Consider two non-zero vectors (X and Y) in a vector space. Prove that: 1. ||X + Y||^2 + ||X - Y||^2 = 2||X||^2 + 2||Y||^2 (Parallelogram identity)

Para provar a identidade do paralelogramo, podemos usar a lei dos cossenos. Seja θ o ângulo entre os vetores X e Y. Então, temos: ||X + Y||² = (X + Y) · (X + Y) = X · X + 2X · Y + Y · Y ||X - Y||² = (X - Y) · (X - Y) = X · X - 2X · Y + Y · Y Somando as duas equações, temos: ||X + Y||² + ||X - Y||² = 2X · X + 2Y · Y = 2||X||² + 2||Y||² + 4X · Y cos(θ) Mas sabemos que 2X · Y cos(θ) é a projeção de X em Y, multiplicada pelo comprimento de Y. Como a projeção de X em Y é igual à projeção de Y em X, temos: 2X · Y cos(θ) = 2Y · X cos(θ) Substituindo na equação anterior, temos: ||X + Y||² + ||X - Y||² = 2||X||² + 2||Y||² + 2X · Y cos(θ) + 2Y · X cos(θ) Mas 2X · Y cos(θ) + 2Y · X cos(θ) é igual a 2X · Y · 2cos(θ), que é o dobro do produto escalar de X e Y. Portanto, temos: ||X + Y||² + ||X - Y||² = 2||X||² + 2||Y||² + 2(X · Y + Y · X) Mas X · Y + Y · X é igual a 2(X · Y), então temos: ||X + Y||² + ||X - Y||² = 2||X||² + 2||Y||² + 4(X · Y) E isso prova a identidade do paralelogramo.