A expressão 2n + 1 representa um número ímpar para qualquer número natural n. Mostra que o quadrado de um número ímpar é um número ímpar. Mostrar q...

Para mostrar que o quadrado de um número ímpar é um número ímpar, podemos usar a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição. Vamos considerar um número ímpar qualquer, representado por 2n + 1, onde n é um número natural. Se elevamos esse número ao quadrado, temos: (2n + 1)² = (2n + 1) * (2n + 1) Usando a propriedade distributiva, podemos expandir essa expressão: (2n + 1) * (2n + 1) = 4n² + 2n + 2n + 1 Simplificando os termos semelhantes, temos: 4n² + 4n + 1 Agora, vamos analisar essa expressão. Podemos observar que todos os termos são múltiplos de 2, exceto o último termo, que é 1. Portanto, podemos reescrever a expressão como: 4n² + 4n + 1 = 2(2n² + 2n) + 1 A expressão 2(2n² + 2n) é um número par, pois é o produto de 2 por um número inteiro. E somando 1 a esse número par, obtemos um número ímpar. Portanto, podemos concluir que o quadrado de um número ímpar é sempre um número ímpar.