9.29. Ecuaciones de los subespacios 1. Hallar la dimensión y una base del subespacio vectorial F de R4 determi- nado por el sistema:  x1 + x2 +...

Para determinar a dimensão e uma base do subespaço vetorial F de R4 determinado pelo sistema de equações, podemos utilizar o método da eliminação de Gauss para encontrar a forma escalonada reduzida da matriz ampliada do sistema. A forma escalonada reduzida da matriz ampliada é: 1 1 1 -1 | 0 1 -1 2 5 | 0 -1 5 -4 -17 | 0 A partir dessa forma escalonada reduzida, podemos identificar as variáveis livres e as variáveis dependentes. As variáveis dependentes serão expressas em função das variáveis livres. Nesse caso, temos uma variável livre, que podemos representar por x4. As variáveis dependentes são x1, x2 e x3. Podemos escrever as variáveis dependentes em função da variável livre: x1 = -x2 - x3 + x4 x2 = (2/3)x3 - (5/3)x4 x3 = x3 x4 = x4 Portanto, a dimensão do subespaço F é 1, pois temos apenas uma variável livre. Uma base para o subespaço F é o vetor (1, -1, 0, 0), que representa a solução geral do sistema de equações.