Seja a função f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 6x + 5. Encontre a solução da transmissão diferencial associada a essa função.

Para encontrar a solução da equação diferencial associada à função f(x), primeiro precisamos encontrar a sua derivada.

f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 6x + 5

f'(x) = 6x^2 + 6x - 6

A equação diferencial associada a f(x) é da forma y' + p(x)y = q(x), onde p(x) é o coeficiente da função f'(x) e q(x) é a função f(x). Substituindo os valores correspondentes, obtemos:

y' + (6x^2 + 6x - 6)y = 2x^3 + 3x^2 - 6x + 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para esta equação. Uma forma de fazer isso é usando o método da variação de parâmetros. Para isso, precisamos encontrar as soluções da equação homogênea associada a essa equação, que é dada por:

y' + (6x^2 + 6x - 6)y = 0

Podemos assumir que a solução da equação homogênea tem a forma y(x) = e^(-p(x))v(x), onde v(x) é uma função a ser determinada e p(x) é o coeficiente de y na equação diferencial original. Neste caso, temos:

p(x) = 6x^2 + 6x - 6

e^(-p(x)) = e^(-6x^2 - 6x + 6)

Assim, a solução da equação homogênea é:

y_h(x) = e^(-6x^2 - 6x + 6)v(x)

Agora, podemos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea usando a variação de parâmetros. Para isso, precisamos encontrar duas funções u(x) e v(x) tais que:

y_p(x) = u(x)y_1(x) + v(x)y_2(x)

onde y_1(x) e y_2(x) são duas soluções independentes da equação homogênea. Neste caso, podemos tomar:

y_1(x) = e^(-6x^2 - 6x + 6)

y_2(x) = xe^(-6x^2 - 6x + 6)

Então, temos:

y_p(x) = u(x)e^(-6x^2 - 6x + 6) + v(x)xe^(-6x^2 - 6x + 6)

Substituindo na equação diferencial original, temos:

u'(x)e^(-6x^2 - 6x + 6) + v'(x)xe^(-6x^2 - 6x + 6) - (12x^2 + 12x - 6)u(x)e^(-6x^2 - 6x + 6) - (12x^2 + 6x - 6)v(x)e^(-6x^2 - 6x + 6) = 2x^3 + 3x^2 - 6x + 5

Igualando os coeficientes de x^3, x^2, x e termo constante, temos o sistema:

u'(x) - 12x^2 u(x) - 6v(x) = 2x^