543 ∫ π 2 0 ∫ cos θ 0 cos θ dr dθ.

A integral dupla dada é: 543 ∫[0 to π/2] ∫[0 to cos(θ)] cos(θ) dr dθ. Para resolver essa integral dupla, primeiro vamos integrar em relação a r e depois em relação a θ. Integrando em relação a r, temos: ∫[0 to cos(θ)] cos(θ) dr = cos(θ) ∫[0 to cos(θ)] dr = cos(θ) [r] [0 to cos(θ)] = cos(θ) (cos(θ) - 0) = cos^2(θ). Agora, vamos integrar em relação a θ: ∫[0 to π/2] cos^2(θ) dθ. Essa integral pode ser resolvida usando a fórmula de redução de potência para o cosseno: ∫ cos^2(θ) dθ = (1/2) [θ + sen(2θ)/2] [0 to π/2]. Substituindo os limites de integração, temos: (1/2) [(π/2) + sen(π)/2 - 0 - sen(0)/2] = (1/2) [(π/2) + 0 - 0 - 0] = π/4. Portanto, o valor da integral dupla é π/4.