Encontrar una expresión para el vector normal a la superficie de parametri-zación: x = (2− cos v) cosu, y = (2− cos v) senu, z = sen v, −π ≤ u ≤ ...

A expressão para o vetor normal à superfície de parametrização é dado pelo produto vetorial dos vetores tangentes parciais em relação aos parâmetros u e v. Para isso, vamos calcular os vetores tangentes parciais: Vetor tangente parcial em relação a u: T_u = (-sin(v)cos(u), -sin(v)sin(u), 0) Vetor tangente parcial em relação a v: T_v = (sin(v)sin(u), -sin(v)cos(u), cos(v)) Agora, vamos calcular o produto vetorial entre T_u e T_v: N = T_u x T_v = (-sin(v)cos(u), -sin(v)sin(u), 0) x (sin(v)sin(u), -sin(v)cos(u), cos(v)) = (sin^2(v)cos(u)cos(u) + sin^2(v)sin(u)sin(u), -sin^2(v)cos(u)sin(u) + sin^2(v)sin(u)cos(u), sin(v)sin(v)cos(u)cos(u) + sin(v)sin(v)sin(u)sin(u)) = (sin^2(v)(cos^2(u) + sin^2(u)), -sin^2(v)(cos(u)sin(u) - sin(u)cos(u)), sin(v)sin(v)(cos^2(u) + sin^2(u))) = (sin^2(v), 0, sin(v)sin(v)) Portanto, a expressão para o vetor normal à superfície de parametrização é N = (sin^2(v), 0, sin(v)sin(v)). Quanto à suavidade da superfície, podemos observar que as funções seno e cosseno são funções suaves, portanto, a superfície também é suave.