Probar que existen ∂f/∂x (0, 0) y ∂f/∂y (0, 0) y valen cero. 394 Sean las funciones: f : R2 → R, f(x, y) = x2y/(x2 + y2), f(0, 0) = 0, g : R→ R, ...

Para provar que existem as derivadas parciais ∂f/∂x (0, 0) e ∂f/∂y (0, 0) e que elas valem zero, podemos utilizar a definição de derivada parcial. Vamos começar com a derivada parcial em relação a x: ∂f/∂x = lim(h→0) [f(0+h, 0) - f(0, 0)] / h Substituindo na fórmula, temos: ∂f/∂x = lim(h→0) [(0+h)² * 0 / ((0+h)² + 0²) - 0] / h Simplificando, temos: ∂f/∂x = lim(h→0) 0 / h = 0 Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a y: ∂f/∂y = lim(k→0) [f(0, 0+k) - f(0, 0)] / k Substituindo na fórmula, temos: ∂f/∂y = lim(k→0) [0 * (0+k) / (0² + (0+k)²) - 0] / k Simplificando, temos: ∂f/∂y = lim(k→0) 0 / k = 0 Portanto, as derivadas parciais ∂f/∂x (0, 0) e ∂f/∂y (0, 0) existem e valem zero.