18. Comprueba que una matriz de la forma A = 5 0 −1 0 b 0 0 0 5 NO es diagonalizable. Solución: El polinomio caracteŕıstico es clarame...
18. Comprueba que una matriz de la forma A =
5 0 −1
0 b 0
0 0 5
NO es diagonalizable.
Solución: El polinomio caracteŕıstico es claramente (λ− 5)2(λ− b), y el sistema homogéneo que da los autovectores asociados a λ = 5 tiene por matriz de coeficientes 5I −A =
0 0 1
0 b− 5 0
0 0 0
. Si b = 5 entonces 5 es autovalor triple y el rango de 5I−A es 1, por lo que hay 2 grados de libertad, y como 2 < 3 deducimos que A no es diagonalizable. Si b 6= 5 entonces 5 es autovalor doble y el rango de 5I −A es 2, por lo que hay 1 grado de libertad, y como 1 < 2 deducimos que A tampoco es diagonalizable en este otro caso.
5 0 −1
0 b 0
0 0 5
NO es diagonalizable.
Solución: El polinomio caracteŕıstico es claramente (λ− 5)2(λ− b), y el sistema homogéneo que da los autovectores asociados a λ = 5 tiene por matriz de coeficientes 5I −A =
0 0 1
0 b− 5 0
0 0 0
. Si b = 5 entonces 5 es autovalor triple y el rango de 5I−A es 1, por lo que hay 2 grados de libertad, y como 2 < 3 deducimos que A no es diagonalizable. Si b 6= 5 entonces 5 es autovalor doble y el rango de 5I −A es 2, por lo que hay 1 grado de libertad, y como 1 < 2 deducimos que A tampoco es diagonalizable en este otro caso.
💡 1 Resposta
Ed 
A matriz A não é diagonalizável. Isso pode ser verificado observando o polinômio característico, que é (λ - 5)²(λ - b). Al analisar o sistema homogêneo que fornece os autovetores associados a λ = 5, a matriz de coeficientes é 5I - A. Se b = 5, então 5 é um autovalor triplo e o posto de 5I - A é 1, o que implica em 2 graus de liberdade. Como 2 < 3, concluímos que A não é diagonalizável nesse caso. Se b ≠ 5, então 5 é um autovalor duplo e o posto de 5I - A é 2, o que implica em 1 grau de liberdade. Como 1 < 2, deduzimos que A também não é diagonalizável nesse outro caso.
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