4. Considerar las superficies S1 : x3y3 + z3x2 = 2 S2 : xyz − x2y3z2 = 0 Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva intersección S1 ∩ S2 ...

Para encontrar a equação da reta tangente à curva de interseção S1 ∩ S2 no ponto (1,1,1), podemos utilizar o conceito de derivadas parciais. Primeiro, vamos encontrar as equações das curvas S1 e S2. Para S1: x^3y^3 + z^3x^2 = 2 Para S2: xyz - x^2y^3z^2 = 0 Agora, vamos encontrar as derivadas parciais das equações em relação a x, y e z: Para S1: ∂S1/∂x = 3x^2y^3 + 2z^3x ∂S1/∂y = 3x^3y^2 ∂S1/∂z = 3z^2x^2 Para S2: ∂S2/∂x = yz - 2xy^3z^2 ∂S2/∂y = xz - 3x^2y^2z^2 ∂S2/∂z = xy - 2x^2y^3z Agora, vamos encontrar os valores das derivadas parciais no ponto (1,1,1): ∂S1/∂x = 3(1)^2(1)^3 + 2(1)^3(1) = 5 ∂S1/∂y = 3(1)^3(1)^2 = 3 ∂S1/∂z = 3(1)^2(1)^2 = 3 ∂S2/∂x = (1)(1) - 2(1)(1)^3(1)^2 = -1 ∂S2/∂y = (1)(1) - 3(1)^2(1)^2(1) = -1 ∂S2/∂z = (1)(1) - 2(1)^2(1)^3(1) = -1 Agora, podemos usar esses valores para encontrar a equação da reta tangente. A equação geral de uma reta é dada por: (x - x0)/a = (y - y0)/b = (z - z0)/c Onde (x0, y0, z0) é o ponto de tangência e (a, b, c) é o vetor diretor da reta. Substituindo os valores, temos: (x - 1)/5 = (y - 1)/3 = (z - 1)/3 Portanto, a equação da reta tangente à curva de interseção S1 ∩ S2 no ponto (1,1,1) é: (x - 1)/5 = (y - 1)/3 = (z - 1)/3