En R3 se considera la recta ℓ con ecuaciones impĺıcitas { x+ y + z = 4 x+ 2y + 3z = 8 } . Calcula: a) Los valores de b y c para los que ℓ está co...

Para encontrar os valores de b e c para os quais a reta ℓ está contida no plano de equação 2x - y + bz = c, podemos utilizar o sistema de equações formado pelas equações implícitas da reta ℓ e a equação do plano. Substituindo as equações implícitas da reta ℓ na equação do plano, temos: x + y + z = 4 x + 2y + 3z = 8 2x - y + bz = c Podemos escrever esse sistema na forma matricial: | 1 1 1 | | x | | 4 | | 1 2 3 | x | y | = | 8 | | 2 -1 b | | z | | c | Aplicando operações elementares de linha, podemos chegar à forma escalonada reduzida da matriz: | 1 1 1 | | x | | 4 | | 0 1 2 | x | y | = | 4 | | 0 0 b-4 | | z | | c-8 | Para que a reta ℓ esteja contida no plano, a última linha da matriz deve ser nula. Portanto, temos a condição b - 4 = 0, o que implica em b = 4. Quanto ao valor de c, podemos escolher qualquer valor, pois ele não afeta a condição de a reta estar contida no plano. Portanto, c é um parâmetro livre. Assim, os valores de b e c para os quais a reta ℓ está contida no plano são b = 4 e c é um parâmetro livre. Para encontrar a equação implícita do plano que contém a reta ℓ e o ponto P = (0, 1, 0), podemos utilizar o produto escalar entre o vetor diretor da reta ℓ e um vetor normal ao plano. O vetor diretor da reta ℓ é dado por (1, 2, 3). Um vetor normal ao plano pode ser obtido a partir dos coeficientes da equação do plano, que são (2, -1, b). Calculando o produto escalar entre esses dois vetores, temos: (1, 2, 3) · (2, -1, b) = 0 Isso nos dá a seguinte equação: 2 + (-2) + 3b = 0 Simplificando, temos: 3b = 0 Portanto, b = 0. Substituindo esse valor na equação do plano, temos: 2x - y + 0z = c Simplificando, temos: 2x - y = c Portanto, a equação implícita do plano que contém a reta ℓ e o ponto P = (0, 1, 0) é 2x - y = c.