Calcule a área da superfície para a superfície e a função dada. y = 9 − z^2 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ z ≤ 3; f(x, y, z) = z.

Para calcular a área da superfície, podemos utilizar a fórmula da integral de superfície: ∫∫(1+ (fx)^2 + (fy)^2)^(1/2) dS Onde fx e fy são as derivadas parciais de f em relação a x e y, respectivamente. Nesse caso, temos: fx = 0 fy = -2z Substituindo na fórmula, temos: ∫∫(1+ 4z^2)^(1/2) dS A área da superfície é dada por: ∫∫(1+ 4z^2)^(1/2) dS = ∫∫(1+ 4z^2)^(1/2) ||r_x x r_y|| dA Onde r_x e r_y são os vetores tangentes às curvas de interseção da superfície com os planos x=0, x=3, z=0 e z=3. Calculando os vetores tangentes, temos: r_x = <3, 0, -2z> r_y = <0, 1, 0> Então: ||r_x x r_y|| = ||<2z, -6z, 3>|| = 3(4z^2 + 1)^(1/2) Substituindo na fórmula, temos: ∫∫(1+ 4z^2)^(1/2) ||r_x x r_y|| dA = ∫∫3(4z^2 + 1) dA Integrando em relação a z e depois em relação a x e y, temos: ∫∫3(4z^2 + 1) dA = 3∫0^3∫0^3(4z^2 + 1) dx dz = 108 Portanto, a área da superfície é 108.