Dada la función f(x, y) = x2 sen y + y2 senx / x2 + y2 si (x, y) 6= (0, 0), 0 si (x, y) = (0, 0). Estudiar la existencia de derivadas direccionales...

Para estudiar la existencia de derivadas direccionales de la función f en el origen, debemos calcular las derivadas parciales de f con respecto a x y y y luego evaluarlas en el punto (0, 0). La derivada parcial de f con respecto a x se calcula tomando la derivada de f con respecto a x tratando y como una constante. En este caso, tenemos: ∂f/∂x = (2x sen y + y^2 cos x)(x^2 + y^2) - (x^2 sen y + y^2 sen x)(2x) / (x^2 + y^2)^2 La derivada parcial de f con respecto a y se calcula tomando la derivada de f con respecto a y tratando x como una constante. En este caso, tenemos: ∂f/∂y = (x^2 cos y + 2y sen x)(x^2 + y^2) - (x^2 sen y + y^2 sen x)(2y) / (x^2 + y^2)^2 Una vez que tenemos estas derivadas parciales, podemos evaluarlas en el punto (0, 0) para determinar si existen las derivadas direccionales en ese punto. Sin embargo, al evaluar las derivadas parciales en (0, 0), obtenemos una indeterminación debido a la división por cero en el denominador. Por lo tanto, podemos concluir que las derivadas direccionales de f en el origen no existen.