37. Discute el siguiente sistema de ecuaciones con incógnitas x, y, z, t en función de los valores de a y b, y resuélvelo en el caso compatible ...

37. Discute el siguiente sistema de ecuaciones con incógnitas x, y, z, t en función de los valores de a y b, y resuélvelo en el caso compatible indeterminado con 2 grados de libertad.








x + 2y + 3z + 4t = 1
−x + 4y + 5z − 2t = −5
3x + z + 10t = 7
3x + 3y + 5z + at = b








Solución: Aplicamos el método de Gauss a la matriz (A|B) del sistema:





1 2 3 4 1
−1 4 5 −2 −5
3 0 1 10 7
3 3 5 a b




→





1 2 3 4 1
0 6 8 2 −4
0 −6 −8 −2 4
0 −3 −4 a− 12 b− 3





1
2
F2−−−−−→
F4+

1
2
F2


1 2 3 4 1
0 3 4 1 −2
0 0 0 a− 11 b− 5



Para a 6= 11 se tiene rg(A) = 3 y rg(A|B) = 3, luego el sistema es compatible indeterminado
con 1 grado de libertad (4 incógnitas menos 3 pivotes).
Para a = 11 y b 6= 5 se tiene rg(A) = 2 y rg(A|B) = 3, luego el sistema es incompatible.
Para a = 11 y b = 5 se tiene rg(A) = 2 y rg(A|B) = 2, luego el sistema es compatible
indeterminado con 2 grados de libertad (4 incógnitas menos 3 pivotes).
Para resolverlo en este último caso, podemos por ejemplo seguir aplicando Gauss (tras eliminar la
tercera fila) con pivotes en las incógnitas con coeficientes más cómodos, en este caso x y t:

(
1 2 3 4 1
0 3 4 1 −2
)
F1−4F2−−−−−→
(
1 −10 −13 0 9
0 3 4 1 −2
)
Asignando parámetros a las incógnitas sin pivote (y = α y z = β) se despejan directamente las
otras dos x = 9 + 10α+ 13β y t = −2− 3α− 4β, lo que nos da la solución
(x, y, z, t) = (9+10α+13β, α, β,−2−3α−4β) = (9, 0, 0,−2)+α(10, 1, 0,−3)+β(13, 0, 1,−4) α, β ∈ R
o
Matemáticas de 1 , problemas 21 Alberto del Valle Robles