Derivadas-1

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Já definimos o coeficiente angular de uma curva y = f(x) no ponto onde x = x0.
Derivadas
 Chamamos esse limite, quando ele existia, de derivada de f em x0. 
Definição de Derivada – Função Derivada
A derivada de uma função f(x) em relação à variável x é a função
f´ cujo valor em x é:
desde que o limite exista.
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Calculando f´(x) a partir da Definição de Derivada
1) Escreva expressões para f(x) e f(x + h).
2) Desenvolva e simplifique o quociente de diferença
3) Usando o quociente simplificado, encontre f´(x) calculando o
Limite:
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y’ y linha
 derivada de y em relação a x
 derivada de f em relação a x
 operação de derivada realizada em f(x) 
Modos de representar as derivadas de uma função y = f(x).
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Operação
 
Operação para obter uma derivada em relação a x
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Como ler os símbolos de derivadas:
“y linha”
“y duas linhas”
“d dois y d x dois”
“y três linhas”
“n” ou “a derivada enésima de y”
“d n y d x n”
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Regra 1 – Derivada de uma Função Constante
Se f tem o valor constante f(x) = c, então
Exemplo – Usando a Regra 1
Se f tem o valor constante f(x) = 8, então
De maneira similar,
e
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Regra 2 – Regra de Derivação para Potências Inteiras Positivas, 
Inteiras Negativas e Racional.
Se n for um positivo ou negativo inteiro ou racional, então
Regra 3 – Regra da Multiplicação por Constante
Se u é uma função derivável de x e c é uma constante, então
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Exemplo 4 – Usando a Regra 3
(a) 
 Interpretação: Multiplicando-se cada ordenada por 3 para obter outra
escala no gráfico y = x2, multiplica-se o coeficiente angular em cada 
ponto por 3.
(b) Um caso especial útil: a derivada da oposta de uma função 
derivável é a oposta da derivada da função. A Regra 3 com c = - 1 
fornece
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Regra 4 – Regra da Derivada da Soma
 Se u e v são funções deriváveis de x, então a soma das duas u + v é
derivável em qualquer ponto onde ambas são deriváveis. Nesses
pontos, 
Exemplo 5 – Derivada de uma Soma
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Teorema 1 – Diferenciabilidade (Derivabilidade) Implica Continuidade
Se f tem uma derivada em x = c, então f é contínua em x = c.
Teorema 2 – Propriedade do Valor Intermediário para Derivadas
 Se a e b são dois pontos quaisquer de um intervalo em que f é 
derivável, então f´ assume qualquer valor entre
f´(a) e f´(b).
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Regra 5 Regra do Produto
Se u e v são deriváveis em x, então o produto uv também é e
ou
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Usando a Regra 5(do Produto) encontre a derivada de
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Regra 6 - Regra da Derivada do Quociente
Se u e v são deriváveis em v(x)  0, então o quociente u/v é derivável em x e 
ou
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Exemplo: Usando a Regra 6 (do quociente) encontre a derivada de 
Aplicando a Regra 6 com e :
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A derivada da função seno é a função cosseno
Exemplo 1 – Derivadas Envolvendo Seno
(a)
(b)
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A derivada da função cosseno é a oposta da função seno
Exemplo 2 – Revendo as Regras da Derivada
(a)
(b)
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Derivadas de Outras Funções Trigonométricas Básicas
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Exemplo 5 – Derivadas da Função Tangente
Encontre d(tg x)/d x
Solução