑔𝑟𝑎ⅆ (𝑢 + 𝑣) ⋅ 𝑔𝑟𝑎ⅆ (𝑢 + 𝑣) ⅆ𝑉
𝛺
 
= ∫𝑔𝑟𝑎ⅆ 𝑢 ⋅ 𝑔𝑟𝑎ⅆ 𝑢 ⅆ𝑉
𝛺
+ 2∫𝑔𝑟𝑎ⅆ 𝑢 ⋅ 𝑔𝑟𝑎ⅆ 𝑣 ⅆ𝑉
𝛺
+ ∫𝑔𝑟𝑎ⅆ 𝑣 ⋅ 𝑔
𝛺
𝑟𝑎ⅆ 𝑣 ⅆ𝑉 
= 𝐸(𝑢) + 𝐸(𝑣) + 2∫𝑔𝑟𝑎ⅆ 𝑢 ⋅ 𝑔𝑟𝑎ⅆ 𝑣 ⅆ𝑉.
𝛺
 
Pero el término integral a la derecha es cero por la ecuación (4.36). Y porque 
𝐸(𝑣) ≥ 0, tenemos 𝐸(𝑢) ≤ 𝐸(𝑤), que completa la prueba. 
 
 
 
 
 
 
 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
208 
 
Ejercicios 
1. Demuestre que la solución 𝑢 = 𝑢(𝑟, 𝜃) para el problema de valor en la 
frontera exterior 
𝛥𝑢 = 0, 𝑟 > 𝑅, 0 ≤ 𝜃 < 2𝜋, 
𝑢(𝑅, 𝜃) = 𝑓(𝜃), 0 ≤ 𝜃 < 2𝜋, 
está dado por 
𝑢(𝑟, 𝜃) =
1
2𝜋
∫
(𝑟2 − 𝑅2)𝑓(𝜙)
𝑅2 + 𝑟2 − 2𝑟𝑅𝑐𝑜𝑠(𝜃 − 𝜙)
ⅆ𝜙.
2𝜋
0
 
(Siga el ejemplo en el libro pero elija la otra solución acotada en la 
ecuación (4.30).) 
2. Utilice la separación de variables para encontrar una solución de serie 
infinita al siguiente problema de valor en la frontera en una cuña: 
𝛥𝑢 = 0, 𝑟 < 𝑅, 0 ≤ 𝜃 <
𝜋
2
, 
𝑢(𝑅, 𝜃) = 𝑓(𝜃), 0 ≤ 𝜃 <
𝜋
2
, 
𝑢(𝑟, 0) = 0, 𝑢 (𝑟,
𝜋
2
) = 0, 0 < 𝑟 < 𝑅. 
3. Resuelva el problema del valor en la frontera en el Ejercicio 2 con las 
condiciones de frontera a lo largo de los bordes 𝜃 = 0, 𝜃 = 𝜋 ∕ 2 
reemplazadas por 
𝑢(𝑟, 0) = 0, 𝑢𝜃(𝑟, 𝜋 ∕ 2) = 0, 0 < 𝑟 < 𝑅. 
4. Utilice la fórmula integral de Poisson para probar que el valor de la 
temperatura de equilibrio en el centro de un disco es el promedio de 
las temperaturas en la frontera. 
5. Probar el principio de Dirichlet para el problema de Neumann: 
Suponga 
𝐸(𝑤) ≡
1
2
∫𝑔𝑟𝑎ⅆ 𝑤 ⋅ 𝑔𝑟𝑎ⅆ𝑤 ⅆ𝑉 −
𝛺
∫ℎ𝑤 ⅆ𝐴.
𝜕𝛺
 
Si 𝑢 es la solución para el problema de valor en la frontera 
𝛥𝑢 = 0, ⅆⅇ𝑛𝑡𝑟𝑜 ⅆⅇ 𝛺, 
𝑛 ⋅ 𝑔𝑟𝑎ⅆ 𝑢 = ℎ 𝑠𝑜𝑏𝑟ⅇ 𝑙𝑎 𝜕𝛺, 
entonces 𝐸(𝑢) ≤ 𝐸(𝑤) para todo 𝑤 lo suficientemente suave. Observe 
que el valor promedio de ℎ en la frontera es cero. 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
209 
 
6. En tres dimensiones considerar el problema del valor en la frontera 
de radiación 
𝛥𝑢 − 𝑐𝑢 = 0, ⅆⅇ𝑛𝑡𝑟𝑜 ⅆⅇ 𝛺, 
𝑛 ⋅ 𝑔𝑟𝑎ⅆ 𝑢 + 𝑎𝑢 = 0, 𝑠𝑜𝑏𝑟ⅇ ⅆⅇ 𝜕𝛺, 
donde 𝑎, 𝑐 > 0 y 𝛺 es una región acotada. Demuestre que la única 
solución es 𝑢 = 0. (Sugerencia: Use un argumento de energía. 
Multiplique la EDP por 𝑢, integre, y entonces use la primera identidad 
de Green.) Use este resultado para demostrar que las soluciones al 
problema de valor en la frontera 
𝛥𝑢 − 𝑐𝑢 = 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝛺, 
𝑛 ⋅ 𝑔𝑟𝑎ⅆ 𝑢 + 𝑎𝑢 = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝑠𝑜𝑏𝑟ⅇ 𝜕𝛺, 
deben ser únicas. 
7. Resolver el problema de valor en la frontera 
𝛥𝑢 = 0, 𝑟 < 𝑅, 0 ≤ 𝜃 < 2𝜋, 
𝑢(𝑅, 𝜃) = 4 + 3𝑠ⅇ𝑛 𝜃, 0 ≤ 𝜃 < 2𝜋. 
8. Suponga que 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧) satisface el problema de Neumann 
𝛥𝑢 = 0, ⅆⅇ𝑛𝑡𝑟𝑜 ⅆⅇ 𝛺, 
𝑛 ⋅ 𝑔𝑟𝑎ⅆ 𝑢 = 0 𝑠𝑜𝑏𝑟ⅇ ⅆⅇ 𝛺 
 demuestre que 𝑢 debe ser constante sobre de 𝛺. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
210 
 
4.4 Enfriamiento de una esfera 
Hemos observado que el método de separación de variables puede 
aplicarse a varios tipos de problemas en dominios espaciales acotados. El 
problema debe ser lineal y tener condiciones de fronteras homogéneas. En 
esta sección presentamos la solución a un problema clásico en tres 
dimensiones, el enfriamiento de una esfera. Las simetrías asumidas en el 
problema nos permitirán reducir la dimensión del problema a una 
dimensión espacial y tiempo, y podemos seguir los mismos procedimientos 
que en las secciones anteriores. 
El problema es que, dada una esfera cuya temperatura inicial depende de 
la distancia desde el centro (por ejemplo, una temperatura inicial constante) 
y cuya frontera se mantiene a una temperatura constante, predecir la 
temperatura en cualquier punto dentro de la esfera en un momento 
posterior. Este es el problema, por ejemplo, de determinar la temperatura 
del centro de una patata que se ha puesto en un horno caliente. El lector 
también podría conjeturar que este problema es importante para los 
examinadores médicos que quieren determinar el momento de la muerte de 
un individuo. Los primeros investigadores, el más notable Kelvin, 
utilizaron este problema para determinar la edad de la tierra basada en 
suposiciones sobre su temperatura inicial y su temperatura hoy. 
Este problema de enfriamiento puede recordar al lector la ley de Newton 
del enfriamiento, que se encuentra en los textos ordinarios de ecuaciones 
diferenciales. Recordemos que esta ley establece que la velocidad a la que 
se enfría un cuerpo es proporcional a la diferencia de su temperatura y la 
temperatura del ambiente. Cuantitativamente, si 𝑇 = 𝑇(𝑡) es la temperatura 
de un cuerpo y 𝑇𝑒 es la temperatura de su entorno, entonces 𝑇
′(𝑡) =
𝐾(𝑇𝑒 − 𝑇), donde 𝐾 es la constante de proporcionalidad. Pero el lector debe 
notar que esta ley se aplica sólo en el caso de que el cuerpo tiene una 
temperatura uniforme, homogénea. En el problema de la EDP que estamos 
considerando, la temperatura puede variar radialmente en todo el cuerpo. 
Para simplicidad, consideremos una esfera de radio 𝜌 = 𝜋 cuya 
tempreratura inicial es 𝑇0 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡ⅇ. Supondremos que la frontera se 
mantiene en cero grados para todo el tiempo 𝑡 > 0. Si 𝑢 es la temperatura, 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
211 
 
entonces en general 𝑢 dependerá de tres coordenadas espaciales y el 
tiempo. Pero una pequeña reflexión muestra que la temperatura dependerá 
sólo de la distancia desde el centro de la esfera y el tiempo. Evidentemente, 
la temperatura 𝑢 debe satisfacer la ecuación de calor 
𝑢𝑡 = 𝑘𝛥𝑢, 
Donde 𝑘 es la difusividad y 𝛥 es el laplaciano (ver sección 1.7). Debe quedar 
claro que un sistema de coordenadas esféricas 𝜌, 𝜙, 𝜃 es más apropiado que 
un sistema rectangular y 𝑢 = 𝑢(𝜌, 𝑡). Como 𝑢 no depende de los ángulos 𝜙 
y 𝜃, el laplaciano adopta una forma particularmente simple: 
𝛥 =
𝜕2
𝜕𝜌2
+
2
𝜌
𝜕
𝜕𝜌
 
(ver Sección 1.8). Por lo tanto, podemos formular el modelo como 
𝒖𝒕 = 𝒌(𝒖𝝆𝝆 +
𝟐
𝝆
𝒖𝝆) , 𝟎 ≤ 𝝆 < 𝝅, 𝒕 > 𝟎, (𝟒. 𝟑𝟗) 
𝒖(𝝅, 𝒕) = 𝟎, 𝒕 > 𝟎, (𝟒. 𝟒𝟎) 
𝒖(𝝆, 𝟎) = 𝑻𝟎, 𝟎 ≤ 𝝆 < 𝝅. (𝟒. 𝟒𝟏) 
 
Observe que existe una condición de frontera implícita en 𝜌 = 0, a saber, 
que la temperatura debería estar limitada. 
Pararesolver el problema (4.39)-(4.41) asumimos que 𝑢(𝜌, 𝑡) = 𝑦(𝜌)𝑔(𝑡). 
Sustituyendo en la EDP y separando variables da, en la forma usual, 
𝑔′(𝑡)
𝑘𝑔(𝑡)
=
𝑦′′(𝜌) +
2
𝜌
𝑦′(𝜌)
𝑦(𝜌)
= −𝜆, 
donde – 𝜆 es la constante de separación. Sustituyendo 𝑢(𝜌, 𝑡) = 𝑦(𝜌)𝑔(𝑡) en 
la condición de frontera (4.40) da 𝑦(𝜋) = 0, y la limitación de 𝑢 en 𝜌 = 0 
forza a que 𝑦(0) este acotado. Por lo tanto, tenemos el problema de valor en 
la frontera 
−𝒚′′(𝝆) −
𝟐
𝝆
𝒚′(𝝆) = 𝝀𝒚(𝝆), 𝟎 ≤ 𝝆 < 𝝅, (𝟒. 𝟒𝟐) 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
212 
 
𝒚(𝟎) 𝒂𝒄𝒐𝒕𝒂ⅆ𝒐, 𝒚(𝝅) = 𝟎. (𝟒. 𝟒𝟑) 
Tenga en cuenta que se trata de una PSL singular. Si 𝜆 = 0, entonces la 
ecuación tiene la forma −𝑦′′ −
2
𝜌
𝑦′ = 0, que tiene solución general 𝑦 =
𝑎
𝜌
+
𝑏; El límite a cero implica 𝑎 = 0, y 𝑦(𝜋) = 0 implica que 𝑏 = 0. Así que 𝜆 =
0 no es un valor propio. Si 𝜆 ≠ 0, puede no estar claro para el lector cómo 
resolver la ecuación de coeficientes variables (4.42). Sin embargo, si 
introducimos la nueva función 𝑌(𝜌) definida por 
𝑦(𝜌) = 𝑝𝑦(𝜌), 
entonces la ecuación diferencial (4.42) se convierte en la ecuación familiar 
−𝑌′′(𝜌) = 𝜆𝑌(𝜌) 
(adivinar este tipo de transformaciones de la variable dependiente no 
siempre es fácil o incluso posible). Si 𝜆 > 0, entonces 𝑌 = a cos√𝜆 𝜌 +
𝑏 𝑠ⅇ𝑛 √𝜆𝜌, lo que da 
𝑦(𝜌) =
1
𝜌
(𝑎 𝑐𝑜𝑠√𝜆𝜌 + 𝑏 𝑠ⅇ𝑛 √𝜆𝜌). 
Debemos tener 𝑎 = 0, ya que cos√𝜆 𝜌/𝜌 es no acotado en 𝜌 = 0. Por lo tanto, 
aplicando la condición de frontera 𝑦(𝜋) = 0 entonces da 
𝑏 𝑠ⅇ𝑛 √𝜆𝜋 = 0, 
Que a su vez da los valores propios 
𝜆 = 𝜆𝑛 = 𝑛
2, 𝑛 = 1,2,…. 
Las funciones propias son 
𝑦𝑛(𝜌) =
𝑠ⅇ𝑛 𝑛𝜌
𝜌
, 𝑛 = 1,2,… 
Lo dejamos como un ejercicio para demostrar que no hay valores propios 
negativos (ver Ejercicio 1). 
Las soluciones correspondientes a la ecuación de tiempo para 𝑔(𝑡) se 
encuentran fácilmente al ser 𝑔𝑛(𝑡) = 𝑐𝑛ⅇ
−𝑛2𝑘𝑡. Así hemos determinado 
infinitas soluciones de la forma 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
213 
 
𝑐𝑛ⅇ
−𝑛2𝑘𝑡
𝑠ⅇ𝑛 𝑛𝜌
𝜌
, 𝑛 = 1,2,…, 
Que satisfacen la EDP y las condiciones de frontera. Para satisfacer la 
condición inicial (4.41) formamos la combinación lineal 
𝑢(𝜌, 𝑡) =∑𝑐𝑛ⅇ
−𝑛2𝑘𝑡
𝑠ⅇ𝑛 𝑛𝜌
𝜌
.
∞
𝑛=1
 
Aplicando la condición inicial, obtenemos 
𝑢(𝜌, 0) = 𝑇0 =∑𝑐𝑛
𝑠ⅇ𝑛 𝑛𝜌
𝜌
,
∞
𝑛=1
 
o 
𝑇0𝜌 = ∑𝑐𝑛 𝑠ⅇ𝑛 𝑛𝜌.
∞
𝑛=1
 
El lado derecho de esta ecuación es la serie de seno de Fourier de la función 
𝑇0𝜌 en el intervalo [0, 𝜋]. Por lo tanto, los coeficientes de Fourier 𝑐𝑛 están 
dados por 
𝑐𝑛 =
2
𝜋
∫𝑇0𝜌 𝑠ⅇ𝑛 𝑛𝜌 ⅆ𝜌.
𝜋
0
 
La integral se puede calcular a mano (mediante integración por partes) o 
por un sistema de álgebra computacional. En cualquier caso, obtenemos 
𝑐𝑛 = (−1)
𝑛+1
2𝑇0
𝑛
. 
En consecuencia, hemos encontrado la fórmula de la solución 
𝒖(𝝆, 𝒕) =∑(−𝟏)𝒏+𝟏
𝟐𝑻𝟎
𝒏
∞
𝒏=𝟏
𝒆−𝒏
𝟐𝒌𝒕
𝒔𝒆𝒏 𝒏𝝆
𝝆
. (𝟒. 𝟒𝟒) 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
214 
 
Esta fórmula da la temperatura en el tiempo 𝑡 a una distancia 𝜌 desde el 
centro de la esfera. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
215 
 
Ejercicios 
1. Demuestre que el problema del valor propio (4.42) - (4.43) no tiene 
valores propios negativos. 
2. En el enfriamiento del problema de la esfera tomar 𝑅 = 𝜋 pulgadas, 
𝑇0 = 37 grados centígrados, y 𝑘 = 5.58 pulgadas al cuadrado por 
hora. Usando (4.44), trace la temperatura en el centro de la esfera 
como una función del tiempo; Tomar 𝑡 = 0 a 𝑡 = 1 hora. 
3. Este problema trata del enfriamiento de una esfera con una condición 
de frontera de radiación. Una bola esférica de radio 𝑅 tiene una 
difusividad 𝑘 y una temperatura inicial 𝑢 = 𝑓(𝜌), 0 ≤ 𝜌 ≤ 𝑅, que 
depende únicamente de la distancia 𝜌 que forma el centro. El calor 
irradia la superficie de la esfera mediante la ley 
𝑢𝜌(𝑅, 𝑡) = −ℎ𝑢(𝑅, 𝑡), 
Donde ℎ es una constante positiva y 𝑅ℎ < 1. Hallar una fórmula para 
la temperatura 𝑢(𝜌, 𝑡) en la esfera. Sugerencia: Encuentre los valores 
propios 𝜆𝑛 como las raíces positivas de la ecuación 
𝑡𝑎𝑛𝑅𝜆 =
𝑅𝜆
1 − 𝑅ℎ
. 
A continuación, tomar 𝑅 = 𝜋 pulgadas, 𝑘 = 5.58 pulgadas cuadradas 
por hora, 𝑓(𝜌) = 37 grados centígrados, y ℎ = 0.1 por pulgada, y 
calcular una solución aproximada de cuatro términos a la función de 
temperatura. 
4. Consideremos una esfera de radio unitario en la que existe un 
potencial prescrito 𝑢 dependiendo únicamente del ángulo de 
coordenadas esféricas 𝜙 (véase la sección 1.8). Este ejercicio trata de 
usar la separación de variables para encontrar una expresión para el 
potencial acotado que satisface la ecuación de Laplace dentro de la 
esfera. El problema de valor en la frontera es 
𝛥𝑢 = 0, 0 ≤ 𝜌 < 1, 0 < 𝜙 < 𝜋; 𝑢(1,𝜙) = 𝑓(𝜙), 0 ≤ 𝜙 ≤ 𝜋, 
donde 𝑢 = 𝑢(𝜌, 𝜙). Nota que 𝑢 no dependerá del ángulo polar 𝜃 
debido a la simetría en la condición de contorno. 
(a) Asuma 𝑢 = 𝑅(𝜌)𝑌(𝜙) y deduzca las dos ecuaciones 
−((1 − 𝑥2)𝑦′)
′
= 𝜆𝑦, −1 < 𝑥 < 1; (𝜌2𝑅′)
′
− 𝜆𝑅 = 0, 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
216 
 
donde 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝜙 y 𝑦(𝑥) = 𝑌(𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥). 
(b) La ecuación de 𝑦 en la parte del inciso (a) es la ecuación diferencial 
de Legendre, y tiene soluciones acotadas y continuas en [−1,1] 
cuando 
𝜆 = 𝜆𝑛 = 𝑛(𝑛 + 1), 𝑦 = 𝑦𝑛(𝑥) = 𝑃𝑛(𝑥), 𝑛 = 0,1,2,…, 
donde las 𝑃𝑛 son funciones polinomiales llamadas los polinomios 
de Legendre. Los polinomios de Legendre son ortogonales en 
[−1,1], y están dados por la fórmula de Rodrígues 
𝑃𝑛(𝑥) =
1
𝑛! 2𝑛
ⅆ𝑛
ⅆ𝑥𝑛
[(𝑥2 − 1)𝑛]. 
A través de un cálculo formal deducir una fórmula para la 
solución al problema de valor en la frontera dada en la forma 
𝑢(𝜌, 𝜙) = ∑𝑐𝑛𝜌
𝑛𝑃𝑛(𝑐𝑜𝑠𝜙),
∞
𝑛=0
 
donde 
𝑐𝑛 =
1
‖𝑃𝑛‖
2
∫𝑓(𝜙)𝑃𝑛(𝑐𝑜𝑠𝜙)𝑠ⅇ𝑛𝜙ⅆ𝜙.
𝜋
0
 
(c) Encuentre los primeros cuatro polinomios de Legendre usando la 
fórmula de Rodrigues. 
(d) Si 𝑓(𝜙) = 𝑠ⅇ𝑛𝜙 , encontrar una solución aproximada. 
5. Estima la edad de la tierra. Utilice los datos del ejercicio 5 de la sección 
2.4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
217 
 
4.5 Difusión en un disco 
En la última sección resolvimos un problema de difusión en coordenadas 
esféricas y encontramos, siempre que asumiéramos simetría angular, que 
se trataba de una aplicación rutinaria del método de separación de 
variables. Ahora resolveremos un problema de difusión en coordenadas 
cilíndricas o polares, y encontraremos que la tarea no es tan rutinaria 
porque obtendremos una ecuación (ecuación de Bessel) que puede no ser 
familiar para el lector. Por lo tanto, utilizaremos un paquete de software 
para ayudarnos a entender algunos de los pasos a lo largo del camino. (El 
instructor puede encontrar que este problema es muy adecuado para su 
presentación en un laboratorio de computación). 
Consideremos un disco plano circular de radio 𝑅 cuya temperatura inicial 
es una función únicamente del radio y cuya frontera se mantiene en cero 
grados. 
Estamos interesados en cómo el calor se difunde a través de la placa. 
Nuestra intuición dicta que la temperatura 𝑢 en el disco depende solamente 
del tiempo y de la distancia 𝑟 desde el centro, esto es, 𝑢 = 𝑢(𝑟, 𝑡). Podemos 
hacer esta suposición porque no hay nada en la condición inicial o condición 
de frontera para hacer que el calor se difunda en una dirección angular-el 
calor fluirá sólo a lo largo de los rayos que emanan del origen. Sabemos que 
𝑢 debe satisfacer la ecuación de calor bidimensional 𝑢𝑡 = 𝑘𝛥𝑢 en 0 ≤ 𝑟 < 𝑅, 
donde 𝑘 es la difusividad y 𝛥 es el Laplaciano. Aquí está claro que 
deberíamos escribir el Laplaciano en coordenadas polares,y como no existe 
dependencia de 𝜃, la ecuación de calor es simplemente (véase la sección 1.8 
para la fórmula del Laplaciano en coordenadas polares) 
𝒖𝒕 = 𝒌(𝒖𝒓𝒓 +
𝟏
𝒓
𝒖𝒓) , 𝟎 ≤ 𝒓 < 𝑹, 𝒕 > 𝟎. (𝟒. 𝟒𝟓) 
La condición de frontera es 
𝒖(𝑹, 𝒕) = 𝟎, 𝒕 > 𝟎, (𝟒. 𝟒𝟔) 
y la condición inicial es 
𝒖(𝒓, 𝟎) = 𝒇(𝒓), 𝟎 ≤ 𝒓 < 𝑹, (𝟒. 𝟒𝟕) 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
218 
 
Donde 𝑓 es una distribución de temperatura radial dada. Se entiende que 
la temperatura debe estar acotada en 𝑟 = 0. Las ecuaciones (4.45) - (4.47) 
forman el modelo de EDP. 
Procedemos separando variables. Tomando 𝑢(𝑟, 𝑡) = 𝑦(𝑟)𝑔(𝑡), la EDP se 
divide en 
𝑔′(𝑡)
𝑘𝑔(𝑡)
=
𝑦′′(𝑟) +
1
𝑟
𝑦′(𝑟)
𝑦(𝑟)
= −𝜆. 
La ecuación para 𝑔(𝑡) se resuelve de la manera habitual para obtener 
𝑔(𝑡) = ⅇ−𝜆𝑘𝑡 . 
La 𝑦-ecuación es 
𝒚′′(𝒓) +
𝟏
𝒓
𝒚′(𝒓) = −𝝀𝒚(𝒓). (𝟒. 𝟒𝟖) 
Al multiplicar por 𝑟, podemos reescribir esta ecuación como 
−(𝒓𝒚′(𝒓))
′
= 𝝀𝒓𝒚(𝒓). (𝟒. 𝟒𝟗) 
La condición (4.46) conduce a la condición de frontera 
𝒚(𝑹) = 𝟎, (𝟒. 𝟓𝟎) 
e imponemos el requisito de que está acotado 
𝒚(𝟎) = 𝟎 𝒂𝒄𝒐𝒕𝒂ⅆ𝒐. (𝟒. 𝟓𝟏) 
Observe que la EDO (4.49) junto con la condición de frontera es un 
problema singular de Sturm-Liouville. Pero también, es un problema de 
valores propios, y tenemos que resolverlo. 
Se ve fácilmente que 𝜆 = 0 no es un valor propio (en este caso la solución 
general de (4.49) es 𝑦 = 𝑎 + 𝑏 𝑙𝑛 𝑟 y 𝑏 = 0 porque está acotada y 𝑎 = 0 por 
la condición 𝑦(𝑅) = 0). Lo dejamos como un ejercicio demostrar que no hay 
valores propios negativos (Ejercicio 1). Así que consideremos el caso en el 
que 𝜆 es positivo. La tarea es resolver (4.48) o (4.49). En la última sección 
encontramos una simple sustitución para la ecuación similar 𝑦′′ +
(2 ∕ 𝜌)𝑦′ = 𝜆𝑦 que la transformó en una ecuación familiar; Pero (4.48) es 
ligeramente diferente (sólo un factor de 2 en un término), y un simple 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
219 
 
cambio de variables no funciona. Otra estrategia es preguntar al ordenador 
si es posible una solución. Utilizando dsolve en Maple, escribimos 
Eqn:=diff(y(r),r,r)+(1/r) 
∗diff(y(r),r)+lambda∗y(r)=0; 
Sol:=dsolve ({eqn},{y(r)}); 
en Maple devuelve 
sol:=y(r)=_C1 BesselJ (0, √𝜆r) 
+ _C2 BesselY (0, √𝜆r). 
Mapple encontró la solución general en términos de dos funciones 
especiales llamadas BesselJ(0, z) y BesselY(0, z). Estas funciones son 
funciones de Bessel clásicas, designadas en la literatura científica por 𝐽0(𝑧) e 
𝑌0(𝑧), respectivamente; Por lo que la solución general a (4.48), que es un 
caso especial de la ecuación diferencial de Bessel, es 
𝑦(𝑟) = 𝑐1𝐽0(√𝜆𝑟) + 𝑐2𝑌0(√𝜆𝑟). 
Si le pedimos a nuestro paquete de álgebra de computadoras que trace 
𝑌0(𝑧), notaremos que explotará en 𝑧 = 0; De hecho, se puede demostrar que 
𝑌(𝑧) se comporta como ln 𝑧 para 𝑧 pequeño, positivo (véase la figura 4.6). 
Por lo tanto, descartamos el segundo término en la solución para mantener 
la cota; Así que fijamos 𝑐2 = 0. Por lo tanto, tenemos 
𝒚(𝒓) = 𝒄𝟏𝑱𝟎(√𝝀𝒓). (𝟒. 𝟓𝟐) 
Una gráfica de 𝐽0(𝑧) se muestra en la Figura 4.6. 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.6 Grafica de las funciones de Bessel 𝐽0(𝑧) y 𝑌0(𝑧) 
para 0 < 𝑧 < 1.5. 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
220 
 
La función de Bessel 𝐽0(𝑧) es una función oscilatoria bien comportada. Es 
muy similar a la función coseno, sólo sus oscilaciones disminuyen a medida 
que 𝑧 aumenta. Tiene infinitos ceros 𝑧𝑛, 𝑛 = 1,2,3, …, los primeros son 𝑧1 =
2.405, 𝑧2 = 5.520, 𝑧3 = 8.654, 𝑧4 = 11.790. Debido a que las funciones de 
Bessel ocurren en tantos contextos físicos, muchas de ellas han sido 
recogidas en manuales y tratados sobre las funciones de Bessel (para 
muestra, véase Abramowitz y Stegun (1965)). Por ejemplo, se puede aplicar 
el método de la serie de Taylor para resolver la EDO (4.48) para encontrar 
la representación en serie 
𝐽0(𝑧) =∑
(−1)𝑛
𝑛! 22𝑛
∞
𝑛=0
𝑧2𝑛. 
También se puede demostrar que para 𝑧 grande, 
𝐽0(𝑧)~√
2
𝜋𝑧
𝑐𝑜𝑠 (𝑧 −
𝜋
4
), 
Que muestra el comportamiento de "coseno decadente" 
Ahora aplicamos la condición de frontera (4.50) a (4.52), y obtenemos 
𝑦(𝑅) = 𝑐1𝐽0(√𝜆𝑅) = 0. 
Así 
√𝜆𝑅 = 𝑧𝑛, 𝑧 = 1,2,3,…, 
Donde los 𝑧𝑛 son los ceros de 𝐽0. Por consiguiente, los valores propios son 
𝜆𝑛 =
𝑧𝑛
2
𝑅2
, 𝑛 = 1,2,3,…, 
y las funciones propias correspondientes son 
𝑦𝑛(𝑟) = 𝐽0 (
𝑧𝑛𝑟
𝑅
) , 𝑛 = 1,2,3,…. 
En resumen, hemos construido soluciones 𝑔𝑛(𝑡)𝑦𝑛(𝑟) de la forma 
ⅇ−𝜆𝑛𝑘𝑡𝐽0 (
𝑧𝑛𝑟
𝑅
) , 𝑛 = 1,2,3,…, 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
221 
 
que satisface la EDP y las condiciones de frontera. 
Para satisfacer la condición inicial (4.47) formamos la combinación lineal 
𝒖(𝒓, 𝒕) = ∑𝒄𝒏𝒆
−𝝀𝒏𝒌𝒕𝑱𝟎 (
𝒛𝒏𝒓
𝑹
) (𝟒. 𝟓𝟑)
∞
𝒏=𝟏
 
Y al determinar los coeficientes adecuados 𝑐𝑛. Las condición inicial obliga a 
𝑢(𝑟, 0) = 𝑓(𝑟) = ∑𝑐𝑛𝐽0 (
𝑧𝑛𝑟
𝑅
). 
∞
𝑛=1
 
¿Cómo encontramos los 𝑐𝑛 ? ¡Ortogonalidad! Esta última ecuación es una 
expansión de Fourier-Bessel, y las funciones de Bessel 𝐽0 (
𝑧𝑛𝑟
𝑅
) satisfacen la 
condición de ortogonalidad 
∫ 𝑱𝟎 (
𝒛𝒏𝒓
𝑹
) 𝑱𝟎 (
𝒛𝒎𝒓
𝑹
)𝒓ⅆ𝒓 = 𝟎, 𝒏 ≠ 𝒎 (𝟒. 𝟓𝟒)
𝑹
𝟎
 
(ver Ejercicio 2). Observe el factor de 𝑟 en el integrando; Decimos que 𝑟 es 
una función ligera y que las funciones de Bessel 𝐽0 (
𝑧𝑛𝑟
𝑅
) son ortogonales con 
respecto a la función de peso 𝑟 . La ortogonalidad nos permite determinar 
los coeficientes de la manera estándar: Multiplique la ecuación (4.53) por 
𝑟𝐽0 (
𝑧𝑚𝑟
𝑅
) e integre de 𝑟 = 0 a 𝑟 = 𝑅 , intercambie la suma y la integral, y 
luego utilice la relación de ortogonalidad ponderada para colapsar la suma 
infinita a un término. Obtenemos 
∫𝑓(𝑟)𝐽0 (
𝑧𝑛𝑟
𝑅
) 𝑟ⅆ𝑟 = 𝑐𝑚 ‖𝐽0 (
𝑧𝑚𝑟
𝑅
)‖
2
, 
𝑅
0
 
donde 
‖𝐽0 (
𝑧𝑛𝑟
𝑅
)‖
2
= ∫ 𝐽0 (
𝑧𝑚𝑟
𝑅
)
2
𝑟ⅆ𝑟.
𝑅
0
 
Por lo tanto, los coeficientes están dados por 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
222 
 
𝒄𝒏 =
∫ 𝒇(𝒓)𝑱𝟎 (
𝒛𝒏𝒓
𝑹 )
𝒓ⅆ𝒓
𝑹
𝟎
‖𝑱𝟎 (
𝒛𝒏𝒓
𝑹 )‖
𝟐
. (𝟒. 𝟓𝟓) 
En conclusión, la solución formal al problema de valor en la frontera y valor 
inicial (4.45) - (4.47) viene dada por (4.53) con coeficientes dados por (4.55). 
En los ejercicios se pide al lector calcular esta solución numéricamente en 
casos especiales. 
Concluimos haciendo algunas observaciones breves sobre funciones 
especiales. 
Las funciones de Bessel 𝐽0 e 𝑌0 encontradas anteriormente como soluciones 
de la ecuación de Bessel son sólo dos ejemplos de grandes clases de 
funciones de Bessel en la literatura. Los problemas en la geometría 
cilíndrica a menudo conducen a tales funciones. Por otra parte, otras 
funciones especiales (polinomios de Legendre, polinomios de Laguerre, y 
otros) ocurren de una manera similar para otros problemas en otros 
sistemas de coordenadas y dominios; Es decir, se presentan como 
soluciones a problemas de valores propios para ecuaciones diferenciales 
ordinarias que surgen del procedimiento de separación de variables. 
Generalmente, las funciones especiales que surgen de esta manera poseen 
propiedades de ortogonalidad que permiten la expansión de la solución en 
términos de dichas funciones. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
223 
 
Ejercicios 
1. Demuestre que elproblema del valor propio (4.49) - (4.51) no tiene 
valores propios negativos. Sugerencia: Utilice un argumento de 
energía: multiplique la EDO por 𝑦 e integre de 𝑟 = 0 a 𝑟 = 𝑅; Utilice 
la integración por partes y utilice la cota en 𝑟 = 0 para obtener el 
término límite a desaparecer. 
2. Deducir la relación de ortogonalidad ponderada (4.54). Sugerencia: 
Proceda como en la Sección 3.4 para problemas regulares de Sturm-
Liouville. 
3. Para el problema de valor en la frontera y de valor inicial (4.45) - (4.47) 
tomar 𝑅 = 1, 𝑘 = 0.25 y 𝑓(𝑟) = 5𝑟3(1 − 𝑟). Utilice un programa de 
álgebra computacional para determinar una aproximación de tres 
términos a la solución usando (4.53). Dibuje algunos perfiles de 
temperatura radiales 𝑢(𝑟, 𝑡) para varios valores fijos de 𝑡. 
4. Cuando 𝑅 = 1 bosqueja las primeras cuatro funciones propias 
𝐽0 (
𝑧𝑛𝑟
𝑅
) , 𝑛 = 1,2,3,4. 
5. (Proyecto de álgebra computacional) Considere el problema de valor 
en la frontera 
𝑦′′ + 𝑎𝑥𝑦 = 0, 0 < 𝑥 < 𝐿, 
𝑦′(0) = 0, 𝑦(𝐿) = 0, 
Donde 𝑎 es una constante positiva. Encuentre el valor positivo más 
pequeño de 𝐿 para el cual el problema de valor en la frontera tiene 
una solución no trivial. La respuesta es que 𝐿 puede calcularse a partir 
de la ecuación 
2
3
√𝑎𝐿
2
3⁄ = 1.86635. 
Sugerencia: en Maple use dsolve para encontrar la solución general 
como una combinación lineal de las dos funciones de Bessel 𝐽1∕3 e 𝑌1∕3; 
Use la condición de límite izquierdo en forma de limitación para 
determinar una constante en términos de la otra y luego use la 
condición de límite derecho y fsolve para determinar el valor 
apropiado de 𝐿. 
 
 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
224 
 
4.6 Fuentes en Dominios Acotados. 
Ahora mostramos cómo resolver problemas en dominios limitados cuando 
las fuentes están presentes. Un término fuente representa una influencia 
externa en el sistema y conduce a la no homogeneidad en la EDP. Vamos a 
demostrar dos métodos para resolver EDPs con fuentes, el principio de 
Duhamel y expansiones de funciones propias. Para ilustración se considera 
un modelo de difusión simple dado por 
𝒖𝒕 − 𝒌𝒖𝒙𝒙 = 𝒇(𝒙, 𝒕), 𝟎 < 𝒙 < 𝝅, 𝒕 > 𝟎, (𝟒. 𝟓𝟔) 
𝒖(𝟎, 𝒕) = 𝒖(𝝅, 𝒕) = 𝟎, 𝒕 > 𝟎, (𝟒. 𝟓𝟕) 
𝒖(𝒙, 𝟎) = 𝟎, 𝟎 < 𝒙 < 𝝅. (𝟒. 𝟓𝟖) 
Interpretada en el contexto del flujo de calor, 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑡) es la temperatura 
de una barra cuya temperatura inicial es cero y cuyos extremos se 
mantienen a cero grados. Es la fuente de calor 𝑓(𝑥, 𝑡) que está impulsando 
el sistema y causando temperaturas distintas de cero. 
La forma más simple de resolver (4.56) - (4.58) es usar el principio de 
Duhamel como se formula en la Sección 2.5 para los problemas de valores 
iniciales en dominios infinitos. En los dominios acotados el principio es el 
mismo. Indica que la solución de (4.56) - (4.58) está dada por 
𝑢(𝑥, 𝑡) = ∫𝑤(𝑥, 𝑡 − 𝜏, 𝜏)ⅆ𝜏,
𝑡
0
 
Donde 𝑤 = 𝑤(𝑥, 𝑡, 𝜏) es la solución al problema homogéneo 
𝒘𝒕 − 𝒌𝒘𝒙𝒙 = 𝟎, 𝟎 < 𝒙 < 𝝅, 𝒕 > 𝟎, (𝟒. 𝟓𝟗) 
𝒘(𝟎, 𝒕, 𝝉) = 𝒘(𝝅, 𝒕, 𝝉) = 𝟎, 𝒕 > 𝟎, (𝟒. 𝟔𝟎) 
𝒖(𝒙, 𝟎, 𝝉) = 𝒇(𝒙, 𝝉), 𝟎 < 𝒙 < 𝝅. (𝟒. 𝟔𝟏) 
Recordemos que 𝜏 es un parámetro. Ya hemos resuelto este problema en la 
Sección 4.1 (véanse las ecuaciones (4.8) y (4.9)); tenemos 
𝑤(𝑥, 𝑡, 𝜏) = ∑𝑐𝑛ⅇ
−𝑛2𝑘𝑡𝑠ⅇ𝑛 𝑛𝑥,
∞
𝑛=1
 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
225 
 
donde 
𝑐𝑛 = 𝑐𝑛(𝜏) =
2
𝜋
∫𝑓(𝑥, 𝜏)𝑠ⅇ𝑛 𝑛𝑥 ⅆ𝑥.
𝜋
0
 
Obsérvese que los coeficientes de Fourier 𝑐𝑛 dependen del parámetro 𝜏 . 
Así, la solución a (4.56) - (4.58) es 
𝒖(𝒙, 𝒕) = ∫ 
𝒕
𝟎
(∑𝒄𝒏
∞
𝒏=𝟏
(𝝉)𝒆−𝒏
𝟐𝒌(𝒕−𝝉)𝒔𝒆𝒏 𝒏𝒙)ⅆ𝝉. (𝟒. 𝟔𝟐) 
Ejemplo 
Resolver (4.56)-(4.58) cuando 𝑓(𝑥, 𝑡) = 𝑠ⅇ𝑛 𝑥. Fácilmente los coeficientes de 
Fourier están dados por 𝑐𝑛 = 0, 𝑛 > 1, 𝑐1 = 1. Entonces la solución es 
𝑢(𝑥, 𝑡) = ∫𝑐1ⅇ
−𝑘(𝑡−𝜏)𝑠ⅇ𝑛 𝑥 ⅆ𝜏 =
1
𝑘
𝑡
0
(1 − ⅇ−𝑘𝑡)𝑠ⅇ𝑛 𝑥. 
En el límite cuando 𝑡 → ∞, tenemos que 𝑙𝑖𝑚
𝑡→∞
 𝑢(𝑥, 𝑡) =
1
𝑘
𝑠ⅇ𝑛 𝑥. Observe que 
esto es lo mismo que la solución en estado estacionario, es decir, la solución 
independiente del tiempo del sistema. Esto es cierto en general: Si el 
término fuente en (4.56) - (4.58) depende sólo de 𝑥, o 𝑓(𝑥, 𝑡) = 𝐹(𝑥), 
entonces cuando 𝑡 → ∞ la solución a (4.56) - (4.58) se aproxima a la solución 
en estado estacionario, es decir, la solución 𝑣 = 𝑣(𝑥) a 
−𝑘𝑣′′ = 𝐹(𝑥), 𝑣(0) = 𝑣(𝜋) = 0. 
Las ecuaciones con fuentes también pueden resolverse mediante un método 
de función propia. El primer paso es encontrar las funciones propias del 
problema de Sturm-Liouville asociadas con el problema homogéneo, sin 
fuentes. En el caso de (4.56) - (4.58) los valores propios y funciones propias 
son (véase la Sección 4.1) 
𝜆𝑛 = 𝑛
2, 𝑦𝑛(𝑥) = 𝑠ⅇ𝑛 𝑛𝑥, 𝑛 = 1,2,…. 
Entonces asumimos una solución del problema no homogéneo (4.56) - (4.58) 
de la forma 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
226 
 
𝒖(𝒙, 𝒕) = ∑𝒈𝒏(𝒕)𝒔𝒆𝒏 𝒏𝒙, (𝟒. 𝟔𝟑)
∞
𝒏=𝟏
 
donde las 𝑔𝑛(𝑡) deben ser determinadas. Podemos determinar las 𝑔𝑛(𝑡) 
sustituyendo esta expresión por 𝑢 en la EDP (4.56), junto con la expresión 
para la expansión de función propia para 𝑓, a saber, 
𝑓(𝑥, 𝑡) = ∑𝑓𝑛(𝑡)
∞
𝑛=1
𝑠ⅇ𝑛 𝑛𝑥. 
En esta última expansión, las 𝑓𝑛(𝑡) son conocidas porque 𝑓 es conocida; Las 
𝑓𝑛(𝑡) son los coeficientes de Fourier 
𝒇𝒏(𝒕) =
𝟐
𝝅
∫ 𝒇(𝒙, 𝒕) 𝒔𝒆𝒏 𝒏𝒙ⅆ𝒙. (𝟒. 𝟔𝟒)
𝝅
𝟎
 
Realizando esta sustitución, obtenemos 
𝜕
𝜕𝑡
∑𝑔𝑛(𝑡)𝑠ⅇ𝑛 𝑛𝑥
∞
𝑛=1
− 𝑘
𝜕2
𝜕𝑥2
∑𝑔𝑛(𝑡)𝑠ⅇ𝑛 𝑛𝑥
∞
𝑛=1
= ∑𝑓𝑛(𝑡)𝑠ⅇ𝑛 𝑛𝑥,
∞
𝑛=1
 
o 
∑𝑔𝑛
′ (𝑡)𝑠ⅇ𝑛 𝑛𝑥
∞
𝑛=1
+ 𝑘∑𝑛2𝑔𝑛(𝑡)𝑠ⅇ𝑛 𝑛𝑥
∞
𝑛=1
= ∑𝑓𝑛(𝑡)𝑠ⅇ𝑛 𝑛𝑥.
∞
𝑛=1
 
Recogiendo los coeficientes de las funciones propias independientes 𝑠ⅇ𝑛 𝑛𝑥, 
obtenemos 
𝑔𝑛
′ (𝑡) + 𝑛2𝑘𝑔𝑛(𝑡) = 𝑓𝑛(𝑡), 
Que es una ecuación diferencial ordinaria lineal para las desconocidas 
𝑔𝑛(𝑡). Se puede resolver de forma estándar multiplicando por el factor de 
integración ⅇ𝑛
2𝑘𝑡 integrando ambos lados (véase el Apéndice en EDO). 
Después de alguna manipulación directa obtenemos 
𝑔𝑛(𝑡) = 𝑔𝑛(0)ⅇ
−𝑛2𝑘𝑡 +∫𝑓𝑛(𝜏)ⅇ
−𝑛2𝑘(𝑡−𝜏)ⅆ𝜏.
𝑡
0
 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
227 
 
Para obtener los valores de las 𝑔𝑛(0) sustituimos (4.63) en la condición 
inicial para obtener 
∑𝑔𝑛(0)
∞
𝑛=1
𝑠ⅇ𝑛 𝑛𝑥 = 0, 
Que implica 𝑔𝑛(0) = 0 para todo 𝑛. Por lo tanto, hemos determinado las 
𝑔𝑛(𝑡), y la solución al problema (4.56) - (4.58) es 
𝒖(𝒙, 𝒕) =∑(∫𝒇𝒏(𝝉)𝒆
−𝒏𝟐𝒌(𝒕−𝝉) ⅆ𝝉
𝒕
𝟎
)𝒔𝒆𝒏 𝒏𝒙, (𝟒. 𝟔𝟓)
∞
𝒏=𝟏
 
Donde las 𝑓𝑛(𝑡) son dadas por (4.64). Esta fórmula de solución (4.65) es la 
misma que la fórmula de solución (4.62) obtenida por el principio de 
Duhamel. 
En resumen, en el método de funciones propias para resolver problemas 
con fuentes ampliamos tanto la fuente 𝑓 como la solución asumida 𝑢 en 
función de las funciones propias del problema homogéneo. La sustitución 
de estas expansiones en la EDP conduce a EDO para los coeficientes en la 
expansión de la función propia para 𝑢. Resolviendo estas EDO para los 
coeficientes entonces da la solución 𝑢 como una expansión de función 
propia. Mientras que el principio de Duhamel se aplica a problemas de 
valores iniciales (problemas de evolución), el método de expansión de la 
función propia puede aplicarse a todos los problemas, incluidos los 
problemas de equilibrio asociados con la ecuación de Laplace. □ 
 
 
 
 
 
 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
228 
 
Ejercicios 
1. Utilice el principio de Duhamel como el formuladopara la ecuación 
de onda en la Sección 2.5 para encontrar la solución a 
𝑢𝑡𝑡 − 𝑐
2𝑢𝑥𝑥 = 𝑓(𝑥, 𝑡), 0 < 𝑥 < 𝜋, 𝑡 > 0, 
𝑢(0, 𝑡) = 𝑢(𝜋, 𝑡) = 0, 𝑡 > 0, 
𝑢(𝑥, 0) = 𝑢𝑡(𝑥, 0) = 0, 0 < 𝑥 < 𝜋. 
A continuación, utilice el método de la función propia para resolver 
el problema. Sugerencia: En el método de la función propia tendrá 
que resolver una EDO heterogénea de segundo orden; Recordar de 
las ecuaciones diferenciales elementales que una solución particular 
𝑦𝑝(𝑡) a la EDO 
𝑦′′ + 𝑝(𝑡)𝑦′ + 𝑞(𝑡)𝑦 = 𝑓(𝑡) 
está dada por la fórmula de variación de parámetros (véase el 
Apéndice). 
2. En el problema (4.56) - (4.58) supongamos que la fuente de calor no 
depende del tiempo, es decir, 𝑓(𝑥, 𝑡) ≡ 𝐹(𝑥). Mediante el cálculo de la 
𝜏 −integral, se muestra cómo la solución (4.62) se simplifica en este 
caso. Encontrar una fórmula para la solución cuando la fuente de 
calor es 𝐹(𝑥) = 𝑥(𝜋 − 𝑥) y luego encontrar el perfil de temperatura 
límite cuando 𝑡 → ∞. Demuestre que este perfil de temperatura límite 
es el mismo que la solución en estado estacionario, es decir, la 
solución 𝑣 = 𝑣(𝑥) para 
−𝑘𝑣′′(𝑥) = 𝑥(𝜋 − 𝑥), 0 < 𝑥 < 𝜋; 𝑣(0) = 𝑣(𝜋) = 0. 
3. Utilice el método de la función propia para resolver el problema de 
Dirichlet para la ecuación de Poisson: 
𝑢𝑥𝑥 + 𝑢𝑦𝑦 = 𝑓(𝑥, 𝑡), 0 < 𝑥 < 𝜋, 0 < 𝑦 < 1, 
𝑢(0, 𝑦) = 𝑢(𝜋, 𝑦) = 0, 0 < 𝑦 < 1, 
𝑢(𝑥, 0) = 𝑢(𝑥, 1) = 0, 0 < 𝑥 < 𝜋. 
Sugerencia: Supongamos que 𝑢(𝑥, 𝑡) = ∑ 𝑔𝑛(𝑦)𝑠ⅇ𝑛 𝑛𝑥
∞
𝑛=1 . Sustituya 
en la EDP y condiciones de frontera en 𝑦 = 0 e 𝑦 = 1 para obtener 
𝑔𝑛
′′(𝑦) − 𝑛2𝑔𝑛(𝑦) = 𝑓𝑛(𝑦), 𝑔𝑛(0) = 𝑔𝑛(1) = 0, 
donde 𝑓𝑛(𝑦) = (
2
𝜋
) ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑠ⅇ𝑛 𝑛𝑥ⅆ𝑥
𝜋
0
. Escribe la solución general en 
la forma 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
229 
 
𝑔𝑛(𝑦) = 𝑐1ⅇ
𝑛𝑦 + 𝑐2ⅇ
−𝑛𝑦 +
2
𝑛
∫ 𝑓𝑛(𝜉) 𝑠ⅇ𝑛ℎ 𝑛(𝑦 − 𝜉)ⅆ𝜉
𝑦
0
 
y determinar las constantes 𝑐1 y 𝑐2. 
4. Use el principio de Duhamel para encontrar la solución para 
𝑢𝑡 = 𝛥𝑢 + 𝑓(𝑟, 𝑡), 0 ≤ 𝑟 < 𝑅, 𝑡 > 0, 
𝑢(𝑅, 𝑡) = 0, 𝑡 > 0, 
𝑢(𝑟, 0) = 0, 0 ≤ 𝑟 < 𝑅. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
230 
 
4.7 Problemas de identificación de parámetros 
En algunos problemas físicos todos los parámetros de entrada pueden no 
ser conocidos a priori. En un problema de identificación de parámetros 
preguntamos si es posible tomar ciertas mediciones y así determinar un 
parámetro desconocido (una constante) o un parámetro distribuido (una 
función). Por ejemplo, supongamos que la difusividad de una varilla de 
metal es desconocida; ¿mantendrá constante la temperatura en un extremo 
y la medición del flujo de calor por el otro extremo determinará la 
difusividad? Los problemas de identificación de parámetros son una 
subclase de problemas inversos; Estos pueden describirse cualitativamente 
como problemas en los que la entrada debe recuperarse de la salida, y no a 
la inversa, lo que es el caso de los llamados problemas directos. Todos los 
problemas que hemos encontrado hasta ahora son problemas directos 
(dado todos los datos, encontrar la solución), pero uno podría argumentar 
que los problemas inversos desempeñan un papel igualmente importante 
en la ciencia aplicada. En muchos problemas empíricos queremos medir la 
salida y usar esa información para determinar las propiedades del sistema. 
En esta sección no seremos demasiado ambiciosos, sino que sólo 
introduciremos algunas de las cuestiones. Para una introducción detallada, 
remitimos al lector a la excelente monografía de Groetsch (1993). 
Antes de estudiar un modelo de Ecuación Diferencial Parcial, examinamos 
primero un modelo de Ecuación Diferencial Ordinaria simple. Considere la 
población total 𝑝 = 𝑝(𝑡) de los animales en una región geográfica fija y 
cerrada. Supongamos que la población inicial 𝑝0 es conocida, pero no se 
conoce la tasa de crecimiento 𝑟. ¿Podemos determinar la tasa de crecimiento 
midiendo la población 𝑝∗ = 𝑝(𝑡∗) en un instante posterior, único, 𝑡∗? Por 
supuesto, necesitamos un modelo. Asumimos que el modelo Malthus de 
crecimiento de la población 
ⅆ𝒑
ⅆ𝒕
= 𝒓𝒑, 𝒕 > 𝟎. (𝟒. 𝟔𝟔) 
La condición inicial es 
𝒑(𝟎) = 𝒑𝟎, (𝟒. 𝟔𝟕) 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
231 
 
y la pregunta es, ¿Podemos recuperarnos de la medida adicional 
𝒑(𝒕∗) = 𝒑∗, (𝟒. 𝟔𝟖) 
donde se conocen 𝑡∗ y 𝑝∗? Antes de resolver este problema, hagamos 
algunas observaciones. Si se conoce 𝑟 , entonces el problema (4.66) - (4.67) 
es un problema de valor inicial simple y directo bien planteado: Si 𝑝0 y 𝑟 
son conocidos, entonces la solución única a este problema directo puede ser 
determinada exactamente. Fácilmente, 𝑝(𝑡) = 𝑝0ⅇ
𝑟𝑡, lo que da un 
crecimiento exponencial. Pero para el problema de identificación de 
parámetros, es 𝑟 la que se encuentra. Intuitivamente, parece que una 
condición extra, como (4.68), es suficiente para determinar 𝑟 . De hecho, 
desde la solución hasta el problema directo, 
𝑝∗ = 𝑝(𝑡∗) = 𝑝0ⅇ
𝑟𝑡∗ . 
Por lo tanto, 
𝑟 =
1
𝑡∗
ln (
𝑝∗
𝑝0
). 
En todos los problemas de identificación de parámetros nos interesa la 
sensibilidad o estabilidad de nuestra estrategia de recuperación. Es decir, 
¿son los resultados relativamente no afectados por pequeños errores en 
nuestras mediciones? El ejercicio 1 explora la pregunta de sensibilidad en 
este modelo de población. 
El problema de identificación de parámetros anterior es simple y tiene una 
respuesta simple. No es demasiado difícil inventar un problema que no sea 
tan sencillo de resolver, especialmente para los modelos de EDP. 
Consideremos una losa de metal largo (𝑥 ≥ 0) de conductividad térmica 
desconocida 𝐾 pero densidad conocida 𝜌 y calor específico 𝑐. Para 
simplificar, tomar 𝜌 = 𝑐 = 1. Supongamos, además, que las mediciones sólo 
pueden hacerse en la superficie 𝑥 = 0. Si se aplica una temperatura 𝑓(𝑡) 
conocida en 𝑥 = 0, ¿podemos medir el flujo de calor en 𝑥 = 0 en un solo 
instante de tiempo 𝑡0 y por lo tanto determinar 𝐾? Suponemos que 𝑓(0) =
0. El modelo de EDP es 
𝒖𝒕 = 𝑲𝒖𝒙𝒙, 𝒙, 𝒕 > 𝟎, (𝟒. 𝟔𝟗) 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
232 
 
𝒖(𝟎, 𝒕) = 𝒇(𝒕), 𝒕 > 𝟎, (𝟒. 𝟕𝟎) 
𝒖(𝒙, 𝟎) = 𝟎, 𝒙 > 𝟎, (𝟒. 𝟕𝟏) 
Que es un problema bien planteado. Estamos preguntando si podemos 
determinar 𝐾 a partir de una sola medición de flujo 
−𝑲𝒖𝒙(𝟎, 𝒕𝟎) = 𝒂, (𝟒. 𝟕𝟐) 
donde 𝑎 es conocida. Usando transformadas de Laplace resolvimos el 
problema directo (4.69)-(4.71) en la Sección 2.6. La solución es 
𝒖(𝒙, 𝒕) = ∫
𝒙
√𝟒𝑲𝝅(𝒕 − 𝝉)𝟑
𝒆
−
𝒙𝟐
𝟒𝑲(𝒕−𝝉)𝒇(𝝉)ⅆ𝝉. (𝟒. 𝟕𝟑)
𝒕
𝟎
 
Parece que la estrategia debe ser calcular el flujo en (0, 𝑡0) de la fórmula de 
la solución (4.73). De hecho este es el caso, pero calcular la derivada respecto 
a 𝑥 de 𝑢 no es una cuestión simple. La aproximación directa de meter una 
derivada parcial 
𝜕
𝜕𝑥
 bajo el signo integral falla porque una de las integrales 
impropias resultantes no puede ser evaluada en 𝑥 = 0; No existe. El lector 
debe verificar esta afirmación. Por lo tanto, debemos ser más inteligentes en 
el cálculo de 𝑢𝑥. Con este fin observamos que (4.73) puede escribirse como 
𝑢(𝑥, 𝑡) = −2𝐾∫
𝜕
𝜕𝑥
𝐺(𝑥, 𝑡 − 𝜏)𝑓(𝜏)ⅆ𝜏,
𝑡
0
 
donde 𝐺(𝑥, 𝑡) es el núcleo del calor 
𝐺(𝑥, 𝑡) =
1
√4𝜋𝐾𝑡
ⅇ−
𝑥2
4𝐾𝑡 . 
Por lo tanto, 
𝑢𝑥(𝑥, 𝑡) = −2𝐾∫
𝜕2
𝜕𝑥2
𝐺(𝑥, 𝑡 − 𝜏)𝑓(𝜏)ⅆ𝜏
𝑡
0
 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
233 
 
= 2∫
𝜕
𝜕𝜏
𝑡
0𝐺(𝑥, 𝑡 − 𝜏)𝑓(𝜏)ⅆ𝜏, 
Ya que −𝐺𝜏 = 𝐺𝑡 = 𝐾𝐺𝑥𝑥 (el núcleo de calor satisface la ecuación de calor). 
Ahora integramos por partes para obtener 
𝑢𝑥(𝑥, 𝑡) = −2∫𝐺(𝑥, 𝑡 − 𝜏)𝑓
′(𝜏)ⅆ𝜏.
𝑡
0
 
Los términos límite generados por la integración por partes son cero. En 
consecuencia, tenemos 
−𝐾𝑢𝑥(0, 𝑡0) = √𝐾∫
𝑓′(𝜏)
√𝜋(𝑡0 − 𝜏)
ⅆ𝜏 = 𝑎.
𝑡0
0
 
Esta ecuación determina exclusivamente 𝐾y resuelve el problema de 
identificación de parámetros. 
Por ejemplo, si 𝑓(𝑡) = 𝛽𝑡, es decir, la temperatura se incrementa 
linealmente, entonces la integral puede calcularse exactamente (Ejercicio 6), 
y se obtiene 
𝑲 =
𝝅𝒂𝟐
𝟒𝜷𝟐𝒕𝟎
. (𝟒. 𝟕𝟒) 
Los ejercicios contienen ejemplos adicionales. A menudo, los problemas 
inversos, y en particular los problemas de identificación de parámetros 
distribuidos, conducen a una ecuación integral para la función desconocida. 
Estas ecuaciones son difíciles de resolver, y la estabilidad a menudo es un 
problema. 
 
 
 
 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
234 
 
Ejercicios 
1. En este ejercicio se examina la sensibilidad de determinar la constante 
de crecimiento 𝑟 a partir de una medida de la población en el ejemplo 
al inicio de esta sección. Supongamos que se hacen dos medidas 
diferentes 𝑝1 y 𝑝2 de la población al mismo tiempo 𝑡
∗. Cada uno 
conduce a las constantes de crecimiento 𝑟1 y 𝑟2. Demuestre que si 𝑝1 y 
𝑝2 están cerca, entonces r y t están cerca. En particular, demostrar que 
|𝑟1 − 𝑟2| ≤ 𝐶|𝑝1 − 𝑝2|, 
Donde 𝐶 es una constante. Por lo tanto, esta estrategia de 
recuperación es estable en el sentido de que un pequeño error en la 
medición de la población no cambiará drásticamente la constante de 
crecimiento. 
2. Este problema trata de determinar la densidad desconocida de una 
cuerda vibrante no homogénea observando una frecuencia 
fundamental y el modo correspondiente de vibración. Considere una 
cuerda estirada de longitud unitaria y tensión unitaria que se fija en 
ambos extremos. El desplazamiento se rige por (véase la Sección 1.5) 
𝜌(𝑥)𝑢𝑡𝑡 = 𝑢𝑥𝑥 , 0 < 𝑥 < 1, 𝑡 > 0, 
𝑢(0, 𝑡) = 𝑢(1, 𝑡) = 0, 𝑡 > 0, 
donde 𝜌(𝑥) es la densidad desconocida. Si asumimos una solución de 
la forma 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑦(𝑥)𝑔(𝑡), entonces obtenemos un problema de 
Sturm-Liouville 
−𝑦′′ = 𝜆𝜌(𝑥)𝑦, 0 < 𝑥 < 1; 𝑦(0) = 𝑦(1) = 0. 
Supongamos que observamos (digamos, usando una luz 
estroboscópica) una frecuencia fundamental 𝜆 = 𝜆𝑓 y el modo 
asociado (función propia) 𝑦 = 𝑦𝑓(𝑥). Demuestre que la densidad 
desconocida debe satisfacer la ecuación integral 
∫(1 − 𝑥)𝑦𝑓(𝑥)𝜌(𝑥) ⅆ𝑥 =
1
0
𝑦𝑓
′(0)
𝜆𝑓
. 
(Sugerencia: Integre la EDO de 𝑥 = 0 a 𝑥 = 𝑠 y luego de 𝑠 = 0 a 𝑠 =
1). Determine la densidad si es una constante. 
3. Considere el flujo de calor en una barra de longitud 𝜋 y difusividad 
unitaria cuyos extremos se mantienen a temperatura cero constante y 
cuya temperatura inicial es cero grados. Supongamos además que 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
235 
 
existe una fuente de calor externa 𝑓(𝑥) que suministra calor a la barra. 
Abordar la cuestión de recuperar la fuente de calor 𝑓(𝑥) a partir de 
una medición temporal de la temperatura 𝑈(𝑡) hecha en el punto 
medio de la varilla. Proceder formulando las preguntas apropiadas y 
demostrar que 𝑓(𝑥) debe ser la solución a la ecuación integral 
𝑈(𝑡) = ∫∫𝑔(𝜉, 𝑡 − 𝜏)𝑓(𝜉) ⅆ𝜉
𝜋
0
ⅆ𝜏,
𝑡
0
 
dónde 
𝑔(𝜉, 𝑡) =
2
𝜋
∑ⅇ−𝑛
2𝑡𝑠ⅇ𝑛
𝑛𝜋
2
𝑠ⅇ𝑛 𝑛𝜉.
∞
𝑛=1
 
Demuestre que para cualquier entero positivo 𝑚, el par 
𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑚−3∕2(1 − ⅇ−𝑚
2𝑡)𝑠ⅇ𝑛 𝑚𝑥, 𝑓(𝑥) = √𝑚𝑠ⅇ𝑛 𝑚𝑥 
Satisface las ecuaciones modelo que propuso. Demuestre que para 𝑚 
grande, 𝑢(𝑥, 𝑡) es (uniformemente) pequeña, además max |𝑓(𝑥)| es 
grande, y por lo tanto explique por qué pequeños errores en la medida 
𝑈(𝑡) pueden dar lugar a grandes diferencias en 𝑓(𝑥). (Esto significa 
que la recuperación de 𝑓 por la solución de la ecuación integral 
anterior puede ser inestable y por lo tanto difícil). 
4. Supongamos que un reactor químico que ocupa el espacio 𝑥 < 0 
opera a una temperatura desconocida 𝐹(𝑡). Para determinar 𝐹(𝑡) se 
inserta una sonda metálica larga y aislada lateralmente de difusividad 
unitaria, y se mide la temperatura 𝑈(𝑡) de la sonda en 𝑥 = 1. Suponga 
que la sonda ocupa 0 ≤ 𝑥 < ∞. Formule las ecuaciones del modelo y 
muestre que 𝐹(𝑡) satisface la ecuación integral 
𝑈(𝑡) =
1
2√𝜋
∫
𝐹(𝜏)
(𝑡 − 𝜏)3∕2
ⅇ−1∕4(𝑡−𝜏)ⅆ𝜏.
𝑡
0
 
Sugerencia: Solucione el problema directo por las transformaciones 
de Laplace y utilice la entrada de la tabla 
ℒ−1(ⅇ−√𝑠𝑥) =
𝑥
2√𝜋𝑡3∕2
ⅇ−𝑥
2∕(4𝑡). 
Supongamos que la temperatura del reactor 𝐹(𝑡) es una constante 𝐹0; 
hallar 𝐹0 si la temperatura en 𝑥 = 1 es de 10 grados en 𝑡 = 5. 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
236 
 
5. Se cree que los impulsos nerviosos se transmiten a lo largo de los 
axones tanto por difusión como por convección. En experimentos 
fundamentales, los biólogos Hodgkin y Keyes usaron el potasio 
radioactivo 42𝐾 para medir cómo los iones se convectan y difunden 
en los axones del calamar. Si 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑡) es la concentración de potasio 
en un axón largo, entonces el modelo de convección-difusión es 
𝑢𝑡 = 𝐷𝑢𝑥𝑥 − 𝑣𝑢𝑥 , 𝑥 ∈ ℝ, 𝑡 > 0. 
La velocidad 𝑣 se puede medir directamente, pero la difusión 
constante 𝐷 es difícil de medir. Para determinar 𝐷 tomar una conocida 
concentración inicial 𝑢(𝑥, 0) = ⅇ−𝑥
2∕𝑎 y resolver para la concentración 
𝑢(𝑥, 𝑡). Obtener 
𝑢(𝑥, 𝑡) =
√𝑎
√𝑎 + 4𝐷𝑡
ⅇ−(𝑥−𝑣𝑡)
2∕(𝑎+4𝐷𝑡). 
Demuestre cómo 𝐷 puede ser recuperado de una medida continua 
𝑈(𝑡) = 𝑢(𝑥0, 𝑡) de la concentración de potasio en un lugar fijo 𝑥 = 𝑥0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
237 
 
4.8 Métodos de diferencias finitas 
Hasta ahora hemos estudiado EDPs desde un punto de vista analítico, y 
hemos observado cómo un paquete de álgebra computacional como Maple 
o Mathematica puede ayudar en estos estudios. Ahora dedicamos una 
breve sección a resolver EDP numéricamente. En la mayoría de los casos 
(por ejemplo, en la industria y la ciencia práctica), los EDPs se resuelven 
casi numéricamente en una computadora. Esto se debe a que la mayoría de 
los problemas del mundo real son demasiado complicados para 
solucionarlos de manera crítica. E incluso si un problema se puede resolver 
analíticamente, generalmente la solución está en la forma de una integral 
difícil o de una serie infinita, forzando así un cálculo de la computadora de 
todos modos. ¿Por qué no sólo empezar con un enfoque computacional en 
primer lugar? El lector puede preguntarse por qué hemos dedicado tanto 
espacio a los cálculos analíticos y tan poco a los problemas 
computacionales. La razón de nuestro enfoque es que se trata de un texto 
sobre la comprensión de los conceptos que sustentan el tema; Es tan 
importante desarrollar la comprensión y entendimiento de uno como es 
para calcular una solución. Un analista numérico no intentaría resolver las 
Ecuaciones Diferenciales Parciales en una computadora sin un 
entendimiento básico sobre su naturaleza y sobre qué esperar de las 
soluciones. Con las herramientas analíticas que hemos desarrollado, el 
lector tendrá los fundamentos para estudiar algoritmos numéricos. Una 
buena y breve introducción a los métodos de diferencias finitas se puede 
encontrar en Morton y Mayers (1994). 
En esta sección se introduce un procedimiento numérico básico para 
resolver Ecuaciones Diferenciales Parciales. Por un método numérico o 
computacional queremos decir algo diferente de pedirle a un programa de 
álgebra computacional que devuelva una fórmula. Por un método 
numérico generalmente significa que el problema continuo de Ecuación 
Diferencial Parcial es reemplazadopor un problema discreto que puede ser 
resuelto en un ordenador en pasos finitos. El resultado es una solución 
discreta, en la que la superficie de la solución se conoce aproximadamente 
con sólo un número finito de puntos. En esta sección enfocamos la atención 
en el método de diferencias finitas para la ecuación de difusión y para la 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
238 
 
ecuación de Laplace. La idea es reemplazar las derivadas parciales en la 
ecuación por sus aproximaciones de cociente de diferencia y luego dejar que 
la computadora resuelva la ecuación de diferencia resultante. El lector debe 
estar familiarizado con esta estrategia para las ecuaciones diferenciales 
ordinarias. Por ejemplo, para resolver numéricamente el problema del valor 
inicial 
𝑦′ = 𝑓(𝑡, 𝑦), 0 < 𝑡 < 1; 𝑦(0) = 𝑦0, 
Podemos discretizar el intervalo 0 ≤ 𝑡 ≤ 1 definiendo un número finito de 
puntos discretos 𝑡𝑛 = 𝑛ℎ, 𝑛 = 0,1,… ,𝑁, donde ℎ es el tamaño del paso. 
Aquí ℎ =
1
𝑁
. En cada punto 𝑡𝑛 buscamos determinar un valor 𝑌𝑛 que sea una 
buena aproximación al valor exacto 𝑦(𝑡𝑛) de la solución. A partir del cálculo 
diferencial sabemos que 𝑦′(𝑡𝑛) puede ser aproximada por un cociente de 
diferencias 
𝑦′(𝑡𝑛) ≈
𝑦(𝑡𝑛+1) − 𝑦(𝑡𝑛)
𝑛
, 
Siempre que ℎ sea pequeño. Por consiguiente, aproximamos la ecuación 
diferencial por 
𝑌𝑛+1 − 𝑌𝑛
ℎ
= 𝑓(𝑡𝑛, 𝑌𝑛), 𝑛 = 0,1,… ,𝑁, 
o 
𝑌𝑛+1 = 𝑌𝑛 + ℎ𝑓(𝑡𝑛, 𝑌𝑛), 𝑛 = 0,1,… , 𝑁. 
El lector puede reconocer esta ecuación de diferencia como la definición del 
método de Euler; Dado 𝑌0 = 𝑦0, proporciona un algoritmo numérico para 
calcular las aproximaciones 𝑌1, 𝑌2,... recursivamente. Esta misma estrategia, 
la idea de marchar adelante en el tiempo, aplica a los problemas de 
evolución en las EDP. 
𝒖𝒕 = 𝑫𝒖𝒙𝒙, 𝟎 < 𝒙 < 𝟏, 𝒕 > 𝟎, (𝟒. 𝟕𝟓) 
𝒖(𝟎, 𝒕) = 𝒖(𝟏, 𝒕) = 𝟎, 𝒕 > 𝟎, (𝟒. 𝟕𝟔) 
𝒖(𝒙, 𝟎) = 𝒇(𝒙), 𝟎 < 𝒙 < 𝟏. (𝟒. 𝟕𝟕) 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
239 
 
El primer paso es discretizar la región del espacio-tiempo donde queremos 
obtener una solución. En este caso la región es 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇. Hemos 
puesto un límite en el tiempo porque en la práctica sólo resolvemos un 
problema hasta un tiempo finito. Discretizar significa definir un enrejado 
de puntos en esta región espacio-tiempo por 
𝑥𝑗 = 𝑗ℎ, 𝑡𝑛 = 𝑛𝑘, 𝑗 = 0,1,… , 𝐽; 𝑛 = 0,1,… ,𝑁, 
Donde los números fijos ℎ y 𝑘 son las medidas de los pasos espaciales y 
temporales, respectivamente. Aquí, ℎ =
1
𝐽
 y 𝑘 =
1
𝑁
. El entero 𝐽 es el número 
de subintervalos en 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, y 𝑁 es el número de pasos de tiempo que se 
van a tomar. La figura 4.7 muestra el enrejado de puntos (los puntos de 
rejilla también se llaman puntos de rejilla o nodos). En cada nodo (𝑥𝑗 , 𝑡𝑛) de 
la red buscamos una aproximación, que llamamos 𝑈𝑗
𝑛, al valor exacto 
𝑢(𝑥𝑗 , 𝑡𝑛) de la solución. Tenga en cuenta que el superíndice 𝑛 se refiere al 
tiempo, y el subíndice 𝑗 se refiere al espacio. Consideramos 𝑈𝑗
𝑛 como una 
matriz bidimensional, o matriz, donde 𝑛 es un índice de fila y j es un índice 
de columna. Para obtener ecuaciones para el 𝑈𝑗
𝑛, sustituimos las derivadas 
parciales en la EDP por sus aproximaciones de diferencia. Del cálculo 
sabemos 
𝑢𝑡(𝑥𝑗 , 𝑡𝑛) ≈
𝑢(𝑥𝑗 , 𝑡𝑛+1) − 𝑢(𝑥𝑗 , 𝑡𝑛)
𝑘
 
y 
𝑢𝑥𝑥(𝑥𝑗 , 𝑡𝑛) ≈
𝑢(𝑥𝑗−1, 𝑡𝑛) − 2𝑢(𝑥𝑗 , 𝑡𝑛) + 𝑢(𝑥𝑗+1, 𝑡𝑛)
ℎ2
. 
La primera de estas fórmulas es la aproximación usual de la diferencia hacia 
adelante para una primera derivada, y la segunda es una aproximación de 
la diferencia para una segunda derivada; La última se deriva de una 
aproximación de Taylor exactamente como se deriva en la Sección 1.8. Así, 
la EDP (4.75) en el punto (𝑥𝑗 , 𝑡𝑛) se sustituye por la ecuación de diferencias 
𝑈𝑗
𝑛+1 − 𝑈𝑗
𝑛
𝑘
= 𝐷
𝑈𝑗−1
𝑛 − 2𝑈𝑗
𝑛 + 𝑈𝑗+1
𝑛
ℎ2
, 
o, al resolver para 𝑈𝑗
𝑛+1, 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
240 
 
𝑼𝒋
𝒏+𝟏 = 𝑼𝒋
𝒏 +
𝒌𝑫
𝒉𝟐
(𝑼𝒋−𝟏
𝒏 − 𝟐𝑼𝒋
𝒏 +𝑼𝒋+𝟏
𝒏 ). (𝟒. 𝟕𝟖) 
Observe que esta ecuación relaciona los valores aproximados de la solución 
en los cuatro puntos (𝑥𝑗−1, 𝑡𝑛), (𝑥𝑗 , 𝑡𝑛), (𝑥𝑗−1, 𝑡𝑛), (𝑥𝑗 , 𝑡𝑛+1). Estos cuatro 
puntos forman el átomo computacional para el esquema de diferencias (ver 
Figura 4.7). 
La ecuación de diferencia (4.78) da la solución aproximada en el nodo 
(𝑥𝑗 , 𝑡𝑛+1) en términos de aproximaciones en tres nodos anteriores. Ahora 
vemos cómo llenar la red con valores aproximados. Sabemos los valores en 
𝑡 = 0 de la condición inicial (4.77). Es decir, sabemos 
𝑈�̇�
0 = 𝑓(𝑥𝑗), 𝑗 = 0,1,… , 𝐽. 
De las condiciones de frontera (4.76) también sabemos 
𝑈0
𝑛 = 0, 𝑈𝑗
𝑛 = 0, 𝑛 = 1,2,… ,𝑁. 
 
 
 
 
Figura 4.7. La red discreta y el átomo computacional 
para la ecuación de difusión. 
 
La fórmula de la diferencia (4.78) se puede aplicar ahora en todos los puntos 
interiores del entramado, comenzando con los valores en el nivel 𝑡 = 0, para 
calcular los valores en el nivel 𝑡 = 𝑡1, y luego usarlos para calcular los 
valores en el nivel 𝑡 = 𝑡2 , y así. Por lo tanto, usando la ecuación de 
diferencia, podemos avanzar en el tiempo, actualizando continuamente el 
perfil de temperatura anterior. Piense en llenar la matriz 𝑈𝑗
𝑛, fila por fila. 
Un esquema de diferencias finitas, o algoritmo, como (4.78) se denomina 
esquema explícito porque permite el cálculo explícito de una aproximación 
en el siguiente paso de tiempo en términos de valores en un paso de tiempo 
anterior. Debido al error (llamado error de truncamiento) que está presente 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
241 
 
en (4.78) debido a la sustitución de derivadas por diferencias, el esquema 
no siempre es exacto. Si el paso de tiempo 𝑘 es demasiado grande, se 
obtendrán resultados muy imprecisos. Se puede demostrar que debemos 
tener la condición de estabilidad 
𝑘𝐷
ℎ2
≤
1
2
 
Para que el plan funcione; esta condición limita el paso del tiempo. Algunos 
experimentos para ilustrar este comportamiento se sugieren en los 
ejercicios. 
Ejemplo 
Es fácil programar el algoritmo explícito (4.78) descrito anteriormente para 
calcular temperaturas aproximadas en una barra. Se invita al estudiante a 
escribir un programa en Matlab, FORTRAN, o C ++ para llevar a cabo este 
cálculo. Vamos a describir un simple programa Maple para hacer lo mismo. 
Dejemos que la temperatura inicial sea dada por 𝑓(𝑥) = 𝑥3(1 − 𝑥). 
Almacenamos los valores de 𝑈𝑗
𝑛 en una matriz bidimensional para que 
podamos usar el gráfico de la matriz para representar gráficamente la 
superficie de la solución. El programa se enumera y la superficie de la 
solución se pliega en la Figura 4.8. □ 
Este mismo tipo de procedimiento de marcha funciona para problemas de 
valor inicial asociados con la ecuación de onda: 
𝒖𝒕𝒕 = 𝒄
𝟐𝒖𝒙𝒙, 𝟎 < 𝒙 < 𝟏, 𝒕 > 𝟎, (𝟒. 𝟕𝟗) 
𝒖(𝟎, 𝒕) = 𝒖(𝟏, 𝒕) = 𝟎, 𝒕 > 𝟎, (𝟒. 𝟖𝟎) 
𝒖(𝒙, 𝟎) = 𝒇(𝒙), 𝒖𝒕(𝒙, 𝟎) = 𝒈(𝒙), 𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝟏. (𝟒. 𝟖𝟏) 
Usando la misma retícula que para el problema de difusión, podemos 
aproximar la EDP por 
𝑈𝑗
𝑛−1 − 2𝑈𝑗
𝑛 + 𝑈𝑗
𝑛+1
𝑘2
= 𝑐2
𝑈𝑗−1
𝑛 − 2𝑈𝑗
𝑛 + 𝑈𝑗+1
𝑛
ℎ2
, 
lo que da 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
242 
 
𝑈𝑗
𝑛+1 = 2𝑈𝑗
𝑛 − 𝑈𝑗
𝑛−1 + (
𝑐𝑘
ℎ
)
2
(𝑈𝑗−1
𝑛 − 2𝑈𝑗
𝑛 + 𝑈𝑗+1
𝑛 ). 
El átomo computacional se muestra en la Figura 4.9. Para calcular el valor 
en el (𝑛 + 1) paso de tiempo ahora necesitamos valores de los dos tiempos 
anteriores 
 
 
 
 
Figura 4.8a. Gráfica de la superficie de temperatura 
cuando 𝑓(𝑥)= 𝑥3(1 − 𝑥). 
 
 
 
 
Figura 4.8b. Lista de programas de Maple para 
resolver (4.75) - (4.77) cuando 𝑓(𝑥) = 𝑥3(1 − 𝑥), 𝐷 =
1. 
 
 
 
 
Por lo tanto, para iniciar el esquema de marcha necesitamos los valores que 
forman las primeras dos filas de tiempo (𝑡0 = 0 y 𝑡1 = 𝑘). La fila 𝑡 = 0 viene 
dada por la condición inicial 𝑢(𝑥, 0) ≡ 𝑓(𝑥); entonces tenemos 
𝑈𝑗
0 = 𝑓(𝑥𝑗), 𝑗 = 0,1,… , 𝐽. 
La línea de tiempo 𝑡 = 𝑡1 se puede calcular usando la condición de 
velocidad inicial 𝑢𝑡(𝑥, 0) = 𝑔(𝑥), que se aproxima por 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
243 
 
𝑈𝑗
1 − 𝑈𝑗
0
𝑘
= 𝑔(𝑥𝑗), 𝑗 = 1,2,… , 𝐽 − 1. 
Ahora tenemos todos los ingredientes para iniciar el esquema y avanzar en 
el tiempo para llenar la red de valores. Una vez más, hay una condición de 
estabilidad, a saber, 
𝑐 ≤
ℎ
𝑘
. 
Esto es llamado la condición de Courant-Friedrichs-Lax (CFL). Físicamente, 
establece que la velocidad ℎ ∕ 𝑘 de los puntos de red que se están calculando 
debe exceder la velocidad 𝑐 de la cual las ondas se propagan en el sistema. 
De este modo, los puntos de retícula calculados contendrán toda la 
información sobre la onda. 
En los ejercicios pedimos al lector que calcule la solución a un problema 
similar a una onda. 
Ahora resolvemos un problema de valor en la frontera para la ecuación de 
Laplace en el cuadrado unitario con valores dados en el límite del cuadrado. 
Este problema de Dirichlet es un problema de valor en la frontera puro, y 
que no debe esperar un esquema de marcha-tipo para trabajar; No hay 
garantía de que cuando marchamos de una frontera en el problema a otra 
alcanzaremos los valores especificados en esa frontera. Esto significa que 
debemos resolver los valores aproximados en todos los puntos de la red 
simultáneamente. Para ilustrar el procedimiento se considera el problema 
𝒖𝒙𝒙 + 𝒖𝒚𝒚 = 𝟎, 𝟎 < 𝒙 < 𝟏, 𝟎 < 𝒚 < 𝟏, (𝟒. 𝟖𝟐) 
𝒖(𝟎, 𝒚) = 𝒖(𝟏, 𝒚) = 𝟎, 𝟎 < 𝒚 < 𝟏, (𝟒. 𝟖𝟑) 
𝒖(𝒙, 𝟎) = 𝒇(𝒙), 𝒖(𝒙, 𝟏) = 𝟎, 𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝟏. (𝟒. 𝟖𝟒) 
Se discretiza la unidad cuadrada definiendo puntos de la retícula 
𝑥𝑖 = 𝑖ℎ, 𝑦𝑗 = 𝑗𝑘, 𝑖 = 0,1,… , 𝐼; 𝐽 = 0,1,… , 𝐽, 
donde ℎ = 1 ∕ 𝐼 y 𝑘 = 1 ∕ 𝐽 son los tamaños de paso fijo en las direcciones 
𝑥 y 𝑦, respectivamente. Dejamos que 𝑈𝑖,𝑗, con dos subíndices, denote el 
valor aproximado de 𝑢(𝑥𝑖 , 𝑦𝑗). Entonces la ecuación de Laplace puede ser 
aproximada por la ecuación de diferencias 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
244 
 
𝑈𝑖−1,𝑗
 − 2𝑈𝑖,𝑗
 + 𝑈𝑖+1,𝑗
 
ℎ2
+
𝑈𝑖,𝑗−1
 − 2𝑈𝑖,𝑗
 + 𝑈𝑖,𝑗+1
 
𝑘2
= 0. 
 
 
 
Figura 4.9. Átomo computacional para la 
ecuación de onda. 
 
 
 
El lector debe revisar la Sección 1.8, donde se realizó una aproximación 
similar. La ecuación de diferencias puede ser escrita como 
𝑈𝑖,𝑗 =
𝑘2
2𝑘2 + 2ℎ2
(𝑈𝑖−1,𝑗 + 𝑈𝑖+1,𝑗) +
ℎ2
2𝑘2 + 2ℎ2
(𝑈𝑖,𝑗−1 + 𝑈𝑖,𝑗+1). (4.85) 
El átomo computacional se muestra en la figura 4.10. La ecuación de 
diferencias relaciona el nodo en el centro del átomo con cuatro nodos 
adyacentes. Como se observó en la sección 1.8, si ℎ = 𝑘, entonces esta 
ecuación de diferencia establece que el valor en el nodo central es 
aproximadamente el promedio de los valores en los cuatro nodos 
adyacentes; Si ℎ ≠ 𝑘, los valores aproximados en el centro son un promedio 
ponderado de los valores adyacentes. 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.10. Átomo computacional para la 
ecuación de Laplace. 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
245 
 
Ahora la estrategia es esta. Los valores de 𝑈𝑖,𝑗 son conocidos en los nodos 
en el límite del cuadrado. Queremos encontrar los valores en los puntos 
interiores de la red (𝐼 − 1) × (𝐽 − 1). Por lo tanto, aplicamos la ecuación de 
diferencia (4.85) a cada punto interior de la red, es decir, para 𝑖 = 1,… , 𝐼 −
1; 𝑗 = 1,… , 𝐽 − 1. El resultado es un sistema lineal-algebraico que consiste 
de (𝐼 − 1) × (𝐽 − 1) ecuaciones en las (𝐼 − 1) × (𝐽 − 1) incógnitas 𝑈𝑖,𝑗. Por lo 
tanto, hemos reducido el problema de Dirichlet a un Problema de álgebra 
lineal. 
Ejemplo 
En (4.82)-(4.84) tomamos 𝑓(𝑥) = 𝑥3(1 − 𝑥). Para ilustrar el procedimiento 
tomamos 𝐼 = 4 y 𝐽 = 3; así 𝑗 =
1
4
 y 𝑘 =
1
3
. Ver la Figura 4.11. Entonces 
ℎ2
2𝑘2 + 2ℎ2
= 0.18,
𝑘2
2𝑘2 + 2ℎ2
= 0.32. 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.11. Enrejado discreto. 
 
 
Hay seis puntos interiores del enrejado donde se encuentra la solución. Por 
las condiciones de frontera, los valores a lo largo de la parte superior y dos 
lados son cero, y los valores a lo largo del límite inferior son 𝑈0,0 = 0, 𝑈1,0 =
0.0117, 𝑈2,0 = 0.0625, 𝑈3,0 = 0.1054, 𝑈4,0 = 0. Ahora aplicamos la 
ecuación de diferencia (4.85) sucesivamente en los seis puntos (𝑖, 𝑗) = (1,1),
(1,2), (2,1), (2,2), (3,1), (3,2) para obtener las seis ecuaciones 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
246 
 
 
Podemos resolver (usamos una calculadora T1-86) estas seis ecuaciones 
para obtener la solución aproximada en los seis puntos nodales interiores: 
 
Una forma de resolver un sistema lineal es mediante un proceso iterativo 
conocido como el método de Gauss-Seidel. En este método inicializamos la 
matriz 𝑈𝑖,𝑗 de incógnitas y luego sistemáticamente recorremos todos los 
puntos interiores de la red, reemplazando las estimaciones viejas por otras 
nuevas calculadas por la ecuación de diferencias (4.85). Después de varios 
ciclos, las estimaciones convergerán a la solución del sistema lineal. Se 
podría terminar las iteraciones cuando el cambio, medido de alguna 
manera, de los valores anteriores es pequeño. Este proceso es 
extremadamente simple de programar. El ciclo se puede lograr en pocas 
líneas de código. Por ejemplo, después de fijar los valores límite, podemos 
recorrer los puntos interiores 𝑁 veces usando los siguientes comandos 
Maple: 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.12a. Grafica de la solución al problema de Dirichlet 
(4.82)-(4.84) cuando 𝑓(𝑥) = 𝑥3(1 − 𝑥). 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
247 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.12b. Programa de Maple para 
resolver el problema de Dirichlet (4.82) 
- (4.84) cuando 𝑓(𝑥) = 𝑥3(1 − 𝑥). 
 
 
La Figura 4.12 enumera un programa de Maple para resolver el problema 
de Dirichlet en el último ejemplo usamos ℎ = 0.05y 𝑘 = 0.1. Así, 𝐼 = 20 y 
𝐽 = 10, lo que da 19 × 9 = 171 puntos de rejilla interior. La figura 4.12 
también muestra la superficie de la solución. 
Esta sección fue sólo una breve introducción a un método, el método de 
diferencias finitas. Y no siempre hemos presentado el mejor método. 
Métodos numéricos para EDP es una de las áreas de investigación más 
activas en matemáticas aplicadas, ciencias de la computación, y en las 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
248 
 
ciencias aplicadas los investigadores tratan de encontrar algoritmos más 
rápidos y más precisos. El lector encontrará una gran cantidad de literatura 
sobre el tema. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ecuaciones Diferenciales Parciales | Logan 
 
249 
 
Ejercicios 
1. Utiliza el método de Euler con el tamaño del paso ℎ = 0.1 para 
resolver numéricamente el problema de valor inicial 𝑦′ = −2𝑡𝑦 + 𝑦2, 
𝑦(0) = 1 en el intervalo 0 ≤ 𝑡 ≤ 2. Compara tus aproximaciones con 
la solución exacta. 
2. Ejecute el programa Maple listado en la Figura 4.8 con pasos de 
tiempo de 𝑘 = 0.1 y 𝑘 = 0.01. ¿Se satisface la condición de 
estabilidad 𝑘 ∕ ℎ2 ≤ 0.5? 
3. Desarrollar un esquema explícito para resolver el problema de 
conducción de calor 
𝑢𝑡 = 𝑢𝑥𝑥, 0 < 𝑥 < 1, 𝑡 > 0, 
𝑢(0, 𝑡) = 1, 𝑢𝑥(1, 𝑡) = −(𝑢(1, 𝑡) − 𝑔(𝑡)), 𝑡 > 0, 
𝑢(𝑥, 0) = 0, 0 < 𝑥 < 1. 
Sugerencia: Aproximar la condición de radiación 𝑢𝑥(1, 𝑡) =
−(𝑢(1, 𝑡) − 𝑔(𝑡)) por 
𝑢(𝑥𝐽, 𝑡𝑛) − 𝑢(𝑥𝐽−1, 𝑡𝑛)
ℎ
= −(𝑢(𝑥𝐽, 𝑡𝑛) − 𝑔(𝑡𝑛)).