Álgebra I: Grupos e Subgrupos

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Álgebra I
Lista de Exerćıcios 2
1 Questões
1. O que é um grupo? E grupo abeliano? Vale a propriedade do corte para todo
elemento de um grupo?
2. O que é um subgrupo de um grupo? Que propriedades precisamos verificar para
atestar que um subconjunto de um grupo é, de fato, um subgrupo?
3. O que é um grupo ćıclico? E um grupo finito?
4. O que é a ordem de um grupo? E de um elemento do grupo?
5. O que é um conjunto de geradores de um grupo? E o que é um grupo finitamente
gerado (de tipo finito)?
6. O que é o produto direto de dois grupos?
7. O que é um homomorfismo? E um isomorfismo?
8. Pode existir homomorfismo entre conjuntos de cardinalidade diferente? E isomor-
fismo?
9. O que é o núcleo de um homomorfismo? A imagem de um homomorfismo é sempre
um subgrupo? E o núcleo é sempre um subgrupo?
10. O que diz o Teorema de Cayley? A que grupos vimos serem isomorfos os grupos
ćıclicos finitos? E os infinitos?
11. O que são classes laterais?
12. O que diz o Teorema de Lagrange? Quais subgrupos podemos ter para grupos
finitos com número primo de elementos?
13. O que é um subgrupo normal? E um grupo quociente? Nesse contexto, o que é o
homomorfismo canônico?
14. Como se pode escrever as funções reais seno e cosseno como combinação linear
(complexa) de exponenciais complexas?
15. Quantas ráızes n-ésimas complexas tem a unidade? O que e quantas são as ráızes
primitivas n-ésimas da unidade? Como se distribuem geometricamente no plano
complexo?
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2 Problemas
1. Para a, b, c e x elementos do grupo G, resolva as seguintes equações para x em
termos de a, b e c.
(a) axb = c
(b) x2b = xa−1c
(c)
{
ax2 = b
x3 = e
2. Dado um grupo G, se dois elementos a, b ∈ G são tais que ab = ba, i.e., comutam,
prove que:
(a) a−1 e b−1 comutam.
(b) a e b−1 comutam.
(c) a2 e b2 comutam.
(d) xax−1 e xbx−1 comutam ∀x ∈ G.
3. Num grupo G, prove que se ab = e então ba = e, sendo e o elemento neutro.
4. Num grupo G, prove que se abc = e então bca = e e cab = e, sendo e o elemento
neutro.
5. Mostre que o número de elementos num grupo finito G que não são seus próprios
inversos, i.e., a ∈ G tais que a 6= a−1, é par.
6. Mostre que o número de elementos num grupo finito G que são seus próprios in-
versos, i.e., a ∈ G tais que a = a−1, é par ou ı́mpar, se G tiver quantidade par ou
ı́mpar de elementos, respectivamente.
7. Mostre que se G é um grupo de ordem par então existe a ∈ G, a 6= e tal que a2 = e.
8. Se G é um grupo abeliano finito, G = {e, a1, . . . , an}, prove que:
(a) (a1a2 · · · an)2 = e.
(b) Se não existe x 6= e em G tal que x = x−1, então a1a2 . . . an = e.
(c) Se existe exatamente um x 6= e em G tal que x = x−1, então a1a2 . . . an = x.
9. Para um grupo G qualquer, prove que:
(a) Se a2 = a, então a = e.
(b) Se ab = b, então a = e.
(c) Se ab = a, então b = e.
10. Num conjunto qualquer com três elementos, {e, a, b}, tome e como elemento neutro
e mostre que há um único grupo posśıvel. Para tanto, construa a tábua de operação
(não precisa mostrar a associatividade).
11. Mostre que existe apenas um grupo G com quatro elementos, G = {e, a, b, c}, tal
que todos os elementos x ∈ G satisfazem xx = e. Apresente a tábua de operação.
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12. Mostre que existe apenas um grupo G com quatro elementos, G = {e, a, b, c}, tal
que xx = e para algum x 6= e em G e yy 6= e para algum y ∈ G. Apresente a tábua
de operação.
13. Escrevendo Zn = Z/nZ, liste todos os elementos do grupo Z2 × Z3 e apresente sua
tábua de operação.
14. Mostre que se G e H são grupos abelianos então G × H também é um grupo
abeliano.
15. Num grupo G, se an = b para n inteiro positivo, dizemos que a é uma raiz n-ésima
de b. Mostre que:
(a) (b−1ab)n = b−1anb para todo inteiro positivo n.
(b) Se a3 = e então a tem uma raiz quadrada em G.
(c) Se a2 = e então a tem uma raiz cúbica em G.
16. Para os itens abaixo, considere F(R) como sendo o grupo aditivo das funções f :
R→ R. Mostre que são subgrupos de F(R):
(a) H = {f ∈ F(R) | f(0) = 0}
(b) H = {f ∈ F(R) | f(−x) = −f(x)}
(c) H = {f ∈ F(R) | f é periódica de peŕıodo π}
17. Seja G um grupo abeliano:
(a) Mostre que H = {x ∈ G |x = x−1} é subgrupo de G.
(b) Seja n um inteiro fixado. Mostre que H = {x ∈ G |xn = e} é subgrupo de G.
(c) Seja H um subgrupo de G e K = {x ∈ G |x2 ∈ H}. Mostre que K é subgrupo
de G.
(d) Suponha que H e K sejam subgrupos de G e defina HK = {hk |h ∈ H, k ∈
K}. Mostre que HK é subgrupo de G e explique porque só vale para G
abeliano.
18. Denominamos de centro (C) de um grupo G ao conjunto dos elementos de G que
comutam com todo elemento de G, i.e.,
C = {a ∈ G | ax = xa, ∀x ∈ G}.
Mostre que C é um subgrupo normal de G.
19. Dado um grupo G qualquer e uma função f : G → R, dizemos que a ∈ G é um
peŕıodo de f se f(ax) = f(x), ∀x ∈ G. Mostre que o conjunto de peŕıodos de uma
função f : G→ R qualquer é um subgrupo de G.
20. Quais são os geradores do grupo Z/10Z? E do grupo Z/2Z× Z/3Z?
21. Mostre que se um grupo A é gerado por dois elementos, a e b, e vale que ab = ba,
então A é um grupo abeliano.
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22. Mostre que o conjunto das ráızes n-ésimas complexas das unidade formam um grupo
ćıclico. Quais e quantos são os posśıveis geradores?
23. Se h : G1 → G2 é um homomorfismo, mostre que:
(a) h(e1) = e2, sendo ei o elemento neutro de Gi, i = 1, 2.
(b) h(a−1) = [h(a)]−1, ∀a ∈ G1.
(c) O núcleo de h é subgrupo normal de G1 e a imagem de h é subgrupo de G2.
(d) A ordem de h(a) é um divisor da ordem de a.
24. Mostre que a composição de homomorfismos é também um homomorfismo.
25. Mostre que se f : G1 → G2 é um isomorfismo, então G1 ser abeliano implica G2
também ser abeliano e vice-versa.
26. Pode um homomorfismo h : S4 → Z/24Z ser injetivo? E sobrejetivo?
27. Mostre que se G é um grupo finito e h : G → C∗ é um homomorfismo, então
|h(a)| = 1, ∀a ∈ G, sendo C∗ o grupo multiplicativo dos números complexos não
nulos.
28. Mostre que R× R é isomorfo a C.
29. Mostre que Z não é isomorfo a Q.
30. Mostre que o conjunto F das funções bijetivas f : G → G é um grupo. Além
disso, se G é um grupo e f é um isomorfismo, f é chamada de automorfismo de G.
Denotando por Aut(G) ao conjunto de todos os automorfismos de G, mostre que
Aut(G) é um subgrupo de F .
31. Mostre que se G é um grupo qualquer e a ∈ G, então f : G → G dada por
f(x) = axa−1 é um automorfismo de G.
32. Seja G um grupo finito e H e K subgrupos de G.
(a) Mostre que se H é também subgrupo de K, então (G : H) = (G : K)(K : H).
(b) Mostre que a ordem de H ∩K é um divisor comum das orden de H e de K.
(c) Suponha queH tenha ordemm eK tenha ordem n. Mostre que se mdc(m,n) =
1, então H ∩K = {e}.
(d) Mostre que se H e K são distintos e tem mesma ordem p, com p primo, então
H ∩K = {e}.
33. Dado um grupo G e um subgrupo H ⊂ G, mostre que a quantidade de classes
laterais à esquerda e à direita determinadas por H é a mesma.
34. Dado o grupo multiplicativo R∗ e o subgrupo Q∗, explicite as classes laterais indu-
zidas por
√
2 e por π.
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35. Denotando por 〈a〉 o subgrupo de G gerado por a ∈ G, mostre que 〈a〉 é subgrupo
normal de G se, e somente se, para todo x ∈ G existe um inteiro positivo k tal que
xa = akx.
36. Mostre que a interseção arbitrária de subgrupos de um grupo G é ainda subgrupo
de G. Ainda mostre que se todos os subgrupos forem normais, então a interseção
também é normal.
37. Mostre que se H e K são subgrupos de G com H ∩K = {e}, então h1k1 = h2k2,
h1, h2 ∈ H e k1, k2 ∈ K implica h1 = h2 e k1 = k2.
38. Sendo G = Z10 e H = {0, 5}, obtenha G/H e mostre que é isomorfo a Z5.
39. Mostre que H = {(x, 2x) : x ∈ R} é subgrupo normal de R2, descreva geometrica-
mente os elementos de R2/H e descreva a operação de grupo em R2/H.
40. Mostre que se (G : H) = m, então a ordem de todo elemento em G/H é divisor de
m.
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